Fungsi Dan Gafik

BAB II
Fungsi dan Grafik
II. FUNGSI DAN GRAFIK
Tujuan Pembelajaran :
1. Menjelaskan konsep fungsi, daerah definisi dan daerah nilai fungsi sesuai
definisi.
2. Membuat rumus operasi fungsi yang diminta dari fungsi yang diberikan.
3. Menjelaskan konsep komposisi fungsi, daerah definisi dan daerah nilai fungsi
komposit
4. Menjelaskan konsep dasar fungsi trigonometri, memahami serta dapat
menggunakan rumus kesamaan trigonometri
5. menjelaskan perbedaan beberapa fungsi berdasarkan bentuk umum fungsi dan
grafiknya sesuai definisi.
Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita harus menghubungkan diantara
beberapa sifat yang kita tinjau. Sebagai contoh; jarak yang ditempuh suatu objek
bergantung pada waktu sejak bergerak dari suatu titik tertentu, jumlah kelinci dalam
sebuah rantai makanan mangsa binatang buas bergantung pada jumlah serigala yang
ada. Suatu hubungan diantara besaran tersebut seringkali dinyatakan dengan fungsi.
2.1.
Fungsi
Seperti hal nya himpunan konsep fungsi memegang peranan yang penting dan
digunakan secara ekstnsif dalam matematika. Secara umum fungsi adalah suatu
aturan yang menghubungkan unsure-unsur di dua himpunan, definisi formalnya
adalah sebagai berikut.
Definisi 2.1. (Fungsi sebagai pemetaan)
Misalkan A dan B adalah dua himpunan tak kosong. Suatu fungsi dari A ke B adalah
suatu aturan yang memasangkan setiap unsure di A dengan tepat satu unsure di B.
Bila fungsi ini dilambangkan dengan f, maka unsure y di B yang merupakan
pasangan unsure x di A di beri lambing y = f(x), jadi kita mempunyai fungsi
17
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
f : A  B, y = f(x). dalam kasus ini y = f(x) dinamakan persamaan fungsi f dengan x
sebagai variable bebas dan y sebagai variable tak bebas.
Selanjutnya himpunan A dinamakan daerah definisi (daerah asal / domain) dari
fungsi f, yang dinotasikan dengan Df yaitu himpunan elemen-elemen sehingga
fungsi f mempunyai nilai riil. Kemudian himpunan semua nilai-nilai y di B yang
mempunyai pasangan di A dinamakan daerah nilai (daerah hasil / range) dari fungsi
f yang dinotasikan dengan Rf , dengan kata lain domain dan range dapat di tuliskan
dalam bentuk : Jika f : A  B, maka :
Df = A atau Df = {x | f(x)  R} dan
Rf = {f(x) | x  Df}
Contoh 2.1.1
Carilah daerah definisi dan daerah nilai untuk fungsi f(x) =
1
x3
Penyelesaian.
Untuk menghindari pembagian dengan nol, maka kita mengeculikan 3 pada fungsi f.
sehingga domain dari fungsi f adalah Df = { x  R | x  3}. Untuk menenrukan
range dapat dilakukan dengan cara sebagai berikut :
Misalkan y = f(x), maka y =
1
1  3y
atau xy = 1 + 3, sehingga x =
, y  0. Jadi
x3
y
range dari f adalah Rf = {f(x)  R | f(x)  0}.
Contoh 2.1.2.
Carilah daerah definisi dan daerah nilai untuk fungsi g(x) =
9  x2
Penyelesaian.
Dalam hal ini kita membatasi x sedemikian sehingga 9 – x2  0, dengan tujuan
menghindari nilai-nilai tak riil. Untuk menentukan domain g dapat dilakukan dengan
cara sebagai berikut : 9 – x2  0, maka 9  x2, atau x2  9, sehingga
-3  x  3. Jadi domain dari g adalah Dg = {x  R | -3  x  3} atau dalam
interval Dg = [-3, 3].
Sedang kan untuk mencari range dapat di konstruksi dari domain hingga mendapat
batas nilai untuk fungsi g(x) =
18
9  x 2 yang dilakukan dengan cara berikut :
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
-3  x  3, maka 0  x2  9, maka - 9  - x2  0 sehingga 0  9 - x2  9,
maka 0 
9  x 2  3. jadi range g adalah Rg = {g(x)  R | 0  g(x)  3}.
2.2. Operasi Fungsi
Seperti halnya dua bilangan a dan b dapat ditambahkan untuk menghasilkan sebuah
bilangan a + b, demikian juga halnya dua buah fungsi baru f dan g, walaupun fungsi
bukanlah suatu bilangan. Operasi jumlah, selisih, hasil kali dan hasil bagi pada dua
buah fungsi didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.2.1. (Operasi fungsi)
Misalkan f dan g terdefinisi pada himpunan D, maka
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x), untuk setiap x  D.
2. (f - g) (x) = f(x) - g(x), untuk setiap x  D.
3. (f . g) (x) = f(x) . g(x), untuk setiap x  D.
4. (k . f) (x) = k. f(x), untuk setiap x  D dan k adalah konstanta.
f
f ( x)
5.   x  
, untuk setiap x  D dan g(x)  0.
g ( x)
g
Jika domain f adalah Df dan domain g adalah Dg maka domain untuk operasi fungsi
f dan g diatas adalah Df  Dg.
Contoh 2.2.1.
Jika f(x) =
1 x
1 x
dan g(x) =
, dengan masing-masing domain : Df = {x | x -1}
1 x
x
dan Dg = {x | x  0}, maka dapat ditentukan operasi fungsi berikut :
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x)
=
1 x 1 x
 2x 2  x  1
+
=
, dengan Df + g = R – {-1, 0}
1 x
x
x(1  x)
2. (f - g) (x) = f(x) - g(x)
=
1 x 1 x
x 1
=
, dengan Df – g = R – {-1, 0}
1 x
x
x(1  x)
3. (f . g) (x) = f(x) . g(x)
19
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
1  x  , dengan D = R – { -1, 0}
1 x  1 x 
=
f.g
 
