Diferensiasi Vektor
advertisement
Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor DIFERENSIASI VEKTOR Materi pokok pertemuan ke 5 : 1. Turunan biasa fungsi vektor URAIAN MATERI Fungsi Vektor Jika sembarang nilai skalar t dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan sebagai fungsi vektor dari t atau , yaitu suatu vektor yang komponen-komponennya merupakan fungsi dari nilai skalar t. Dalam R2, fungsi vektor biasa ditulis dengan, dalam R3, fungsi vektor ditulis dengan, Konsep fungsi vektor ini bisa diperluas, jika sembarang titik (x,y,z) di R3 dikaitkan dengan suatu vektor , maka bisa dinyatakan dalam bentuk fungsi vektor sebagai berikut: Setelah kita mengetahui fungsi vektor, maka selanjutnya kita pelajari turunan biasa dari fungsi vektor. Turunan Biasa Masih ingat apa saja yang termasuk vektor? Coba sebutkan! Ya, kecepatan, percepatan, gaya, dan perpindahan termasuk vektor. Sekarang pada kegiatan belajar ini, kita fokuskan pada perpindahan, kecepatan, dan percepatan. Pernahkah Anda naik alat transportasi pada gambar di samping? Kalau pernah, kemana saja Anda pergi menggunakan alat transportasi tersebut? Pernahkah Anda ke Jakarta menggunakannya? Pesawat yang terbang dengan rute Padang-Jakarta berarti pesawat Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 49 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor tersebut melakukan perpindahan dengan titik awalnya Padang dan titik akhirnya Jakarta. Pesawat melakukan perpindahan karena pesawat memiliki kecepatan dan percepatan. Hubungan apa yang kita dapatkan dari perpindahan, kecepatan, dan percepatan? Kecepatan merupakan perpindahan benda tiap selang waktu tertentu atau bisa dikatakan turunan dari perpindahan sebagai fungsi waktu. Percepatan merupakan hasil bagi antara perubahan kecepatan dengan selang waktu berubahnya kecepatan tersebut atau dapat dikatakan turunan kecepatan sebagai fungsi waktu. Berikut definisi turunan vektor: Definisi Turunan Vektor adalah sebuah fungsi vektor yang bergantung pada sebuah variabel , didefinisikan turunan dari sebagai berikut: ... 3.1 jika limitnya ada. Jika fungsi vektor dengan fungsi skalarfungsi skalar , , dan dapat diferensialkan terhadap variabel , maka mempunyai turunan variabel terhadap yang dirumuskan sebagai berikut: ... 3.2 Selanjutnya, Anda pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan fungsi vektor. Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 50 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Sifat-sifat turunan biasa fungsi vektor: Jika , , dan adalah fungsi-fungsi vektor dari sebuah skalar t yang diferensiabel dan sebuah fungsi skalar dari t yang diferensiabel, maka i. ii. iii. iv. v. vi. Bukti: Untuk membuktikan sifat-sifat dari turunan biasa, kita dapat menggunakan definisi turunan biasa dari fungsi vektor 3.1. i. ii. iv. Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 51 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Pembuktian iii, v, dan vi dijadikan latihan untuk Anda. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika , tentukan Penyelesaian Contoh 2 Buktikan sifat Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 52 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Contoh 3 Jika . Tentukan di t = 0 Penyelesaian Cara 1 pada saat t = 0, maka Cara 2 (menggunakan sifat turunan) pada saat t = 0, maka Contoh 4 Jika pada titik tentukan vektor singgung satuan . Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 53 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Vektor singgung satuan (T) Saat , maka LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika , carilah pada saat t = 0 Penyelesaian (a) saat t = 0, maka (b) saat t = 0, maka (c) Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 54 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor (d) Latihan 2 Carilah kecepatan dan percepatan sebuah partikel yang bergerak sepanjang kurva pada sebarang saat . Carilah besarnya kecepatan dan percepatan Penyelesaian Vektor posisi dari pergerakan partikel Kecepatan diperoleh dari turunan pertama Misalkan Percepatan diperoleh dari turunan pertama Misalkan Jadi, besarnya kecepatan adalah dan percepatan . Latihan 3 Jika dan , carilah Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 55 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Jika Tentukan dan pada saat . Penyelesaian Latihan 2 Carilah Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 56 STKIP PGRI SUMBAR . Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Latihan 3 Carilah vektor singgung satuan di sebarang dimana titik pada kurva adalah konstanta- konstanta. Penyelesaian Latihan 4 Jika , carilah A bila saat dan diketahui bahwa saat Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 57 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Kunci Jawaban Latihan 1 : -30i + 14j + 20k Latihan 2 : Latihan 3 : Latihan 4 : Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 58 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Materi pokok pertemuan ke 6 : 2. Turunan parsial fungsi vektor URAIAN MATERI Turunan parsial Turunan parsial untuk fungsi vektor dua variabel atau lebih, prinsipnya sama dengan definisi turunan fungsi vektor satu variabel, dimana semua variabel dianggap konstan, kecuali satu, yaitu variabel terhadap apa fungsi vektor itu diturunkan. Misalkan adalah sebuah fungsi vektor yang tergantung kepada variabel skalar , , dan , maka kita tuliskan . Ketiga turunan parsialnya didefinisikan sebagai berikut: ... 3.3 adalah masing-masing turunan parsial dari limitnya ada. terhadap , , dan jika Jika fungsi vektor dengan fungsi skalar-fungsi skalar , , dan mempunyai turunan parsial terhadap variabel , , dan , maka juga mempunyai turunan variabel terhadap , , dan yang dirumuskan sebagai berikut: ... 