1.3 Pembuktian 1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi

1.3 Pembuktian
1.3.1 Tautologi dan Kontradiksi
Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi
yang membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
disebut kontradiksi.
Contoh toutologi :
A  A
Tabel kebenarannya :

A
A
A A
T
F
T
F
T
T
Contoh kontradiksi :
A A
Tabel kebenarannya :
A
A
A A
T
F
F
F
T
F
Suatu proposisi dengan simbul P (p1 , p2 , p3 , . . . pn ) dimana p1 . . . pn adalah
proposisi-proposisi yang merupakan proposisi majemuk dimana kebenaran P ditentukan
oleh kebenaran p1, p2, p3, . . . pn.
Sebagai contoh : P(p,q) = p  q.
Jika P (p1, p2, p3, . . . pn ) adalah tautologi maka tidak P adalah kontradiksi dan
sebaliknya.
Suatu argumen dinyatakan dengan proposisi majemuk misalnya
( p1  p2 3 p  . . .  pn)  Q adalah suatu implikasi dengan p1 ,p2, p3, …,pn sebagai
hipotesa (antiseden ) sedangkan Q adalah suatu kesimpulan (konskwen). Komponenkomponen dari antiseden disebut premis dan semuanya harus bernilai benar agar
kesimpulannya benar maka argumennya menjadi benar.
Jika argumennya benat disebut dengan argumen benat dan jika argumennya salah maka
disebut dengan argumen salah.
Sebagai contoh :
Selidiki apakah argumen dibawah ini benar !
Ali tidak belajar
(P)
Jika ali tidak belajar maka ia tidak mendapat nilai baik
(Q)
Jika Ani tidak mengganggu Ali maka Ali mendapat nilai baik
Karena itu ani mengganggu Ali
(K)
Penyelesaiannya :
P = Ali belajar
P = Ali tidak belajar
Q = Ali mendapat nilai baik
Q = Ali tidak mendapat nilai baik
K = Ani mengganggu Ali
K = Ani tidak mengganggu Ali
Sehingga dalam simbolisme logika menjadi :
[ P  ( P Q )  (K  Q )  K.
Kita buat tabel kebenarannya :
P
Q
K





P
Q
K
P Q
K  Q
PAB
(A)
(B)
(M)
MK
T
T
T
F
F
F
T
T
F
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
T
T
F
F
T
F
T
T
T
F
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
F
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
F
F
T
T
T
T
F
F
T
Jadi dapat disimpulkan argumen diatas bernilai benar.
Membuktikan suatu toutologi disamping menggunakan metode tabel kebenaran ada cara
lain yaitu tidak mempergunakan tabel, sebab penalaran dilakukan diluar tabel.
Contoh :
(P  Q)  (P  R  Q  R)
Untuk membuktikan bahwa bentuk ini merupakan tautologi, maka kita amati bahwa
bentuk keseluruhan merupakan suatu implikasi, sebab simbol dominannya adalah tanda
implikasi. Dengan mengamati tabel, kita tahu bahwa suatu implikasi itu bernilai benar
jika antisedennya salah atau konsekuennya benar.
Pada contoh diatas antisedennya pasti salah jika “P” dan “Q” mempunyai nilai yang
berlainan, maka cukuplah diselidiki kejadian dimana”P” dan “Q” mempunyai nilai
logika yang sama. Tetapi dalam contoh diatas ekuivalensi yang terletak disebelah kanan
dari tanda biimplikasi pasti bernilai benar, apapun nilai dari “R”. Dengan demikian
konsekuen dari seluruh bentuk dipandang sebagai suatu implikasi, bernilai benar, dan
terbuktilah bahwa bentuk ini merupakan tautologi.
