VEKTOR

Oleh
Y. CANDRA.K, ST.S.Pd
SMKN 1 KEDIRI
Standar
Kompetensi
Kompetensi
Dasar
Materi Pokok
Indikator
Kompetesi Dasar

Menerapkan konsep vektor pada bangun ruang
Tujuan Pembelajaran



Membahas ruang lingkup vektor:
Menyelesaikan operasi pada Vektor
Menerapkan konsep vektor pada bangun
ruang
VEKTOR
UKURAN/
BESARAN
BILANGAN
VEKTOR
ARAH
AB
SKALAR
di
tinjauan
GEOMETRIS
R2
R3
ALJABAR
RUAS GARIS
BERARAH
teknis
n-tupel
[a1 a2]
a 
 1
a 
 2 
[a1 a2 a3]
a 
 1
 a 
 2
a 
 1


 a2 


a 
 3
a 
 1


 a2 


a 
 3
analisis
Geometri Analitik
Sistem koordinat
Vektor Bebas Himpunan ruas garis berarah  WAKIL VEKTOR
PENGERTIAN
PERHATIKAN RUAS-RUAS GARIS BERARAH BERIKUT
SETIAP RUAS GARIS BERARAH
MEWAKILI PERGESERAN YANG
SAMA:
4 KE KANAN
2 KE ATAS
2
1
1 2 3 4
LAMBANG:
SETIAP RUAS GARIS BERARAH DI
ATAS MEWAKILI SEBUAH VEKTOR
KLIK
KLIK
44  4 KE KANAN
 
22  2 KE ATAS

 

 









4 
2



VEKTOR . . . ?
Himpunan semua ruas garis berarah
yang mempunyai panjang dan arah tertentu
wakil vektor
BESARAN YANG
MEMPUNYAI:
•
BESAR
•
ARAH
DUA VEKTOR SAMA HANYA JIKA
BESAR DAN ARAHNYA SAMA
AB = CD = 0T = FG
Y N
B
M
 
K 
 4 
MN wakil vektor w = [w1 w2], dan w = 
 2 
D
A
WAKIL VEKTOR
 4
4
u = [4 2] atau u =   atau  2 
2
L
C

KL wakil vektor v = [v1 v2],
T
O
X
G
maka v = [–4 –2] =
 4 


 2 


F
u = [4 2] dan v = [–4 –2 ] adalah dua vektor yang arahnya
berlawanan dan besar/nilai mutlak pergeserannya sama.
Dikatakan kedua vektor saling berlawanan
Ditulis: u = – v atau v = – u
Vektor di
3
R
Z+
Dalam R3, sumbu-sumbu koordinatnya mengikuti
”aturan
Z+
tangan kanan”.
Y+
atau
O
O
Contoh
Pada gambar di samping, v =
X+
4
 
3
 
5
 
atau
X+
4
 
3 
 
5 
 
Y+
Z+
P
v
3
Hal tersebut diindikasikan oleh komponen-komponen B
4
5

ruas garis berarah OP
Jadi jika Adan B adalah titik-titik dalam R3 sehingga
panjang AB sama dengan panjang v maka
A

AB merupakan wakil vektor v
X+
O
Y+
Panjang vektor
Panjang vektor v = [v1 v2] dilambangkan dengan | v |.


Jika AB wakil vektor v panjang vektor v adalah | AB | =

| v | = | AB |  v 2  v 2
1 2
Di
R3
:|v|=
v2 v2 v2
1 2 3
0
Vektor Nol
 
0
Dalam R2, o =  0  dan dalam R3, o =  0 

0
Vektor Satuan
= vektor yang panjangnya 1 satuan
(ke arah masing-masing)
Vektor Basis = vektor satuan, arahnya sesuai ”sumbu”
koordinat yang diinginkan
Penjumlahan Vektor
1. dengan cara jajargenjang
u
u +v
u
v
v
2. dengan cara segitiga
v
u
u+v
u+v=v+u
u
v+u
v
u
v





5 

2 













7 

1




6 

-4 
Umum
Analog:




2 

3 
9 

-2 
3 

2 
a  c   a+c 

+  = 
b  d b+d
u1   v1   u1+v1 
 



 


u2    v2   u2 +v2 
u3




v3
9   3   9   -3   6 

    
  
