makalah-garis-sejajarjarak-jumlah-sudut-4

BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Penulisan makalah ini merupakan pemaparan mengenai definisi
garis sejajar, jarak dan jumlah sudut. Dengan materi yang diambil dari
sumber tertentu.
Pembahasan ini terkhusus pada masalah garis sejajar, jarak dan
jumlah sudut dalam segitiga dan poligon. Lebih khusus lagi membahas
tentang pasangan sudut yang terbentuk dari dua garis sejajar yang
dipotong oleh suatu transversal, dan mengenai jarak antara dua bentuk
geometrik, serta jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga dan poligon.
Makalah ini ditulis mempunyai tujuan yaitu untuk mempermudah
seseorang dalam mempelajari dan memahami materi garis sejajar, jarak
dan jumlah sudut.
Harapan penulis, pembaca dapat memahami materi yang telah
dipaparkan oleh penulis.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa yang dimaksud dengan garis sejajar ?
2. Apa yang dimaksud dengan jarak ?
3. Bagaimana jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga ?
4. Bagaimana jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga ?
5. Apa teorema kekongruenan yang baru ?
C. TUJUAN
1. Untuk mengetahui pengertian garis sejajar.
2. Untuk mengetahui pengertian jarak.
3. Untuk mengetahui ukuran sudut-sudut suatu segitiga.
4. Untuk mengetahui ukuran sudut-sudut suatu polygon.
5. Untuk mengetahui teorema baru kekongruenan.
1
BAB II
MATERI
A. GARIS SEJAJAR
Garis-garis sejajar adalah garis-garis lurus yang terletak pada
bidang yang sama dan tidak berpotongan sejauh apapun garis-garis
tersebut diperpanjang. Simbol untuk garis-garis sejajar adalah ||; jadi ⃡𝐴𝐵 ||
⃡𝐶𝐷 dibaca “garis ⃡𝐴𝐵 sejajar dengan garis ⃡𝐶𝐷”.
B
A
D
C
Transversal (garis melintang) dari dua atau lebih garis adalah suatu
garis yang memotong garis-garis tersebut. Jadi ⃡𝐸𝐹 adalah transversal dari
⃡𝐴𝐵 dan ⃡𝐶𝐷 .
Sudut-dalam (sudut interior) yang terbentuk oleh dua garis yang
dipotong oleh suatu transversal adalah sudut di antara kedua garis tersebut,
sedangkan sudut-luar (sudut eksterior) adalah sudut yang berada di luar
garis-garis tersebut.
⃡ dan 𝐶𝐷
⃡ yang
Jadi, dari kedelapan sudut yang terbentuk oleh 𝐴𝐵
dipotong oleh ⃡𝐸𝐹 dalam gambar diatas, sudut-dalamnya adalah ∠1, ∠2,
∠3, dan ∠4; dan sudut-luarnya adalah ∠5, ∠6, ∠7, ∠8.
2
Pasangan Sudut yang Terbentuk oleh Dua Garis yang Dipotong oleh
Suatu Transversal
Sudut-sudut yang bersesuaian dari dua garis yang dipotong oleh
suatu transversal adalah sudut-sudut pada sisi yang sama dari transversal
tersebut dan pada sisi yang sama dari garis-garis tersebut.
Jadi∠1, dan ∠2 dalam gambar dibawah ini adalah sudut-sudut yang
⃡ dan 𝐶𝐷
⃡ yang dipotong oleh transversal ⃡𝐸𝐹 .
bersesuaian dari 𝐴𝐵
Ketika dua garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sisi-sisi dari dua
sudut yang bersesuaian membentuk huruf kapital F dengan posisi yang
berbeda-beda, seperti berikut :
Sudut-dalam berseberangan (alternate interior angles) dari dua
garis yang dipotong oleh suatu transversal adalah sudut-sudut tidak
berdampingan di antara kedua garis tersebut dan pada sisi-sisi yang
berseberangan pada transversal tersebut.
