bab 4 vektor - Vektor Fisika

BAB 4 VEKTOR
Standar Kompetensi:
3. Menggunakan konsep matriks, vektor, dan transformasi
Kompetensi Dasar:
3.4 Menggunakan sifat-sifat dan operasi aljabar vaktor dalam pemecahan masalah
3.5 Menggunakan sifat-sifat dan operasi perkalian skalar dua vektor dalam
pemecahan masalah
Alokasi waktu: 22 jam pelajaran
Dilaksanakan : Pert 30 s/d 41
Pertemuen ke-30 s/d 32
Rangkuman Materi
Vektor adalah besaran yang memiliki besar/panjang dan arah
a. Lambang vektor : anak panah
Q
a
P
b. Notasi vektor
-
Arah avektor sesuai arah panah
-
Panjang vektor sesuai panjang anak panah
: - Vektor A dinotasikan a atau a atau PQ
- Panjang vektor a dinotasikan a  atau PQ
A. Vektor di Ruang Dua
1. Vektor di ruang dua adalah vektor yang terdiri dari dua komponen
Misalnya: Suatu vektor Bertitik awal di pusat koordinat O (0,0) dan
berujung dititik A (x, y) dapat dinyatakan dalam bentuk
-
Vektor baris : QA = a = (x, y)
-
x
Vektor kolom: OA = a =  
 y
-
Vektor basis : OA = a = xi+xj
2. Vektor posisi
Jika diketahui titik A(x1, y1) dan B (x2, y2) maka:
-
x 
Vektor posisi titik A adalah : a =  1 
 y1 
-
x 
Vektor posisi titik B adalah : a =  2 
 y2 
-
 x  x1 

Vektor posisi titik AB adalah : AB = b  a =  2
 y 2  y1 
3. Vektor satuan
Vektor satuan dari a adalah vektor yang searah dengan a dan panjangnya
satu satuan.
-
Notasi : vektor satuan dari a adalah aˆ 
a
a
4. Vektor nol
Vektor yang panjangnya nol dan arahnya tak tentu, dilambangkan dengan
0
5. Hubungan dua vektor
-
Kesamaan dua vektor : vektor dikatakan sama jika besar dan arahnya
sama
-
Dua vektor berlawanan: vektor dikatakan berlawanan jika besar sama
tapi arahnya berlawanan
Misalnya: AB  BA
6. Operasi aljabar vektor
a. Penjumlahan vektor
Diketahui dua vektor
Maka a + b adalah:
a
b
- Cara segitiga
a b
a
Cara jajaran genjang
b
a b
b
a
b. Sifat-sifat penjumlahan vektor
-
Kumutatif
: a +b =b + a
-
Asosiatif
: (a +b ) +
-
Identitas
: a o  a
-
Invers
: a  (a )  o
c. Pengurangan vektor: a  b  (b )
7. Perkalian vektor dengan skalar
Hasil kali vektor a dengan skalar k adalah vektor ka yang arahnya sama
dengan a dan panjangnya k kali a
Sifat-sifat perkalian skalar:
-  k a  k (a )  ka
-  k (a )  ka
- k(la) = (kl) a
- (k+l) a = k a +l a


- k a  b )  ka  kb
Contoh:
6
 2 
4
Diketahui : a = 
, b    dan c  

 3 
 1
 2 
Tentukan:
a. 2 a - b + 3 c
b. –a + 2b - 2 c
Jawab:
  6   2    4    12    2    12    26 
a. 2
     3
=




 3    1   2   6   1   6   13 
  6   2    4   6   4   8   18 
b.  
  2   2
 =




 3   1  2    3    2    4    9 
8. Perkalian skalar dua vektor (dot product)
a. Jika a = x1i + y1j dan b = y2j maka a . b = x1 x2 + y1 y2
b. Jika diketahui a , b , dan < a, b = 60o
Contoh:
Diketahui : a  3, b  3i  4 j dan  a , b  600
Tentukan: a.b
Jawab: a.b = a b cos 
= 3 . 5 . cos 60o =
15
2
9. Panjang/lebar vektor
 x  x1 
 maka AB  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
a. Jika AB =  2
y

y
1
 2
Jika a  xi  yj maka a  x 2  y 2
Contoh:
Jika titik A(-3,-1) dan B(1,-4) tentukan AB
AB =
(3) 2  (1  4) 2  16  9  5
b. Resultan dua vektor
a b
a
a b

a
b
Jika panjang vektor a adalah a dan panjang vektor b adalah b
maka:
2
2
1) a  b .  a  b  2 a b cos 
2
Keterangan: a  b  panjang ( a  b )
2
2
2) a  b .  a  b  2 a b cos 
2
Keterangan: a  b  panjang ( a  b )
Lembar Kerja Siswa
Isilah titik-titik di bawah ini dengan benar!
1. Jika titik A(-5,2), B(-2,6) maka tentukan:
a. vektor posisi OA, OB dan AB
b. Panjang vektor AB
Jawab:
 ..... 
 .....
 .....   .....   ..... 
a. OA =   , OB    , AB  OB  OA =        
 ..... 
 .....   .....   ..... 
 .....
b. AB  (.....) 2  (.....) 2  .....  .....
2. Diketahui vektor a = 2c + 3j dan b = 3i – 2j tentukan
a. a  (.....) 2  (.....) 2  .....  .....
b  (.....) 2  (.....) 2  .....  .....
b. cos < a, b 
a .b
ab

