Potensial medan listrik


Suatu keadaan pada dua muatan titik
yang besarnya sama tetapi tandanya
berlawanan yang terletak pada jarak
yang kecil jika dibandingkan dengan
jarak ke titik P tempat medan listrik dan
medan potensialnya ditinjau.
θ
+q
r1
r
r >d
d
-q
P (r,θ,φ)
r2
θ r1
+q
r
d
-q
P (r,θ,φ)
r >>d
r2

Potensial di titik P akibat +q dan –q:
r2 − r1 = d cos θ
maka:
1 1
( − )
VP =
4πε 0 r1 r2
q
r2 − r1
(
)
VP =
4πε 0 r1.r2
q


Potensial di titik P yang jauh:
r2 − r1 = d cos θ dan r1.r2 = r 2
maka:
q.d cos θ
VP =
4πε 0 r 2
Jika q.d didefinisikan sebagai momen
dipole Ṗ maka:
P. r
VP =
4πε 0 r 2

Ē dapat diperoleh
gradien pada bola:
maka:
dengan

q.d cos θ ˆ q.d sin θ 

−θ
E = − − rˆS
3
3 
2πε 0 rS
4πε 0 rS 

q.d
ˆ sin θ
ˆ
θ
θ
2
cos
+
E=
r
3 S
4πε 0 rS
(
)
konsep
q2 P2
r21
Jalur q2 dari ~ ke P2
r32
P1
q1
q3
P3
r41
r43
P4 q4
Jalur q3 dari ~ ke P3
Pada kondisi awal yang ada di q1  Ē= 0
q1q2
Kehadiran q2 di P2  w2 = V21q2 =
4πε 0 r21
q1q3
q2 q3
+
Kehadiran q3 di P3  w3 = V31q3 + V32 q3 =
4πε 0 r31 4πε 0 r32
Kehadiran q4 di P4  w4 = V41q4 + V42 q4 + V43 q4
wE = w2 + w3 + w4
wE = V21q2 + V31q3 + V41q4 + V42 q4 + V43 q4
wE = V12 q1 + V13 q1 + V23 q2 + V14 q1 + V24 q2 + V34 q3
2 wE = q1 (V12 + V13 + V14 ) + q2 (V21 + V23 + V24 ) +
q3 (V31 + V32 + V34 ) + q4 (V41 + V42 + V44 )
Sehingga:
1
wE = (V1q1 + V2 q2 + V3 q3 + V4 q4 )
2
V12 = V13 = V14 = V1
Maka untuk n = k muatan titik:
1 k
wE = ∑ Vn qn
2 n =1
Untuk distribusi muatan:
1
muatan ruang → w = ∫ V .ρV .dv
2 v
1
muatan permukaan → w = ∫ V .ρ s .ds
2 s
1
muatan garis → w = ∫ V .ρ l .dl
2 l


1
Bilaρ v = ∇D maka w = ∫ V .(∇D).dv
2 v



Pers.Maxwell → V .(∇D) = V (∇D) − D(∇V )


1
sehingga → w = ∫ [V (∇D) − D(∇V )].dv
2 v
Dengan menggunakan teorema
divergensi, pers. sebelumnya menjadi:

1
1 
w = ∫ VD.dS − ∫ D(∇V ).dv
2 S
2 v

1
VD.dS ≈ 0 , E = −∇V dan D = ε 0 E,
∫
S
2
sehingga :
2
1  
1
w = ∫ D.E.dv atau w = ∫ ∈0 .E .dv
2 v
2 v
Suatu distribusi muatan dengan jari – jari ra dan
rapat muatan ρv pada pusat bola. Jika muatan
total Q, hitung w dengan menggunakan
w=
1
ρ vVdv
∫
v
2
rs > ra , ρ v = 0
z
rs


Vrs ~ = - ∫ Ers > ra dl + ∫ (− Ers < ra )dl
ra
ρV
~
rs
b
ra
s
− Qrs
− Qrs
= -∫
r
dr
+
r r drs )
(
s
2 s
3 s s
∫
~ 4πε 0 rs
ra 4πε 0 ra
ra
y
=
x
ra
r
Qrs
Qrs
2
2
−
r
−
r
(
s
a )
3
4πε 0 ra 4πε 0 ra
z
ρV
rs
b
y
ra
x
sehingga
w=
1
ρ vVdv
∫
v
2
Qrs
1
= ∫
2 v 4 / 3.πra 3
2
 Qrs
Qrs
2
2  2
−
(rs − ra ) rs sin θdrs dθdφ

3
 4πε 0 ra 8πε 0 ra

3Qrs
=
( Joule)
20.πε 0 ra