Pembuktian dapat juga diselesaiakan dengan reductio ad absurdum (bukti
kemustahilan). Diandaikan bentuk yang dihadapi adalah bukan tautologi, maka ada
suatu pemberian nilai pada variabel-variabel yang mengakibatkan antiseden bernilai
benar dengan konsekuen bernilai salah. Antesedennya bernilai benar jika “P” dan “Q”
bernilai sama. Dalam pada itu konsekuen tak mungkin bernilai salah, apapun nilai “R”.
Langkah terakhir ini didapat dengan mengamati hasil dari tabel untuk konjungsi dan
ekuivalensi.
1.3.2 Ekivalen
Perhatikan kalimat “Guru pahlawan bangsa” dan “Tidak benar bahwa guru
bukan pahlawan bangsa”. Kedua kalimat tersebut akan mempunyai nilai kebenaran
yang sama, tidak perduli bagaimana nilai kebenaran dari pernyataan semula.
Definisi :
Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua
pernyataan itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Pernyataan P ekivalen dengan pernyataan Q dapat ditulis sebagai P  Q.
Berdasarkan definisi diatas, sifat-sifat pernyataan yang ekivalen (berekivalensi
logis) adalah :
a) P  P
b) Jika P  Q maka Q  P
c) Jika P  Q dan Q  R maka P  R
Sifat pertama berarti bahwa setiap pernyataan selalu mempunyai nilai kebenaran yang
sama dengan dirinya sendiri. Sifat yang kedua berarti bahwa jika suatu pernyataan
mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan suatu pernyataan lain, maka tentu
berlaku sebaliknya. Sedangkan sifat ketiga berarti bahwa jika pernyataan pertama
mempunyai nilaikebenaran yang sama dengan pernyataan yang kedua dan pernyataan
kedua mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan ketiga maka nilai
kebenaran pernyataan pertama adalah sama dengan nilai kebenaran pernyataan ketiga.
Rangkuman
1) Pernyataan majemuk yang selalu bernilai benar bagaimanapun nilai proposisi yang
membentuknya disebut toutologi, sedangkan proposisi yang selalu bernilai salah
disebut kontradiksi.
2) Dua buah pernyataan dikatakan ekivalen (berekivalensi logis) jika kedua pernyataan
itu mempunyai nilai kebenaran yang sama.
Pernyataan P ekivalen dengan pernyataan Q dapat ditulis sebagai P  Q.
Latihan Soal- Soal
Dengan menggunakan tabel kebenaran,
1) Apakah bentuk-bentuk pernyataan majemuk berikut merupakan tautologi, atau
kontradiksi ?
a) (P  Q)
b) P  (P)  Q
c) (P  Q)  (P  Q)
2) Buktikan setiap pernyataan berikut ini !
a) P  ( P  P)
b) P  ( P  P)
c) (P  Q)  ( P Q)
d) (P  Q)  (P  Q)
3) Buktikan bahwa P  Q tidak ekivalen dengan P  Q.
4) Buktikan bahwa (P  Q)  (P  Q) merupakan kontradiksi.
Buktikan bahwa bentuk-bentuk di bawah ini merupakan tautologi tanpa mengerjakan
pengisian tabel !
5) (P  Q).. (P  Q)  (Q  P)
1) (P  Q).. (P  Q)  (Q  P)
2) (P & Q)  R.  . (P &R) Q
3) P (Q  R) .. Q  (P R)
4) Buktikan dengan menggunakan reduction ad absurdum bahwa bentuk
P  Q.  . (Q & R)  (R & P) merupakan toutologi.
1.3.3 Penggunaan Rumus-rumus Tautologi Pada Bukti-bukti Matematika
Rumus-rumus tautologi yang penting akan dibicarakan dalam pembahasan
berikut, dimana rumus-rumus tersebut dapat dibuktikan dengan metode tabel nilai.
Namun penalaran diluar tabel nilai seperti telah dibicarakan terdahulu dapat mencapai
hasil yang jauh lebih cepat.Empat rumus yang pertama mempunyai kedudukan istimewa
karena merupakan apa yang disebut suatu realisai (model) dari suatu Aljabar Boole
Abstrak (Abstact Boolean Algebra).
