bab i logika - Simponi MDP

BY:
ERVI COFRIYANTI, S.Si.


DEFINISI 1.1.
PROPOSISI (KALIMAT TERBUKA) ADALAH
KALIMAT DEKLARATIF YANG BERNILAI
BENAR (TRUE) ATAU SALAH (FALSE),
TETAPI TIDAK KEDUANYA.
PERNYATAAN – PERNYATAAN BERIKUT :
a.
6 ADALAH BILANGAN GANJIL
b.
PENDUDUK INDONESIA BERJUMLAH 70 JUTA
c.
2+2=4
d.
3<4
e.
JAKARTA ADALAH IBUKOTA NEGARA
INDONESIA
ADALAH CONTOH PROPOSISI

PERNYATAAN – PERNYATAAN BERIKUT
a.
DIMANAKAH LETAK PULAU BALI?
b.
DILARANG MEROKOK!
c.
X+3=8
d.
2 MENCINTAI 3
ADALAH BUKAN MERUPAKAN PROPOSISI






PROPOSISI BIASANYA DILAMBANGKAN
DENGAN HURUF KECIL SEPERTI p, q, r,…
CONTOH :
p:2+2=4
q:3<4
r : JAKARTA ADALAH IBUKOTA
NEGARA INDONESIA


i.
ii.
SATU ATAU LEBIH PROPOSISI DAPAT
DIKOMBINASIKAN UNTUK
MENGHASILKAN PROPOSISI BARU.
OPERATOR YANG DIGUNAKAN UNTUK
MENGKOMBINASIKAN PROPOSISI
DISEBUT OPERATOR LOGIKA.
OPERATOR LOGIKA DIBAGI DUA YAITU :
OPERATOR BINER, e.g. DAN (AND) DAN
ATAU(OR).
OPERATOR UNER, e.g. TIDAK (NOT)


PROPOSISI BARU HASIL KOMBINASI
SATU ATAU LEBIH PROPOSISI
DISEBUT PROPOSISI
MAJEMUK (COMPOUND PROPOSITION)
PROPOSISI YANG BUKAN MERUPAKAN
KOMBINASI PROPOSISI LAIN
DISEBUT PROPOSISI ATOMIK
SIMBOL
ARTI
_
TIDAK/NOT/
NEGASI
BENTUK
TIDAK....

DAN/ AND/
KONJUNGSI
….DAN….
V
ATAU/OR/
DISJUNGSI
….ATAU….

IMPLIKASI
(KONDISI
TUNGGAL)
JIKA…MAKA….

BIIMPLIKASI
(KONDISI
GANDA)
….JIKA DAN
HANYA JIKA….





Misalkan p dan q adalah proposisi.
Konjungsi (conjunction) p dan q, dinyatakan
notasi p  q, adalah proposisi p dan q
Contoh :
p : Pemuda itu tinggi
q : Pemuda itu tampan
p  q : pemuda itu tinggi dan tampan





Disjungsi (disjunction) p dan q, dinyatakan
dengan notasi p v q, adalah proposisi p
atau q
Contoh :
p : Hari ini hujan
q : Hari ini dingin
p v q : hari ini hujan atau dingin




Ingkaran (negation) dari p, dinyatakan
dengan notasi ~p, adalah proposisi tidak p
Contoh :
p : Hari ini hujan
~p : Tidak benar hari ini hujan (hari ini
tidak hujan)
Nyatakan dalam bentuk simbolik.
a)
Pemuda itu tinggi dan tampan.
b)
Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan.
c)
Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan.
d)
Tidak benar pemuda itu pendek atau tidak
tampan.
e)
Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan.
f)
Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun
tampan.








Simbol  adalah simbol implikasi
dibaca “jika . . . maka . . .” atau “ . . . hanya jika . .
.”.
contoh kalimat implikasi “jika p maka q” dapat
ditulis dalam bentuk simbol menjadi p  q.
Proposisi p disebut hipotesis (anteseden),
sedangkan q disebut konklusi (konsekuen).
Contoh :
p : Amir orang kaya
q : Amir mempunyai mobil
p  q : jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai
mobil.







