Geometri datar

TUGAS
GEOMETRI DATAR
OLEH
I MADE PURWA( 2008.v.1.0084)
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU
PENGETAHUAN ALAM
INSTITUT KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
IKIP PGRI BALI
DENPASAR
2009
1
Geometri datar
Geometri dalam matematika cendrung mempelajari titik-titik (ilmu ukur) yang ada.
 Perkembangan Geometri
Fase I
Perkembangan geometri pada fase I objeknya adalah benda-benda konkrit (benda-benda alam
yang berada di sekeliling kita ini). Contoh: batu,batako,kayu,besi,dll. Mengamati benda-benda
yang ada di alam dengan engguakan metode impiris (tidak memberi perlakuan pd objek yang
ada). Setelah menggunakan metode impiris, diproleh rumus dengan menggunakan metode
induksi.
l
L= p x l
p
t
d
Vk 
1
. .r 2 .t
3
t
d
V t   . r 2 .t
Fase II
Perkembangan geometri pada fase II, objek tidak lagi benda-benda konkrit(benda-benda alam
yang ada). Melainkan benda-benda yang ada dalam pikiran manusia. Contoh : garis lurus
mempunyai panjang namun tidak memiliki lebar (di alam pikiran manusia), kertas dilipat-lipat
dapat menjadi banggun geometri.
2
Membawa benda konkrit ke dalam pikiran manusia,melalui proses :
 Proses idealisasi
Proses menyempurnakan dari pada benda-benda konkrit ke benda-benda alam pikiran.
Contoh: benag yang penampangnya sangat kecil sehingga penampangnya tidak ada.
 Proses abstraksi
Dari benda/objek yang diamati ini hanya sebagai yang diamati. Dalam proses
perkembanggan geometri pada fase II pada awalnya belum di temukan hubungan dalil yang satu
ke dalil yang lainnya juga teorema, asioma,lema. Dengan perkembanggan IPTEK yang begitu
cepat sehingga perkembanggan matematikapun menggikuti akhirnya para ahli matematika
mencoba menghubungkan dalil,teorema,aksioma dan lema yang satu dengan yang lainnya.
 Hypokraktus
I
l
n
III
IV
l
II
n
r
V
r
Phitagoras
 2r 
2
  2l    2n 
2
2
4r 2  4l 2  4n 2
r 2  l 2  n2
1
L  r  . .r 2
2
1
L  l  . .r 2
2
1
L  n  . .n 2
2
1
1
L  l  L  n  . .l 2  . .n 2
2
2
1
L  r   l 2  n2 
2
1
1
. .r 2    l 2  n 2 
2
2
2
2
r  l  n2
3
Lr=L l+L n
V+III+IV=I+III+II+IV
V=I+II
Fase III
Perkembanggan geometri pada fase III ini, objeknya tidak lagi berbicara benda-benda alam,
melainkan benda-benda yang ada di alam pikiran manusia. Jadi metode pendekatan induktif tidak
diperkenankan digunakan pada fase III melainkan dalam proses pendekatan ini, kita coba
gunakan metode deduktif  umum  khusus.
Fase IV
Perkembanggan geometri pada fase IV setelah proses perkembanggan I,II, dan III pada fase IV
objeknya tidak hanya bangun-bangun geometri saja melainkan keseluruhan dari pada materi
matematika yang ada asalkan tidak bertentangan dengan aksioma, teorema, dalil dan lema tidak
bertentangan dengan aksioma yang lain. Misalnya kita tidak hanya membicarakan tentang garis
lurus, lingkaran melainkan berbicara aljabar, kalkulus dan materi yang lainnya.
 Pengertian pokok dalam Geometri:
1. Pengertian Titik
Tidak didefinisikan tidak mempunyai panjang dan lebar tetapi ia sangat menentukan
letaknya. Titik bisa digambarkan sebagai naktah “ . “ / ujung pensil yang di beri nama dengan
hurup kapital besar “A”.
