BAB I - Staff UNY

TRIGONOMETRI
I.
KOMPETENSI YANG DICAPAI
Mahasiswa dapat :
1.
Membuktikan identitas trigonometri.
2.
Menghitung hubungan antara sudut dan sisi segitiga dengan Rumus Sinus.
3.
Menghitung hubungan antara sudut dan sisi segitiga dengan Rumus Cosinus.
4.
Menghitung luas segitiga dari dua sisi dan satu sudut yang diapit.
5.
Menghitung luas segitiga dari tiga sisinya.
6.
Menyelesaikan persamaan trigonometri
II.
MATERI
A. Pengertian
Arti trigonometri adalah ilmu ukur segitiga atau pengukuran segitiga.
Trigonometri mempelajari sudut dan fungsinya. Aplikasi matematika dalam
bidang keteknikan banyak menggunakan hubungan antara sudut-sudut dan
sisi-sisi segitiga. Hubungan tersebut disebut fungsi trigonometri.
Satuan Sudut : Derajat
90O
180O
0O
270O
Modul Trigonometri
Apabila satu lingkaran penuh dibagi
menjadi 360 bagian yang sama,
maka setiap bagian disebut satu
derajat.
Satu derajat dapat didefinisikan
sebagai sudut yang besarnya 1/360
keliling lingkaran.
o
Simbol derajat adalah .
Satu derajat dapat dibagi 60 bagian
yang sama besar, yang disebut satu
menit (‘), dan satu menit dibagi
menjadi 60 bagian sama besar yang
disebut satu detik (“).
Halaman-1
Satuan Sudut : Radian
Satu radian adalah besarnya sudut
dalam lingkaran yang panjang busur
di depannya sama dengan jarijarinya.
Simbol radian adalah rad.
Apabila keliling lingkaran K dan jarijarinya r, maka K = 2 π r, sehingga
besar sudut satu keliling lingkaran
adalah 2 π radian.
Jadi konversi derajat dan radian
adalah :
o
2 π rad = 360
o
π rad = 180
Harga π = 3,14 ...
1 rad
r
0O
B. Fungsi Trigonometri
Y
r
y
α
x
X
Untuk sudut-sudut lancip (sudut yang lebih kecil dari 90o) berlaku fungsi-fungsi
trigonometri beikut :
Fungsi
Singkatan
Perbandingan
Sinus α
Cosinus α
Tangen α
Cotangen α
Secan α
Cosecan α
Sin α
Cos α
Tan α
Cot α
Sec α
Cosec α
y/r
x/r
y/x
x/y
r/x
r/y
Modul Trigonometri
Halaman-2
Identitas Trigonometri
Antara fungsi-fungsi trigonometri tersebut berlaku identitas yang dapat
diturunkan dari perbandingan antara x, y dan r tersebut, serta Dalil Pythagoras.
Identitas trigonometri yang diturunkan dari perbandingan antara x, y dan r
adalah sebagai berikut :
cosec α = 1/sin α
atau
sin α. cosec = 1
sec α = 1/cos α
atau
cos α. sec α = 1
cot α = 1/tan α
atau
tan α. cot = 1
tan α = sin α / cos α
atau
cot α = cos α / sin α
Identitas trigonometri yang diturunkan dari Dalil Pythagoras adalah sebagai
berikut :
2
2
sin α + cos α = 1
2
2
tan α + 1 = sec α
2
2
cot α + 1 = cosec α
C. Rumus Sinus dan Rumus Cosinus
Dalam segitiga lancip berlaku Rumus Sinus dan Rumus cosinus sebagai berikut
:
γ
b
a
c
a
b
=
=
sin 
sin 
sin 
(Rumus Sinus)
2
α
β
c
Modul Trigonometri
2
2
a = b + c – 2 b c cos α
2
2
2
b = a + c – 2 a c cos β
2
2
2
c = a + b – 2 a b cos γ
(Rumus Cosinus)
Halaman-3
D. Luas Segitiga
Apabila diketahui dua sisi segitiga dan sudut yang diapit, maka luas segitiga
dapat dihitung dengan rumus sebagai berikut :
Luas segitiga = ½ a b sin α, atau
Luas segitiga = ½ a b sin β, atau
Luas segitiga = ½ a b sin γ
Apabila yang diketahui hanya ketiga sisinya, maka luas segitiga dihitung
dengan rumus :
Luas segitiga = s(s  a)(s  b)(s  c)
dengan s = ½ (a+b+c)
E. Rumus Dua Sudut
Untuk dua sudut dalam pada segitiga berlaku persamaan atau rumus dua sudut
sebagai berikut :
Jumlah Dua Sudut
sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β
cos (α + β) = cos α cos β – sin α sin β
tan (α + β) = (tan α + tan β) / (1 – tan α tan β)
Selisih Dua Sudut
sin (α – β) = sin α cos β – cos α sin β
cos (α – β) = cos α cos β + sin α sin β
tan (α – β) = (tan α – tan β) / (1 + tan α tan β)
Apabila α = β, maka α + β = 2 α, sehingga :
sin 2α = 2 sin α cos α
2
2
2
2
cos 2α = cos α – sin α = 1 – 2 sin α = 2 cos α – 1
2
tan 2α = 2 tan α / (1 – tan α)
Modul Trigonometri
Halaman-4
F. Invers Fungsi Trigonometri
Invers fungsi trigonometri digunakan untuk mencari besar sudut apabila harga
fungsi trigonometrinya diketahui.
Invers fungsi-fungsi trigonometri adalah sebagai berikut :
–1
y = arc sin x
atau
y = sin x
y = arc cos x
atau
y = cos x
y = arc tan x
atau
y = tan x
y = arc cosec x
atau
y = cosec x
y = arc sec x
atau
y = sec x
y = arc cot x
atau
y = cot x
–1
–1
–1
–1
–1
G. Contoh Soal dan Penyelesaiannya
1. Buktikan identitas trigonometri berikut
1
 12  1   1
2
tan x cos x
Jawab :
1
1
cos 2 x
1
( 2  1) 
( 2  1)
2
2
tan x cos x
sin x cos x
cos 2 x 1  cos 2 x