Simbol  adalah simbol bi-implikasi
dibaca “. . . jika dan hanya jika . . .”.
Jika terdapat proposisi majemuk “m jika dan
hanya jika n”, maka dapat ditulis dalam
bentuk simbol m  n atau dalam bentuk (m
 n)  (n  m).
Contoh :
p : udara di luar panas
q : saya membeli es krim
p  q : udara di luar panas jika dan hanya
jika saya membeli es krim

a)
Misalkan p dan q
adalah proposisi.
Konjungsi p  q
bernilai benar jika
p dan q keduanya
benar, selain itu
nilainya salah
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
F
p
q
pvq
T
T
T
T
F
T
F
T
T
F
F
F
p
q
p q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
p
q
pq
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T



Sebuah proposisi majemuk disebut tautologi jka
ia benar untuk semua kasus, dan sebaliknya
disebut kontradiksi jika salah untuk semua
kasus.
Dua buah proposisi majemuk, P(p, q,…) dan
Q(p, q,…) disebut ekuivalen secara logika,
dilambangkan dengan
P(p, q, r,…)  Q(p, q,…) jika keduanya
mempunyai tabel kebenaran yang semuanya
benar (tautologi).
Biasanya digunakan notasi “” untuk
melambangkan ekuivalen secara logika.
No
Hukum
Bentuk ekuivalensi
1
Komutatif
pq  qp
pq  qp
2
Asosiatif
(p  q)  r  p  (q  r)
(p  q)  r  p  (q  r)
3
Distributif
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
p  (q  r)  (p  q)  (p  r)
4
Identitas
p  True  p
p  False  p
5
Ikatan/null/ p  True  True
dominasi
p  False  False
6
Negasi
p  ~p  True
p  ~p  False
7
Negasi
Ganda/
Involusi
~(~p)  p
8
Hukum
Idempoten
ppp
ppp
9
Hukum De ~(p ^ q )  ~p v ~q
Morgan
~(p v q)  ~p ^ ~q
10
Penyerapan
11
Negasi True
dan False
12
Implikasi & (p  q)  ~p v q
bi-implikasi (p  q)  (p  q)  (q  p)
p(pq)p
p(pq)p
~T ≡ F
~F ≡ T





Tunjukkan bahwa p v ~(p v q) dan p v ~q keduanya
ekuivalen secara logika.
Penyelesaian :
p v ~(p v q) ≡ p v (~p ^ ~q)
(Hukum De Morgan )
≡ (p v ~p) ^ (p v ~q)
(Hukum distributif)
≡ T ^ (p v ~q)
(Hukum negasi)
≡ p V ~q (Hukum identitas)
Buktikan hukum penyerapan :
p ^ (p v q) ≡ p
Jawaban :
p ^ (p v q) ≡ (p v F) ^ (p vq)
(Hukum Identitas)
≡ p v (F ^ q)
(Hukum distributif)
≡ p v F (Hukum Null)
≡ p (Hukum identitas)



Definisi :
Misalkan p dan q adalah proposisi.
Exclusive or p dan q, dinyatakan dengan
notasi p  q , adalah proposisi yang bernilai
benar bila hanya salah satu dari p dan q
benar, selain itu nilainya salah.

Pada sebuah perlombaan, pemenang dijanjikan
mendapat hadiah. Hadiahnya adalah sebuah
pesawat televisi 20 inchi. Jika pemenang tidak
menginginkan membawa TV, panitia
menggantinya dengan senilai uang. Jelas di sini
bahwa hadiah yang dapat di bawa pulang hanya
salah satu dari uang atau TV dan tidak bisa
keduanya. Kata “atau” di sini digunakan secara
eksklusif. Misalkan p adalah proposisi “Juara
lomba mendapat hadiah pesawat TV 20 inchi” dan
q adalah proposisi “Juara lomba mendapat hadiah
uang”. Maka proposisi “Juara lomba mendapat
hadiah pesawat TV 20 inchi atau uang” kita
tuliskan sebagai
pq
p
q
pq
T
T
F
T
F
T
F
T
T
F
F
F



Definisi :
Misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi
majemuk “jika p, maka q” disebut proposisi
bersyarat (implikasi/kondisional) dan
dilambangkan dengan p → q.
Proposisi p disebut hipotesis (atau anteseden
atau premis atau kondisi) dan proposisi q
disebut konklusi (atau konsekuen)