2. Pengertian Garis ( garis lurus )
Tidak didefinisikan, garis itu memrupakan kumpulan titik yang mempunyai panjang dan
lebar tetapi tidak mempunyai lebar garis di gambarkan dengan
AB
A
B
3. Pengertian Bidang ( Bidang datar )
Tidak didefinisikan kumpulan titik yang mempunyai panjang dan lebar. Yang
digambarkan permukaan halus dan tipis. Misal:
u
Bid u
4. Pengertian Ruang
Tidak didefinisikan. Kumpulan titik, garis merupakan kumpulan bidang-bidang dan bidang
merupakan bagian ruang.
R
R
Ruang "R"
R
R
Misal :
4
5. Pengertian Diantara
Tidak didefinisikan.
A
B
C
B diantara A dan C. Tiap 3 titik itu segaris dan mempunyai urutan A,B,C atau C,B,A.
6. Ruas garis “AB” adalah kumpulan titik dari garis yang terdiri dari titik A dan B dan titik
diantaranya.
A
B
A dan B disebut titik ujung ruas garis “ AB ”.
” AB ” tanda panah menunjukan garis dapat ditarik sepanjangnya.
7. Sinar merupakan titik yang union dari titik tertentu dari suatu ruas garis dan semua titik dari
garis itu terletak.
8. Pengertian sepihak dan berlainan pihak.
A
B
C
A
C
B
B
A
C
Jika A suatu titik pada suatu garis ,B,C juga titik dari garis itu dikatakan B dan C letaknya
sepihak terhadap A. Jika B diantara A dan C atau C diantara B dan A .
B dan C letaknya berlainan pihak terhadap A jika A diantara B dan C.
Sinar –sinar berlawanan adalah dua sinar yang mempunyai titik pangkal yang sama dan pada
garis yang sama.
D
C
A
B
AB dan AC berlawanan .
AB dan CD bukan berlawanan .
9. Sudut adalah kumpulan titik-titik yang merupakan union atau gabungan dari dua sinar yang
merupakan titik pangkal berserikat , masing-masing sinar disebut sisi sudut dan titik pangkal
sinar di sebut titik sudut.
A
B
C
D
E
 ACE / ECA, ACD ,dsb
10. Ukuran Ruas Garis
Ada korespondensi satu-satu antara titik pada suatu garis dengan bilangan nyata, kalau
salah satu titik di kawankan dengan nol (0). Maka setiap titik yang lain berkawanan dengan
5
bilangan nyata tertentu dan sebaliknya jika titik p dikawankan dengan bilangan s maka P
berkoordinat S.
0
2
A
B
Untuk AB = 2 atau AB = 2
11. Ukuran Sudut
Untuk menyatakan ukuran sudut dapat dinyatakan sebagai berikut:
B
C
P
A Pada bidang APB ada setengah lingkaran yang pusatnya di P. salah
satu ujungnya A dan yang lainnya C adalah sinar lawan dari pada titik pada setengah
lingkaran itu berkorespodensi dengan bilangan kecil 0  180 .
Titik A  0 dengan kata lain A berkorespodensi 0
Titik C  180 dengan kata lain C berkorespodensi 180
Jika B berkoordinat x, bilangan x inilah merupakan ukuran sudut dari APBU
. APB  X .
 Definisi
a. Sudut siku-siku adalah sudut yang ukurannya 90
b. Sudut lurus adalah sudut yang ukurannya 180
c. Sudut lancip adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari 0 dan lebih kecil dari
90 ( 0  x  90 )
d. Sudut tumpul adalah sudut yang ukurannya lebih besar dari 90 dan lebih kecil dari
180 ( 90  x  180 )
e. Dua sudut yang saling berkomplement adalah jika jumlah dua sudut itu 90
f. Dua sudut yang saling bersuplement adalah jika jumlah dua sudut itu 180
g. Dua garis tegak lurus adalah jika dua garis itu saling berpotongan dan membentuk sudut sikusiku
h. Garis bagi suatu sudut adalah sinar yang titik pangkalnya titik sudut itu dan kedua sudut yang
dibentuk oleh sinar itu dengan kaki-kaki sudut itu mempunyai ukuran yang sama
A
garis bagi
P
B
Kongruensi dari suatu ruas Garis sudut
Definisi : Ruas- ruas garis kongruen jika mempunyai ukuran yang sama yang simbulnya  .
Jika AB = CD tentu AB CD
AB dan CD ruas garis yang sama, hanya membedakan namanya .
