vektor

Vektor
besaran yang mempunyai nilai dan arah
penjumlahan vektor
pengurangan vektor
operasi aljabar
vektor
VEKTOR
perkalian skalar
perkalian vektor
pembagian ruas garis
kesamaan dua vektor
proyeksi skalar ortogonal
proyeksi vektor
proyeksi vektor ortogonal
Standart Kompetensi
3. Menggunakan konsep matrik, vektor dan transformasi dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar
3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vektor dalam pemecahan masalah.
3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dan vektor dalam
pemecahan masalah.
Indikator
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Mengenal arti vektor
Menentukan operasi aljabar vektor
Menggunakan rumus perbandingan vektor
Menentukan hasil kali skalar vektor
Menentukan proyeksi skalar ortogonal
Menentukan proyeksi vektor ortogonal
33 |Matematika SMA XII (1)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Vektor
VEKTOR
 Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai nilai (besar) dan arah.
Ada beberapa cara penulisan vektor:
a) Huruf kecil dengan tanda panah di atasnya (𝑎⃗)
b) Huruf kecil dengan garis bawah (a)
c) Huruf kecil tebal (a)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )
d) Pasangan huruf kapital dengan tanda panah di atasnya (𝐴𝐵
Example:
𝑎⃗
 Notasi Vektor
𝑥
𝑎⃗ = x 𝑖⃗ + y 𝑗⃗ + 𝑧 𝑘⃗⃗ = (𝑦) = (𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝑧
Panjang Vektor
|𝑎⃗| = √𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2
Vektor Posisi
𝑦
𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 )
Titik koordinat = komponen vektor
𝑥𝑎
𝑎⃗ = (𝑦 )
𝑎
𝑎⃗
𝑥
Vektor pada Dua Titik
𝑦
𝐴(𝑥𝑎 , 𝑦𝑎 )
𝑎⃗
𝑥𝑏 − 𝑥𝑎
AB = 𝑏⃗⃗ − 𝑎⃗ = (𝑦 − 𝑦 )
𝑏
𝑎
𝐵(𝑥𝑏 , 𝑦𝑏 )
𝑏⃗⃗
𝑥
34 |Matematika SMA XII (1)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
(
Type equation here.
)
Vektor
Contoh Soal
1. Perhatikan gambar berikut, PQ adalah sebuah vektor dengan titik pangkal P dan
titik ujung Q
a) Nyatakan PQ dalam bentuk vektor kolom
b) Nyatakan PQ dalam bentuk 𝑖⃗, 𝑗⃗ (vektor satuan)
c) Tentukan modulus atau panjang vektor PQ
2. Diketahui titik A= (0,0,0) ; B= (-1,1,0) dan C= (1,-2,2). Tentukan:
a) Vektor AB
b) Panjang vektror AB
c) Vektor AC
d) Panjang vektor AC
 Operasi Aljabar Vektor
 Penjumlahan Vektor
𝑎1
𝑎1
𝑎1 𝑏1
𝑏1
𝑏1
Jika 𝑢
⃗⃗ = (𝑎2 ) dan 𝑣⃗ = (𝑏2 ) maka 𝑢
⃗⃗ + 𝑣⃗ = (𝑎2 ) + (𝑏2 ) = (𝑎2 + 𝑏2 )
𝑎3
𝑎3
𝑎3 𝑏3
𝑏3
𝑏3
 Pengurangan Vektor
𝑎1
𝑎1
𝑎1 𝑏1
𝑏1
𝑏1
Jika 𝑢
⃗⃗ = (𝑎2 ) dan 𝑣⃗ = (𝑏2 ) maka 𝑢
⃗⃗ − 𝑣⃗ = (𝑎2 ) − (𝑏2 ) = (𝑎2 − 𝑏2 )
𝑎3
𝑎3
𝑎3 𝑏3
𝑏3
𝑏3
 Perkalian Skalar Dua Vektor (Perkalian titik / Dot Product)
Jika 𝜃 sudut antara vektor a dan b, maka :
