BAB I

BAB V
MASALAH SIMULASI
ELEMENTER
Materi yang dibahas:




5.1
Umum
Game of Chance
Aplikasi Simulasi bidang Bisnis
Menghitung Integral
Umum
Hampir semua masalah simulasi realistik dalam masalah bisnis dan
industri membutuhkan penggunaan bilangan acak yang terdistribusi secara tidak
uniform. Namun pada saat ini marilah kita untuk sementara dalam masalah
simulasi elementer kita hanya membutuhkan bilangan yang terdistribusi secara
uniform. Hal ini untuk sementara sangat penting untuk mempermudah dalam
mengertikan model simulasi yang ada dalam bentuk elementer, seperti yang
dibahas pada bab ini.
5.2 Game Of Chance
Hampir semua masalah simulasi realistik dalam masalah bisnis dan industri
membutuhkan penggunaan bilangan acak yang terdistribusi secara tidak uniform.
Namun pada saat ini marilah kita untuk sementara dalam masalah simulasi
elementer kita hanya membutuhkan bilangan yang terdistribusi secara uniform.
Hal ini untuk sementara sangat penting untuk mempermudah dalam mengertikan
model simulasi yang ada dalam bentuk elementer, seperti yang dibahas pada bab
ini.
5.2.1 Main dengan Melempar dua mata Dadu
Permainan ini merupakan permaianan judi yang sering menggunakan
kartu, dadu dan sebagainya, dimana banyaknya dari permaian ini didasarkan pada
keluaran bilangan yang berdistribusi uniform. Meskipun nantinya tidak
43
berdistribusi uniform dengan bantuan bilangan acak berdistribusi uniform bisa
diselesaikan dan untuk ini akan dibahas pada bagian lain.
Main dengan Melempar Dua Mata Dadu.
Untuk menang:
1. dua dadu lempar pertama keluar jumlah 7 atau 11
2. dua dadu lempar untuk kedua kali dengan catatan lemparan pertama
keluar 4,5,6,8,9 atau 10 sebelum 7
Untuk kalah:
1. Dua dadu pada lemaran pertama keluar 2,3 atau 12
1. dua dadu pada lemparan kedua dengan catatan lemparan pertama
keluar 4,5,6,8,9 atau 10 dan 7 pada lemparan kedua sebelum angka
lemparan pertama.
Untuk Jelasnya penyelesaian pemecahan masalah Game Of Chance ini periksa
flowchartnya Gambar 5.1.
sub 2
Main
Return
Input N,KX,IO
go sub 1
Print N,KX,IO
score = 1
yes
is X = 7 atau 11
Sub 1
Dummy Rand(KX)
no
X1 = 1+int6*rnd
Sum = 0
is X = 2,3 atau 12
yes
score = 0
ForI 1 to n
X2 + 1 + int6*rnd
K=X
Go Sub2
Return
X1 + X2
GO SUB 1
Sum = Sum + Score
Return
Isd IO = 1
yes
Prin I, Score
IS X = K
no
no
Next I
IS X = 7
Print Sum
End
Gambar 5.1 Flowchart Game of Chance jenis dadu
Sebuah contoh pemecahan soal permainan Simulasi dengan dadu
Tiga orang A, B dan C bermain dengan menggunakan 2 buah dadu yang
dilemparkan secara bersamaan dengan ketentuan sebagai berikut: C bertidank
sebagai Bandar, sedang A dan B adalah menebak dengan taruhan tertentu, setiap
urutan ganjil akan memasang taruhan sebesar Rp 200.000,- dan urutan perminan
44
genap A hanya kan memasang taruhan sebesar Rp. 100.000,- . Model aturan
permainannya adalah sebagai berikut:
1. A akan menang bila jumlah mata dau yang keluar 5, 11 atau 12, bila
jumlah mata dadu yang keluar selain ini A akan kalah.
2. B akan menang bila jumlah mata dadu yang keluar 7, 9 dan 10 bila jumlah
mata dadu yang keluar selain ini B akan kalah.
3. C sebagai bandar bila A atau B yang menang maka uang bayarannya akan
dibayarkan dengan menggunakan A atau B yang kalah kalau ternyata
uamgnya kurang dari jumlah uang yang kalah maka kepada yang menang
akan tetap mendapat jumlah uang kemenangan yang akan dibayarkan oleh
C sebagai Bandar.
4. Yang perlu diingat sebagai kata kunci adalah jumlah uang untuk yang
menang dan jumah uang yang kalah akan sama.
Coba simulasikan untuk sebanyak 20 kali permainan dan cari jumlah uang
yang didapat atau yang harus dibayarkan oleh mereka: Untuk menentukan
mata dadu yang keluar mata dadu 1 (D1) gunakan kolom satu bilangan acak
yang tersedia, sedangkan untuk menentukan jenis mata dadu 2 (D2).
