Logika Proposisi - Binus Repository

Course Content Template
Matematika Diskrit
Type:ACADEMIC COURSE
Code: K0144
Product Development Center, Bina Nusantara
DC-PDC-4
Ver. 1.0 21.7.2017
Table of Content
Table of Content.................................................................................................................................................................. 1
Course Content ................................................................................................................................................................... 2
Logika Proposisi ............................................................................................................................................................ 2
Pengertian Proposisi ................................................................................................................................................... 2
Operator Logika .......................................................................................................................................................... 4
Logical equivalence ................................................................................................................................................... 6
Activity ................................................................................................................................................................................. 1
Quiz/Exam/Self-Assess .............................................................................................................................................. 1
Asignment ................................................................................................................................................................... 1
1
Part
Course Content
Logika Proposisi
SASARAN :
Setelah mempelajari Modul 1 ini anda diharapkan memahami logika proposisi, hukum-hukum proposisi
yang berkaitan dengan pernyataan majemuk, memahami pengujian validitas argumen dan mengerti
kebenaran pernyataan berkuantor dan negasinya.
POKOK BAHASAN :
Untuk mencapai sasaran pokok bahasan yang harus dipelajari adalah: proposisi dan operator logika,
validitas arrgumen dan kalimat berkuantor.
Pengertian Proposisi
DEFINISI PROPOSISI : Proposisi adalah suatu pernyataan (statement) yang dapat dinyatakan benar
atau salah tetapi tidak keduanya.
CONTOH PROPOSISI :
1) Terdapat dua solusi dari persamaan x2 + 4 = 20, dan kedua solusi adalah integer.
2) Jika x suatu integer maka x2 adalah integer positif.
3) Fungsi f : R
R, f(x) = 2x jika dan hanya jika f’(x) = 2.
4) Untuk setiap bilangan riil x terdapat bilangan riil y sehingga xy = 1.
PENJELASAN CONTOH :
1) Penyelesaian persamaan x2 + 4 = 20 adalah :
x2 + 4 = 20  x2 = 16  x1 = 4 atau x2 = -4. Jadi solusi persamaan x2 + 4 = 20 ada dua
yaitu 4 dan –4. Sehingga pernyataan bernilai benar.
2) Bila x suatu integer positif maka x2 positif. Demikian pula bila x integer negatif maka x2
juga integer positif. Jadi pernyataan benar.
3) Bila f(x) = 2x maka turunan fungsi f yaitu f’(x) = 2, tetapi jika f’(x) = 2 maka f(x) = 2x + c.
dimana c konstanta sebarang. Jadi pernyataan bernilai salah.
4) Bila x tidak nol jelas ada y = 1/x sehingga xy = 1, tetapi bila x = 0 ternyata tidak ada y
sehingga xy = 1. Jadi pernyataan salah.
CONTOH BUKAN PROPOSISI :
1) x2 = 11.
2) Program ini tidak baik.
3) Pergilah!
PENJELASAN BUKAN CONTOH :
Dari contoh 1 sampai dengan 3 ternyata tidak dapat dinilai kebenaran atau kesalahan kalimat tersebut
sehingga kalimat-kalimat tersebut tidak dapat dikategorikan sebagai proposisi/pernyataan.