.....  .....
..... .....
 .....
< a , b = …..
Latihan
A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawabn yang paling benar!
1. Koordinat titik P (-2, 5) dan vektor PQ  4i  2 j maka koordinat titik Q
adalah…..
a. (-6, 8)
b. (-2,-2)
c. (2,8)
d. (-6,2)
e. (2,2)
2. Perhatikan persegi panjang ABCD di bawah ini! Titik E adalah titik
tengah AB. Jika vektor AB = p dan AD  q maka vektor AO diwakilkan
oleh …..
D
C
O
A
a.
1
1
p q
2
2
b.
1
1
p q
3
3
c.
2
1
p q
3
3
d.
2
2
p q
3
3
e.
1
1
p q
4
4
E
B
3. Tentukan titik A(-3,5), B(1,-7), C(x,1) dan D(2,y). Jika vektor yang
diwakili oleh AB berlawanan dengan DC , maka nilai x + y adalah….
a. -18
b. -13
c. 9
d. 13
e. 18
4. Vektor a  ( x  1)i  2 j dan b = -i+xj, jika 2 a . b = -6 maka nilai x2-x
=…
a. 2
b. 4
c. 6
d. -2
e. -6
5. Diketahui 2 vektor p = 3i – (2x1)j dan q = 6i = 2j, jika vektor p sejajar
dengan vektor q maka panjang vektor P = …..
a. 1
b. 4
c.
5
d. 9
e.
10
16 
  1
6. Jika AB   , AC    dan koordinat titik C (-5,3) maka koordinat
  7
15 
titik B adalah….
a. (12,-19)
b. (-4,-12)
c. (-12,19)
d. (4,-12)
e. (12,19)
7. Diketahui a  xi  2 j dan b  i  j jika p  a  b dan p = 5, maka
nilai x adalah….
a. -4 atau 4
b. -4 atau 3
c. -3 atau 5
d. -3 atau 4
e. -5 atau 3
8. Jika titik P (2,1), Q(-1,3) dan R (-1,3) maka PQ.PR adalah…..
a. -13
b. -1
c. 1
d. 11
e. 13
9. Vektor p  3i  2 j , q  xi  5 j , r  2i  yj membentuk sebuah segitiga
maka nilai x – 2y = ….
a. 11
b. 6
c. 2
d. 1
e. -1
10. Jika p  2i  j , q  i  3 j dan r  2 p  q maka r adalah….
a. 2
b. 3
c.
10
d.
11
e. 2 3
B. Jawablah pertanyaan-pertanyaan di bawah ini dengan benar!
1. Diketahui jajaran genjang ABCD, titik P dan DC sehingga DP = DC = 1 :
2 dan Q titik tengah BC. Jika a , b , c dan d berturut-turut merupakan
vektor posisi titik A, B, C dan D maka tentukan:
a. Vektor AP
b. Vektor D,Q dalam a , b , c dan d
2. Segitiga PQR, koordinat titik P(-5,1), vektor PQ = 7i – 4j dan QR  i  5 j
tentukan:
a. Koordinat titik Q dan R
b. Vektor posisi PR
3. Koordinat titik P(5,-7), Q(-1,2) jika 3PR = 2PQ, tentukan
a. PR.PQ
b. QR.PQ
4. Segitiga ABC, AB  P , AC  q , jika titik D pada BC dimana BD : DC =
3 : 2 maka tentukan vektor AD dalam P dan q
Pertemuan 33 s/d 35
Rangkuman Materi
B. Sistem koordinat titik di ruang tiga (R)
Sistem koordinat titik diruang tiga digunakan tiga sumbu koordinat x, y, dan z
yang saling tegak lurus dengan posisi sumbu-sumbunya mengikuti aturan tangan
kanan, seperti gambar berikut:
z
z
y
atau
x
y
x
Koordinat x, y, dan z ditentukan oleh berapa jaraknya terhadap bidang:
1. zoy
: koordinat x disebut absis
2. xoz
: koordinat y disebut ordinat
3. xoy
: koordinat z disebut aplikat
1. Penulisan vektor di ruang tiga (R3)
Diketahui vektor a dengan komponen-komponen x, y, z ditulis dalam:
x
 
a. vektor kolom : a   y 
z 
 
b. vektor baris : a  (xyz)
c. Basis vektor : a  xi  yi  zk
(i, j dan k vektor satuan pada sumbu x, y dan z)
2. Rumus-rumus pada vektor di R3
a. Diketahui titik P(x, y, z) dan Q (x2, y2, z2) maka vektor posisi dari:
p  ( x1 , y1 , z1 )
1) titik P :
2) titik Q : q  ( x2 , y2 , z 2 )
 x 2  x1 