Untuk menjawab ini pertama harus diasumikan
bahwa ke dua dadu yang digunakan adalah seimbang
artinya peluang mata dadu yang keluar adalah sama
yaitu 1/6. Dari peluang ini akhirnya bisa dibuatkan
peluang kumulatifnya untuk menentukan mata dadu yang akan keluar dengan
bilangan acak yang didapatkan dari kol1 atau kol dari bilangan yang
digunakan. Untuk membuat model hasil simulasinya yang hasilnya ditaruh
dalam kolom-kolom, maka pertama harus diidentifikasi kolom yang
digunakan untuk mendapatkan hasil yang itu sebagai berikut:
1. Untuk kol1 digunakan untuk kolom repelikasi (20 baris)
2. Untuk kol2 untuk menaruh bilangan acak1
3. Untuk kol3 untuk dadu 1 (D1)
4. Untuk kol4 untuk acak2
5. Untuk kol5 untuk dadu 2 (D2)
6. Untuk kol6 menaruh nilai jumlah D1 dan D2
45
7. Untuk kol7 dipakai kolom hasil menangnya A
8. Untuk kol8 dipakai kolom hasil kalahnya A
9. Untuk kol9 dipakai kolom hasilnya menangnya B
10. Untuk kol10 dipakai kolom hasilnya kalahnya B
11. Untuk kol11 dipakai kolom uang yang didapat oleh C
12. Untuk kol12 dipakai kolom uang yang harus dikeluarkan oleh C
Peluang kumulatif
0.000 – 0.166
1
0.167 – 0.333
2
0.334 – 0.500
0.501 – 0.666
0.667 – 0.833
0.834 – 0.999
REP
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
DADU1
Acak2
D1
0,479
3
0,883
6
0,244
2
0,493
3
0,360
3
0,907
6
0,043
1
0,896
6
0,477
3
0,449
3
0,086
1
0,496
3
0,753
5
0,010
1
0,394
3
0,266
2
0,619
4
0,898
6
0,659
4
0,663
4
3
4
5
Aturan ketentuan permainan sbb:
1. A menang keluar 5,11 dan 12
2. B mnenang keluar 7, 9 dan 10
3. C menang bila keluar 2,3,4,6 dan 8 dan pada
keluarnya angka ini A dab klanh
6
DADU2
Acak3
D2
0.770
5
0.679
5
0.665
4
0.524
4
0.675
5
0.866
6
0.338
3
0.291
2
0.471
3
0.700
5
0.355
3
0.535
4
0.161
1
0.109
1
0.935
6
0.901
6
0.491
3
0.349
3
0.331
2
0.069
1
Nilai
d1+d2
8
11
6
7
8
12
4
8
6
8
4
7
6
2
9
8
7
9
6
5
A
M
B
K
-2
M
1
-2
-1
1
4
-24
k = 20
M
3
1
3
2
2
1
-2
-1
-2
-1
-2
-1
-2
-1
-2
-1
-2
-1
-2
C
K
-1
-2
-1
-1
-2
-1
-2
-1
-2
-1
K
-1
-1
1
3
3
3
3
3
2
-1
-1
-2
1
-2
1
2
-1
-2
8
-22
k = 14
3
3
1
3
1
-1
3
1
38
-4
m = 34
Hasil simulasinya adalah sebagai berikut:
A kalah sebesar 20 * Rp. 100.000 = Rp. 2.000.000,B kalah sebesar 14 * Rp. 100.000 = Rp. 1.400.000,C sebagai bandar dapat uang 34 * Rp. 100.000 = Rp. 3.400.000,-
5.2.2 Simulasi Main Kartu Black Jack
Dalam permainan ini :
Jack, Queen, & King mempunyai nilai 10 dan semua As bernilai
11, sedang semua kartu yang lain bernilai sesuai dengan angka
yang ada pada masing-masing kartu.
46
Cara bermain:
Kepada
sejumlah
pemain(N)
masing-masing dibagi 2 kartu. Satu
orang bertindak sebagai bandar,
kemenangan
ditentukan
melalui
nilai tertinggi yang didapat oleh
pemain atau bandar, dengan catatan
nilai tertinggi tidak melebihi 21.
Setiap pemain boleh mengambil 1 atau lebih kartu sisa di atas
meja. (Untuk lebih jelasnya tidak satu kartupun yang bisa diambil
lebih dari satu kali).
Untuk ini kartu yang terdiri dari 52 kartu diidentifikasikan sebagai
berikut:
C(I) ; I = 1,2,…,52.
I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
C(I)
1.1(As Clapper)
2.1(2 Clapper)
3.1(3 Clapper)
4.1(4 Clapper)
5.1(5 Clapper)
6.1(6 Clapper)
7.1(7 Clapper)
8.1(8 Clapper)
9.1(9 Clapper)
10.1(10 Clapper)
11.1(Jack Clapper)
12.1(Queen
Clapper)
13.1(King Clapper)
1.3(As Heart)
2.3(2 Heart)
3.3(3 Heart)
4.3(4 Heart)
5.3(5 Heart)
6.3(6 Heart)
7.3(7 Heart)
8.3(8 Heart)
9.3(9 Heart)
10.3(10 Heart)
11.3(Jack Heart)
I
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
C(I)
1.2(As Diamond)
2.2(2 Diamond)
3.2(3 Diamond)
4.2(4 Diamond)
5.2(5 Diamond)
6.2(6 Diamond)
7.2(7 Diamond)
8.2(8 Diamond)
9.2(9 Diamond)
10.2(10 Diamond)
11.2(Jack Diamond )
12.2(Queen Diamond)
13.2(King Diamond )
1.4(As Spade)
2.4(2 Spade)
3.4(3 Spade)
4.4(4 Spade)
5.4(5 Spade)
6.4(6 Spade)
7.4(7 Spade)
8.4(8 Spade)
9.4(9 Spade)
10.4(10 Spade)
11.4(Jack Spade)
47
38
39
12.3(Queen Heart)
13.3(King Heart)
51
52
12.4(Queen Spade)
13.4(King Spade)
Nilai masing-masing kartu ditentukan dengan:
V = INT(C(I)) dengan kendala tambahan sebagai berikut:
V = 10 bila INT(C(I)) > 10
V = 11 bila INT(C(I)) = 1
Macam kartu ditentukan dengan:
S = 10((C(I)) – INT(C(I)))
Bila S = 1 Clapper, S = 2  Diamond,
S = 3  Heart, S = 4  Spade
Kartu dipilih dengan membangkitkan bilangan acak I:
I = 1 + INT(NI*RND)
NI = jumlah kartu yang masih ada di atas meja yang
pada mulanya NI = 52.