Rumus 1. Sifat komutatif dari konjungsi dan disjungsi
P&QQ&P
PvQ QvP
Rumus 2. Sifat distributif dari konjungsi terhadap disjungsi dan dari disjungsi terhadap
konjungsi.
P & (Q v R)  (P & Q) v (P & R)
P v (Q & R)  (P v Q) & (P v R)
Rumus 3.
P&TT &PP
P v FF vPP
Rumus 4.
P v P  T
P & P  T
Dalam rumus-rumus diatas “T” menyajikan bentuk yang nilainya senantiasa benar (jadi
suatu tautologi) dan “F” senantiasa salah (kontradiksi). Mengingat tabel kebenaran dari
biimplikasi maka ruas kiri dan ruas kanan dari tanda “” mempunyai nilai logika yang
sama.
Sehingga mengassersi P v P  T tidak lain adalah mengassersi bahwa P v P adalah
tautologi.
Rumus 5. Hukum identitas, hukum negasi rangkap, hukum-hukum idempoten, serta
sifat assosiatif dari konjungsi dan disjungsi serta hukum penyerapan.
P  P (hukum identitas)
P  P (hukum negasi rangkap)
Hukum –hukum idempoten :
P & P  .P
Q v Q  .Q
Sifat assosiatif dari konjungsi :
(P&Q)&RP&(Q&R)
Sifat assosiatif dari disjungsi :
(PvQ)vRPv(QvR)
Hukum-hukum penyerapan :
P&(PvQ)P
Pv(P&Q)P
Rumus 6.
T  P.  .P
F  P.  T
P  T.  .P
P  F.  .P
Kebenaran dari rumus-rumus diatas mudah diyakini dengan mengingat tabel-tabel nilai.
Rumus 7.
P  Q. .P v Q
P  Q. . P & Q
P  Q. . (P v Q) & (Q v P)
P  Q. . (P & Q) v (P &Q)
Rumus-rumus diatas memperlihatkan bahwa implikasi dan ekuivalensi dapat dinyatakan
dengan negasi,konjungsi dan disjungsi.
Rumus 8.
P  Q. . (P  Q) & ( Q  P)
Rumus 9. Sifat transitif dari implikasi :
(P  Q) & ( Q  R). . P  R
Rumus 10.
P  (Q  R). . Q  (P  R)
Rumus 11. Hukum Eksportasi-Importasi
P  (Q R).  .(P & Q)  R
Rumus 12. Hukum Modus Ponens
P & (P  Q) .. Q
Rumus 13. Hukum Kontraposisi
P  Q.  .Q P
Hukum ini amat banyak digunakan dalam pembuktian soal-soal matematika. Apabila
orang menjumpai kesulitan dalam membuktikan B dari A ( yaitu membuktikan A  B)
maka dapat dicoba membuktikan B A.
Contoh :
Apabila ½ (1 + (-1)n) ganjil maka n pastilah genap.
Bukti :
Kontraposisi kalimat diatas sangat mudah dibuktikan.
Ingkaran dari n genap adalah ganjil. Tapi jika n ganjil maka ½ (1 + (-1)n) = 0.
Karena 0 adalah bilangan genap maka bukti selesai.
Soal diatas dapat juga dibuktikan dengan cara lain, yang penting diingat bahwa suatu
implikasi dan kontraposisinya mempunyai nilai logika yang sama.
Rumus 14.
( P  Q). . ( P  Q)  (P Q)
Rumus ini langsung bisa didapat dari rumus 8 dengan mengambil kontraposisi dari
konjungsi kedua dirumus kanan.
Contoh :
Buktikan bahwa tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap ujung-ujung
M dan N dari ruas garis MN adalah garis tegak lurus yang membagi sama besar ruas
garis MN.