3.4 Selanjutnya pelajari sifat-sifatnya. Berikut sifat-sifat turunan parsial: Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 59 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Sifat-sifat turunan parsial: Misalkan , dan dan adalah fungsi-fungsi vektor dan adalah fungsi skalar , dan dapat dideferensialkan terhadap ketiga variabel tersebut, maka berlaku i. ii. iii. iv. v. Bukti: i. Berdasarkan definisi 3.3, maka Sehingga ii. Untuk membuktikannya, kita dapat menggunakan definisi 3.3. Maka Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 60 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Sehingga atau Pembuktian iii, iv, dan v dijadikan tugas buat Anda. Aturan Rantai Misalkan adalah fungsi vektor yang dapat dideferensialkan terhadap variabel , , dan , dimana , , dan adalah fungsi-fungsi skalar yang dapat dideferensialkan terhadap variabel , , dan , maka bentuk fungsi tersusun dapat dituliskan dengan Turunan parsial berikut: terhadap variabel , , dan dapat diberikan sebagai ... 3.5 Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 61 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Jika , tentukanlah (a) , (b) , (c) Penyelesaian (a) (b) (c) Contoh 2 Misalkan . Tentukan(a) ,(b) ,(c) Penyelesaian (a) (b) (c) Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 62 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Contoh 3 Jika , dengan dan , tentukan dan nyatakan dalaam bentuk s dan t. Penyelesaian LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Jika . Tentukan Penyelesaian Latihan 2 Jika , , tentukan Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 63 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Jika , carilah Penyelesaian Latihan 2 Jika dan , carilah di titik (1,0,-2) Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 64 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Latihan 3 Misalkan Tentukan (a) , , (b) dimana , (c) Penyelesaian Latihan 4 Jika , tentukanlah (a) , (b) , (c) Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 65 STKIP PGRI SUMBAR . Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 66 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Kunci Jawaban Latihan 1 : , , , , Latihan 2 : Latihan 3 : (a) (b) (c) Latihan 4 : (a) (b) (c) Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 67 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Materi pokok pertemuan ke 7 : 3. Rumus Frenet-Serret URAIAN MATERI Vektor Singgung Satuan Misalkan adalah vektor posisi menghubungkan titik pangkal dengan sebarang titik ruang R3. Jika adalah sebuah vektor yang searah dengan yang dalam berubah, maka . Sedangkan adalah sebuah vektor yang searah dengan arah garis singgung pada kurva ruang di . Jika adalah vektor singgung satuannya, maka Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 68 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Rumus Frenet-Serret Jika kurva C dalam ruang oleh kurva adalah sebuah kurva ruang yang didefinisikan , maka kita telah mengetahui bahwa adalah sebuah vektor yang searah dengan garis singgung pada C. Jika skalar u diambil sebagai panjang busur s yang diukur dari suatu titik pada C, maka ... 3.6 adalah sebuah vektor singgung satuan pada C. Laju perubahan terhadap s adalah ukuran dari kelengkungan C dan dinyatakan dengan Arah dari pada sebarang titik pada C adalah normal terhadap kurva pada titik tersebut. Jika adalah sebuah vektor satuan dalam arah normal ini, maka disebut normal utama pada kurva. Jadi dimana Besaran disebut kelengkungan dari C pada titik yang dispesifikasikan. ... 3.7 disebut jari-jari kelengkungan. Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 69 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Vektor satuan sehingga yang tegak lurus pada bidang dan sedemikian rupa ... 3.8 disebut binormal terhadap kurva. Dari sini diperoleh bahwa , , dan membentuk sebuah sistem koordinat tegak lurus tangan kanan pada sebarang titik dari C. Himpunan relasi-relasi yang mengandung turunan-turunan dari vektorvektor , , dan dikenal sebagai rumus Frenet-Serret yang diberikan oleh ... 3.9 dimana adalah sebuah skalar yang disebut torsi. Besaran ... 3.10 disebut jari-jari torsi. CONTOH SOAL Agar lebih memahami materi di atas, pelajari contoh soal di bawah ini Contoh 1 Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) normal utama N, kelengkungan dan jari-jari kelengkungan , (c) Binormal B, torsi , dan jari-jari torsi untuk kurva ruang . Penyelesaian (a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah , maka Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 70 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Jadi (b) karena , maka dan dari , diperoleh (c) dari , diperoleh Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 71 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor LATIHAN TERBIMBING Kerjakan latihan berikut ini dengan melengkapi bagian yang kosong Latihan 1 Diketahui . Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) normal utama N, dan (d) Binormal B Penyelesaian (a) Vektor kedudukan dari sebarang titik pada kurva adalah , maka Jadi (b) karena , maka Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 72 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor (c) dari , diperoleh (d) Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 73 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor LATIHAN MANDIRI Kerjakan latihan berikut di tempat kosong yang tersedia Latihan 1 Tentukan torsi dari Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 74 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Latihan 2 Carilah (a) vektor singgung satuan T, (b) kelengkungan , (c) jari-jari kelengkungan , (d) normal utama N, (e) Binormal B, dan (f) torsi , untuk kurva Penyelesaian Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 75 STKIP PGRI SUMBAR Buku Kerja 3 Diferensiasi Vektor Kunci Jawaban Latihan 1 :0 Latihan 2 : Kesimpulan Setelah mengerjakan soal-soal di atas buatlah kesimpulan dari materi ini pada tempat kosong di bawah Program Studi Pendidikan Matematika Created by: Rahima & Anny 76 STKIP PGRI SUMBAR