Penyelesaian dengan menggunakan diagram alirnya bisa dilihat
pada diagram alir berikut:
DEAL
CARDS
IS NI= 0
KARTU HABIS
I = 1 + NI*RND
RETURN
A
IS I<NI
FOR K 2 = 1 TO N
FOR J = I+1 TO NI
SCORE K2 =12
no
NEXT K2,K1
C(J-1) = C(J)
IS V = 1
GOSUB CARDS
RETURN
yes
V = 10
no
FOR K1 = 1 TO 2
no
A
IS V > 10
yes
SCORE K2 = 0
yes
V = INT(C(I))
IS SCORE K2
>21
NI = NI-1
v = 11
SCORE K2 =
SCORE K2+V
A
RETURN
Gambar 5.2 Flowchart simulasi dengan kartu remi
Sebuah contoh pemecahan simulasi dengan kartu
Empat orang A, B, C dan D bermain kartu dengan jenis permainan Black
Jack dengan menggunakan kartu remi satu set (52 kartu tentu tanpa jokernya).
Berturut setelah kartu dikocok ditaruh diatas meja kartu akan mulai oleh A, B, C
dan D setelah ada salah satu ada yang mendapatkan nilai 21 permainan akan
langsung dengan mengumpulkan semua kartu untuk dikocok yang seterusnya
48
bermain lagi. Coba simulasikan sebanyak 29 kali dan buat laporan komposisi hasil
permainan empat orang ini.
Hasil simulasinya a menang 11 kali, B menang 9 kali, C menang 4 kali
dan D menang 5 kali; untuk hasil lengkap pemecahan masalahnya bias dilihat
pada LAMPIRAN 1
5.2.3 Random Walk
Model simulasi dasar Random Walk Proses ini mengambil model suatu
gerakan acak di liuar angkasa, namun dalam soal berikut persoalan
disederhanakan, dengan menggunakan gerakan bebas pada bidang datar. Berikut
adalah sebuah contoh masalah yang penyelesaiannya dengan menggunakan logika
Random Walk Proses.
Seorang buta yang bisa berenang dengan baik, diceburkan ke dalam sebuah
kolam. Dalam berusaha orang ini menyeleamatkan diri dia berusaha berenang
untuk mencapai pinggiran kolam dengan arah sebarang. Dalam memecahkan
masalah bisa saja diasumsikan setiap kali dia bergerak, dia akan bergerak sejauh 1
unit dari tempat sebelumnya.
Setiap saat jarak dari tempat diceburkan semula bisa dihitung dengan rumus
sebagai berikut:
di  xi2  yi 2
i menyatakan arah gerakan ke i yang diukur dari sumbu X pada koordinak
cartesian.
Jadi bila i sudah ditentukan maka jarak lokasi yang baru dengan titik awal
bisa ditentukan dengan:
xi = xi-1 + cos i
yi = yi-1 + sin i
Sedang diagram alir penyelesaian Random walk bisa dilihat pada diagram alir
pada halaman berikut:
49
WALK
XI-1 = 0
YI-1 = 0
FOR I = 1 TO N
TETA = 2
PHI*RND
XI = XI1+COSTETA
YI = YI-1 +SIN
TETA
DI = akar jumlah
kudrat dari xi dan
yi
PRINT I, XI,YI,DI
XI-1 = XI
YI-1 = YI
END
Gambar 5.3 Flowchart simulasi random walk
Sebuah contoh pemecahan masalah Simulasi random walk
Coba simulasikan sebanyak 60x seorang buta yang jago berenang yang
dilemparkan ke sebuah kolam yang mempunyai ukuran timur barat sebanyak 10
dan utara selatan sebanyak 8, orang buta ini dilemparkan tepat di tengah-tengah
kolam yang ada. dari pengalaman sebelumnya didapatkan peluang dia beranag
sampai di pinggir utara 0.27,selatan 0.21, ke timur 0.30 dan ke barat 0.22.
untuk menentukan kemana arah si buta berenang gunakan peluang komulatif ke
timur adalah peluang yang terkecil dan bergerak searah jarum jam.
Coba uji hasil yang telah didapatkan ini dengan ketelitian sebanyak 10% apakah
peluang yang didapatkan benar.
Untuk mensimulasikan kemana arah gerakan dari arah si buta gunakan table
bilangan acak yang dibuat sendiri dari tabel1 kalau habis kolom 2 dst.dalam
mengerjakan ini gunakan 4 buah kertas kerja baru kemudian ditunjukkan hasil
simulasinya.
50
Tahap-tahap menjawab:
-buat peluang komulatif untuk membuat gerakan arah si buta
-buat table bilangan acak di excel yang selanjutnya disimpan di word
-buat kertas kerja sebanyak 4
-buat hasil simulasi
-buat hasil pengujian peluang
Sebelum melaksanakan simulasinya pertama dibuat terlebih dahulu
peluang kumulatifnya seperti yang tercantum dalam soal dan didapatkan sebagai
berikut:
Peluang Kumulatif
0.000 s.d 0.300
0.301 s.d 0.510
0.511 s.d 0.733
0.734 s.d 0.999
Timur
Selatan
Barat
Utara
Kertas kerjanya sebanyak 4 replikasi bisa dilihat pada LAMPIRAN 2.
Berikut adalah hasil simualsi sebanyak 60 kali dilemparkan ke kolam renang
Replikasi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
Timur
1
Sampai
Barat
Utara
Selatan
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
51
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
Total
awal
eror
52
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
10
0.166
0.300
0.134
1
16
0.266
0.220
-0.046
19
0.316
0.270
-0.046
15
0.25
0.210
-0.040
Dari hasil simulasi dengan 60 replikasi didapatkan error dengan hasil
percobaan sebelumnya ada yang melebihi 10% yaitu peluang sampai ke timur
13.4% lebih besar dari 10 % jadi peluang yang didapatkan sebelumnya tidak
sesuai dengan hasil simulasi yang dipecahkan dengan 60 kali replikasi.
5.3 Aplikasi Simulasi Bidang Bisnis
Proses simulasi stokhastik sangat bermanfaat untuk menganalisa situasi
bisnis yang terkait dengan profit, return on investment dan sebagainya.
