transformasi linier pada ruang bana - e

TRANSFORMASI LINIER PADA RUANG BANACH
Nur Aeni, S.Si., M.Pd
Jurusan Matematika,
Fakultas Sains dan Teknologi, UINAM
[email protected]
ABSTRAK
Info:
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1
Edisi: Januari – Juni 2014
Artikel No.: 2
Halaman: 9 - 14
ISSN: 2355-083X
Prodi Matematika UINAM
Suatu fungsi dari suatu ruang vektor ke dalam ruang vektor lain disebut
trasnsformasi. Jadi transformasi linier merupakan fungsi linier antar ruang
vektor. Tujuan penelitian ini adalah mengkaji transformasi linier pada
Ruang Banach. Berdasarkan tujuan penelitian maka diperoleh Suatu
transformasi T : V → W dari suatu ruang Banach (V, ‖. ‖𝑣 ) ke ruang Banach
(W, ‖. ‖𝑤 ) dikatakan kontinu di x0, jika untuk setiap 𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0
sehingga setiap x 𝜖 𝑉 dengan ‖𝑥 − 𝑥0 ‖𝑣 < 𝛿 berlaku ‖𝑇(𝑥) − 𝑇(𝑥0 )‖𝑤 <
𝜀. Transformasi T dikatakan kontinu di setiap titik pada V. Misalkan X dan
Y dua ruang banach dan T : X → Y suatu transformasi linier. Jika T kontinu
di suatu titik pada X maka T kontinu pada X. Jika T : X → X, T kontinu di
y 𝜖 X, jika dan hanya jika setiap (xn) konvergen ke y berakibat barisan (Txn)
konvergen ke Ty. Jika V dan W ruang Banach dan T : V → W transformasi
linier kontinu, norma dari T dinotasikan dengan ‖𝑇‖ didefinisikan sebagai
‖𝑇‖ = sup{‖𝑇𝑥‖𝑤 ∶ ‖𝑥‖𝑣 ≤ 1} dan Misalkan X dan Y dua ruang linier
bernorma dan pemetaan T : X → Y adalah kontinu pada X jika dan hanya
jika T terbatas.
Kata Kunci: Ruang Vektor, Ruang Banach, dan Transformasi Linier
1. PENDAHULUAN
Suatu fungsi dari suatu ruang vektor ke dalam
ruang vektor lain disebut trasnsformasi. Jadi
transformasi linier merupakan fungsi linier antar
ruang vektor. Selanjutnya Ruang Banach
merupakan ruang bernorma yang lengkap.
Dalam penelitian ini akan dikaji transformasi
linier pada Ruang Banach.
Misalkan X dan Y dua ruang Banach atas K.
Transformasi T : X → Y dikatakan linier jika
untuk setiap α, β, 𝜖 K dan x, y 𝜖 X berlaku
T (α.x + β.y) = α. T(x) + β. T(y). Transformasi
linier jika dari ruang Banach X ke himpunan
skalar K disebut fungsional linier pada X. Jika f
funsional linier pada X ke K, maka f (α.x+β.y)=α.
f (x) + β. f(y), ∀ x, y 𝜖 X dan ∀ α, β, 𝜖 K jika
T : X → Y linier maka T (0) = 0 dan
T (-x) = -T(x), sebab T(0) = T (x – x)
= T (x) – T(x) = 0 dan T (-x) = T (0 – x)
= T(0) – T (-x) = 0 – T (-x) = -T(x). Berdasarkan
hal tersebut, penulis tertarik mengkaji
“Transformasi Linier pada Ruang Banach”.