Suatu kalimat yang masih terbuka kemungkinan benar atau salah disebut sebagai kalimat terbuka. Jadi
kalimat terbuka adalah bukan proposisi.
CONTOH KALIMAT TERBUKA :
1) x2 – 2x + 1 = 0.
2) x – 4 > 5 dan 2x + 3 > 4.
PENJELASAN CONTOH : Bila pada contoh 1 variabel x kita ganti dengan bilangan 1 maka kalimat
terbuka x2 – 2x + 1 = 0 menjadi proposisi yang bernilai benar. Bila pada contoh 2 variabel x kita ganti
dengan bilangan 1 maka kalimat terbuka x – 4 > 5 dan 2x + 3 > 4 menjadi proposisi yang bernilai salah.
Bila variable x pada kedua contoh diganti bilangan lain bisa didapatkan proposisi-proposisi yang bernilai
sebaliknya.
CATATAN : Beberapa matematikawan mempunyai istilah yang berbeda tentang konsep proposisi di
atas. mereka memakai istilah pernyataan, sebagai kata yang identik dengan proposisi.
pernyataan
kalimat
rangkaian kata
Pernyataan
benar
yang
pernyataan
salah
yang
bukan pernyataan
(termasuk kalimat
terbuka)
bukan kalimat
Pada pembahasan ini kita boleh memakai istilah proposisi atau pernyataan karena keduanya adalah hal
yang identik.uatu rangkaian kata bisa dikategorikan sebagai berikut:
Operator Logika
PERNYATAAN MAJEMUK : Pernyataan majemuk adalah suatu proposisi atau pernyataan yang
merupakan gabungan dari beberapa pernyataan tunggal yang dihubungkan dengan suatu operator
logika.
OPERATOR LOGIKA : Operator logika standard yang sering dipakai didalam logika proposisi adalah
operator DAN (AND), ATAU (OR), atau BUKAN/TIDAK (NOT).
Pernyataan majemuk yang memakai operator DAN disebut konjungsi, yang memakai operator ATAU
disebut disjungsi dan yang memakai operator BUKAN/TIDAK disebut negasi.
TABEL KEBENARAN :Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk konjungsi, disjungsi dan negasi
dinyatakan dalam table berikut. Misalkan p dan q suatu pernyataan tunggal dan 0 berarti pernyataan
salah, 1 berarti pernyataan benar maka table kebenaran konjungsi, disjungsi dan negasi adalah:
p
q
p DAN q
p ATAU q
BUKAN p
0
0
0
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
1
0
1
1
1
1
0
Dari table ini berarti bahwa suatu pernyataan majemuk p DAN q akan bernilai benar jika dan hanya jika
kedua pernyataan pembentuknya p dan q benar. Pernyataan majemuk p atau q bernilai salah jika dan
hanya jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai salah.
CONTOH KONJUNGSI, DISJUNGSI dan NEGASI :
1) Dua adalah bilangan prima dan bilangan genap.
2) Tiga factor dari 49 atau hadis dibagi 2.
3) Tidak benar empat adalah bilangan kuadrat.
PENJELASAN CONTOH :
1) Pernyataan ini merupakan suatu konjungsi dari dua pernyataan tunggal yaitu dua
adalah bilangan prima dan dua adalah bilangan genap. Karena kedua pernyataan
tunggal tersebut bernilai benar maka konjungsi ini bernilai benar.
2) Pernyataan ini merupakan suatu disjungsi dari dua pernyataan tunggal yaitutiga factor
dari 49 dan tiga habis dibagi 2. Karena kedua pernyataan ini bernilai salah maka
pernyataan disjungsi bernilai salah.
3) Karena pernyataan empat adalah bilangan kuadrat bernilai benar maka pernyataan
negasinya bernilai salah.
SIMBOL OPERATOR : Simbol yang sering dipakai untuk operator logika DAN, ATAU, atau BUKAN
adalah
konjungsi : p  q , p  q , p  q , pq
: p  q, p  q
disjungsi
: ~ p , p, p ,
negasi
p
Selain ketiga operator logika standard AND, OR atau NOT terdapat beberapa operator logika yang lain
yaitu: Exclusif or (XOR), Not or (NOR), Not And (NAND) dengan table kebenaran sebagai berikut.
p
q
p XOR q
pNOR q
p NAND q
0
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
SIMBOL OPERATOR LOGIKA : Simbol untuk operator logika XOR, NOR dan NAND adalah :