Jadi, ∠1 dan ∠2 pada gambar di bawah ini adalah sudut-dalam
⃡ dan 𝐶𝐷
⃡ yang dipotong oleh ⃡𝐸𝐹 .
berseberangan dari 𝐴𝐵
3
Ketika garis-garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sisi-sisi
dari dua sudut-dalam berseberangan membentuk huruf kapital Z atau N
dengan posisi yang berbeda-beda, seperti berikut :
Ketika garis sejajar dipotong oleh suatu transversal, sudut-dalam
pada sisi transversal yang sama dapat dengan mudah ditentukan letaknya
dengan menandai huruf kapital U yang terbentuk oleh sisi-sisinya.
Prinsip Garis Sejajar
Prinsip 1 : Melalui satu titik tertentu yang tidak berada pada satu garis
tertentu, dapat dibuat satu dan hanya satu garis yang sejajar
dengan garis tertentu tersebut. (Postulat Garis Sejajar)
Prinsip 2 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut yang
bersesuaian kongruen.
Prinsip 3 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut-dalam
berseberangan kongruen.
Prinsip 4 : Dua garis disebut sejajar jika sepasang sudut-dalam pada sisi
transversal yang sama adalah sudut-sudut suplementer.
4
Prinsip 5 : Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut tegak
lurus terhadap satu garis yang sama. (Garis-garis yang tegak
lurus terhadap satu garis yang sama disebut sejajar).
Prinsip 6 : Sejumlah garis disebut sejajar jika garis-garis tersebut sejajar
terhadap satu garis yang sama. (Garis-garis yang sejajar
terhadap satu garis yang sama disebut sejajar).
Prinsip 7 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut-sudut yang
bersesuaian kongruen. (Sudut-sudut yang bersesuaian pada
garis-garis sejajar kongruen).
Prinsip 8 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut-dalam
berseberangan kongruen. (Sudut-dalam berseberangan pada
garis-garis sejajar kongruen).
Prinsip 9 : Jika dua garis sejajar, setiap pasangan sudut-dalam pada sisi
transversal yang sama adalah sudut suplementer.
Prinsip 10 : Jika sejumlah garis sejajar, suatu garis yang tegak lurus
terhadap salah satu di antara garis-garis sejajar tersebut
tegak lurus juga terhadap garis-garis yang lainnya.
Prinsip 11 : Jika sejumlah garis sejajar, suatu garis yang sejajar dengan
salah satu diantara garis-garis sejajar tersebut sejajar juga
dengan garis-garis lainnya.
Prinsip 12 : Jika sisi-sisi dari dua sudut masing-masing sejajar satu sama
lain, sudut-sudut tersebut bersifat kongruen atau suplementer.
B. JARAK
Jarak Antara Dua Bentuk Geometrik
Jarak antara dua bentuk geometrik adalah ruas garis lurus yang
merupakan ruas garis terpendek di antara bentuk-bentuk tersebut.
5
1. Jarak di antara dua titik, seperti P dan Q pada gambar (a), adalah
ruas garis 𝑃𝑄 yang terletak di antaranya.
⃡ pada
2. Jarak antara suatu titik dan suatu garis, seperti P dan 𝐴𝐵
gambar (b), adalah ruas garis 𝑃𝑄, garis tegak lurus dari titik
menuju garis.
3. Jarak antara dua garis sejajar, seperti ⃡𝐴𝐵 dan ⃡𝐶𝐷 pada gambar
(c), adalah ruas garis 𝑃𝑄, garis tegak lurus di antara kedua garis
sejajar tersebut.
4. Jarak antara suatu titik dan suatu lingkaran, seperti P dan
lingkaran pada gambar (d), adalah ruas garis 𝑃𝑄, bagian dari 𝑂𝑃
di antara titik dan lingkaran.
5. Jarak antara dua lingkaran konsentrik, misalnya dua lingkaran
yang berpusat di O, adalah ruas garis 𝑃𝑄, bagian dari lingkaran
yang berjari-jari lebih besar yang terletak di antara kedua
lingkaran tersebut, seperti yang ditunjuk gambar (e).
Prinsip Jarak
Prinsip 1 :
Jika suatu titik terletak pada garis-berat (atau garis-bagi
tegak lurus) suatu ruas garis, maka titik ini berjarak sama
dari ujung-ujung ruas garis tersebut.