2. TINJAUAN PUSTAKA
RUANG VEKTOR
Suatu himpunan menjadi ruang vektor jika
himpunan tersebut dilengkapi dengan dua
operasi yaitu operasi tambah dan operasi kurang
perkalian “skalar” dan memenuhi beberapa
aksioma tertentu. Himpunan ini juga harus
tertutup terhadap kedua operasi ini artinya jika V
suatu himpunan sebarang dan R suatu himpunan
skalar maka kedua operasi tersebut harus
memenuhi definisi berikut:
Definisi 2.1 (Berberian, 1961 : 3)
Ruang vektor V atas R adalah himpunan obyekobyek x, y, z, ... disebut vektor. Vektor nol
dinotasikan dengan 𝜃, untuk setiap vektor x,
negatif dari x dinotasikan dengan –x. Aksiomaaksioma berikut diasumsikan berlaku:
9
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
(A)
Untuk setiap pasangan vektor x, y di V
(ii) Jika z + z = z maka z = 𝜃
terdapat vektor yang disebut “jumlah x
(iii) 𝜆𝜃 = 𝜃 untuk setiap skalar 𝜆
dan y”, dinotasikan x + y di V, dan
(iv) 0x = 𝜃 untuk setiap vektor x
berlaku:
(v) Jika 𝜆𝑥 = 𝜃 maka 𝜆 = 0 atau x = 𝜃
(A1) x + y = y + x untuk setiap x, y 𝜖 V
(A2) x + (y + z) = (x + y) + z untuk
setiap x, y, z 𝜖 V
(i) Jika y, z adalah vektor maka x = z +
(-y)
adalah
dari
x + y = z, sebab x + y = [z + (-y)] + y
sedemikian sehingga x + 𝜃 = x untuk
= z +[(-y) + y] = z + 𝜃. Selanjutnya
setiap x 𝜖 V
jika x1 dan x2 penyelesaian dari
x + y = z maka
x1 + y = z =
dengan tunggal –x 𝜖 V yang
x2 + y. Diperoleh
disebut negatif x sedemikian
=
sehingga x + (-x) = 𝜃
x1 + [ y + (-y)] = x2 + [ y + (-y)], x1 +
(x2
+
(x1 + y) + (-y)
y)
+
(-y),
Untuk setiap skalar 𝜆 dan setiap vektor x
𝜃 = x2 + 𝜃, x1 + x2. Jadi persamaan
di V, terdapat vektor disebut “hasil kali x
x + y = z mempunyai tepat satu
dengan 𝜆”, dinotasikan dengan 𝜆x di V,
penyelesaian.
dan berlaku:
(M1) 𝜆 (x + y) = 𝜆x + 𝜆y, untuk setiap x, y 𝜖 V
dan 𝜆 adalah skalar
(M2) (𝜆 + 𝜇) x = 𝜆x + 𝜇x, untuk setiap x 𝜖 V
dan 𝜆, 𝜇 adalah skalar
(M3) (𝜆𝜇) x = 𝜆( 𝜇x ), untuk setiap x 𝜖 V dan
𝜆, 𝜇 adalah skalar
(M4) 1 . x = x untuk setiap x 𝜖 V
Sebagai catatan x + (-y) biasa ditulis dengan
x–y
Teorema 2. 2 (Berberian, 1961: 6)
(ii) 𝜃 adalah penyelesaian dari z + z = z
sebab 𝜃 + z = z. Berdasarkan (i)
z
(i) Persamaan vektor x + y = z
=
𝜃
satu-satunya
(iii) 𝜆𝜃 = 𝜆(𝜃 + 𝜃) = 𝜆𝜃 + 𝜆𝜃.
berdasarkan (ii), 𝜆𝜃 = 𝜃.
(iv) 0x = (0 + 0)x = 0x + 0x . berdasarkan
(ii), 0x = 𝜃.
(v) Diberikan 𝜆𝑥 = 𝜃.
Jika 𝜆 = 0 maka bukti selesai.
Jika 𝜆 ≠ 0 maka terdapat
1
𝜆
sehingga
1
𝜆. 𝜆 = 1.
1
Jadi
𝜆
mempunyai satu dan hanya satu
1
penyelesaian x
adalah
penyelesaian dari z + z = z.
Untuk sebarang ruang vektor:
10
penyelesaian
(A3) Terdapat dengan tunggal 𝜃 𝜖 V
(A4) Untuk setiap x 𝜖 V, terdapat
(M)
Bukti:
1
1
. 𝜆𝑥 = (𝜆) . 𝜃, (𝜆 . 𝜆) 𝑥 =
(𝜆) . 𝜃, 1. 𝑥 = 𝜃, 𝑥 = 𝜃
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
Akibat 2.3 (Berberian, 1961: 7)
Untuk sebarang ruang vektor V beerlaku:
vektor. Pengertian norma dan suatu ruang vektor
akan didefinisikan sebagai beriktu:
(i) (-𝜆)x = 𝜆(−𝑥) = -(𝜆𝑥)
Definisi 2.4 (Nababan, 1992 : 13)
(ii) 𝜆(x – y) = 𝜆x – 𝜆y
Misalkan V suatu ruang vektor atas R . Suatu
(iii) (𝜆 − 𝜇)x = 𝜆x – 𝜇x
pemetaan ‖. ‖: 𝑉 → 𝑅 disebut norma dari V, jika
Bukti:
kondisi berikut dipenuhi:
(i) 𝜃 = 0x = (𝜆 + (−𝜆))x = 𝜆x + (−𝜆)x. Jadi (-
a. ‖𝑥‖ ≥ 0, ∀ 𝑥 𝜖 𝑉
b. Jika x 𝜖 𝑉, ‖𝑥‖ = 0, jika dan hanya jika x = 𝜃
𝜆)x = -(𝜆𝑥).