=
x(1  x)
1 x   x 
2
f
f ( x)
4.   x  
g ( x)
g
1 x 


x
1 x 

=
=
, dengan Df / g = R – {-1}
1 x  1 x


 x 
5. (5. f) (x) = 5 . f(x)
 1  x  5  5x
=5 
, dengan D5.f = R – {-1}.
=
1 x
1 x 
Bila dua fungsi terdefinisi pada himpunan yang sama dan nilai fungsinya juga sama
pada himpunan itu, maka kedua fungsi tersebut kita katakana sama yang secara
matematis didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.2.2. (Fungsi yang sama)
Fungsi f dan g dikatakan sama (ditulis f  g), jika Df = Dg dan f(x) = g(x), untuk
setiap x  D.
Contoh 2.2.2.
Untuk fungsi f(x) = 1 dan fungsi g(x) = x / x, kedua fungsi ini tidak sama karena
tidak terdefinisi pada himpunan yang sama. Tetapi bila domainnya dibatasi pada
(0, ) maka f  g pada (0, ).
Contoh 2.2.3.
Fungsi f(x) = c0s2 x dan g(x) = 1 – sin2x adalah sama, karena Df = Dg = R dan
f(x) = g(x), untuk setiap x  D.
20
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
2.3.
Komposisi Fungsi
Definisi 2.3.1. (Fungsi g komposisi f)
Jika fungsi f dan g memenuhi Rf  Dg   maka terdapat fungsi dari himpunan
bagian Df ke himpunan bagian Rg. fungsi ini dinamakan komposisi dari g dan f,
ditulis gof (bearti f dilanjutkan g) dengan persamaan yang ditentukan oleh
(g o f)(x) = g(f(x)). Domain g o f adalah : Dg o f = {x  Df | f(x)  Dg}. dan range
nya adalah : Rg o f = {g(x)  Rg | x  Rf}
Definisi 2.3.2. (Fungsi f komposisi g)
Jika fungsi f dan g memenuhi Rg  Df   maka terdapat fungsi dari himpunan
bagian Dg ke himpunan bagian Rf. fungsi ini dinamakan komposisi dari f dan g,
ditulis fog (bearti g dilanjutkan f) dengan persamaan yang ditentukan oleh
(f o g)(x) = f(g(x)). Domain f o g adalah : D f o g = {x  Dg | g(x)  Df}. dan range
nya adalah : Rf o g = {f(x)  Rf | x  Rg}.
Contoh 2.3.
Diketahui f(x) = 1  x dan g(x) = 1 + x2.
a. Perlihatkan bahwa fungsi g o f dan f o g terdefinisi
b. Tentukan persamaan fungsi g o f dan f o g
c. Tentukan domain dan range fungsi g o f dan f o g.
Penyelesaian,
a. f(x) = 1  x , maka Df = [-1, ) dan Rf = [0, )
g(x) = 1 + x2, maka Dg = R dan Rg = [1, )
karena Rf  Dg = [0, )  R = [0, )  , maka g o f terdefinisi.
Dan karena Rg  Df = [1, )  [-1, ) = [1, )  , maka f o g terdefinisi.
b. Persamaan fungsi :
(g o f)(x) = g(f(x)) = g( 1  x ) = 1 + ( 1  x )2 = 2 + x, dan
(f o g)(x) = f(g(x)) = f(1 + x2) = 1  (1  x 2 ) =
21
2  x2 .
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
c. Domain dan range fungsi :