6
Prinsip 2 :
Jika suatu titik berjarak sama dari ujung-ujung suatu ruas
garis, maka titik ini terletak pada garis-berat ruas garis
tersebut. (Prinsip 2 adalah kebalikan dari Prinsip 1)
Prinsip 3 :
Jika suatu titik terletak pada garis-bagi suatu sudut, maka
titik ini berjarak sama dari sisi-sisi sudut tersebut.
Prinsip 4 :
Jika suatu titik berjarak sama dari sisi-sisi suatu sudut, maka
titik ini terletak pada garis-bagi sudut tersebut. (Prinsip 4
adalah kebalikan dari Prinsip 3)
Prinsip 5 :
Dua titik yang masing-masing berjarak samadari ujungujung suatu ruas garisakan menentukan garis-berat ruas
garis tersebut. (Garis yang menyatukan titik sudut-titik sudut
dari dua segitiga sama kaki yang mempunyai dasar yang
sama merupakan garis-berat dasar segitiga tersebut)
Prinsip 6 :
Garis-berat pada sisi-sisi suatu segitiga bertemu di satu titik
yang berjarak sama dari verteks-verteks segitiga tersebut.
Prinsip 7 :
Garis-bagi pada sudut-sudut suatu segitiga bertemu di satu
titik yang berjarak sama dari sisi-sisi segitiga tersebut.
C. JUMLAH SUDUT
i.
Jumlah Ukuran Sudut-Sudut Suatu Segitiga
Semua sudut segitiga bisa dipotong, seperti pada gambar (a),
dan kemudian ditempelkan menjadi satu, seperti ditunjukkan pada
gambar (b). ketiga sudut tersebut akan membentuk sudut lurus.
7
Kita dapat membuktikan bahwa jumlah ukuran sudut-sudut
suatu segitigaadalah 180° dengan menggambar suatu garis melalui
salah satu titik sudut segitiga tersebut yang sejajar dengan sisi di
hadapan titik sudut tersebut. Pada gambar di atas, ⃡𝑀𝑁 digambar
melalui B dan sejajar dengan AC.
Perhatikan bahwa ukuran sudut lurus pada B sama dengan
jumlah ukuran sudut-sudut △ 𝐴𝐵𝐶 ; yaitu, 𝑎° + 𝑏° + 𝑐° = 180°.
Setiap pasangan sudut kongruen merupakan pasangan sudut-dalam
berseberangan pada ragis-garis sejajar.
Sudut-Dalam dan Sudut-Luar pada Poligon
Sudut-luar pada poligon terbentuk ketika salah satu sisinya
diperpanjang melalui suatu titik sudut. Jika setiap sisi poligon
diperpanjang, seperti ditunjukan pada gambar (a), sudut-luar akan
terbentuk pada setiap verteks. Setiap sudut-luar ini merupakan
suplemen dari sudut-dalam berdampingan.
Jadi, dalam setiap kasus pentagon ABCDE, akan terdapat
lima sudut-luar, masing-masing satu pada setiap titik sudut.
Perhatikan bahwa setiap sudut-luar merupakan suplemen dari
sudut-dalam berdampingan. Sebagai contoh 𝑚∠𝑎 + 𝑚∠𝑎′ = 180°.
Prinsip Jumlah Ukuran Sudut
Prinsip 1 :
Jumlah ukuran sudut-sudut suatu segitiga sama
dengan ukuran sudut lurus.
8
Prinsip 2 :
Jika
dua
sudut
suatu
segitiga
masing-masing
kongruen dengan dua sudut segitiga yang lain, sudutsudut yang tersisa juga kongruen.
Prinsip 3 :
Jumlah semua sudut-dalam suatu segiempat sama
dengan 360°.
Prinsip 4 :
Ukuran setiap sudut-luar suatu segitiga sama dengan
jumlah ukuran dua sudut-dalamnya yang tidak
berdampingan.
Prinsip 5 :
Jumlah ukuran sudut-luar suatu segitiga adalah 360°.
Prinsip 6 :
Ukuran setiap sudut suatu segitiga sama sisi adalah
60°.
Prinsip 7 :
Sudut-sudut lancip suatu segitiga siku-siku bersifat
komplementer.
Prinsip 8 :
Ukuran setiap sudut lancip suatu segitiga siku-siku
sama kaki adalah 45°.
