Proposisi (logika) Pernyataan yang mempunyai nilai benar atau

Proposisi (logika)
¾ Pernyataan yang mempunyai nilai benar atau salah
disebut sebagai proposisi (preposition)
¾ Proposisi adalah kalimat deklaratif yang mempunyai
nilai benar atau salah tetapi tidak keduanya
¾ Nama lain untuk proposisi adalah kalimat terbuka
Proposisi
¾ Contoh proposisi benar:
ƒ 6 adalah bilangan genap
ƒ Soekarno adalah presiden RI yang pertama
ƒ 2+2=4
ƒ Hari ini adalah hari Kamis
¾ Contoh proposisi salah:
ƒ Ibukota Provinsi Papua adalah “Surabaya”
ƒ 12 >19
¾ Yang bukan proposisi:
ƒ Kapan Anda akan meninggal Dunia?
ƒ Isilah gelas tersebut dengan air!
ƒ X+3=8
ƒ X>3
Proposisi
¾ Perhatikan kalimat berikut:
ƒ Untuk sembarang bilangan bulat n≥0, maka 2n
adalah bilangan Genap
ƒ X+Y=Y+X
ƒ Jika anda mempunyai uang 1 Milyar maka anda
orang kaya
Mengkombinasikan Proposisi
¾ Satu atau lebih proposisi dapat dikombinasikan
¾ Operator untuk mengkombinasikan proposisi
disebut operator logika
¾ Operator logika dasar adalah:
ƒ dan (and) digolongkan sabagai operator biner
ƒ atau (or) digolongkan sabagai operator biner
ƒ tidak (not) digolongkan sabagai operator uner
Mengkombinasikan Proposisi
¾ Proposisi baru yang diperoleh dari hasil
pengkombinasian dinamakan “proposisi majemuk
(compound proposition)”
¾ Proposisi yang bukan merupakan kombinasi
proposisi lain disebut “proposisi atomik”
¾ Operator “dan” biasa disimbolkan dengan tanda “∧”
¾ Operator “atau” biasa disimbolkan dengan tanda ”∨”
¾ Dan operator “tidak” disimbolkan dengan “~”
Mengkombinasikan Proposisi
♦ Diketahui proposisi sebagai berikut:
Ð p = Hari ini hujan
Ð q = Murid murid diliburkan dari sekolah
♦ Maka
Ð p ∧ q = Hari ini hujan dan murid murid diliburkan
dari sekolah
Ð p ∨ q = Hari ini hujan atau murid murid diliburkan
dari sekolah
Ð ~ p = Tidak benar hari ini hujan / hari ini tidak
hujan
Mengkombinasikan Proposisi
♦ Diketahui proposisi proposisi berikut:
Ð p = hari ini hujan
Ð q = hari ini dingin
maka :
Ð q V ~p = hari ini dingin atau hari ini tidak hujan
Ð ~p ∧ ~q = hari ini tidak hujan dan hari ini tidak
dingin
Ð ~(~p) = tidak benar hari ini tidak hujan
Mengkombinasikan Proposisi
♦ Diketahui proposisi proposisi berikut:
Ð P = Pemuda itu tinggi
Ð Q = pemuda itu tampan
♦ Nyatakan dalam bentuk simbolik proposisi berikut:
Ð Pemuda itu tampan dan tinggi
Ð Pemuda itu tampan tetapi tidak tinggi
Ð Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan
Ð Tidak benar pemuda itu pendek atau tidak tampan
Ð Pemuda itu tinggi atau pendek dan tampan
Ð Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun
tampan
Tabel Kebenaran
¾ Nilai kebenaran dari proposisi majemuk ditentukan
oleh nilai kebenaran dari proposisi atomiknya dan
cara mereka dihubungkan oleh operator logika
¾ Misalkan p dan q adalah proposisi
ƒ Konjungsi p ∧ q bernilai benar jika p dan q
keduanya benar, selain itu nilainya salah
ƒ Disjungsi p V q bernilai salah jika p dan q
keduanya salah, selain itu nilainya benar
ƒ Negasi p bernilai benar jika p salah, atau
kebalikannya
Tabel Kebenaran
¾ Misalkan
ƒ p: 17 adalah bilangan prima
ƒ q: bilangan prima selalu ganjil
maka benar dan q salah sehingga konjungsi
p ∧ q: 17 adalah bilangan prima dan bilangan
prima selalu ganjil adalah salah
Tabel Kebenaran
Jika p, q, dan r adalah proposisi bentuklah tabel
kebenaran dari proposisi majemuk (p ∧ q) ∨ (~q ∧ r).
¾ Sebuah proposisi majemuk disebut Tautologi jika ia
benar untuk semua kasus
¾ Disebut Kontradiksi jika ia salah untuk semua
kasus
Contoh:
1. p ∨ ~(p
2. (p
∧
q)
∧
∧
q) adalah tautology
~ (p
∨
q) adalah kontradiksi
proposisi Ekivalen
¾ Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, .. ) dan Q(p, q,
.. ) disebut ekivalen jika keduanya mempunyai tabel
kebenaran yang identik
¾ Dua buah proposisi ekivalen dilambangkan dengan
P(p, q, .. ) ⇔ Q(p, q, .. ).