3) PQ  q  p   y 2  y1 
z  z 
1 
 2
b. Panjang vektor a = xi + yj + zk adalah : a  x 2  y 2  z 2
Panjang
 x 2  x1 


PQ   y 2  y1 
z  z 
1 
 2
vektor
adalah
PQ  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2  ( z 2  z1 ) 2
c. Hal-hal lain yang berlaku pada vektor di R2 berlaku juga pada vektor si R3
3. Rumus pembagian ruas garis
a. Titik P menjadi di dalam ruas garis AB
Perbandingannya = AP = PB = m : n
n
m
A
P
B
b. Titik P membagi di luar garis AB
 AP : PB = m : n
m
A
B
-n
P
c. Rumus pembagian ruas garis AB
n
m
A
P
B
p
a
b
O
-
Jika diketahui vektor a dan b maka vektor p adalah:
p
-
ma  nb
mn
Jika diketahui koordinat titik A dan B maka koordinat titik P (xp,yp,zp)
adalah:
xp 
mxB  nx A
myB  ny A
mz B  nz A
; yp 
;zp 
mn
mn
mn
4. Tiga titik yang segaris (kolinier)
a. Tiga titik A, B, dan C dikatakan segaris (kolinier) jika dipenuhi:
AB = k AC atau AB = k BC atau AC = k BC dengan k bilangan real
b. Dua vektor a dan b dikatakan segaris atau sejajar jika dipenuhi
A = kb atau b = ka, elemen bilangan real
5. Tiga titik yang sebidang (koplanar)
Tiga titik A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan (x3, y3, z3), dikatakan sebidang atau
coplanar jika dipenuhi:
x1 y1 z1
Jika dipenuhi: x 2 y 2 z 2 = 0 (diterminan matrik ordo tiga)
x3 y 3 z 3
6. Titik berat dari sebuah segitiga
Jika diketahui segitiga ABC dengan A(x1, y1, z1), B(x2, y2, z2), dan C(x3, y3,
z3) maka koordinat titik berat segitiga tersebut adalah Z(xz, yz, zz)
1
x z  ( x1  x 2  x3 )
3
1
y z  ( y1  y 2  y 3 )
3
1
z z  ( z1  z 2  z 3 )
3
Lembar Kerja Siswa
1. Diketahui titik P (x+1, 1,-2), Q (2,y-2, 2) dan R (5, -3, -10)
Jika P, Q dan R kolinier tentukan nilai x + y !
Jawab: P, Q, R kolinier berarti PR  k QR
r  p  k (r  q )
 5  x  1
 ............ 




 ............   k  ............ 
 ............ 
  10  2 




 ............ 
 ............ 




 ............   k  ............ 
 ............ 
 ............ 




….. = k (……)
k = …….
……. = …….
……. = …….
x = …….
y = …….
Jadi x + y = ……
2. Segitiga PQR, titik P(1,2,3). Q(2,8,3) dan R (2,-1,3) jika titik A pada QR
sehingga QA : QR = 1 : 3 tentukan vektor PA.
Jawab:
R
1
A
P
2
Q
PA 
=
2.PR  1.PQ
2 1
 .....  .....  .......  ......

 

2  1  2    .......  ......
 ......  ....   .......  ......

 

..........
=
 ......   ...... 

 

 ......    ...... 
 ......   ...... 

 

=
 ...... 


 ...... 
 ...... 


.....
.....
 ...... 


=  ...... 
 ...... 


Pelatuhan 15
A. Berilah tanda silang (x) huruf a, b, c, d atau e pada jawaban yang paling benar!
1. Koordinat titik P (2,-3,1), vektor posisi PQ = -3i + 5j + 4k dan OR = I +4j +
4k maka panjang vektor QR adalah….
a.
3
b.
6
c. 3
d. 2 3
2. Diketahui ruas garis AB dengan A(-3,1,-3) dan B(3,-2,6) jika titik c
diperpanjangan AB dan AB 
3
AC maka koordinat titik c adalah….
4
a. (5,-3,9)
b. (5,-5,8)
c. (11,-3,9)
d. (11,-5,9)
e. (5,03,15)
3. Segitiga ABC dengan A(-2,1,-3), B(x, y, z) dan C(3, 1, 3) jika titik berat
ABC adalah Z(2, -1, 2) maka nilai x + y + z = …..
a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7
4. Diketahui P(1, -2, -1), Q(6, 3, 4) dan R(a, b, 2) jika R membagi PQ di dalam
dengan perbandingan m : n, maka nilai a dan b adalah …..
a. 1 dan 4
b. 4 dan 1
c. -4 dan 1
d. 4 dan -1
e. -4 dan -1