Prinsip 9 :
Suatu segitiga tidak bisa mempunyai lebih dari satu
sudut siku-siku.
Prinsip 10 : Suatu segitiga tidak bisa mempunyai lebih dari satu
sudut tumpul.
Prinsip 11 : Dua sudut bersifat kongruen atau suplementer jika
sisi-sisinya masing-masing saling tegak lurus satu
sama lain.
ii.
Jumlah Ukuran Sudut-Sudut Suatu Poligon
Poligon adalah bentuk datar tertutup yang dibatasi oleh ruas
garis-ruas garis lurus sebagai sisi-sisinya. Suatu n-gon adalah
poligon dengan n sisi. Jadi, poligon dengan 20 sisi adalah 20-gon.
Nama-nama poligon menurut jumlah sisinya
Jumlah sisi
Poligon
9
Jumlah sisi
Poligon
3
Segitiga
8
Oktagon
4
Segiempat
9
Nonagon
5
Pentagon
10
Dekagon
6
Heksagon
12
Dodecagon
7
Heptagon
N
n-gon
Poligon beraturan adalah poligon sama sisi dan sama sudut.
Jadi, pentagon beraturan adalah pentagon yang memiliki 5 sudut
yang kongruen dan 5 sisi kongruen (gambar a). Bujursangkar
adalah poligon beraturan bersisi 4 (gambar b).
Jumlah Ukuran Sudut-Dalam suatu Poligon
Dengan menggambar diagonal-diagonal dari sembarang titik
sudut menuju ke setiap titik sudut yang lain, seperti pada gambar di
bawah ini, poligon bersisi 7 dapat dibagi menjadi 5 segitiga.
Perhatikan bahwa setiap segitiga mempunyai satu sisi poligon
tersebut, kecuali segitiga pertama dan segitiga terakhir yang
memiliki dua sisi polygon.
10
Secara umum proses ini akan membagi poligon bersisi n
menjadi n – 2 segitiga; yang berarti, banyaknya segitiga yang
terbentuk selalu dua kurangnya dari banyaknya sisi poligon.
Jumlah ukuran sudut-dalam suatu poligon sama dengan
jumlah sudut-dalam segitiga. Dengan demikian :
Jumlah ukuran sudut-dalam suatu poligon bersisi n adalah
(n–2)180°.
Jumlah Ukuran Sudut-Luar suatu Poligon
Sudut-luar poligon dapat dibuat bersama-sama, sehingga
sudut-sudut tersebut mempunyai titik sudut yang sama. Untuk
membuatnya, gambarlah garis-garis yang sejajar dengan sisi-sisi
poligon dari satu titik, seperti pada gambar di bawah ini. Jika hal
ini dilakukan, dapat kita lihat bahwa tidak peduli berapapun
sisinya, jumlah ukuran sudut-luar sama dengan 360°. Dengan
demikian :
Jumlah ukuran sudut-luar suatu poligon bersisi n adalah
360°.
Prinsip Poligon Sudut
 Untuk sembarang poligon
Prinsip 1 : Jika S adalah jumlah ukuran sudut-dalam suatu
poligon bersisi n, maka :
11
S = (n – 2) sudut lurus = (n – 2)1800
Prinsip 2 : Jumlah ukuran sudut-luar semua poligon adalah 3600.
 Untuk poligon beraturan
Prinsip 3 : Jika
poligon
beraturan
bersisi
n
(gambar
a)
mempunyai sudut-dalam berukuran i dan sudut-luar
berukuran e (dalam derajat), maka :
i=
180(𝑛−2)
𝑛
e=
360
𝑛
dan i + e = 180
Jadi, untuk poligon beraturan bersisi 20 :
i=
e=
180(20−2)
20
360
20
= 162
= 18
i + e = 162 + 18 = 180
DUA TEOREMA KEKONGRUENAN YANG BARU
Tiga metode untuk membuktikan segitiga-segitiga kongruen telah dijelaskan
sebelumnya. Metode-metode tersebut adalah :
1. ss.sd.ss ≅ ss.sd.ss
2. sd.ss.sd ≅ sd.ss.sd
3. ss.ss.ss ≅ ss.ss.ss
(ket : ss = sisi , sd = sudut)
Dua metode tambahan untuk membuktikan bahwa segitiga-segitiga adalah
kongruen yaitu :
4. ss.sd.sd ≅ ss.sd.sd
5. hip. kaki ≅ hip. kaki
(ket : hip = hipotenusa atau sisi miring)
12
Dua Prinsip Kekongruenan yang Baru
Prinsip 1 :
(ss.sd.sd ≅ ss.sd.sd) Jika dau sudut dan satu sisi yang
berhadapan dengan salah satu sudut tersebut pada suatu
segitiga adalah kongruen dengan bagian-bagian yang
bersesuaian pada segitiga yang lain, segitiga-segitiga
tersebut adalah kongruen.