6
B=D
A=C
C
D Sedangkan dalam hal yang ke dua terjadi dua ruas
garis yang berlainan tetapi ukurannya sama.
Demikian pula jika ABC  DEF
Maka ABC DEF
Aksioma –Aksioma
1. Suatu garis dapat diperpanjang sejauh-jauhnya kedua arah
2. Untuk setiap 2 titik pada suatu ruas garis ada titik yang ke-3 yang terletak diantaranya
3. ada satu dan hanya satu garis yang melalui dua titik
Kongruensi Segitiga
♣ Segitiga : bangun geometri yang banyak dibicarakan dalam geometri. Untuk mendefinisikan
apakah itu segitiga . Diulai dengan bangun geometri yang lebih umum : segi banyak (
poligon).
Definisi:
Poligon adalah union dari kumpulan titik P1 , P,2 P3 ,...Pn 1 , Pn dengan ruas garis
PP
1 2 , P2 P3 , P3 P4 ,… Pn 1 Pn .Ruas garis itu berpotongan, titik potongnya adalah salah satu dari
titik-titik, P1 , P,2 P3 ,...Pn 1 , Pn dan tidak ada titik-titik potong yang lain.
P4
Pn 1
P3
Pn
P2
P1
P1 , P,2 P3 ,...Pn1 ,
Pn disebut titik sudut poligon .
P1 , P,2 P3 ,...Pn1 , Pn , Pnl , disebut sisi poligon P1 , P2 ..., Pn1 , Pn disebut sudut poligon.
titik
Cara memberi nama poligion
D
E
C
A
B
Disamping ini adalah gamgar poligon A,B,C,D,E dapat diberi nama
DCBAE,BCDEA dsb.
Definisi:
7
Segitiga adalah poligon yang mempunyai 3 sisi
C
A
B
Titik ABC disebut titik sudut segitiga,
segitiga, A, B, C disebut sudut segitiga.
Untuk mengetahui aksioma di ukur sisi,sudut sisi.
C
A
AB , BC , CA disebut sisi
F
B
D
E
ABC  DEF jika AB  DE , BC  EF dan 
 Dua segitiga adalah kongruen jika korespondensi antara titik sudutnya demikian hingga dua
sudut dan sisi apitnya dari segitiga yang satu kongruen dengan unsur yang berkorespondensi dari
segitiga yang lain.
Untuk menyatakan aksioma ini disebutkan dengan sudut, sisi, sudut .
ABC  DEF jika AD, BE, danAB DE .
♣
1.
2.
♣
1.
2.
3.
4.

Pembagian jenis-jenis segitiga didefinisiksn berdasarkan pada sisinya :
Segitiga sama sisi jika ke-3 sisinya kongruen
Segitiga sama kaki jika ke-2 sisinya kongruen
Bedasarkan pada sudutnya:
Segitiga sama sudut jika ke-3 sudutnya kongruen
Segitiga siku-siku jika satu sudutnya siku-siku
Segitiga tumpul jika satu sudutnya tumpul
Segitiga lancip sudut jika ke-3 sudutnya lancip
Definisi :
C
P
B
A
PB
U APB  U BPC  APC
Sinar
diantara sinar
PA, danPC
yang dimaksud adalah jika
8
B
P
A
Daerah dalam ( interior ) suatu sudut adalah kumpulan titik demikian hinga jika
suatu suatu sinsr titik pangkalnya titik sudut itu dan melalui salah 1 titik dari kumpulan itu akan
terletak diantara kaki-kaki sudut itu.
C
A
B
Daerah dalam ( interior ) suatu segitiga adalah kumpulan titik persekutuan dari
daerah dalam dari sudut segitiga itu.
 Aksioma
Dua segitiga adalah kongruen jika ada korespondensi antara titik- titik sudutnya sedemikian
hingga 2 sisi dan sudut apitnya dari segi tiga yang satu kongruen dengan unsur yang
berkorespondensi
Segi empat
Poligon
Segiempat
Jajaran genjang
Persegi panjang
Trapesium
Belah ketupat
Trapesium sama kaki
Bujur sangkar
Definisi:
1.
C
D
A
B
Segiempat adalah poligon yang mempunyai 4 sisi, sisi AB,BC,AD dan CD
2.