fungsi g o f.

Dg o f, maka akan ditentukan x terhadap Rf  Dg
0 
1  x < , maka 0  1 + x < , maka -1  x < ,
sehingga Dg o f = [-1, ]

Rg o f , maka akan ditentukan g(x) terhadap Rf
0  x < , maka 0  x2 < , maka 1  1 + x2 < , maka 1  g(x) < ,
sehingga Rg o f = [1, ).

fungsi f o g.

Df o g, maka akan ditentukan x terhadap Rg  Df
1  1 + x2 < , maka 0  x2 < , maka 0  x < ,
sehingga Df o g = [0, ]

Rf o g , maka akan ditentukan f(x) terhadap Rg
1  x < , maka 2 
maka
2.4.
1 + x < , maka
2 
1  x < ,
2  f(x) < , sehingga Rf o g = [ 2 , ).
Fungsi Trigonometri
Definisi trigonometri didasarkan pada kuantitas besaran panjang dan sudut dari
suatu segitiga siku-siku, namun disini kita akan lebih terlibat pada fungsi
trigonometri berdasarkan lingkaran satuan yang jika ditinjau domainnya adalah riil
bukan himpunan sudut-sudut.
22
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
Definisi 2.4.1. (Trigonometri dengan perbandingan sudut segitiga siku-siku)
Diketahui segitiga ABC, dengan sudut BAC = , sisi tegak (proyektor) = BC, sisi
datar (proyeksi) = AB dan sisi miring (proyektum) = AC.
C
Proyektor
Proyektum
B
A
Proyeksi
Gambar 2.4.1.
Berdasarkan segitiga siku-siku tersebut, maka trigonomrti didefinisikan sebagai :
sin us  
panjang BC
proyektor