Contoh: soal
Untuk meramalkan keuntungan:
Sebuah perusahan mempekenalkan produk baru, dan untuk itu pemimpin
perusahan ingin meramalkan keuntungan per tahun. Diramalkan 35% harapan
menjual antara 40 ribu sampai dengan 60 ribu unit/tahun. 40% harapan menjual
antara 60 ribu sampai dengan 80 ribu unit/tahun dan 25% harapan menjual antara
80 ribu sampai dengan 100 ribu unit /tahun.
Didasarkan pada kondisi pasar sekarang, tampak bahwa perusahan akan
menjual < 40 ribu atau > 100 ribu unit per tahun.
Biaya produksi dan distribusi juga tidak pasti dan didapat angka sebagai berikut:
20% peluang cost antara $ 60 dan $70
35% peluang cost antara $ 70 dan $80
30% peluang cost antara $ 80 dan $90
15% peluang cost antara $ 90 dan $100
Yang pasti kalau dijual dengan harga $ 60 perusahaan pasti rugi, dan kalau
dijual dengan harga $ 100 perusahaan pasti untung.
Untuk mensimulasikan perlu definisi sebagai berikut:
S = harga jual per unit
C = ongkos produksi per unit
V = jumlah terjual tiap tahun
P = keuntungan tiap tahun  p = (s-c)v
Dimana C & V (dan juga P) adalah acak dan S adalah decision
Variable(Variabel keputusan)
Untuk mensimulasikan ini maka:
53
Evaluasi V & C Untuk ini digunakan
U1 u distribusi (0,1) bila U1 tidak melebihi 35%  V = 50 ribu
((40+60)/2 ribu)
Bila U1 melebihi 35% dan tidak melebihi 75% maka V = 70 ribu.
Bila U1 melebihi 75% maka V = 90 ribu sub(sales)
Untuk C digunakan U2 distribusi (0,1)
Bila U2  20%  C = $ 65
Bila 20% < U2  55%  $ 75
Bila 20% < U2  85%  $ 85
Bila U2 > 85%  C = $ 95
Diagram alirnya lihat dibawah:
MULAI
INPUT S,N
PRINT I,S,S,V
FOR I = 1 TO N
GENERATE
STATISTICAL
GOSUB SALES
PRINT
STATISTICAL
DATA
GOSUB COST
END
P = (S-C)*V
SALES
COST
U1 = RND
U2 = RND
V = 50000
C = 65
yes
IS U1>35
no
RETURN
IS U2>=20
V = 70000
no
RETURN
IS U2>=55
yes
C = 75
yes
IS U1 >75
no
no
V = 90000
IS U2>=85
yes
no
RETURN
C = 95
RETURN
Gambar 5.5 Flowchart simulasi bisnis
54
yes
RETURN
C = 85
RETURN
Dari persoalan diatas manajer menghendaki beberapa harapan dari
kebijkasanaan adalah Dalam 45 hari sedikitnya perusahaan mendapatkan untung
meskipun cukup kecil atau bila perlu menjual dengan harga semurah-murahnya
namun dalam 45 perusahaan masih bisa mendapat untung. Coba di tiga
kebijaksanaan manajer dalam menentukan harga jual produk dengan harga 70, 75,
dan 80.
Jawab:
1. Tahap 1 dan tahap 2 – Membuat peluang komulatif V ( Jumlah
terjual tiap tahun) dan C (Ongkos Produksi per Unit)
Pel Kumulatif
0.000 s.d 0.350
0.351 s.d 0.750
0.751 s.d 0.999
V
50 Ribu
70 Ribu
90 Ribu
Pel Kumulatif
0.000 s.d 0.200
0.201 s.d 0.550
0.511 s.d 0.850
0.851s.d 0.999
C
65 $
75 $
85 $
95 $
2. Tahap 3 – Membuat kertas kerja /kebijaksanaan sebanyak 3 buah
Replikasi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
Kebijaksanaan dengan harga jual 70$
Acak 1
V
Acak 2
C
0.234
50000
0.372
75
0.428
70000
0.071
65
0.436
70000
0.628
85
0.274
50000
0.391
75
0.493
70000
0.429
75
0.317
50000
0.004
65
0.476
70000
0.496
75
0.653
70000
0.034
65
0.046
50000
0.563
85
0.413
70000
0.250
75
0.006
50000
0.185
65
0.744
70000
0.387
75
0.908
90000
0.500
75
0.451
70000
0.603
85
0.758
90000
0.903
95
0.626
70000
0.305
75
0.720
70000
0.607
85
0.260
50000
0.550
75
0.278
50000
0.695
85
0.692
70000
0.328
75
0.081
50000
0.734
85
0.350
50000
0.226
75
0.095
50000
0.093
65
0.413
70000
0.334
75
0.300
50000
0.038
65
Hasil
($250,000)
$350,000
($1,050,000)
($250,000)
($350,000)
$250,000
($350,000)
$350,000
($750,000)
($350,000)
$250,000
($350,000)
($450,000)
($1,050,000)
($2,250,000)
($350,000)
($1,050,000)
($250,000)
($750,000)
($350,000)
($750,000)
($250,000)
$250,000
($350,000)
$250,000
55
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
TOTAL
0.438
0.197
0.328
0.897
0.472
0.666
0.040
0.192
0.055
0.446
0.189
0.182
0.798
0.772
0.570
0.118
0.634
0.453
0.756
0.271
70000
50000
50000
90000
70000
70000
50000
50000
50000
70000
50000
50000
90000
90000
70000
50000
70000
70000
90000
50000
2870000
0.481
0.933
0.427
0.794
0.041
0.904
0.738
0.624
0.167
0.439
0.759
0.623
0.543
0.175
0.422
0.989
0.691
0.000
0.304
0.436
75
95
75
85
65
95
85
85
65
75
85
85
75
65
75
95
85
65
75
75
3475
($350,000)
($1,250,000)
($250,000)
($1,350,000)