Bukti :
Tempat kedudukan dari titik-titik yang memenuhi suatu syarat didefinisikan sebagai
himpunan titik-titik dengan syarat tersebut sebagai syarat keanggotaan. Maka titik-titik
pada garis tegak lurus dibuktikan memenuhi syarat itu dan titik-titik di luar garis tegak
dibuktikan tidak memenuhinya. Apabila “A” adalah singkatan dari “Titik P terletak
pada tempat kedudukan” dan “B” adalah untuk “titik P memenuhi syarat”, maka yang
harus dibuktikan adalah benarnya kalimat “A  B”. Sehingga dengan rumus 14 diatas
dan hukum kontrapositif maka cukup membuktikan A  B dan B A.
Bukti-bukti tersebut dikerjakan dengan menggunakan gambar dibawah ini.
C
D
P
M
N
Rumus 15. Rumus-rumus ingkaran.
P  Q. . P &Q
P & Q. . P vQ disebut hukum De Morgan pertama.
P v Q. . P &Q disebut hukum De Morgan kedua
P  Q.  (P &Q) v (Q &P)
Rumus-rumus ini diperlukan pada bukti-bukti dengan reductio ad absurdum yang akan
dibicarakan pada pembahasan berikut.
1.3.4 Reductio Ad Absurdum
Pembuktian dengan reductio ad absurdum adalah dimulai dengan mengandaikan bahwa
yang berlaku adalah ingkaran dari apa yang harus dibuktikan, dimana dari pengandaian
ini diturunkan suatu kontradiksi. Karena kontradiksi tidak mungkin terjadi, sedangkan
penalaran sahih, maka kekeliruan harus ada pada permulaan penalaran, yaitu pada
pengandaian. Maka pengandaian harus diingkar. Dengan menggunakan ingkaran
rangkap maka terbuktilah apa yang harus dibuktikan. Dalam hal ini dapat dibuktikan
kalimat otomik ataupun kalimat majemuk seperti implikasi dan sebagainya. Rumus-
rumus dibawah ini menyajikan beberapa bentuk dari pembuktian dengan reductio ad
absurdum.
Rumus 16.Reductio ad absurdum bentuk pertama
P  (Q &Q) .  .P
Apabila dari kalimat “A” dapat diturunkan suatu kontradiksi, maka dapat disimpulkan
bahwa “A” benar.
A  (B &B). . A Bernilai T karena tautologi diatas.
A  (B &B)
Bernilai T karena B &B diturunkan dari A.
A bernilai T karena modus ponens.
Contoh :
Buktikan bahwa 2 adalah bilangan irasional.
Bukti :
Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat disajikan sebagai hasil bagi dua bilangan
bulat, sedangkan ingkarannya adalah bilangan irasional. Jelas bahwa 2 bukanlah
bilangan bulat. Andaikan bahwa 2 adalah rasional (disingkat R) dengan bentuk
m/n
= 2 dengan m dan n saling prima dan n  1. Ma ka m2/n2 = 2 atau m = 2n2. Perhatikan
bahwa m pasti genap, sebab kuadrat bilangan ganjil adalah ganjil, sehingga m2 = 2p2
dan n = 2q + 1.Maka m2 = 4p2 dan 4!m2 (artinya m2 habis dibagi oleh 4) (disingkat B)
,sedangkan n2 = 4q2 + 4q + 1 atau 2n = 8q2 + 8q + 2 dan 4!n2. Karena
m2 = 2n2
maka 4!m2 merupakan kontradiksi., pengandaian harus diingkar dan bukti selesai.
Rumus 17. Reductio ad absurdum bentuk kedua
P  P.  .P
Untuk membuktikan A, maka dimulai dengan mengandaikan A. Apabila dari A ini
dapat diturunkan A maka di dalam sistem ada kontradiksi, yaitu A dari andaian ,dan A
dari pembuktian. Maka pengandaian harus diingkar dengan hasil A. Jadi A terbukti.
