Vektor - materi78

MAT 3
materi78.co.nr
Vektor
A.
PENDAHULUAN
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai
dan arah yang digambarkan dalam anak panah
(garis).
Vektor pada ruang dinotasikan oleh sumbu x, y
dan x dengan vektor satuan i, j dan k.
+z
Vektor diberi nama dengan huruf kecil bergaris
atas atau menyebut titik pangkal dan ujungnya.
1
B
C
1) Anak panah menunjuk arah yang ditunjuk
vektor.
2) Vektor basis, ditulis dalam vektor satuan.
Vektor satuan sumbu x adalah i, sumbu y
adalah j, dan sumbu z adalah k.
a̅ = x.i + y.j + z.k
a̅
|a̅ |
3
+x
Vektor basis dapat ditentukan dengan
menghitung vektor satuan mulai dari ujung ke
pangkal vektor.
Vektor basis AB dengan koordinat titik A (x1, y1,
z1) dan B (x2, y2, z2) diketahui dapat dihitung:
x - x1
̅ – a̅ = ( 2
̅̅̅̅
AB= b
y2 - y1 )
Dalam ruang
3) Vektor kolom dan baris, ditulis dalam
matriks kolom atau baris.
x
a̅ = (y)
z
a̅ = (x
y
x2 - x1
̅ – a̅ = (y2 - y1 )
̅̅̅̅
AB= b
z2 - z1
Panjang vektor dapat dihitung:
z)
Dalam bidang
̅ dikatakan searah apabila sejajar
Vektor a̅ dan b
̅), dan
dan menunjuk arah yang sama (a̅ = b
dikatakan berlawanan apabila sejajar namun
̅).
menunjuk arah yang berlawanan (a̅ = -b
Dua vektor dikatakan sama besar apabila searah,
sama besar (panjang) dan sama vektor basisnya.
B.
2
Dalam bidang
Vektor satuan (e̅ ) yang searah dengan vektor a̅ :
e̅ =
+y
i
Bentuk penulisan vektor:
2
j
O
2) Besar kecilnya vektor dilambangkan
dengan besar kecilnya anak panah.
1) Vektor posisi, ditulis dalam notasi vektor
terhadap titik acuan.
̅̅̅̅.
Contoh: vektor posisi titik A dari O adalah OA
A
k
VEKTOR PADA BIDANG DAN RUANG
Vektor pada bidang dinotasikan oleh sumbu x
dan sumbu y dengan vektor satuan i dan j.
+y
B
Dalam ruang
̅̅̅̅| = √x2 +y2
|AB
̅̅̅̅| = √x2 +y2 +z2
|AB
Contoh:
Nyatakan vektor OA dan BC (pada gambar 1)
dalam vektor basis, dan tentukan panjangnya!
Jawab:
̅̅̅̅
OA = 4i + 3j
̅̅̅̅| = √42 +32 = √25 = 5
|OA
̅̅̅̅
BC = 3i – 2j
̅̅̅̅| = √32 +22 = √13
|OA
Contoh:
C
-x
j
O
i
-y
A
Nyatakan vektor OA dan BC (pada gambar 2)
dalam vektor basis, dan tentukan panjangnya!
̅̅̅̅
OA = 2i + 3j + 2k
+x
̅̅̅̅| = √22 +32 +22 = √17
|OA
̅̅̅̅
BC = 2i – 3j + k
̅̅̅̅| = √22 +32 +12 = √14
|OA
VEKTOR
1
MAT 3
materi78.co.nr
C.
PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN
VEKTOR
Perkalian skalar/titik (•) menghasilkan besaran
skalar, memiliki definisi:
Penjumlahan
dan
pengurangan
vektor
digunakan untuk mencari resultan vektor.
Resultan
vektor
dapat
dicari
dengan
menghubungkan pangkal vektor awal dengan
ujung vektor akhir.
1) Cara segitiga (dua vektor)
̅ = |a||b|cosθ
a̅ • b
Perkalian skalar dengan vektor basis dengan a̅
̅ = (x2, y2, z2) diketahui dapat
= (x1, y1, z1) dan b
dihitung:
x1 . x2
̅ = ( y1 . y2 )
̅a • b
z1 . z2
̅
B
̅
A
Sifat-sifat perkalian skalar:
Identitas
2) Cara jajar genjang (dua vektor)
Vektor
satuan
̅
A
̅
B
3) Cara poligon (lebih dari dua vektor)
̅
A
̅
C
Sudut antara dua vektor adalah sudut yang
terbentuk
ketika
pangkal
dua
vektor
dihubungkan.