$350,000
($1,750,000)
($750,000)
($750,000)
$250,000
($350,000)
($750,000)
($750,000)
($450,000)
$450,000
($350,000)
($1,250,000)
($1,050,000)
$350,000
($450,000)
($250,000)
($20,550,000)
Kebijaksanaan dengan harga jual 75$
Replikasi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
56
Acak 1
0.339
0.943
0.550
0.460
0.035
0.077
0.524
0.867
0.674
0.949
0.947
0.549
0.417
0.533
0.453
0.016
0.705
0.401
0.510
0.883
0.007
0.678
0.189
V
50000
90000
70000
70000
50000
50000
70000
90000
70000
90000
90000
70000
70000
70000
70000
50000
70000
70000
70000
90000
50000
70000
50000
Acak 2
0.554
0.158
0.536
0.667
0.759
0.523
0.582
0.330
0.016
0.880
0.675
0.576
0.027
0.586
0.597
0.715
0.063
0.267
0.762
0.194
0.295
0.255
0.266
C
85
65
75
85
85
75
85
75
65
95
85
85
65
85
85
85
65
75
85
65
75
75
75
Hasil
($500,000)
$900,000
$0
($700,000)
($500,000)
$0
($700,000)
$0
$700,000
($1,800,000)
($900,000)
($700,000)
$700,000
($700,000)
($700,000)
($500,000)
$700,000
$0
($700,000)
$900,000
$0
$0
$0
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
0.641
0.927
0.882
0.763
0.381
0.122
0.738
0.322
0.081
0.407
0.797
0.206
0.833
0.708
0.694
0.713
0.297
0.584
0.354
0.095
0.911
0.463
TOTAL
70000
90000
90000
90000
70000
50000
70000
50000
50000
70000
90000
50000
90000
70000
70000
70000
50000
70000
70000
50000
90000
70000
0.959
0.030
0.797
0.099
0.666
0.246
0.672
0.230
0.660
0.147
0.409
0.514
0.521
0.131
0.406
0.875
0.380
0.045
0.048
0.956
0.554
0.048
3130000
95
65
85
65
85
75
85
75
85
65
75
75
75
65
75
95
75
65
65
95
85
65
348
5
($1,400,000)
$900,000
($900,000)
$900,000
($700,000)
$0
($700,000)
$0
($500,000)
$700,000
$0
$0
$0
$700,000
$0
($1,400,000)
$0
$700,000
$700,000
($1,000,000)
($900,000)
$700,000
($6,700,000)
Kebijaksanaan dengan harga jual 80$
Replikasi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Acak 1
0.384
0.049
0.694
0.506
0.044
0.660
0.165
0.784
0.919
0.085
0.904
0.001
0.291
0.609
0.557
0.544
0.228
0.624
0.229
0.147
V
70000
50000
70000
70000
50000
70000
50000
90000
90000
50000
90000
50000
50000
70000
70000
70000
50000
70000
50000
50000
Acak 2
0.074
0.551
0.280
0.692
0.361
0.067
0.706
0.516
0.367
0.545
0.126
0.376
0.149
0.509
0.154
0.337
0.962
0.210
0.402
0.027
C
65
85
75
85
75
65
85
75
75
75
65
75
65
75
65
75
95
75
75
65
Hasil
$1,050,000
($250,000)
$350,000
($350,000)
$250,000
$1,050,000
($250,000)
$450,000
$450,000
$250,000
$1,350,000
$250,000
$750,000
$350,000
$1,050,000
$350,000
($750,000)
$350,000
$250,000
$750,000
57
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
TOTAL
0.621
0.975
0.558
0.051
0.414
0.102
0.082
0.130
0.334
0.808
0.276
0.866
0.163
0.186
0.881
0.792
0.257
0.182
0.106
0.231
0.666
0.633
0.758
0.187
0.578
70000
90000
70000
50000
70000
50000
50000
50000
50000
90000
50000
90000
50000
50000
90000
90000
50000
50000
50000
50000
70000
70000
90000
50000
70000
2890000
Kebijaksanaan harga jual
70$ per unit
75$ per unit
80$ per unit
0.742
0.610
0.034
0.439
0.389
0.190
0.655
0.042
0.202
0.022
0.093
0.780
0.983
0.467
0.299
0.050
0.294
0.385
0.973
0.642
0.715
0.720
0.460
0.428
0.349
85
85
65
75
75
65
85
65
75
65
65
85
95
75
75
65
75
75
95
85
85
85
75
75
75
($350,000)
($450,000)
$1,050,000
$250,000
$350,000
$750,000
($250,000)
$750,000
$250,000
$1,350,000
$750,000
($450,000)
($750,000)
$250,000
$450,000
$1,350,000
$250,000
$250,000
($750,000)
($250,000)
($350,000)
($350,000)
$450,000
$250,000
$350,000
$12,850,000
Total Keuntungan/Kerugian
($20,550,000)
($6,700,000)
$12,850,000
Kesimpulan:
1. Pada pengujian kebijaksanaan dengan harga jual $70 dengan lama jual 45
hari mendapatkan Kerugian sebesar $20,550,000.
2. Pada pengujian kebijaksanaan dengan harga jual $75 dengan lama jual 45
hari mendapatkan masih mendapatkan Kerugian sebesar $6,700,000
3. Untuk pengujian kebijaksanaan dengan harga jual $80 dengan lama jual 45
hari baru mendapatkan Keuntungan dengan total sebesar $12,850,000
Jadi dalam ini meskipun keiinginan manager menjual dengan
harga semurah-murahnya, namun masih dapat untuk dari hasil simulasi
diatas produk harus dijual dengan harga $ 80 supaya dapat untung karena
58
kalau dijual dengan harga $ 70 atau $ 75 dalam 45 hari perusahaan masih
merugi.
