ruang euclid dan ruang vektor - Aflich Yusnita Fitrianna

ALJABAR LINEAR
RUANG EUCLID, RUANG VEKTOR,
DAN SUB RUANG
AFLICH YUSNITA FITRIANNA, M.Pd.
STKIP SILIWANGI BANDUNG
Ruang Euclid
Definisi
Dua vektor ū = {u1, u2, …, un} dan = {v1, v2, …, vn} dalam
disebut sama jika:
 Operasi standar / baku pada vektor Euclid
Diketahui ū dan adalah vektor – vektor di ruang – n Euclid
dengan
ū = {u1, u2, …, un} dan = {v1, v2, …, vn}
PenjumlahanVektor
Perkalian vektor
Dan jika k adalah sembarang skalar, perkalian skalar ku didefinisikan
sebagai
 Panjang vektor
 Jarak antar vektor
Contoh
Hasil kali dalam Euclides dari vektor-vektor
u = (-1, 3, 5, 7) dan v = (5, -4, 7, 0)
dalam
adalah…
2. Diketahui a = (1, 1, 2, 3) dan b = (2, 2, 1, 1)
carilah:
a. Panjang vektor a dan vektor b !
b. Tentukan jarak antara a dan b !
1.
Penyelesaian
1. u.v   15  3 4  57   7 0  18
2. a.
a 
b 
b.
1 1  2  3  15
2
2
2
2
2
2
 2 1 1  10
d ( a, b) 
2
2
2
12  12  21  31 
2
2
2
2
7
RUANG VEKTOR (VECTOR SPACE)
Diketahui himpunanV dengan u, v, w V, agar V disebut
sebagai ruang vektor, jika berlaku:
1. Sifat tertutup, Jika u, v ∈ V , maka u + v ∈ V
2. Sifat Komutatif, u + v = v + u
3. Sifat Asosiatif, u + ( v + w ) = ( u + v) + w
4. Terdapat Identitas Penjumlahan, yaitu 0 ∈ V sehingga
0 + u = u + 0 untuk semua u ∈ V.
5. Untuk setiap u ∈ V terdapat –u ∈ V sehingga
u + (– u ) = 0
6. Untuk sembarang skalar k, jika u ∈ V maka ku∈ V
7. k( u + v) = ku + kv, k sembarang skalar
8. (k + l) u = ku + lu , k dan l skalar
9. k(l u) = (kl) u
10. 1 u = u
Contoh
M = { semua matriks berdimensi 3x2}.
Operasi penjumlahan pada M adalah operasi penjumlahan matriks.
Operasi perkaliannya adalah perkalian skalar dengan anggotaanggota M. apakah M merupakan ruang vektor?
Penyelesaian
Ambil
A B C
3 x 2,
3 x 2,
3 x 2,
M
Tertutup dipenuhi, sebab A+B = D3x2 € M
2. Komutatif dipenuhi; A+B=B+A
3. Asosiatif dipenuhi, sebab (A+B)+C=A+(B+C)
4. Mempunyai identitas,  0 0  sehingga A+0 = A
1.
0  0 0
0 0


5. Untuk setiap
A + -A = 0
 a11

A   a21

 a31
a12  ada
a22 

a32 
  a11

 A    a21

  a31
a
a
a


22 

32 
12
6. Untuk sebarang k, l skalar, maka kA € M
7. Distributif; k(A+B)=kA + kB
8. Distributif; (k+l) A = kA + lA
9. Asosiatif; k(lA) = (kl) A
10. Identitas perkalian; ada 1 skalar, sehingga 1A=A
Karena 10 sifat dipenuhi, maka M adalah ruang vektor
Contoh
 Tunjukkan bahwaV yaitu himpunan matriks yang berbentuk
 a 1


1 b
dengan operasi standar matriks bukan merupakan ruang
vektor, (a,b ∈ R)
Penyelesaian
Untuk membuktikan V bukan merupakan ruang vektor adalah
cukup dengan menunjukkan bahwa salah satu syarat ruang
vektor tidak dipenuhi.
Akan ditunjukkan apakah memenuhi syarat yang pertama
Misalkan
 p 1

A  
 1 q
A+B =  p  r
 2

dan
2 
  V
q  s
 r 1

B  
1 s 
, p, q, r, s € R maka A, B €V
syarat 1 tidak dipenuhi
JadiV bukan merupakan ruang vektor
SUB RUANG
 DiketahuiV ruang vektor dan U subhimpunanV. Kemudian
U dikatakan sub–ruang dari V jika memenuhi dua syarat
berikut :
1. W bukan merupakan himpunan kosong
2. W  V
3. Jika u, v ∈ U maka u + v ∈ U
4. Jika u ∈ U , untuk skalar k berlaku ku ∈ U
Contoh
 Diketahui U adalah himpunan titik-titik di bidang dengan
ordinat 0 dengan operasi standar R2 , tunjukkan bahwa U
merupakan sub-ruang dari R2 !
Penyelesaian
Akan ditunjukkan bahwa U memenuhi dua syarat sub–ruang
vektor , yaitu :
1. U = { x,0 } untuk sembarang nilai x ,x ∈ R
misalkan a = ( x1,0 ) dan b = ( x2,0 ) dengan x1,x2 ∈ R ,
maka a, b ∈ U
a + b = ( x1 + x2, 0 ) dengan x1+x2 ∈ R , jadi a+b ∈ U
Jadi syarat ke–1 terpenuhi.
2. Untuk skalar k, maka ka = (kx1,0) dengan kx1 ∈ R, jadi ka ∈ U
Jadi syarat ke–2 terpenuhi
Kedua syarat terpenuhi , maka U merupakan sub–ruang R2
Tugas
Anggap u = (-3, 2, 1, 0), v= (4, 7, -3, 2), dan w = (5, -2, 8, 1). Cari:
a. v-w
b. 2u + 7v
c. 6(u-3v)
d. –v-w
2. Buktikan bahwa himpunan semua matriks 2x2 berbentuk
 a 0  dengan penjumlahan dan perkalian skalar matriks

 merupakan ruang vektor atau bukan!
 0 b
3. Buktikan bahwa himpunan semua pasangan tiga bilangan real (x, y, z)
dengan operasi
1.
( x, y , z )  ( x ' , y ' , z ' )  ( x  x ' , y  y ' , z  z ' )
dan
k ( x, y, z )  (kx, y, z )
Merupakan ruang vektor atau bukan!