Perancangan Sistem Digital

BAB 1
Sistem Bilangan
1.1
Pendahuluan
Sistem bilangan didefinisikan sebagai sekumpulan nilai yang digunakan untuk melambangkan besaran. Kita sudah terbiasa menggunakan bilangan
ini dalam kehidupan sehari-hari. Jumlah mahasiswa yang hadir dalam kuliah, jumlah matakuliah yang diambil oleh mahasiswa, nilai yang didapat
mahasiswa untuk suatu ujian matakuliah, semuanya menggunakan lambang
bilangan.
Pembahasan mengenai sistem bilangan tidak terbatas pada komputer
saja. Kita menggunakannya dalam kehidupan sehari-hari, dan kita mengetahui bahwa komputer juga menggunakannya sehingga dapat mengolah data
menjadi data lain yang berupa bilangan juga.
Sejak lama manusia menggunakan tanda atau simbol untuk menggambarkan bilangan. Bentuk awal penggunaan simbol adalah dengan garis lurus.
Jumlah garis menunjukkan besarnya bilangan. Ada yang menggambarkan
kelompok 6 garis vertikal dengan 1 garis horisontal melintang pada jelompok
garis vertikal tersebut untuk menunjukkan jumlah hari dalam 1 minggu.
Sangat sulit untuk menggambarkan bilangan sangat besar ataupun sangat
kecil menggunakan pendekatan grafis. Pada sekitar tahun 3400 SM di Mesir
dan 3000 SM di Mesopotamia mereka membuat simbol untuk menggambarkan bilangan dalam kesatuan 10. Ini adalah langkah besar karena dapat
mereduksi jumlah simbol yang diperlukan. Misalnya dua belas dapat digambarkan dengan satu puluhan dan dua satuan, sehingga hanya memerlukan 3
simbol. Bandingkan dengan 12 simbol sebelumnya.
Orang Romawi menggunakan 7 buah simbol yang dapat digunakan untuk
menggambarkan bilangan 1 sampai dengan 1.000.000.
I=1
1
2
1. Sistem Bilangan
V=5
X = 10
L = 50
C = 100
D = 500
M = 1000
Tambahan tanda garis di atas simbol tadi diartikan sebagai perkalian 1000.
Sistem bilangan yang paling banyak digunakan saat ini adalah sistem
Arab. Sistem ini pertama kali dibuat oleh orang Hindus dan digunakan pada
awal abad ke-3 sebelum Masehi. Pengenalan simbol 0, yang digunakan untuk
menunjukkan nilai posisi angka menjadi sangat bermanfaat. Sekarang kita
menjadi terbiasa dengan puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya.
Dalam sistem bilangan, banyak terjadi perulangan berkali-kali penggunaan suatu simbol. Pada sistem desimal, hanya digunakan simbol sebanyak
10 macam. Simbol ini akan diulang-ulang untuk menyatakan bilangan yang
besar. Lihat Gambar 1.1
Perhatikan bagaimana bilangan 0 sampai dengan 9 diulang, dan setiap
perulangan, nilai kolom sebelah kirinya bertambah satu (dari 0 menjadi 1,
kemudian 2). Setiap terjadi kenaikan nilai, sampai nilai tertinggi tercapai
(yaitu 9), nilai dikolom sebelah kirinya bertambah 1, jadi setelah 9 adalah
10. Demikian seterusnya berulang-ulang.
09, 10 - 19, 20 - 29, 30 - 39 dst
Angka selalu dinulis dengan nilai tertinggi pada bagian paling kiri dari bilangan.
1.2
Nilai Basis
Nilai basis untuk sistem bilangan adalah cacah himpunan nilai berbeda sebelum terjadi perulangan. Misalnya, sistem desimal adalah berbasis sepuluh,
dengan nilai 0 sampai dengan 9. Nilai basis yang lain misalnya: biner, oktal,
duodesimal, heksadesimal, vigesimal, seksagesimal. Sistem desimal adalah
sistem yang paling dikenal, karena ini adalah sistem yang digunakan dalam
perhitungan sehari-hari.
1.2.1
Desimal
Sistem desimal terdiri atas 10 angka atau simbol, yaitu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
9. Dengan menggunakan simbol ini kita dapat menyatakan besaran. Sistem
desimal sering dinamakan juga sistem basis-10, karena mempunyai 10 angka.
Yohanes Suyanto
1.2. Nilai Basis
3
0 −→
p
e
r
u
l
a
n
g
a
n
1 −→
v
e
r
t
i
k
a
l
2 −→
...
9 −→
...