5.4 Menghitung Integral
Metoda
Stkhastik
digunakan
untuk
memecahkan
sebuah
masalah
deterministikmurni. Prosedur ini sering disebut Metoda Monte Carlo.
Membutuhkan seperti halnya didepan tidak lebih dari pada membangkitkan
bilangan acak yang berdistribusi uniform.
Misal menghitung integral:
b
I   f ( x)dx
a
F(x0 merupakan kurva kontinyu pada batas a  x  b
Dalam menyelesaikan kasus ini dibutuhkan: 0  f(x)  fmax
Metoda Monte Carlo selanjutnya adalah sebagai berikut:
a. Membangkitkan Ux yang harganya terletak antara a & b
b. Evaluasi f(x)
c. Membangkitkan Uy dengan harga antara 0 sampai dengan fmax (Ux
dan Uy merupakan koordinat)
d. Membandingkan Uy dengan f(Ux), bila Uy tidak melebihi f(Ux) maka
bisa disimpulkan bahwa (Ux,Uy) terletak pada kurva.
e. Langkah a sampai dengan d diatas diulangi N kali. Setelah selesai
mendapatkan semua bagian yang ada pada kurva maka Fract dihitung.
Maka Integralnya dihitung dengan :
I = FRACT*(B-A)*fmax
Hitungan cara ini hanya cukup teliti apabila nilai dari N diambil cukup
besar.
59
Diagram alirnya periksa gambar halaman berikut:
START
Fract = k/n
INPUT N
I = Fract*(ba)Fmax
K=0
PRINT N,I
FOR J = 1 TO N
STOP
Ux = A + (b-a)*rnd
uY = Fmax*rnd
K =K +1
yes
IS Uy<= F(Ux)
no
Next J
Gambar 5.6 Flowchart untuk menghitung integral
Sebetulnya metoda simulasi kurang efisien bila digunakan untuk
memecahkan masalah persamaan integral, lebih-lebih seperti integral
dari distribusi normal sebagai berikut:
b
I  1 / 2  e  x 2 / 2 dx
a
60
NONUNIFORM RANDOM
VARIATE
BAB
VI
Materi yang dibahas:











The Inverse Transformtion Methode
Distribusi Empiris
Distribusi Eksponensial
Distribusi Geometrik
Simulasi Langsung Distribusi Gamma
Distribusi Poisson
Distribusi Normal
Metode Rejection
Distribusi Beta
Memilih Fungsi Distribusi
Latihan soal

Masalah pada simulasi hampir semua simulasi menggunakan bilangan
acak yang berdistribusi uniform, pada hal kita pada komputer hanya ada bilangan
pseudorandom number yang merupakan bilangan berdistribusi uniform (0,1).
Pada Bab ini akan dibahas bagaimana membangkitkan bilangan acak yang
tidak dikendalikan oleh bilangan berdistribusi uniform, tetapi semuanya akan
dibangkitkan dengan pertolongan bilangan berdistribusi uniform; beberapa
diantaranya sebagai berikut:
6.1 The Inverse Transformation Methode.
Berikut adalah sebuah fungsi peluang:
f(x) = fungsi densitas peluang
F(x) = distribusi peluang kumulatif yang harganya dicari dengan
menyelesaikan persamaan integral berikut:
x
F ( x) 
 f ( x)dx

Dimana: 0  F(x)  1
Y berdistrib usi uniform (0,1) dari sin i bisa didapat bahwa X  F1 (U)
61
Y  F(x), jadi di sin i didapat x  F1 (Y)
F(x)
Kurva berikut merupakan hubungan x & y
1.00
0.50
x
Gambar 6.1 Kurva untuk transformasi invers
Contoh:
Gunakan “inverse transformation method” pada fungsi densitas peluang
berikut: f(x) = x/4 pada batas-batas 1 x  3 untuk membangkitkan bilangan
acak X sebanyak sepuluh (10) dengan harga-harga U berturut-turut: .35, .97,
.22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65
Jawab:
x
Y  F ( x)  ( x / 4)dx
1
= (x2 –1)/8 untuk 1  x  3
8Y = x2 – 1 bisa diubah menjadi x2 = 8Y + 1
Dari sini X bisa didapat dengan:
X  8Y  1
Xi  8Ui  1
62
Untuk bilangan acak yang pertama maka U1 = .35 masukkan kedalam
persamaan diatas akan didapatkan sebagai berikut: = 1.95
X 1  8(.35)  1)
Dengan jalan yang sama sisanya dikerjakan dan semua hasilnya ditaruh pada
tabel berikut:
6.2
i
Ui
Xi
1
.35
1.95
2
.97
2.96
3
.22
1.66
4
.15
1.48
5
.60
2.41
6
.43
2.11
7
.79
2.71
8
.52
2.27
9
.81
2.73
10
.65
2.49
Distribusi Empiris
Dalam masalah-masalah nyata peluang yang akan terjadi dinyatakan dalam
empiris dari grup data sejumlah j(dimana j = 1,2,…,m); dengan batas batas
bawah XLj dan batas atas Xuj sebagai berikut:
XLj  X  Xuj dengan tinggi fj yang merupakan peluang
dimana
f1 + f2 +…+ fm = 1
Y1 = f1
Y2 = f1 + f2
Yj = f1 + f2 + … + fj
Ym = f1 + f2 + … + fm = 1
63
Harga Yj merupakan peluang bahwa harga X untuk kejadian acak tidak
melebihi Xuj jadi X bisa dibuat dengan mudah dengan bantuan bilangan acak
distribusi uniform U(0,1) dengan interpolasi linier sebagai berikut:
 U  Yj1 
X  XL j  
 (XU j  XL j )
 Y1  Yj1 
Bila metoda ini diterapkan pada komputer maka harga-harga a,b dan Yj
diinputkan sedang batas-batas interval XLj & Xuj bisa dihitung dengan
rumus:
XLj = a + ((b-a)/m)*(j-1)
XUJ = a + ((b-a)/m)*j
Contoh:
Berikut adalah: distribusi empiris yang terkait dengan antisipasi batasbatas ongkos produksi untuk produk baru:
Ongkos produksi/unit
peluang kejadian
60-70
0.20
70-80
0.35
80-90
0.30
90-100
0.15
Bangkitkan 10 harga-harga acak untuk ongkos produksi dengan bilangan
acak U(0,1) sebagai berikut: .35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65
Jawab:
Untuk menjawab soal diatas dimulai dengan mencari peluang distribusi
kumulatif untuk data yang bisa didapat dengan jalan sebagai berikut:
J
Xlj
Xuj
Yj
1
60
70
.20
2
70
80
.55
3
80
90
.85
4
90
100
0.99
Bilangan acak I yang ada adalah:
.35 termasuk pada katagori 2
j=2
64
X1 = 70 + [(.35-.20)/.55-.20)*(80-70)
= 74.29
U2 = .97 masuk katagori 4 j = 4
X2 = 90 + [(.97-.85)/(..99-.85)*(100-90)
= 98.00
Diagram alir penyelesaian masalah bisa dilihat pada halaman berikut
berikut contoh hasil perhitungan, coba lengkapi tabel hasil berikut:
I
Ui
Xi
1
.35
74.29
2
.97
98.00
1.