D
A
C
B
Jajaran genjang adalah segi 4 yang sisi berhadapan adalah sejajar. AB//CD
dan AD//BC
9
3.
D
C
A
B
Persegi panjang adalah jajaran genjang yang mempunyai 1 sudut siki-siku :
A  90 , AB,BC,CD,AD sisi persegi panjang
4.
D
C
A
B
Bujur sangkar adalah persegi panjang yang mempunyai 2 sisi yang bersisian
kongruen. AD  AB
5.
D
C
A
B
Belah ketupat adalah jajaran genjang yang mempunyai 2 sisi yang bersisian
kongruen. Sisi AD  BC
6.
D
C
A
B
Trapesium adalah segi empat yang mempunyai satu dan hanya
satu pasang sisi yang sejajar. Sisi AB // CB
7.
D
A
C
B
Trapesium sama kaki adalah trapesium yang sepasang sisi yang
berhadapan tidak sejajar adalah kongruen. Sisi AD  BC

1.
2.
3.
4.
2.
3.
Iktisar
Sifat-sifat yang ada pada jajaran genjang:
Cara untuk membuktikan bahwasegi empat adalah jajaran genjang
Jika 2 sisi yang berhadapan adalah sejajar
Jika sisi- sisi yang berhadapan adalah kongruen
Jika diagonal- diagonal saling membagi 2
Jika sepasang sisi yang berhadapan kongruen dan sejajar
Kesimpulan yang dapat diambil jika segi empat adalah jajaran genjang:
Sisi- sisi berhadapan adalah sejajar
Sisi- sisi berhadapan adalah kongruen
10
4.
5.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
Diagonal-diagonal saling membagi 2
Dua sudut yang berhadapan kongruen
Dalil.
Sudut yang berhadapan dari jajaran genjang adalah kongruen
Diagonal-diagonal jajaran genjang berpotongan saling membagi 2
Semua sisi bujur sangkar kongruen
Semua sisi belah ketupat kongruen
Diagonal-diagonal belah ketupat berpotongan tegak lurus
Sudut-sudut alas trapesium sama kaki kongruen
Jika sisi yang behadapan suatu segi 4 kongruen maka segi empat itu dapat di katakan jajaran
genjang
8. Jika diagonal-diagonal segi empat saling membagi 2 maka segi empat itu dikatakan jajaran
genjang
9. Jika segi empat mempunyai sepasang sisi kongruendan sejajar maka segi empat itu adalah
jajaran genjang
Lingkaran
 Definisi
r
lingkaran adalah kumpulan titik sedemikian hingga ruas garis yang
ditentukan oleh tiap dari kumpulan itu dengan suatu titik tertentu adalah kongruen.


Titik tertentu itu disebut titik pusat lingkaran
Jari-jari lingkaran adalah ruas garis yang di tentukan oleh sembarang titik di lingkaran itu
dengan titik porosnya.
♣ Unsur- unsur Lingkaran
R
r
P
r
r
O
Q
Gambar di samping merupakan suatu lingkaran .O adalah suatu pusat
lingkaran , OP,OQ dan OR adalah jari-jari lingkaran biasa dilambangkan dengan r (radius) dan
PQ dilambangkan dengan d. Panjang panjang garis tengah adalah dua kali panjang jari-jari. Jadi d
= 2r sedangkan garis lingkaran QR,RP,PQ disebut busur lingkaran, panjang garis lingkaran,
lengkung dari P ke titik P lagi disebut keliling lingkaran.
Rumus dari keliling lingkaran adalah
K=  .d
K = keliling lingkaran
= 2  .r
d = diameter
d=2r
r = jari-jari
2
d  = 3,14
Rumus luas lingkaran
Luas lingkaran adalah luas daerah yang dibatasi oleh busur lingkaran tersebut
11
 r
3
4
4
2
5
1
1
3
2
r
5
Kalau jari-jari lingkaran adalah r maka keliling lingkaran adalah 2  r dengan memperhatikan
bangun persegi panjang diatas yang terjadi lebarnya = r sedangkan panjangnya = ½ keliling
lingkaran yaitu  r sehingga luas lingkaran adalah  r x r
L =  .r 2
L = luas lingkaran
2
L= ¼  d
d = diameter
d=2r
r = jari-jari
TETRA HIDRON (Piramid bidang empat)
D
A
C
B
P
p
R
r
Q
q
o
PR = ½ PQ
2PR = PQ
2p-2r = p – q
2p – p = 2r – q
p = 2r – q
p + q = 2r
r=½(p+q)
A
B
a
S
b
S=½(a+b)
c
q
1.