Prinsip 2 :
(hip. kaki ≅ hip. kaki) Jika hipotenusa atau sisi miring dan
satu kaki pada suatu segitiga adalah kongruen dengan
bagian-bagian yang bersesuaian pada segitiga yang lain,
segitiga-segitiga tersebut adalah kongruen.
Contoh soal :
(a) Buktikan bahwa jika ukuran satu sudut suatu segitiga sama dengan
jumlah ukuran dua sudut yang lainnya, maka segitiga tersebut adalah
segitiga siku-siku.
(b) Buktikan bahwa jika sudut-sudut yang berhadapan dari suatu
segiempat adalah kongruen, maka sisi-sisinya yang berhadapan adalah
sejajar.
Penyelesaian :
(a) Diketahui : △ 𝐴𝐵𝐶, 𝑚∠𝐶 = 𝑚∠𝐴 + 𝑚∠𝐵
Untuk pembuktian : △ 𝐴𝐵𝐶 adalah segitiga siku-siku
Rencana : Buktikan 𝑚∠𝐶 = 90°
Bukti Aljabar :
Misalkan :
a = besarnya derajat pada ∠𝐴
b = besarnya derajat pada ∠𝐵
13
Maka,
a + b = besar derajat pada ∠𝐶
a + b + (a + b) = 180 (Prinsip 1)
2a + 2b = 180
a + b = 90
Karena 𝑚∠𝐶 adalah 900, △ 𝐴𝐵𝐶 adalah △ siku-siku.
(b) Diketahui : Segiempat ABCD, ∠𝐴 ≅ ∠𝐶, ∠𝐵 ≅ ∠𝐷
Untuk pembuktian : 𝐴𝐵||𝐶𝐷, 𝐵𝐶||𝐴𝐷
Rencana : Buktikan ∠ pada sisi yang sama dengan transversal adalah
suplementer
Bukti Aljabar :
Misalkan :
a = besarnya derajat pada ∠𝐴 dan ∠𝐶
b = besarnya derajat pada ∠𝐵 dan ∠𝐷
Karena ∠𝐴 dan ∠𝐵 adalah suplementer, maka 𝐵𝐶||𝐴𝐷
Karena ∠𝐴 dan ∠𝐷 adalah suplementer, maka 𝐴𝐵||𝐶𝐷
14
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
Berdasarkan uraian materi di atas penulis menyimpulkan :
1. Garis sejajar adalah garis-garis lurus yang terletak pada bidang yang
sama dan tidak berpotongan sejauh apapun garis-garis tersebut
diperpanjang.
2. Jarak adalah ruas garis lurus yang merupakan ruas garis terpendek di
antara bentuk-bentuk tersebut.
3. Jumlah sudut dalam suatu segitiga besarnya adalah 1800. Jumlah
sudut dalam suatu segiempat adalah 3600.
B. SARAN
Berdasarkan uraian di atas, penulis memberikan saran atau
rekomendasi untuk menyempurnakan penulisan makalah ini yaitu :
1. Perlu adanya penelitian lebih lanjut untuk menyempurnakan hasil
penulisan makalah ini guna menjawab beberapa pertanyaan atau
permasalahan yang muncul ketika penulisan makalah ini berlangsung.
2. Untuk lebih memahami materi garis sejajar, jarak dan jumlah sudut
harus lebih banyak berlatih mengerjakan soal sejenis.
C. DAFTAR PUSTAKA
Barnett Rich. 2005. Geometri. Jakarta : Erlangga.
15