𝜃 = 𝜆𝜃 = 𝜆(𝑥 +
c. ‖𝑎𝑥‖ = |𝑎|‖𝑥‖, untuk semua x 𝜖 𝑉 𝑑𝑎𝑛 𝑎 𝜖 R
(−𝑥)), 𝜃 = 𝜆𝑥 + 𝜆(−𝑥). Jadi 𝜆(−𝑥) =
d. ‖𝑥 + 𝑦‖ ≤ ‖𝑥‖ + ‖𝑦‖ , untuk semua x, y 𝜖 𝑉
−(𝜆𝑥)
Catatan:
Dengan
cara
serupa,
(ii) Untuk setiap 𝜆 ∈ R,, x, y ∈ V. Akan 1. Pasangan (V, ‖. ‖) disebut ruang vektor
bernorma dan ‖𝑥‖ disebut norma dari x.
ditunjukkan
bahwa
𝜆(x – y) = 𝜆x – 𝜆y
𝜆(x – y) = 𝜆(x + (-y))
menurut (M2) = 𝜆x +𝜆 (-y)
2. Jarak antara vektor x dan y, ditulis ‖𝑥 − 𝑦‖
atau ‖𝑦 − 𝑥‖
RUANG BANACH
Menurut (i), 𝜆(– y) = – 𝜆y
Definisi 2.5 (Nababan, 1992 : 13)
Jadi 𝜆(x – y) = 𝜆x + (– 𝜆y)
Ruang vektor V dikatakan “bernorma” jika
= 𝜆x - 𝜆y
terdapat fungsi bernilai riil pada ‖. ‖: 𝑉 → 𝑅
(iii) Untuk setiap 𝜆, 𝜇 ∈ R,, x ∈ V. Akan
ditunjukkan bahwa
(𝜆 − 𝜇)x = 𝜆x – 𝜇x.
(𝜆 − 𝜇)x = (𝜆 +(- 𝜇))x
= 𝜆x + (– 𝜇)x
dengan sifat-sifat sebagai berikut:
1. ‖𝑎‖ ≥ 0 untuk setiap a 𝜖 V
‖𝑎‖ = 0 jika dan hanya jika a = 𝜃
2. ‖𝛼a‖ = |𝛼|‖a‖ untuk setiap α 𝜖 R, a 𝜖 V
3. ‖a + b‖ ≤ ‖a‖ + ‖𝑏‖ untuk setiap a, b 𝜖 V
menurut (M2)
Jika Vruang vektor bernorma, notasi yang
Menurut (i) (– 𝜇)x = – (𝜇x), jadi
biasa
(𝜆 − 𝜇)x = 𝜆x + ( –(𝜇x))
= 𝜆x – 𝜇x
digunakan
adalah
(V, ‖. ‖).
Definisi 2.6 (berberian, 1961 : 97)
RUANG VEKTOR BERNORMA
Ruang Banach adalah ruang vektor bernorma
Pada ruang vektor dapat didefinisikan kuantitas
suatu vektor dan jarak antara dua vektor,
kuantitas dan jarak inilah yang disebut norma
dari suatu ruang vektor atau norma selisih dua
yang lengkap
11
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
TRANSFORMASI LINIER
Dalam kalkulus telah dikenal fungsi bernilai
3. PEMBAHASAN
Suatu fungsi dari suatu ruang vektor ke
riil, yaitu untuk setiap fungsi memetakan
dalam
bilangan riil ke bilangan riil. Sekarang akan
trasnsformasi.
diperluas pemetaannya bukan hanya pada
merupakan fungsi linier antar ruang vektor.
bilangan riil, dalam hal ini pemetaan ruang
Berkaitan dengan pembahasan selanjutnya,
bernorma yang disebut transformasi linear, yaitu
berikut akan diuraikan pengertian dan
suatu pernyataan matematis yang memetakan
beberapa
suatu ruang vektor ke ruang vektor lain.
mengenai transformasi linier pada ruang
Definisi 2.7
T : V  W disebut transformasi linear jika:
(i). T( x + y) = T(x) + T(y) untuk semua vektor x
dan y di V
dan semua skalar k.
vektor
Jadi
lain
disebut
transformasi
teorema-teorema
linier
penting
Banach.