A  A.  .A Bernilai T karena rumus diatas merupakan tautologi.
A  A
Bernilai T karena A diturunkan dari A.
A bernilai T karena modus ponens.
Contoh :
Pandang himpunan semesta bilangan bulat. Apabila x habis dibagi oleh bilangan prima
p maka x habis dibagi oleh p, (dilambangkan p!x). Kalimat “p!x” disingkat “A”.
Bukti :
Jika suatu hasil ganda habis dibagi oleh bilangan prima p maka sekurang-kurangnya
salah satu faktor akan habis dibagi oleh p. Andaikan bahw p!x , karena p!x.x m - 1 dan
p!x maka p!x . Demikian p!x m - 2 , p!x m - 3 dan seterusnya. Akhirnya p!x .Bukti selesai.
Rumus 18 Reductio ad absurdum bentuk ketiga
(P &Q)  Q.  .P  Q
Contoh :
Pandang himpunan semesta bilangan real. Apabila (untuk setiap c  0 berlaku
a
 b + c) (disingkat A) maka (a  b) (disingkat B). Buktikan implikasi tersebut benar !
Bukti :
Disini harus dibuktikan implikasi A  B.Kita mulai dengan mengingkarnya. Jadi
andaikata A  B yaitu A & B ,dari ingkaran tersebut kita berusaha membuktikan B.
Apabila berhasil, terdapat kontradiksi dengan B, maka A & B harus diingkar, sehingga
A  B terbukti. B berarti a  b yaitu a – b  0 sehingga ???  0. Selanjutnya ????
diambil sebagai c. Menggunakan ketentuan A, maka a  b + ???
yaitu 2a  2b + a – b.
Jadi a  b inilah B, bukti selesai yaitu A  B terbukti.
(A &B)  B. .A  B
bernilai T karena rumus di atas
(A &B)  B
bernilai T karena B diturunkan dari A & B
AB
bernilai T karena modus ponens
Rumus 19 Reductio ad absurdum bentuk keempat
(P &Q) P.  . P  Q
Contoh :
Apabila (a,b real dan positif ) (disingkat A) maka berlakulah [ ½ (a + b) > ab)
(disingkat B).
Bukti :
Disini harus dibuktikan suatu implikasi A  B.
Ingkaranya adalah A &B, dari ingkarannya ini kita berusaha membuktikanA.
Apabila berhasil, maka terdapat kontadiksi, sebab A diketahui. Sehingga A &B harus
diingkar, maka terbukti A  B. Sekarang untuk soal diatas menjadi , andaikan (a,b
bilangan real positif) dan ½ (a + b) < ab. Maka ¼ ( a2 + b2 + 2ab) < ab, yaitu a2 + b2 +
2ab < 4ab sehingga a2 + b2 – 2ab < 0. Maka (a – b) < 0. Ini kontradiksi dengan a,b real
positif. Bukti selesai, jadi A  B terbukti.
(A &B) A.  . A  B bernilai T karena rumus diatas
(A &B) A
bernilai T karena A diturunkan dari A & B
A  B bernilai T karena modus ponens
Rumus 20 Ex Falso Sequitur Quad Libet
P.  .P  Q
Rumus ini penting karena mempunyai akibat di bawah ini. Misalkan dalam matematika
terdapat suatu kontradiksi A &A, sedangkan B suatu kalimat matematika sembarang,
maka dapat diperoleh
A.  .A B
bernilai T karena rumus tautologi di atas
A
bernilai T karena ketentuan
A B
A
bernilai T karena modus ponens
bernilai T karena ketentuan
B
bernilai T karena modus ponens
Sehingga kalimat sembarang “B” dapat dibuktikan bernilai benar.