proyektum panjang AC
cos inus  
panjang AB
proyeksi

proyektum panjang AC
tan gens  
proyektor panjang BC

proyeksi
panjang AB
Perhatikan lingkaran satuan pada gambar 1.4.2. dengan persamaan x 2 + y2 = 1,
berpusat di titik asal dan bejari-jari satu. Nyatakan koordinat (1, 0) dengan A dan t
sebarang bilangan positif, maka terdapat tept satu titik B(x, y) sehingga panjang
busur AB adalah t.
y
B(x, y)
t
A(1, 0) x
Gambar 2.4.2.
23
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
Karena keliling lingkaran adalah 2, sehingga jika t > 2 di perlukan lebih dari satu
putaran penuh untuk menelusuri t, jika t = 0 maka A = B, jika t < 0 maka kita juga
akan memperoleh satu titik unik B(x, y) sehingga muncul definisi sinus dan kosinus.
Definisi 2.4.2. (Sinus dsn kosinus)
Andaikan t menentukan titik B(x, y) pada keterangan gambar 1.4.2., maka
Sin t = y dan cos t = x.
Dari dua rumusan tersebut diperoleh empat rumus fungsi trigonometri lainnya yaitu
:
Tan t =
Sin t
Cos t
Cotan t =
Cos t
1

Tan t Sin t
Sec t =
1
Cos t
Cosec t =
1
Sin t
Definisi 2.4.3. (Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus)
Pada fungsi sinus dan kosinus berlaku sifat-sifat sebagai berikut :
1. -1  sin t  1 dan -1  cos t  1
2. sin (t + 2) = sin t dan cos (t + 2) = cos t
3. sin (- t) = - sin t dan cos (- t) = cos t


4. sin   t  = cos t dan cos
2 


  t  = sin t
2 
5. sin2 t + cos2 t = 1
Sifat-sifat dasar sinus dan kosinus memberikan sifst-sifst fungsi trigonometri
lainnya, yaitu :
1. Tan (- t) = - tan t
2. 1 + tan2 t = sec2 t dan 1 + cotan2 t = cosec2 t
24
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
Adapun grafik fungsi trigonometri diperlihatkan pada gambar 1.4.3. berikut :
y
y
x
(a).Grafik fungsi sinus
x
(b). Grafik fungsi kosinus
Gambar 2.4.3.
y
x
(c). Grafik fungsi tangens
Gambar 2.4.3.
Definisi 2.4.4. (Rumus rangkap trigonometri)
Berikut ini diberikan rumus rangkap trigonometri yang mungkin banyak diperlukan
dalam materi matematika dan ilmu lainnya.
1. Sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
2. Sin (x - y) = sin x cos y - cos x sin y
25
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
3. Cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y
4. Cos (x - y) = cos x cos y + sin x sin y
5. Tan (x + y) =
tan x  tan y
1  tan x tan y
6. Tan (x - y) =
tan x  tan y
1  tan x tan y
7. Sin 2x = 2 sin x cos x
8. Cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2 x – 1 = 1 – 2 sin2 x
x y
x y
9. Sin x + sin y = 2 sin 
 cos 