Definisi 3.1 (Nababan, 1992: 15)
Misalkan X dan Y dua ruang Banach atas K.
Transformasi T : X → Y dikatakan linier jika
untuk
(ii). T(kx) = k T(x) untuk semua vektor x dan V
ruang
setiap
α,
β,
𝜖
K
dan
x, y 𝜖 X berlaku T (α.x + β.y) = α. T(x) + β.
T(y)
Contoh
Transformasi linier jika dari ruang Banach X
Misalkan T: R2  R2 adalah fungsi yang
ke himpunan skalar K disebut fungsional
didefinisikan oleh
linier pada X.
T(x) = (a - b, a + b)
Jika f funsional linier pada X ke K, maka
f (α.x + β.y) = α. f (x) + β. f(y), ∀ x, y 𝜖 X
T adalah transformasi linear.
dan ∀ α, β, 𝜖 K
Jika x = (a1, b1) dan y = (a2, b2), maka x + y
jika T : X → Y linier maka T (0) = 0 dan
= (a1 + a2, b1 + b2), sehingga: T(x + y) = ([a1 +
T (-x) = -T(x), sebabT(0) = T (x – x)
a2] – [b1 + b2], [a1 + a2] + [b1 + b2])
= T (x) – T(x) = 0 dan T (-x) = T (0 – x)
= (a1 – b1, a1 + b1) + (a2 – b2, a2 + b2)
= T(x) + T(y)
T(kx) = (ka1 – b1, ka1 + b1)
= T(0) – T (-x) = 0 – T (-x) = -T(x)
Definisi 3.2 (Nababan, 1992: 11)
Suatu transformasi T : V → W dari suatu
ruang Banach (V, ‖. ‖𝑣 ) ke ruang Banach (W,
= k (a1 – b1, a1 + b1)
‖. ‖𝑤 ) dikatakan kontinu di x0, jika untuk setiap
= k T(x)
𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga setiap x 𝜖 𝑉
dengan ‖𝑥 − 𝑥0 ‖𝑣 < 𝛿 berlaku
12
‖𝑇(𝑥) −
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
𝑇(𝑥0 )‖𝑤 < 𝜀. Transformasi T dikatakan kontinu
bilangan asli sehingga n ≥ K maka
di setiap titik pada V.
‖𝑥𝑛 − 𝑦‖ < 𝛿
berakibat
‖𝑇𝑥𝑛 − 𝑇𝑦)‖ < 𝜀
Lemma 3.3 ((Nababan, 1992: 15)
Misalkan X dan Y dua ruang banach dan
T : X → Y suatu transformasi linier. Jika T
kontinu di suatu titik pada X maka T kontinu
berarti
pula
sesuai
(Txn)(
Txn)
konvergen ke Ty.
Definisi 3.5 (Nababan, 1992: 18)
Jika V dan W ruang Banach dan T : V →
pada X.
W transformasi linier kontinu, norma dari T
Bukti:
dinotasikan dengan ‖𝑇‖ didefinisikan sebagai
Misalkan T kontinu di titik x0 𝜖 X dan 𝜀 >
0 diberikan sebarang, maka terdapat
𝛿>0
sehingga:
‖𝑇‖ = sup{‖𝑇𝑥‖𝑤 ∶ ‖𝑥‖𝑣 ≤ 1} .
Teorema 3.6 (Nababan, 1992: 16)
Misalkan X dan Y dua ruang linier
‖𝑇𝑥0 − 𝑇𝑥‖ < 𝜀 bila ‖𝑥0 − 𝑥‖ < 𝛿
ambil x1 𝜖 X sebarang, maka untuk semua x 𝜖 X
bernorma dan pemetaan T : X → Y adalah
kontinu pada X jika dan hanya jika T terbatas.
dengan ‖𝑥1 − 𝑥‖ < 𝛿 berlaku:
Bukti:
‖𝑥0 − (𝑥 − 𝑥1 + 𝑥0 )‖ = ‖𝑥1 − 𝑥‖ < 𝛿
(⇒) Misalkan T kontinu pada X, maka T
dan
kontinu di 0 𝜖 X. Ambil 𝛿 > 0 sehingga
‖𝑇𝑥1 − 𝑇𝑥‖ = ‖𝑇𝑥0 − 𝑇(𝑥 − 𝑥1 + 𝑥0 )‖ < 𝜀
Ini berarti T kontinu di x1, karena x1 diambil
sebarang di X maka T kontinu pada X.