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Implikasi p → q tidak hanya diekspresikan
dalam pernyataan “jika p, maka q” tetapi
juga dapat diekspresikan dalam berbagai
cara, antara lain :
Jika p, maka q (bentuk yang lazim
digunakan)
Jika p, q
p mengakibatkan q (p implies q)
q jika p
p hanya jika q
p syarat cukup untuk q (hipotesis
menyatakan syarat cukup (sufficient
condition))
q syarat perlu untuk p (konklusi
menyatakan syarat perlu (necessary
condition))
q bilamana p

a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
h)
Proposisi-proposisi berikut adalah implikasi dalam
berbagai bentuk :
Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur.
Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang.
Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan
air laut naik.
Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
Ahmad bisa mengambilmatakuliah Teori Bahasa
Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah
Matematika Diskrit.
Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah
percikan api dari rokok.
Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia
adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan.
Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.


a)
b)
c)
d)
e)
f)
Ubahlah proposisi c sampai h pada contoh 1 di
atas ke dalam bentuk proposisi “jika p, maka q”.
Penyelesaian :
Jika es mencair di kutub, maka permukaan air
laut naik.
Jika orang itu diberi ongkos jalan, maka ia mau
berangkat.
Jika Ahmad mengambil matakuliah Teori Bahasa
Formal, maka ia sudah lulus matakuliah
Matematika Diskrit.
Pernyataan yang diberikan ekuivalen dengan
“Percikan api dari rokok adalah syarat cukup
untuk membuat pom bensin meledak” atau “Jika api
memercik dari rokok maka pom bensin meledak”
Pernyataan yang diberikan ekuivalen dengan
“Mengontrak pemain asing kenamaan adalah syarat
perlu untuk Indonesia agar ikut Piala Dunia”
atau “Jika Indonesia ikut Piala Dunia maka
Indonesia mengontrak pemain asing kenamaan”.
Jika hutan-hutan ditebangi, maka banjir bandang
terjadi.




Terdapat bentuk implikasi lain yang berkaitan
dengan p → q, yaitu proposisi sederhana
yang merupakan varian dari implikasi. Ketiga
variasi proposisi bersyarat tersebut adalah
konvers, invers, dan kontraposisi dari
proposisi asal p → q.
Konvers (kebalikan) : q → p
Invers
: ~p → ~q
Kontraposisi
: ~q → ~p
p
q
~p
~q p→q q→p
implika
si
~p→~q ~q→~p
Kontrakonvers invers
posisi
T
T
F
F
T
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
F
F
T
T
F
T
F
F
T
F
F
T
T
T
T
T
T








Dari tabel kebenaran terlihat bahwa
proposisi bersyarat p → q ekuivalen secara
logika dengan kontraposisinya, ~q → ~p.
Contoh :
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi
dari pernyataan berikut
“Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang
kaya”
Penyelesaian:
Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia
mempunyai mobil.
Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil,
maka ia bukan orang kaya.
Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya,
maka ia tidak mempunyai mobil.

a)
b)
c)
d)
Terdapat sejumlah cara untuk menyatakan
bikondisional p ↔ q dalam kata-kata, yaitu :
p jika dan hanya jika q.
p adalah syarat perlu dan cukup untuk q.
Jika p maka q, dan sebaliknya.
p iff q
Tuliskan setiap proposisi berikut ke dalam bentuk “p jika dan
hanya jika q” :
a)
Jika udara di luar panas maka anda membeli es krim, dan jika
anda membeli es krim maka udara di luar panas.
b)
Syarat cukup dan perlu agar anda memenangkan pertandingan
adalah anda melakukan banyak latihan.
c)
Anda naik jabatan jika anda punya koneksi, dan anda punya
koneksi jika anda naik jabatan.
d)
Jika anda lama menonton televisi maka mata anda lelah, begitu
sebaliknya.
e)
Kereta api datang terlambat tepat pada hari-hari ketika saya
membutuhkannya.
Penyelesaian :
a)
Anda membeli es krim jika dan hanya jika udara di luar panas.
b)
Anda melakukan banyak latihan adalah syarat perlu dan cukup
untuk anda memenangkan pertandingan.
c)
Anda naik jabatan jika dan hanya jika anda punya koneksi.
d)
Mata anda lelah jika dan hanya jika anda lama menonton televisi.
e)
Kereta api datang terlambat jika dan hanya jika saya
membutuhkan kereta hari itu.