Di dalam matematika, dibedakan bukti-bukti langsung (direct proofs) dan buktibukti tak langsung (indirec proofs). Reductio ad absurdum dan kontraposisi
dipandangsebagai bukti tak langsung. Para matematikawan lebih menyukai bukti
langsung karena alasan estetika dan filosofi, sehingga jika seorang matematikawan
berhasil menemukan suatu bukti langsung, maka pasti itulah yang disajikan.
Contoh :
Buktikan bahwa banyaknya bilangan-bilangan prima adalah tak-berhingga !
Bukti tak langsung (dengan reductio ad absurdum)
Andaikan banyaknya bilangan prima adalah berhingga, maka ada bilangan prima terbesar, misalnya N. Jelas bahwa [(1,
2, 3 . . . N) + 1] tidak habis dibagi oleh bilangan-bilangan 2, 3, sampai dengan N.
Karena N bilangan prima terbesar, maka [(1, 2, 3 . . . N) + 1] bukan bilangan prima, sehingga mempunyai faktor terkecil. Fakrot ini
pasti bilangan prima dan pasti lebih besar dari pada N, maka terdapat kontradiksi. Jadi pengandaian harus diingkar dan bukti selesai.
Bukti secara langsung
Pada bilangan (N! + 1) tidak diadakan asumsi apapun tentang N, sehingga dengan menggunakan penalaran seperti di atas
maka faktor terkecil dari bilangan ini adalah suatu bilangan prima yang lebih besar dari N.
Kita mulai dengan N = 2, sedangkan faktor terkecil dari (N! + 1) disajikan dengan N, sehingga N, N, N, . . . adalah deret naik yang
terdiri atas bilangan prima. Dengan demikian terbuktilah tidak adanya bilangan prima terbesar.
Bukti langsung dapat dipandang “lebih baik” dibandingkan dengan bukti tak langsung karena tidak mengadakan suatu asumsi yang
sebenarnya tidak perlu diadakan.
Rangkuman
Membuktikan suatu toutologi dapat dilakukan dengan metode tabel, tetapi cara
tesebut memerlukan waktu terlalu lama, karena kita harus membuat tabel kebenaran dari
kalimat yang kita buktikan. Cara lain yang dapat dilakukan adalah dengan penalaran di
luar tabel seringkali dapat mencapai hasil dengan jauh lebih cepat dan juga dapat
dibuktikan dengan Reductio Ad Absurdum, dimana cara ini dimulai dengan
mengandaikan bahwa yang berlaku adalah ingkaran dari apa yang harus dibuktikan,
dimana dari pengandaian ini diturunkan suatu kontradiksi. Karena kontradiksi tidak
mungkin terjadi, sedangkan penalaran sahih, maka kekeliruan harus ada pada permulaan
penalaran, yaitu pada pengandaian, sehingga pengandaian harus diingkar. Dengan
menggunakan ingkaran rangkap maka terbuktilah apa yang harus dibuktikan.
Latihan Soal-Soal
Buktikan bahwa bentuk-bentuk di bawah ini merupakan tautologi, jika mungkin tanpa
pengisian tabel. Notasi yang digunakan adalah campuran tanda titik dengan tanda
kurung.
1) P:  :P  Q.  .Q
2) P  (P  Q  Q)
3) P & Q  R:  :R & Q P
4) (P  Q) & ( R  S):  (P & R)  (Q & S)
5) Apabila a, b real positif maka ½ (a + b)  ab.
a) Buktikan dengan reductio ad absurdum.
b) Berikan suatu bukti langsung .
6) Buktikan dengan reductio ad absurdum
Bilangan yang menjadi akar dari persamaan xm + c1 xm - 1 + . . . + cm = 0 adalah bulat
atau irasional.
7) Perlihatkan bahwa untuk membuktikan
ABCDEFG
Cukup dibuktikan
ABCDEFGA
8) Apabila a bulat dan a2 habis dibagi 2 maka pastilah juga a habis dibagi 2.
a) Buktikan dengan reductio ad absurdum.
Buktikan dengan cara langsung.