9 −→
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Perulangan horisontal
90
9990
Gambar 1.1: Perulangan horisontal dan vertikal
Yohanes Suyanto
4
1.2.2
1. Sistem Bilangan
Biner
Dalam sistem biner, hanya ada 2 simbol atau angka yaitu 0 dan 1. Sistem
basis-2 ini dapat dipergunakan untuk menyatakan besaran yang direpresentasikan dalam desimal maupun sistem bilangan lain. Contoh:
Desimal
Biner
13
1101
123
1111011
45
101101
1023 1111111111
1.2.3
Oktal
Sistem oktal adalah sistem basis-8 dengan simbol sebanyak 8 macam yaitu:
0,1,2,3,4,5,6, dan 7. Contoh:
Desimal
Biner Oktal
13
1101
15
123
1111011
173
45
101101
33
1023 1111111111 1777
1.2.4
Heksadesimal
Sistem heksadesimal adalah sistem basis-16 dengan simbol sebanyak 16
macam yaitu: 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,A,B,C,D,E dan F. Contoh:
Desimal
Biner Heksadesimal
13
1101
D
123
1111011
7B
45
101101
2D
1023 1111111111
3FF
Sistem duodesimal adalah sistem berbasis 12 digunakan oleh orang Romawi untuk beberada keperluan. Sistem vigesimal adalah sistem bilangan
berbasis 20 digunakan oleh orang Maya sedang seksagesimal berbasis 60 dan
digunakan oleh orang Babylonia.
1.3
Faktor Bobot
Faktor bobot adalah nilai pengali yang dikenakan pada setiap posisi kolom
dalam bilangan. Misalnya, desimal mempunyai faktor bobot sepuluh, yang
Yohanes Suyanto
1.4. Konversi sistem bilangan
5
artinya setiap kolom disebelah kiri mempunyai nilai bobot sebesar sepuluh kali lebih besar dari kolom sebelah kanannya. Dengan demikian setiap
bergeser ke kiri faktornya menjadi 10 kali lipat.
200=
0 × 100 = 0 × 1
0 × 101 = 0 × 10
2 × 102 = 2 × 100
=
0
=
0
= 200
200 (hasil penjumlahan)
Contoh lain untuk bilangan 312,
312=
2 × 100 = 2 × 1
1 × 101 = 1 × 10
3 × 102 = 3 × 100
=
2
= 10
= 300
312 (hasil penjumlahan)
Bilangan biner mempunyai faktor bobot sebesar dua. Oleh karena itu
bilangan 101102 dapat diuraikan menurut bobotnya menjadi:
10110=
0
1
1
0
1
1.4
1.4.1
×
×
×
×
×
20
21
22
23
24
=
=
=
=
=
0
1
1
0
1
×
×
×
×
×
1
2
4
8
16
= 0
= 2
= 4
= 0
= 16
22 (hasil penjumlahan)
Konversi sistem bilangan
Konversi bilangan desimal menjadi biner
Pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan biner dapat dilakukan dengan membagi dua bilangan desimal tersebut secara berulang sampai habis
sambil mencatat sisa hasil bagi (modulo). Sebagai contoh bilangan desimal 19 dapat diubah menjadi bilangan biner dengan cara yang terlihat pada
Gambar 1.2.
Untuk menguji hasil konversi tersebut dapat dilakukan dengan cara sebelumnya. Lihat Gambar 1.3.
Yohanes Suyanto
6
1. Sistem Bilangan
19
2
9
2
4
2
2
2
1
2
=
=
=
=
=
9 sisa 1
4 sisa 1
2 sisa 0
1 sisa 0
0 sisa 1
1910 =
1 0
0 1
12
Gambar 1.2: Konversi bilangan desimal 19 menjadi biner
10110=
0
1
1
0
1
×
×
×
×
×
20
21
22
23
24
=
=
=
=
=
1
1
0
0
1
×
×
×
×
×
1
2
4
8
16
=
=
=
=
=
1
2
0
0
16
19 (hasil penjumlahan)
Gambar 1.3: Pengujian bilangan biner 10011 menjadi bilangan desimal
1.4.2
Konversi bilangan desimal menjadi oktal
Pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat dilakukan dengan cara yang sama dengan konversi dari bilangan desimal menjadi bilangan
biner, dengan mengganti bilangan pembagi dengan delapan. Sebagai contoh
bilangan desimal 321 dapat diubah menjadi bilangan oktal dengan cara yang
terlihat pada Gambar 1.4.
321
8
40
8
5
8
= 40 sisa 1
= 5 sisa 0
= 0 sisa 5
32110 = 5 0
18
Gambar 1.4: Konversi bilangan desimal 321 menjadi oktal
Untuk menguji hasil konversi tersebut dapat dilakukan dengan cara sebelumnya. Lihat Gambar 1.5.
Sekilas terlihat bahwa perhitungan di atas tidak benar. Namun demikian,
perlu diingat bahwa perhitungan tersebut dilakukan dalam bilangan oktal.
Hasil dari 15
adalah 6 dengan sisa 1, karena sebenarnya 158 = 1310 .