.22
2.
.15
3.
.60
4.
.43
5.
.79
6.
.52
7.
.81
8.
.65
83.33
DISTRIBUSI
GENERATE U
FOR I = 1 TO N
HITUNG
is
XUlj<=X<=Xuj
no
yes
RETURN
NEXT I
Gambar 6.2 Flowchart untuk transformasi invers
65
6.3 Distribusi Eksponensial
Dalam simulasi sering kita butuh suatu bilangan berdistribusi exponensial
seperti yang sering digunakan model antrian(misalnya dalam kehidupan seharihari: pada bank, airpot, pompa bensin dan sebagainya.
Bagaimana membangkitkan bilangan acak yang berdistribusi exponensial.
Untuk itu misal x = waktu. ∆x adalah peluang terjadinya kejadian acak
antara x dan (x + ∆x).  positif diketahui sehingga peluang tidak akan terjadinya
kejadian dalam waktu ini adalah (1 - ∆x) Sekarang pertimbangan untuk interval
batas waktu yang besar 0 – x, dimana interval ini dibagi menjadi n dengan interval
∆x yang sama sehingga x = n*∆x.
Sehingga peluang tidak terjadinya kejadian acak pada batas waktu yang
ditentukan bisa ditulis dengan:
LIM
(1 - ∆x)n = LIM (1 - ∆x)x/∆x
∆x  0
∆x  0
n∞
= LIM [(1 - ∆x)-1/∆x]- x
∆x  0
= e- x dimana e adalah bilangan napier
Dari sini bisa didapat peluang terjadinya kejadian:
P(0  X  x) = F(x) = 1 – e- x
Dengan fungsi densitas peluang :
f(x) = e- x
mean =µ = 1/
Untuk bisa menggunakan metoda inverse terlebih dahulu
selesaikan persamaan:
F(x) = 1 – e- x
66
Didapat x = -(1/)ln[1-F(x)]; karena F(x) berdistribusi uniform,
maka harga (1-F(x) juga berdistribusi uniform dan bisa ditulis
dengan cara berikut:
X = -1(1/)ln(U), X adalah bilangan acak yang terdistribusi
exponensial sedang U adalah bilangan terdistribusi uniform(0,1).
Bila dikehendaki dengan batas yang lain misalnya 0 < xo x maka
rumusnya akan menjadi: X = Xo –(1/)lnU dengan  = 1/(µ-xo)
Bila xo = 0 maka  = 1/µ atau µ = 1/.
Contoh :
Bangkitkan bilangan yang berdistribusi exponensial dengan bilangan
berdistribusi uniform (0,1) sebagai berikut: .35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52,
.81, .65 dengan xo = 2 dan µ = 6.
Untuk menjawab gunakan diagram alirdiabawah ini:
EKSPONENSIAL
GENERATE U
X = Xo -(1/
ALPHA)lnU
RETURN
Gambar 6.3 Flowchart untuk pembangkitan distribusi eksponensial
 = 1/(6-2) = .25
X1 = 2 – (1/.25)ln(.35) = 6.20
X2 = 2 –(1/.25)ln(.97) = 2.12
67
Dan seterusnya:
I
Ui
Xi
1
.35
6.20
2
.97
2.12
3
.22
4
.15
5
.60
6
.43
7
.79
8
.52
9
.81
10
.65
3.72
6.4 Distribusi Geometrik
Kadang dalam suatu percobaan kita membutuhkan bilangan acak berdistribusi
geometrik yaitu peluang untuk sukses P(0  p  1) sehingga peluang gagal kalau
disebu q maka harga q = 1 – p; sehingga didapat peluang x kali gagal dengan
sekali sukses akan menjadi:
f(x) = pqx dimana x adalah integer nonnegatif persamaan ini merupakan
persamaan densitas peluang untuk distribusi Geometrik dengan mean = µ = q/p
dan var ian 2  q / p2   / p (de Groot 1975)
Distribusi kumulatifnya dinyatakan dengan:
F(x) = f(0) + f(1) + …+ f(x)
 p  pq  pq 2  ...  pq z
untuk f(0) = p dan p  F(x)  1
Metoda inverse:?
Nyatakan distribusi dengan cara sebagai berikut:
P(X>0) = 1 – F(0) = 1 – p = q
P(X>1) = 1 – F(1) = 1-p – pq = q2
68
P(X>2) = 1 – F(2) = 1 – p – pq – pq2 = q3
.