f
b
a
q=
2 f  1.a
2 1
f = ½ (b + c )
1
2. .(b  c)
q= 2
3
cba
=
3
q =1/3 (a +b + c)
12
2.
c
l
h
a
b
l = ½ (a + b )
1
2 (a  c)  b
2c  1b
h=
= 2
2 1
3
(a  c)  b
h=
= 1/3 ( a + b + c )
3
3.
c
l
a
k
b
k =½ (a + b )
1
2 ( a  b)  c
2k  1c
l=
= 2
2 1
3
(a  b)  c
l=
=1/3 (a + b + c)
3
 Kesimpulan: Faktor posisi yang sama akan berhimpit. q , h , l akan berhimpit.
1.
C
l
g1
D
B
A
g 1 = 1/3 (a + b + c )
3.g1  1d
= 3.1/3(a + b + c ) + d
3 1
abcd
l=
= ¼ (a + b + c +d)
4
l=
13
2.
C
g2
h
D
B
A
g 2 = 1/3 (b + c +d )
1
3 (a  c  d )  b
3.g 2  b
h=
= 3
3 1
4
h = ¼ (a + b + c + d )
3.
C
g3
D
B
k
A
g 3 = 1/3 (b + c + d )
3.g 3  1.a
k=
=
3 1
1
3. (b  c  d )  a
3
3 1
k = ¼ (a + b+ c + d )
4.
C
m
D
B
g4
A
g 4 = 1/3 ( a + b + d )
1
3. (a  b  d )  c
3.g 4  c
m=
= 3
3 1
3 1
m = ¼ (a + b+ d + c )
14
Kubus
H
G
E
F
1
D
C
1
A
1
B
Volume = 1x1x1=1
= m x m x m = m3
H
E
F
G
t
6m
A
D
2m
l
B
C
3 m
p
Volume = 2m x 3m x 6m = 36 m
Dapat di tarik kesimpulan Volume kubus = V = p x l x t
V= volume
p = panjang
l = lebar
t = tinggi
H
E
G
F
t
D
C
l
A
p
V=
B
pxlxt pxl

xt
2
2
V ½ kubus = luas alas x t
Volume limas
H
G
t
F
E
1/2 a
1/2 a
D
D
t
D
C
a
A
a
B
C
A
a
a
B
Volume limas T. ABCD = 1/6 V kubus
= 1/6 a 3
= 1/3 a 2 . ½ a
= 1/3 . L alas bujur sangkar . t
15
T
t
C
A
a
a
B
Volume limas. T .ABC = ½ . 1/3 luas alas . t
= ½ . 1/3 a 2 .t
= 1/3. ½ a 2 .t
= 1/3 luas alas .t
Pisma tegak ABCDEF
D
F
E
A
C
B
I Luas FABC
II Luas BDEF
III Luas FABD
Volume Prisma = luas alas .t
V. FABC = 1/3 luas ABC. t
V = FABC . Volume BDEF
L .ABC = L. DEF
alas sama
tinggi sama (cf=be)
Kerucut tegak
T
m
A B
V. Kerucut = 1/3 luas alas .t
V. TABM = 1/3 luas alas∆ .t
= 1/3 ∆ luas alas .t
= 1/3 L
.t
= 1/3 luas alas .t
16
y
y= m. x
R
x
t
y= m. x
y = m .x
y=m.x+c
y = L0  L1.x1  
t
V =   y dx
2
o
t
t
t
t
R2 2
R 2
R2 2
=   (m.x) dx =   ( .x) dx =   2 x dx =  2  x dx
t o
t
t
o
o
o
2
t
R2 1 3 1 3
R 1 3
=

( t  0)
x

t2 3
3
t 2  3 o
1
R2 1
=  2 . t 3 =  .R 2 .t
3
t 3
=
2
V kerucut = 1/3 luas alas .t
17