2
Yohanes Suyanto
1.4. Konversi sistem bilangan
7
501=
1 × 80 = 1 × 1 =
1
1
0×8 =0×8 =
0
5 × 82 = 5 × 64 = 320
321 (hasil penjumlahan)
Gambar 1.5: Pengujian bilangan oktal 501 menjadi bilangan desimal
1.4.3
Konversi bilangan desimal menjadi heksadesimal
Cara pengubahan bilangan desimal menjadi bilangan oktal dapat diterapkan
juga untuk mengubah bilangan desimal menjadi heksadesimal, dengan cara
mengganti bilangan pembagi dengan enam belas. Sebagai contoh bilangan
desimal 321 dapat diubah menjadi bilangan heksadesimal dengan cara yang
terlihat pada Gambar 1.6.
321
16
20
16
1
16
=
=
=
20 sisa 1
1 sisa 4
0 sisa 1
32110 = 1 4
18
Gambar 1.6: Konversi bilangan desimal 321 menjadi heksadesimal
Hasil konversi inipun dapat diuji kebernarannya dengan cara yang sama
seperti sebelumnya. Lihat Gambar 1.7.
141=
1 × 160 = 1 × 1
=
1
1
4 × 16 = 4 × 16 = 64
1 × 162 = 1 × 256 = 256
321 (hasil penjumlahan)
Gambar 1.7: Pengujian bilangan heksadesimal 141 menjadi bilangan desimal
1.4.4
Cara lain konversi bilangan
Secara umum pengubahan suatu bilangan dalam sistem bilangan non-desimal
menjadi suatu bilangan dalam sistem bilangan non-desimal lain dapat dilakukan dengan mengubahnya terlebih dahulu ke bilangan desimal, kemudian
diubah ke sistem bilangan tujuan. Namun demikian pengubahan bilangan
biner menjadi bilangan oktal (dan bilangan heksadesimal) dan sebaliknya daYohanes Suyanto
8
1. Sistem Bilangan
pat dilakkan secara langsung dengan cara seperti ditunjukkan pada Gambar
1.8.
1578 = |{z}
001 |{z}
101 |{z}
111 = 11011112
1
5
7
Gambar 1.8: Pengubahan bilangan oktal 157 menjadi biner
Cara tersebut dilakukan dengan mengubah setiap digit bilangan oktal
menjadi 3 digit biner (bit). Ingat 8 adalah 23 . Sebaliknya untuk mengubah bilangan biner menjadi bilangan oktal dapat ditempuh dengan mengelompokkan setiap 3 bit dari bilangan biner dari kanan dan menerjemahkan
masing-masing kelompok menjadi bilangan oktal yang sesuai. Lihat Gambar
1.9.
100110012 = |{z}
10 |{z}
011 |{z}
001 = 2318
2
3
1
Gambar 1.9: Pengubahan bilangan biner 10011001 menjadi oktal
Pengubahan bilangan heksadesimal menjadi biner dapat dilakukan dengan menerjemahkan setiap digit bilangan heksadesimal menjadi 4 bit. Bilangan 4 didapat karena 16 (heksadesimal) adalah 24 .
Contoh 1.1
Ubah bilangan 2BA16 menjadi bilangan desimal!
Jawab:
2BA16 = 2 × 162 + 11 × 161 + 10 × 160
= 2 × 256 + 11 × 16 + 10 × 1
= 512 + 176 + 10 = 69810
Contoh 1.2
Ubah bilangan 84510 menjadi bilangan heksadesimal!
Jawab:
Yohanes Suyanto
1.4. Konversi sistem bilangan
845
16
52
16
3
16
Jadi 84510
9
= 52 sisa 13(D)
= 3 sisa 4
= 0 sisa 3
= 34D16
Contoh 1.3
Ubah bilangan 2B16 menjadi bilangan biner!
Cara I:
Bilangan setiap kali dibagi dengan 2. Perlu diingat bahwa pembagian dilakukan dalam bilangan heksadesimal.
2B
2
15
2
A
2
5
2
2
2
1
2
Jadi 2B16
= 15 sisa 1
= A sisa 1
= 5 sisa 0
= 2 sisa 1
= 1 sisa 0
= 0 sisa 1
= 1010112
Cara II:
Setiap digit bilangan heksadesimal diterjemahkan menjadi 4 bit.
2B16 = 0010 1011 = 1010112
2
11
Contoh 1.4
Ubah bilangan biner 110011011 menjadi bilangan heksadesimal!
Jawab:
Yohanes Suyanto
10
1. Sistem Bilangan
Setiap 4 bit dikelompokkan untuk diterjemahkan menjadi masingmasing 1 digit heksadesimal
110011011 = 1 1001 1011
= 1
9
B = 19B16
Yohanes Suyanto