𝑎⃗ . 𝑏⃗⃗ = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝜃
atau
cos 𝜃 =
𝑎̅ . 𝑏̅
|𝒂
̅||𝑏̅ |
𝑎1
𝑏1
Jika 𝑎̅ = (𝑎2 ) dan 𝑏̅ = (𝑏2 ) maka 𝑎̅ . 𝑏̅ = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 +𝑎3 𝑏3
𝑎3
𝑏3
35 |Matematika SMA XII (1)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Vektor
⃗⃗ = 0 maka 𝑎⃗ tegak lurus 𝑏⃗⃗
Jika 𝑎⃗ . 𝑏
⃗⃗
Jika 𝑎⃗ dan 𝑏⃗⃗ adalah vektor-vektor tak nol yang saling sejajar maka 𝑎⃗ = 𝒎𝑏
m = bilangan real
 Perkalian Vektor (Perkalian Silang / Cross Product)
“Dua vektor harus tegak lurus”
𝑎⃗ x 𝑏⃗⃗ = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| sin 𝜃
𝑖⃗
̅
𝑎̅ 𝑥 𝑏 = |𝑎1
𝑏1
⃗⃗
𝑗⃗ 𝑘
𝑎 2 𝑎3 |
𝑏2 𝑏3
 Pembagian Ruas Garis
Vektor a, p, b masing-masing vektor posisi A, P,
B. Titik P terletak antara garis AB dan membagi
ruas garis AB sehingga
𝑝⃗ =
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝐴𝑃
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑃𝐵
=
𝑚
𝑛
⃗⃗
𝑛 𝑎⃗⃗+ 𝑚 𝑏
𝑛+𝑚
Kesamaan Dua Vektor
Vektor 𝑢
⃗⃗ 𝑑𝑎𝑛 𝑣⃗ dikatakan sama jika keduanya mempunyai panjang dan arah yang
sama.
𝑎1
𝑏1
Vektor 𝑢
⃗⃗ = (𝑎2 ) dan 𝑣⃗ = (𝑏2 ) sama jika dan hanya jika 𝑎1 = 𝑏1, 𝑎2 = 𝑏2 , dan 𝑎3 =
𝑎3
𝑏3
𝑏3
Contoh Soal
2
6
1. Ditentukan vektor 𝑝⃗ = ( ) dan 𝑞⃗ = ( ), nyatakan vektor-vektor berikut:
3
1
a. 𝑃⃗⃗ + 2𝑞⃗
b. 2𝑝⃗ − 𝑞⃗
c.
1
2
(𝑝⃗ − 𝑞⃗)
⃗⃗ dan 𝑣⃗ = 𝑖⃗ + 3𝑗⃗ − 2𝑘
⃗⃗ maka 𝑢
2. Jika 𝑢
⃗⃗ = 6𝑖⃗ − 5𝑗⃗ + 4𝑘
⃗⃗ + 3𝑣⃗ adalah.......
36 |Matematika SMA XII (1)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Vektor
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ =
3. Diketahui koordinat titik P (2, –1), Q (2, 5) dan R (4, –2). Jika 𝑎⃗ = 𝑃𝑄
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ maka 1 𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗ = .......
𝑄𝑅
2
⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ + 𝑗⃗ − 4𝑘
⃗⃗ . Panjang vektor 2𝑎⃗ − 𝑏⃗⃗ adalah....
4. Diketahui 𝑎⃗ = 𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 3𝑘
4
−2
5. Diketahui 𝑢
⃗⃗ = ( 1 ) dan 𝑣⃗ = ( 3 ). Jika 3𝑢
⃗⃗ − 𝑤
⃗⃗⃗ = 2𝑣⃗, vektor 𝑤
⃗⃗⃗ = .......
−2
−4
6. Hitunglah nilai 𝑎⃗ . 𝑏⃗⃗ jika diketahui:
−3
−2
a) 𝑎⃗ = (−2) dan 𝑏⃗⃗ = ( 0 )
1
3
⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ − 4𝑗⃗ + 3𝑘
⃗⃗
b) 𝑎⃗ = 𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 3𝑘
⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 5𝑖⃗ + 2𝑗⃗ − 4𝑘
⃗⃗
c) 𝑎⃗ = 3𝑗⃗ − 4𝑘
3
2
7. Jika 𝑝⃗ = (−2) dan 𝑞⃗ = (𝑥 ) saling tegak lurus, tentukanlah nilai x!
1
4
8. Besar sudut antara vektor a = 2i − j + 3k dan b = i + 3j − k adalah....
Kaji Soal
⃗⃗ dan 𝑣⃗ = 3𝑖⃗ + 2𝑗⃗ − 5𝑘
⃗⃗ maka 2𝑢
1. Jika 𝑢
⃗⃗ = 4𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘
⃗⃗ − 3𝑣⃗ adalah.......