sin 2 x
cos 2 x

cos 2 x sin 2 x


sin 2 x cos 2 x
=1
2. Berapakah besar sudut dalam segitiga dengan panjang sisi-sisinya 11 m,
13 m dan 15 m ?
Jawab :
Misal : a = 15 m, b = 13 m dan c = 11 m
Modul Trigonometri
Halaman-5
Rumus Cosinus :
2
2
2
a = b + c – 2 b c cos α
cos α =
=
b2  c2 - a 2
2bc
132  112 - 15 2
= 0,227…
2  13  11
α = 76o51’48”
2
2
2
b = a + c – 2 a c cos β
cos β =
=
a 2  c2 - b2
2ac
15 2  112 - 13 2
= 0,536…
2  15  11
β = 57o33’49”
2
2
2
c = a + b – 2 a b cos γ
cos γ =
=
a 2  b2 - c2
2ab
15 2  13 2 - 112
= 0,7
2  15  13
γ = 45o34’23”
Cek : α + β + γ = 76o51’48” + 57o33’49” + 45o34’23” = 180 o00’00”
3. Sebuah segitiga dengan sisi-sisi a = 81 m, b = 50 m dan c = 60 m.
Berapakah luasnya?
Jawab :
s = ½ (81+50+60) = 95,5 m
Luas segitiga = 95,5(95,5  81)(95,5  50)(95,5  60)
= 1495,57 m
2
4. Segitiga ABC siku-siku di C, sisi a = 3,6 m dan b = 4,7 m. Berapakah
panjang sisi c ?
Modul Trigonometri
Halaman-6
Jawab :
2
2
2
A
c = a +b
b
c = a 2  b2
= (3,6) 2  (4,7) 2
c
= 5,92 m
C
a
B
5. Hitunglah harga x (0o ≤ x ≤ 360o) yang memenuhi persamaan
3 cos 2x + cos x + 1 = 0
Jawab :
2
cos 2x = 2 cos x – 1, maka :
2
3 (2 cos x – 1) + cos x + 1 = 0
2
6 cos x – 3 + cos x + 1 = 0
2
6 cos x + cos x – 2 = 0
–1
misal : cos x = p, maka : x = cos p
2
6p +p–2=0
p1,2
p1 =
 1  12  4.6.(2)
=
2.6
p1,2 =
 1  1  48
12
p1,2 =
 1  49
12
p1,2 =
1 7
12
1 7
6
=
= 0,5
12
12
–1
x = cos 0,5
maka :
x1 = 60o
Modul Trigonometri
Halaman-7
x2 = 360o – 60o
= 300o
p2 =
1 7  8
=
= –0,666...
12
12
–1
x = cos 0,666...
maka :
x3 = 131o48’37”
x4 = 360o–131o48’37”
= 228o11’23”
H. Soal Latihan
1. Dalam segitiga ABC, besarnya sudut A = 47o21’ dan sudut B = 70o15’, serta
panjang sisi c = 5,30 m.
Hitunglah :
a. Sisi-sisi segitiga dan sudut yang belum diketahui.
b. Luas segitiga tersebut.
2. Segitiga ABC, sisi-sisi a = 11,32 m, b = 13,23 m dan c = 14,92 m.
Berapakah :
a. Luas segitiga tersebut ?
b. Besar sudut A, B dan C ?
3. Buktikan identitas trigonometri berikut :
a.
1 - tan 2 x
= 2 cos2x – 1
2
1  tan x
b.
1  cot 2 x
= sec x
cot x cosec x
4. Tentukan harga x antara (0o ≤ x ≤ 360o) yang memenuhi persamaan berikut :
a. 2 sin2x + sin x – 1 = 0
b. sin 2x = sin x
c. cos 4x + cos x = 0
Modul Trigonometri
Halaman-8