 2 
 2 
x y
x y
10. Cos x + cos y = 2 cos 
 cos 

 2 
 2 
11. Sin x . sin y =
1
[cos (x + y) – cos (x – y)]
2
12. Cos x . cos y =
1
[cos (x + y) + cos (x – y)]
2
13. Sin x . cos y =
1
[sin (x + y) + sin (x – y)]
2
2.5.
2.5.1.
Macam-macam Fungsi dan Grafiknya
Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Dengan melihat sifat simetri suatu himpunan titik dapat di rancang konsep fungsi
genap dan fungsi ganjil yang di definisikan sebagai berikut.
Definisi 2.5.1. (Fungsi genap dan fungsi ganjil)
Fungsi y = f(x) dikatakan fungsi genap, jika f(- x) = f(x), untuk setiap x  Df.
26
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
Dan fungsi y = f(x) dikatakan ganjil, jika f(- x) = - f(x), dalam hal ini daerah asal f
sekaligus memuat x dan – x.
Sifat-sifat fungsi genap dan fungsi ganjil adalah :
1. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu y
2. Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik (0, 0) atau ttitik asal.
Secara geometris sifat tersebut dapat dilihat pada gambar 1.5.1. berikut.
y
y
y = f(x)
f(-x)= - f(x)
x
x
(a). Grafik fungsi genap
(b). Grafik fungsi ganjil
Gambar 1.5.1.
Contoh 2.5.1.
1. Fungsi f(x) = x2 adalah fungsi genap, karena f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x), x  R
2. Fungsi f(x) = sin x adalah fungsi ganjil, karena f(-x) = sin (-x) = - sin x = - f(x),
untuk setiap x  R.
3. Fungsi f(x) = x3 – x2 adalah fungsi yang tidak genap dan tidak ganjil, karena
terdapat x  Df sehingga f(-x) = (-x)3 – (-x)2 = -x3 – x2  - f(x).
4. Fungsi f(x) = 0 adalah fungsi genap dan fungsi ganjil, karena f(-x) = 0 = f(x) dan
f(-x) = 0 = - f(x), untuk setiap x  Df
5. Fungsi f(x) = -
 x tidak dapat dikatakan sebagai fungsi genap maupun fungsi
ganjil Karen daerah asalnya tidak memuat x atau – x secar bersamaan (bukan
himpunan simetri).
27
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
2.5.2.
Fungsi Konstanta
Bentuk fungsi konstanta adalah f(x) = k, k adalah konstanta, Df = R dan Rf = {k}.
Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 1.5.2.
y
f(x) = k
x
Gambar 1.5.2.
2.5.3.
Fungsi Identitas
Bentuk fungsi identitas adalah f(x) = x, Df = R dan Rf = R.
Grafik fungsinya diperlihatkan pada gambar 1.5.3.
y
f(x) = x
x
Gambar 1.5.3.
2.5.4.
Fungsi Linier
R , jika a  0
Bentuk fungsi linier adalah f(x) = ax + b, Df = R dan Rf = 
{b}, jika a  0
Grafik fungsi linier adalah garis lurus, dalam kasus a = 0 fungsi linier menjadi
fungsi konstanta, disini a dinamakan gradient dari garis lurus sedangkan b
menyatakan ordinat titik potong garis lurus dengan sumbu y, yaitu b = f(0).
28
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
Grafik fungsi linier diperlihatkan pada gambar 1.5.4.
y
f(x) = ax + b
y
f(x) = ax
y
f(x) = ax + b
x
- b/a
a > 0 dan b > 0
x
-b/a
a > o dan b = 0
x
-b a > 0 dan b < 0
Gambar 1.5.4.
2.5.5.
Fungsi Kuadrat
Bentuk umum fungsi kuadrat adalah f(x) = ax2 + bx + c, a  0, Df = R.
Pada bentuk kuadrat ini bilangan riil D = b2 – 4ac dinamakan diskriminan fungsi
kuadrat. Fungsi kuadrat dapat juga dituliskan dalam bentuk :
2
 4Da ,  , jika a  0
b 
D

f(x) = a  x 
, a  0. dengan Rf = 
 
D
2a 
2a

 , 4 a , jika a  0
grafik fungsi kuadrat berbentuk parabola, seperti diperlihatkan pada gambar 1.5.5.
y
y
y
-D/4a
x2 -b/2a x1
x
-b/2a
x
-b/2a
x
-D/4a
a > 0 dan D > 0
a > 0 dan D = 0
a > 0 dan D < 0
Gambar 1.5.5.
Dalam kasus D > 0 fungsi kuadrat memotong sumbu x di dua titik berbeda dengan
b D
b D
absis : x1 =
dan x2 =
2a
2a
Dengan memperhatikan bentuk x1 dan x2 maka diperoleh kesimpulan :
1. Jika a > 0, maka x1 > x2
2. Jika a < 0, maka x1 < x2
3. Untuk kasus D > 0, maka x1 =
29
b D
b D
; x2 =
2a
2a
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
RANGKUMAN FUNGSI DAN GRAFIK
1. Jika A dan B adalah dua himpunan tak kosong, suatu fungsi dari A ke B adalah
suatu aturan yang memasangkan setiap unsure di A dengan tepat satu unsur
di B.
2. Domain (daerah asal) dari fungsi f adalah himpunan elemen-elemen sehingga
fungsi f mempunyai nilai riil, sedangkan daerah nilai (range) dari fungsi f adalah
himpunan semua nilai-nilai di himpunan B yang mempunyai pasangan di
himpunan A.
3. Operasi fungsi : jika f dan g terdefinisi pada himpunan D,maka
a. (f + g)(x) = f(x) + g(x), untuk setiap x  D
b. (f – g)(x) = f(x) – g(x), untuk setiap x  D
c. (f. g)(x) = f(x). g(x), untuk setiap x  D
d. (k.f)(x) = k. f(x), untuk setiap x  D
f
f x 
e.  x  
, g ( x)  0 , untuk setiap x  D
g x 
g
4. Rumus rangkap trigonometri
a. sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y
b. sin (x – y) = sin x cos y – cos x sin y
c. cos (x + y) = cos x cos y – sin x sin y
d. cos (x – y) = cos x cos y + sin x sin y
e. tan (x + y) =
tan x  tan y
1  tan x tan y
f. tan (x – y) =
tan x  tan y
1  tan x tan y
g. sin 2x = 2 sin x cos x
h. cos 2x = cos2 x – sin2 x = 2 cos2 x – 1 = 1 – 2 sin2 x.
x y
x y
i. sin x + sin y = 2 sin 
 cos 