Penjumlahan dan pengurangan vektor dengan
panjang vektor dan sudut vektor:
̅ | = √|a|2 +|b|2 +2|a||b|cosθ
|a̅ + b
̅ | = √|a|2 +|b|2 - 2|a||b|cosθ
|a̅ - b
Penjumlahan dan pengurangan vektor dengan
̅ = (x2, y2,
vektor basis dengan a̅ = (x1, y1, z1) dan b
z2) diketahui dapat dihitung:
x1 - x2
̅ = (y1 - y2 )
a̅ - b
z1 - z2
Sifat penjumlahan dan pengurangan vektor
adalah komutatif.
A+B=B+A
D.
PERKALIAN SKALAR DAN VEKTOR
Perkalian matriks dengan
dioperasikan dengan:
x
k.x
k(y) = (k.y)
z
k.z
i•i=j•j=k•k=1
i•j=j•k=k•i=0
Komutatif
a•b=b•a
Distributif
a • (b ± c) = (a • b) ± (a • c)
Asosiatif
(m.a) • (n.b) = (m.n)(a • b)
Tegak lurus a • b = 0, maka a ┴ b
̅
B
x1 + x2
̅ = ( y1 + y2 )
a̅ + b
z1 + z2
a • a = |a|2
suatu
bilangan
Perkalian vektor/silang (×) menghasilkan
besaran vektor yang tegak lurus terhadap dua
vektor yang dikali silang, memiliki definisi:
̅ = |a||b|sinθ e̅
a̅ × b
Perkalian vektor dengan vektor basis dengan a̅
̅ = (x2, y2, z2) diketahui dapat
= (x1, y1, z1) dan b
dihitung:
i
a × b = |x1
x2
k i
z1 | x1
z2 x2
j
y2
y2
̅ = (y1.z2 – y2.z1) i + (z1.x2 – z2.x1) j +
a̅ × b
(y1.x2 – y2.x1) k
Sifat-sifat perkalian vektor:
Identitas
a×a=0
i×i=j×j=k×k=0
Vektor
satuan
AntiKomutatif
i×j=k
j×k=i
k×i=j
j × i = -k
k × j = -i
i × k = -j
a×b≠b×a
a × b = -(b × a)
a × (b ± c) = (a × b) ± (a × c)
Distributif
k. a̅ = k.|a̅ |
j
y1
y2
(b ± c) × a = (b × a) ± (c × a)
VEKTOR
2
MAT 3
materi78.co.nr
Sudut dua vektor dapat dicari menggunakan
perkalian skalar.
cosθ =
E.
2) Koplanar, yaitu ketiga titik terletak pada satu
bidang, berlaku:
̅ = p.a̅ +q.c̅
b
̅ +n.c̅
a̅ = m.b
̅
a̅ • b
̅|
|a̅ ||b
̅
c̅ = r.a̅ +s.b
dst.
Dalil Menelaus pada perbandingan ruas garis:
PERBANDINGAN VEKTOR
C
Perbandingan vektor pada ruas garis dapat
memenuhi dua ketentuan:
F
1) Titik C membagi ruas garis AB pada ruas
garis
E
B
̅
b
.
A
a̅
F.
Perbandingan ruas garis
̅̅̅̅ : ̅̅̅̅
AC
CB = m : n
.
DB EC FA
m
=1
AC FE DB
.
.
CF ED BA
=1
PROYEKSI VEKTOR
Proyeksi vektor adalah penjatuhan ujung suatu
vektor secara tegak lurus terhadap suatu acuan.
(sama tanda)
Vektor pembagi ruas garis
c̅ =
D
B
AD BE CF
C
c̅
O
A
n
̅
b
̅ +n.a̅
m.b
m+n
2) Titik C membagi ruas garis AB di luar ruas
garis
B
O
c̅
a̅
Proyeksi vektor pada suatu vektor/ruas garis
lain disebut proyeksi ortogonal.
Proyeksi ortogonal terdiri dari:
̅
b
1) Proyeksi vektor ortogonal, adalah vektor
baru hasil penjatuhan vektor secara tegak
lurus.
n
a̅
O
A
m
c̅
C
Perbandingan ruas garis
2) Proyeksi skalar ortogonal, adalah panjang
vektor baru.
̅̅̅̅
AC : ̅̅̅̅
CB = m : -n
Vektor pembagi ruas garis
c̅ =
|c̅| =
̅ -n.a̅
m.b
Ketentuan
letaknya:
̅
a̅ • b
̅
c̅ = [ 2 ]. b
̅|
|b
̅
a̅ • b
̅|
|b
m-n
perbandingan
vektor
menurut
1) Kolinear, yaitu ketiga titik satu terletak pada
satu garis, berlaku:
̅̅̅̅
AB = k. ̅̅̅̅
AC
̅̅̅̅
AC = m. ̅̅̅̅
AB
̅̅̅̅
AC = n. ̅̅̅̅
CB
dst.
VEKTOR
3