⃗⃗ , dan 𝑐⃗ = −5𝑗⃗. Jika 3( 𝑎⃗ − 2𝑏⃗⃗ + 𝑐⃗ ) =
2. Diketahui vektor 𝑎⃗ = 𝑥𝑖⃗ + 4𝑗⃗, 𝑏⃗⃗ = 2𝑗⃗ + 2𝑦𝑘
⃗⃗ , maka nilai x – y = ......
−9𝑖⃗ − 15𝑗⃗ + 6𝑘
3. Ditentukan A(4 , 7 , 0) , B(6 , 10 , –6) dan C(1 , 9 , 0). AB dan AC wakil-wakil
dari vektor u dan v. Besar sudut antara u dan v adalah.... (Ebtanas 1989)
c. 1/2 π
a. 0
b.
1/
4
π
e. π
d. ¾ π
4. Diberikan tiga buah vektor masing-masing:
⃗⃗
𝑎⃗ = 6𝑝𝑖⃗ + 2𝑝𝑗⃗ − 8𝑘
⃗⃗
𝑏⃗⃗ = −4𝑖⃗ + 8𝑗⃗ + 10𝑘
⃗⃗
𝑐⃗ = −2𝑖⃗ + 3𝑗⃗ − 5𝑘
Jika vektor 𝑎⃗ tegak lurus 𝑏⃗⃗, maka vektor 𝑎⃗ − 𝑐⃗ adalah.....
⃗⃗ ,
5. Diketahui 𝑎⃗ = 𝑖⃗ + 2𝑗⃗ − 𝑥𝑘
⃗⃗ , dan 𝑐⃗ = 2𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 2𝑘
⃗⃗ . Jika 𝑎⃗ tegak
𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 𝑘
lurus 𝑐⃗ maka (𝑎⃗ + 𝑏⃗⃗)(𝑎⃗ − ⃗⃗⃗⃗
𝑐) adalah...... (UN 2011/2012)
a. – 4
c. 0
b. – 2
d. 2
e. 4
37 |Matematika SMA XII (1)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Vektor
6. Diketahui titik A (5, 1, 3), B (2, –1, –1), dan C (4, 2, –4). Besar sudut ABC =
....(UN 2010/2011)
a. 𝜋
b.
c.
𝜋
𝜋
e. 0
3
𝜋
d. 6
2
⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 3𝑗⃗. Besar sudut antara vektor 𝑎⃗
7. Diketahui vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 2𝑘
dan 𝑏⃗⃗ adalah ....... (UN 2011/2012)
a. 30o
c. 60o
b. 45o
d. 90o
e. 120o
8. Diketahui segitiga ABC dengan A(2, 1, 2), B(6, 1, 2), dan C(6, 5, 2). Jika 𝑢
⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ dan 𝑣⃗ mewakili 𝐴𝐶
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , maka sudut yang dibentuk oleh vektor 𝑢
mewakili 𝐴𝐵
⃗⃗ dan 𝑣⃗
adalah …
 Proyeksi Vektor
 Proyeksi Skalar Ortogonal
B
Misal ⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑂𝐴 adalah wakil dari 𝑎⃗
𝑏⃗⃗
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah wakil dari 𝑏⃗⃗
dan 𝑂𝐵
B’ merupakan proyeksi titik B pada
O
𝜃
B’
𝑎⃗
garis OA.