 2 
 2 
30
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
x y
x y
j. cos x + cos y = 2 cos 
 cos 

 2 
 2 
k. sin x sin y =
31
1
[cos (x + y) – cos (x – y)]
2
l. cos x cos y =
1
[cos (x + y) + cos (x – y)]
2
m. sin x cos y =
1
[sin (x + y) + sin (x – y)]
2
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
SOAL-SOAL LATIHAN
Latihan 2.1.
Tentukan domain dan range dari fungsi-fungsi yang diberikan berikut :
1. f(x) =
x
2. h(x) = 1  x
3. g(x) =
4. s(x) =
5. t(x) =
1
x
2x
1 x
x 2  2x
Latihan 2.2
Tentukan hasil operasi f + g, f – g, f . g, f / g, dan g / f beserta domain dari fungsi
yang diberikan berikut ini.
1. f(x) =
1 x
1 x
dan g(x) =
1 x
x
2. f(x) = x dan g(x) =
3. f(x) =
4. f(x) =
5. f(x) =
32
x dan g(x) =
x 1
x 1
1
1
dan g(x) =
x2
x 1
x  1 dan g(x) =
9  x2 .
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
Latihan 2.3.
Untuk fungsi-fungsi yang diberikan :
a. Tentukan domain dan range dari f dan g
b. Selidiki apakah fungsi f o g dan g o f terdefinisi
c. Jika fungsi komposisi pada poin (b) terdefinisi, tentukan domain dan range dari
masing-masing fungsi komposisi tesebut.
1. f(x) = 4x – x2 dan g(x) =
2. f(x) =
1
x
dan g(x) =
x
x
3. f(x) = 1 – x2 dan g(x) = 1 + 2x
4. f(x) = 1  x dan g(x) = 1  x
5. f(x) =
2x
dan g(x) = 1- x2.
1 x
Latihan 2.4.
Dengan menggunakan rumus-rumus trigonometri periksalah (tunjuk kan) kebenaran
kesamaan berikut :
1. (1 + sin x) (1 – sin x) =
1
sec 2 x
2. Sec x – sin x . tan x = cos x
3.
sec 2 x  1
= sin2 x
sec 2 x
4.
sin x
cos x

1
cos ec x sec x
5. (1 – cos2 x) (1 + cotan2 x) = 1
33
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
Latihan 2.5.
Untuk soal 1, 2 dan 3 selidiki apakah fungsi yang diberikan genap, ganjil atau bukan
keduany.
1. f(x) = x3 + sin x
2. g(x) = 2x + 1
3. h(x) =
x2  4
Untuk soal 4 dan 5 tunjukkan bahwa fungsi yang diberikan genap atau ganjil dan
gambarkan grafik fungsinya.
4. s(x) =
5.
34
x2  2
x
x 1
2
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
35
Matematika 1
BAB II
Fungsi dan Grafik
36
Matematika 1