¾ Kedua proposisi yang ekivalen secara logika ini
dikenal dengan nama hukum DeMorgan
Contoh:
~(p ∧ q) ekivalen secara logika dengan ~p
P
T
T
F
F
q
T
F
T
F
(p
P
T
T
F
F
q
T
F
T
F
~p
F
F
T
T
∧
∨
~q
q)
~(p ∧ q)
F
T
T
T
~q
F
T
F
T
~p
T
F
F
F
∨
F
T
T
T
~q
Hukum hukum Logika
ƒ Atau sering disebut hukum hukum aljabar
proposisi
1. Hukum identitas:
- p∨F⇔ p
- p∧T⇔ p
3. Hukum negasi
- p ∨ ~p ⇔ T
- p ∧ ~p ⇔ F
5. Hukum involusi (negasi ganda)
~ (~p) ⇔ p
7. Hukumkomutatif
- p∨q⇔ q∨p
- p∧q⇔ q∧p
9. hukum distributive
- p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r)
- p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
¾ Tunjukkan bahwa p ∨ ~(p
ekivalen secara logika.
∨
2. Hukum null/ dominasi
- p∨F⇔ F
- p∧T⇔ T
4. Hukum idempotent
- p ∨ p⇔ p
- p∧p⇔ p
6. Hukum penyerapan (absorpsi)
- p ∨ (p ∧ q) ⇔ p
- p ∧ (p ∨ q) ⇔ p
8. hukum asosiatif
- p ∨ (q ∨ r) ⇔ (p ∨ q) ∨ r
- p ∧ (q ∧ r) ⇔ (p ∧ q) ∧ r
10. Hukum Demorgan:
- ~(p ∧ q) ⇔ ~p ∨ ~q
- ~(p ∨ q) ⇔ ~p ∧ ~q
q) dan p
ƒ Penyelesaian
p ∨ ~(p ∨ q) ⇔ p ∨ (~p ∧ ~q)
⇔ (p ∨ ~p) ∧ (p ∨ ~q)
⇔ T ∧ (p ∨ ~q)
⇔ p ∨ ~q
∨
~q keduanya
(Hukurn De Mogran)
(Hukum distributif)
(Hukurn negasi)
(Hukum identitas)
Disjungsi Eksklusif
kata “atau” atau “or” dapat digunakan secara eksklusif
(exclusive or) yaitu dalam bentuk “p atau q tetapi
bukan keduanya”. Artinya, disjungsi p dengan q
bernilai benar hanya jika salah satu proposisinya
atomiknya benar (tapi bukan keduanya), misalnya
“Ia lahir di Bandung atau di Padang”. Untuk disjungsi
eksklusif menggunakan operator logika “xor” atau
dilambangkan dengan ⊕
Proposisi bersyarat
Proposisi majemuk dapat muncul dalam bentuk “jika p
maka q” seperti pada contoh berikut:
ƒ Jika saya benar semua dalam ujian, maka saya
mendapat nilai 100.
ƒ Jika suhu udara mencapai 800C, maka alarm akan
berbunyi
ƒ Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda
dianggap mengundurkan diri.
Proposisi bersyarat
ƒ Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi
majemuk “jika p maka q” disebut proposisi
bersyarat (implikasi) dan dilambangkan dengan
p→q
ƒ Proposisi p disebut hipotesis (antensenden, premis,
kondisi), dan proposisi q disebut konklusi
(konsekuen)
¾ Tabel kebenaran implikasi
Bikondisional (Bi-implikasi)
Proposisi bersyarat lainnya adalah berbentuk “p jika
dan hanya jika q” seperti contoh berikut ini :
ƒ Jika anda orang kaya maka anda mempunyai
banyak uang, dan sebaliknya.
ƒ Jika jantung anda tidak bekerja lagi maka anda
sudah meninggal, dan sebaliknya.
Bikondisional (Bi-implikasi)
ƒ Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi
majemuk “p jika dan hanya jika q” disebut
bikondisional
dengan
(bi-implikasi)
p
¾ Tabel kebenaran implikasi
↔
q
dan
dilambangkan
Latihan :
1. Misalkan p adalah “Hari ini adalah Hari Rabu”, q
adalah “Hujan turun” dan r adalah “Hari ini panas”.
Terjemahkan notasi simbolik ini dengan kata-kata:
(a). p ∨ q
(b). ~p ∧ (q ∨ r)
(c). ~ ( p ∨ q) ∧ r
(d). (p ∧ q) ∧ (r ∨ ~ p)
(e). (p ∧ (q ∧ r)) ∧ (r ∨ (q ∨ p))
(f). ~q → ~p
2. Tuliskan tabel kebenaran untuk setiap proposisi
berikut:
(a). (p ∨ q) ∧ ~ p
(b). ~ (p ∧ q) ∨ (~q ∨ r)
(c). (~ p ∨ ~ q) ∧ r
Tuliskan tabel kebenaran
proposisi berikut:
untuk
(1). ~ (p ∧ q) ⊕ (r ∧ ~ p)
(2). (p ∨ q) → ~ q
(3). (~ q → ~ p) ↔ (p → ~ q)
setiap