A
cos 𝜃 =
𝑂𝐵′
𝑂𝐵
=
𝑂𝐵′
⃗⃗|
|𝑏
(skalar)
Dari teorema perkalian skalar
𝑎⃗ . 𝑏⃗⃗ = |𝑎⃗||𝑏⃗⃗| cos 𝜃
⃗⃗
𝑎⃗⃗ . 𝑏
|𝑏⃗⃗| cos 𝜃 = |𝑎⃗⃗|
Jadi, proyeksi skalar ortogonal (Panjang proyeksi) suatu vektor pada vektor lain
dirumuskan:
=
⃗⃗
𝑎⃗⃗ . 𝑏
|𝑎⃗⃗|

Proyeksi skalar ortogonal 𝑏⃗⃗ pada 𝑎
⃗

⃗⃗
𝑎⃗⃗ . 𝑏
⃗⃗
Proyeksi skalar ortogonal 𝑎⃗ pada 𝑏 =
⃗⃗
|𝑏 |
 Proyeksi Vektor Ortogonal
Jika . 𝑒⃗ adalah vektor satuan yang searah dengan 𝑎⃗, maka 𝑎⃗ dapat dinyataka
sebagai berikut:
38 |Matematika SMA XII (1)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Vektor
𝑎⃗ = |𝑎⃗|𝑒⃗
atau
𝑎⃗⃗
𝑒⃗ = |𝑎⃗⃗|
(persamaan 1)
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ adalah wakil dari vektor yang merupakan proyeksi vektor ortogonal 𝑏⃗⃗ pada
𝑂𝐵′
𝑎⃗ dan diperoleh
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗| = |𝑏⃗⃗| cos 𝜃 = 𝑎⃗⃗ . 𝑏⃗⃗
|𝑂𝐵′
|𝑎⃗⃗|
⃗⃗
𝑎⃗⃗ . 𝑏
Dengan demikian, proyeksi vektor ortogonal 𝑏⃗⃗ pada 𝑎⃗ = |𝑎⃗⃗| 𝑒⃗ (persamaan 2)
Dari persamaan 1 dan persamaan 2 diperoleh:

Proyeksi vektor ortogonal 𝑏⃗⃗ pada 𝑎
⃗
=
⃗⃗ 𝑎⃗⃗
𝑎⃗⃗ . 𝑏
|𝑎⃗⃗| |𝑎⃗⃗|
=

⃗⃗
Proyeksi vektor ortogonal 𝑎⃗ pada 𝑏
=
⃗⃗
𝑎⃗⃗ . 𝑏
⃗⃗|
|𝑏
=
⃗⃗
𝑏
⃗⃗|
|𝑏
⃗⃗
𝑎⃗⃗ . 𝑏
|𝑎⃗⃗|2
⃗⃗
𝑎⃗⃗ . 𝑏
2
⃗⃗|
|𝑏
𝑎⃗
𝑏⃗⃗
Contoh Soal
−3
1
1. Diketahui 𝑎⃗ = ( 4 ) dan 𝑏⃗⃗ = ( 2 )
−5
−2
Tentukan:
a) Proyeksi skalar ortogonal 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗
b) Proyeksi skalar ortogonal 𝑏⃗⃗ pada 𝑎⃗
2. Tentukan proyeksi vektor ortogonal 𝑢
⃗⃗ pada 𝑣⃗. Jika 𝑢
⃗⃗ = −3𝑖⃗ + 3𝑗⃗ dan 𝑣⃗ =
−5𝑖⃗ + 5𝑗⃗.
Kaji Soal
⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 3𝑖⃗ + 3𝑗⃗. Panjang proyeksi vektor 𝑎⃗
1. Diketahui vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 2𝑗⃗ + 2𝑘
pada vektor 𝑏⃗⃗ adalah ….
⃗⃗ , maka vektor proyeksi
2. Diketahui vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ − 8𝑗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 2𝑘
orthogonal vektor 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ adalah ….
3. Diketahui
vektor
dan
⃗⃗
𝑎⃗ = 5𝑖⃗ + 6𝑗⃗ + 𝑘
dan
⃗⃗ .
𝑏⃗⃗ = 𝑖⃗ − 2𝑗⃗ − 2𝑘
Proyeksi
orthogonal vektor 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ ...... (UN 2012)
⃗⃗ dan 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 3𝑘
⃗⃗ , adalah......
4. Proyeksi orthogonal vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ + 𝑗⃗ + 3𝑘
(UN 2012)
⃗⃗ dan vektor 𝑏⃗⃗ = 2𝑖⃗ − 6𝑗⃗ + 4𝑘
⃗⃗ . Proyeksi
5. Diketahui vektor 𝑎⃗ = 4𝑖⃗ − 2𝑗⃗ + 2𝑘
orthogonal vektor 𝑎⃗ pada 𝑏⃗⃗ adalah.... (UN 2011)
39 |Matematika SMA XII (1)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari
Vektor
⃗⃗
a. 𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 𝑘
⃗⃗
c. 𝑖⃗ − 4𝑗⃗ + 4𝑘
⃗⃗
b. 𝑖⃗ − 3𝑗⃗ + 2𝑘
⃗⃗
d. 2𝑖⃗ − 𝑗⃗ + 𝑘
⃗⃗
e. 6𝑖⃗ − 8𝑗⃗ + 6𝑘
40 |Matematika SMA XII (1)/MA Nurul Huda/By Triyanti Mandasari