-2   2   -2   -2   -4 
Mengurangi sebuah vektor dengan sebuah
vektor v sama artinya dengan menambah
vektor tersebut dengan lawan v ( v)
 a  c 
 a-c 
 -   = 

   


b  d
b-d












Dalam bentuk komponen, vektor hasil
penjumlahan dua vektor adalah vektor
yang komponennya hasil
penjumlahan elemen seletak













5   2   7 
+ = 
 
2   -3   -1 








u3 +v3













u1   v1   u1- v1 
 



 


u2    v2   u2 - v2 
u3








v3








u3 - v3




Perkalian vektor dengan skalar




a 
b






+
a 
b






a 
b
+






=
a 
b


a+a 
2a 
b+b
2b




+




a 
b


=



 




a+a+a 
3a 
b+b+b
3b




a 
2a 
b
2b

2 




 






=
 
a 
3a 
b
3b

3 




 






a 
ka 
b
kb

k 

...dst


v1   kv1 



k v 2  = kv 2 









v3




k[v1 v2] = [kv1 kv2]
k[v1
v2
v3] = [kv1
kv2
kv3]




kv3







 



Vektor Posisi
Y
P(xP, yP)

O
X
Jika koordinat titik P adalah (xP, yP), maka
vektor posisi titik P dilambangkan dengan p
x 
x 
P


adalah   atau: p =  P  atau p = [xP yP ]
y
y
 P
 P
Dalam R3
Jika koordinat titik P adalah (xP, yP, zP ), maka
vektor posisi titik P dilampangkan dengan p
Z
H(0,6,3)
Y
adalah  xP atau: p = xP  atau p = [xP yP zP ]




y 


y
 P
 P
z 
G(5,6,3) zP 
 P
b = [5 0 0]
F(5,0,3)
E(0,0,3)
c = [5 6 0]
C(5,6,0) g = [5 6 3]
D(0,6,0)
O
X
A(0,0,0)
B(5,0,0)
Latihan
ABCD.EFGH adalah sebuah balok, dengan titik A(0, 0, 0), B(6, 0, 0),
dan titik G(6, 8, 4).Jika P dan Q berturut-turut titik potong diagonal
ABCD dan EFGH, tentukanlah dalam bentuk komponen:
vektor-vektor posisi titik-titik sudut balok, P dan Q.









vektor-vektor yang diwakili oleh BG, AF , HB, BP, PH, PG, BQ, GQ, dan QD

   



vektor-vektor yang diwakili oleh BG  HP , HB  AF , BP  GQ,dan PG  BQ
H (0, 8, 4)
Jawab Z
G(6, 8, 4) BG = g  b
= [6 8 4]  [6 0 0]
Q(3, 4, 4)
E (0, 0, 4)
= [0 8 4]
F(6, 0, 4)
AF = f  a
Y
= [6 0 8]  [0 0 0]
C(6, 8, 0)
D (0, 8, 0)
= [6 0 8]
P(3, 4, 0)
HB = b  h
X
A(0, 0, 0)
B(6, 0, 0)
= [6 0 0]  [0 8 4]
O
= [6  8  4]
Latihan (lanjutan)
Jawab
Z
H (0, 8, 4)
E (0, 0, 4)
Q(3, 4, 4)
G(6, 8, 4) BP = p  b
= [3 4 0]  [6 0 0]
= [ 3 4 0]
PH = h  p
Y
= [0 8 4]  [3 4 0]
C(6, 8, 0)
D (0, 8, 0)
= [ 3 4 4]
P(3, 4, 0)
PG = g  p
X
A(0, 0, 0)
B(6, 0, 0)
= [6 8 4]  [3 4 0]
O
= [3 4 4]
BQ = q  b
GQ = [q  g ]
= [3 4 4]  [6 0 0]
= [3 4 4]  [6 8 4]
= [ 3 4 4]
= [ 3  4 0]
 
QD = d  q
BG HP = [0 8 4] + [3  4  4]
= [0 8 0]  [3 4 4]
= [3 4 0]
= [3 4  4]



atau
= AH  HP = AP = [3 4 0]
F(6, 0, 8)
SELAMAT BELAJAR