P XOR q = p  q

P NOR q = ~(pq)

P NAND q = ~(pq)
MACAM PROPOSISI : Bila ditinjau dari nilai kebenarannya maka suatu proposisi dapat dikategorikan
sebagai TAUTOLOGI, KONTRADIKSI atau KONTINGENSI.
TAUTOLOGI adalah pernyataan yang dalam segala situasi selalu bernilai benar, KONTRADIKSI adalah
pernyataan yang dalam segala situasi selalu salah, KONTINGENSI adalah pernyataan yang bisa bernilai
benar atau salah.
CONTOH TAUTOLOGI, KONTRADIKSI DAN KONTINGENSI.
1) Tautology : Tiga adalah bilangan genap atau bilangan ganjil.
2) Kontradiksi : Pintu itu terbuka dan tertutup.
3) Kontingensi : Hari ini ada kuliah atau besok ada ujian.
PENJELASAN CONTOH :
1) Pada contoh ini proposisi merupakan bentuk p~p sehingga kalau dilihat table
kebenaran proposisi ini kolom p~p selalu bernilai 1 apapun isi kolom yang lain.
Sehingga proposisi ini merupakan suatu tautology.
2) Proposisi pada contoh dua merupakan bentuk p~p yang terlihat pada table kebenaran
kolom p~p selalu bernilai 0 apapun isi kolom yang lain. Ini berarti proposisi merupakan
suatu kontradiksi.
3) Karena proposisi ini merupakan bentuk pq bentuk maka table kebenaran untuk kolom
pq bias bernilai 1 atau 0 tergantung dari isi kolom yang lain.
Logical equivalence
LOGICAL EQUIVALENCE : Dua proposisi/pernyataan dikatakan logical equivalence bila dalam segala
situasi keduanya memiliki table kebenaran yang sama. Bila p logical equivalence dengan q ditulis p = q,
atau p  q
CONTOH LOGICAL EQUIVALENCE :
1) Proposisi ~(pq) logical equivalence dengan ~p~q. Perhatikan table berikut:
p
q
~p
~q
pq
~( pq)
~p~q
0
0
1
1
0
1
1
0
1
1
0
1
0
0
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
0
0
2) Proposisi-proposisi berikut adalah logical equivalence:

(pq)q = (pq)q

(~p q) p = pq

(pq)r = (pr)(pr)
PENJELASAN CONTOH :
1) Sudah jelas.
2) Bila kita buat table kebenaran untuk proposisi-proposisi pada contoh 2 kita dapatkan
table sebagai berikut:
p
q
~p
pq
pq
(pq)q
(pq)q
~pq
(~pq)p
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
1
0
1
1
1
0
1
0
0
1
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
1
Bila kita perhatikan kolom 6 dan 7 pada table diatas maka dua pernyataan tunggal (pq)q dan (pq)q
adalah equivalence. Demikian pula bila diperhatikan kolom 4 dan 9 maka proposisi (~p q) p dan pq
equivalence.
Ada beberapa logical equivalence yang merupakan suatu teori yang sering dipakai untuk proses
manipulasi dari suatu bentuk pernyataan majemuk sehingga bentuk tersebut menjadi sederhana. Teoriteori equivalensi tersebut dinamakan hokum-hukum aljabar proposisi, yaitu antara lain hokum :
idempoten, asosiatif, komutatif, distributive, identitas, komplemen, involusi, dan hokum De’Morgan.
Activity
2
Part
Quiz/Exam/Self-Assess
Asignment
1. Dengan memakai tabel kebenaran nyatakanlah apakah proposisi-proposisi berikut suatu tautology,
kontradiksi atau kontingensi, bila p, q dan r suatu proposisi.
a) ~(p~q)(~q)
b) p[(~pq)r]
2. Buktikan dengan tabel kebenaran proposisi (p v q) v r  p v (q v r)
3. Untuk setiap pasangan proposisi P dan Q, maka nyatakan apakah P  Q atau tidak
a) P = p^(q v r); Q = (p v q) ^ (p v r)
b) P = ( p  q )  r ; Q = p  ( q  r)
4. Buktikan hukum De.Morgan kedua ( p ^ q) ~  ~p v ~q