Teorema 3.4 (Nababan, 1992: 15)
‖𝑇𝑦‖ ≤ 1 𝑏𝑖𝑙𝑎 ‖𝑥‖ < 𝛿
Misalkan ‖𝑥‖ < 1, maka
1
‖𝑇(2)𝛿𝑥‖ ≤ 1,akan tetapi
T (1/2) 𝛿x = ½ 𝛿Tx
Jika T : X → X, T kontinu di y 𝜖 X, jika dan
hanya jika setiap (xn) konvergen ke y
1
Jadi ‖𝑇𝑥‖ = ‖2/𝛿𝑇(2)𝛿𝑥‖
≤ 2/𝛿
berakibat barisan (Txn) konvergen ke Ty.
Ini menunjukkan bahwa T terbatas.
Bukti:
(<=) misalkan T terbatas. Untuk membuktikan T
(⇒) Dik: T kontinu di y 𝜖 X
Diambil sebarang (xn) konvergen ke y
kontinu pada X, cukup ditunjukkan T
Akan ditunjukkan (Txn) konvergen ke Ty
kontinu T kontinu di 0 𝜖 X. Misalkan 𝜀 > 0
Ambil bilangan positif sebarang
sebarang dan M 𝜖 R sehingga,
Karena T kontinu di y 𝜖 X maka terdapat 𝛿
‖𝑇𝑥‖ ≤ 𝑀 𝑏𝑖𝑙𝑎 ‖𝑥‖ ≤ 1.
> 0 sehingga untuk setiap
x 𝜖 X dan
‖𝑥 − 𝑦‖ < 𝛿 ⇒ ‖𝑇𝑥 − 𝑇𝑦‖ < 𝜀, karena
(xn) konvergen ke y berarti terdapat n
Ambil 𝛿 > 0 sehingga 𝛿M < 𝜀 misalkan
‖𝑥‖ < 𝛿
Jadi ‖𝛿 −1 𝑥‖ = 𝛿 −1 ‖𝑥‖ ≤ 𝛿 −1 𝛿 = 1
13
Jurnal MSA Vol. 2 No. 1 Ed. Jan-Juni 2014
Akibatnya: ‖𝑇(𝛿 −1 𝑥)‖ ≤ 𝑀, ∀‖𝑥‖ < 𝛿
Jika V dan W ruang Banach dan T : V → W
Jadi ‖𝑇𝑥‖ = ‖𝛿. 𝑇(𝛿 −1 𝑥)‖ ≤ 𝛿. 𝑀 < 𝜀
transformasi linier kontinu, norma dari T
dinotasikan dengan ‖𝑇‖ didefinisikan sebagai
Ini berarti T kontinu di 0 𝜖 X
‖𝑇‖ = sup{‖𝑇𝑥‖𝑤 ∶ ‖𝑥‖𝑣 ≤ 1}. Misalkan X
4. KESIMPULAN
Suatu transformasi T : V → W dari suatu
ruang Banach (V, ‖. ‖𝑣 ) ke ruang Banach (W,
‖. ‖𝑤 ) dikatakan kontinu di x0, jika untuk setiap
𝜀 > 0 terdapat 𝛿 > 0 sehingga setiap x 𝜖 𝑉
dengan
‖𝑥 − 𝑥0 ‖𝑣 < 𝛿
‖𝑇(𝑥) − 𝑇(𝑥0 )‖𝑤 < 𝜀.
T
dikatakan kontinu di setiap titik pada V.
Misalkan X dan Y dua ruang banach dan
T : X → Y suatu transformasi linier. Jika T
kontinu di suatu titik pada X maka T kontinu
pada X. JikaT : X → X, T kontinu di y 𝜖 X, jika
dan hanya jika setiap (xn) konvergen ke y
14
: X → Y adalah kontinu pada X jika dan hanya
jika T terbatas.
5. DAFTAR PUSTAKA
berlaku
Transformasi
berakibat barisan (Txn) konvergen ke Ty.
dan Y dua ruang linier bernorma dan pemetaan T
Berberian, K. S. 1961. Introduction to Hilbert
Space. Oxpord University Press, New
York.
Dwijanto, E . 1994. Analisis Real. Ikip Semarang
Press, Semarang.
Kreyzeg, E. 1978. Introduction Functional
Analysis with Application. Kanada: John
Wiley & Sons
Nababan, T. P. 1992. Teorema Titik Tetap di
Ruang Metrik dan Aplikasinya. Institut
Teknologi Bandung, Bandung.