P(X>x) = 1 – F(x) = qx+1
Dimana X adalah bilangan acak berdistribusi geometrik yang bisa ditulis
dengan cara berikut:
(1-F(x))/q = qx dimana F(x) merupakan bilangan uniform U(0,1)
sehingga fungsi [1-F(x)]/q merupakan bilangan uniform U(0,1) juga.
Bisa disimpulkan bahwa:
0q1
Untuk menggunakan metoda inverse ditulis dengan cara berikut:
U = qx; dimana U(0,1) maka bila dicari akan didapat sebagai
berikut:
X = INT(lnU/lnq)
Contoh:
Coba bangkitkan bilangan acak berdistribusi geometrik untuk sebuah
proses dengan peluang sukses p = .3. Gunakan bilangan acak U(0,1) berikut: .35,
.97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65.
Untuk menjawab gunakan diagram alir berikut:
GEOMETRIK
GENERATE U
X = INT(lnu/lnq)
return
Gambar 6.4 Flowchart untuk distribusi geomtrik
p = .3 maka q = 1 - .3 = .7
X1 = INT(ln.0.35/ln0.7) = 2
X2 = INT(ln.97/ln.7) = 0
69
Berikut adalah hasilnya:
I
Ui
Xi
1
.35
2
2
.97
0
3
.22
4
4
.15
5
5
.60
1
6
.43
2
7
.79
0
8
.52
1
9
.81
0
10
.65
1
6.5 Simulasi Langsung Distribusi Gamma
Untuk selalu diingat bahwa penggunaan metoda transformasi inverse hanya
bisa digunakan bila pernyataan analitiknya untuk fungsi distribusi kumulatifnya
bisa didapat dan bisa dipecahkan secara explisit untuk x.
Banyak fungsi distribusi densitas peluang yang tidak bisa dipecahkan seperti
halnya densitas peluang distribusi Gamma, sehingga nilai gammanya bisa dicari
dengan simulasi langsung.
Contoh untuk distribusi gamma dengan densitas peluang sebagai berikut:
f(x) = ( x-1 e-x)/(-1)!
Persamaan densitas peluang ini tidak bisa dintegralkan secara analitik.
Dimana  merupakan sebuah konstanta positif sedang  merupakan sebuah
konstanta bulat positif.
Rata-rata distribusi ini adalah: µ = / dengan varian:
2 = /2 = µ/
sehingga bisa ditunjukkan bahwa vaiabel x diinterpretasikan sebagai jumlah
bilangan acak  yang terdistribnusi exponensial dengan expexted value = 1/.
Sehingga x = x1 + x2 + … + x
Dimana:
f(xi) =e-xi ingat bentuk distribusi exponensial terdahulu
70

X  (1/  ) ln Ui
i 1
dimana Ui adalah distribusi (0,1) dan rumus diata bisa ditulis dengan cara
lain:
Untuk ini ingat sifat dari logarithma.
Contoh:
Coba bangkitkan 5 bilngan acak yang berdistribuasi gamma dengan  = 1
dan  = 2 dengan menggunakan bilangan U(0,1) sebagai berikut: 35, .97,
.22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65.

X  (1 /  ) ln  ln Ui
i 1
Jawab:
Rumus umum untuk memecahkan masalah bilangan acak berdistribusi
gamma adalah sebagai berikut:

X  (1 /  ) ln  ln Ui
i 1
Jadi kalau yang dibangkitkan sebanyak 5 bilangan acak maka Xg yang
dibangkitkan dimana g = 1,2,3,4,5
Dengan memasukkan kedalam persamaan akan didapat hasil sebagai berikut:
X1 = -(1/1)ln(.35*.97) = 1.08
X2 = -(1/1)ln(.22*.15) = 3.41
X3 = -(1/1)ln(.60*.43) = 1.35
X4 = -(1/1)ln(.79*.52) = 0.89
X5 = -(1/1)ln(.81*.65) = 0.64
Bila nilai  dibatasi berharga bulat maka fungsai diatas sering juga disebut
berdistribusi ERLANG.
Pada kasus dimana  =  = 1 distribusi gamma akan menjadi distribusi
exponensial.
Diagram alirnya periksa gambar halaman berikut.
71
GAMMA
P = 1
FOR I = 1 TO beta
Ui)0,1)
P=P*Ui
X = -1/ALPHAln p
RETURN
Gambar 6.6 Flowchart untuk distribusi Gamma
6.6 Distribusi Poisson
Distribusi Poisson sering terkait dengan distribusi exponensial dan sering
digunakan dengan yang terkait dengan waktu kedatangan dan waktu kepergian.
Khusunya bila waktu antara kejadian berikutnya terdistribusi exponensial; maka
jumlah kejadian yang terjadi pada interval waktu tertentu akan berdistribusi
Poisson dengan densitas peluang sebagai berikut:
f(x) = ((t)x)/x!)e-t
Dimana  dan t konstanta positif;
µ = 2 = t
sedang x adalah bilangan bulat nonnegatif, karena x menyatakan jumlah kejadian
yang terjadi pada waktu t.
Bilangan acak distribusi Poisson tidak bisa dipecahkan dengan cara
analitik maka sebaiknya akan digunakan simlasi langsung. Dengan kendala:
x
x 1
i 1
i 1
 ti  t   ti
dimana t ditentukan dan ti bilangan acak distribusi exponensial yang bisa
dinyatakan dengan :
ti = -(1/)lnUi
maka akan dicari harga terkecil k yang memenuhi ketidaksamaan berikut:
x
72
 ti  (1 /  ) ln Ui  t
i 1
merupakan bilangan acak yang dicari.
Untuk mempermudah prosedur perhitungan persamaan diatas ditulis ulang
dengan cara lain:
k 1
 ln Ui  t
i 1
Atau dengan cara lain
k 1
ln Ui  t
i 1
Dari persamaan terakhir exponensialkan ke dua sisinya dan di set t = 1
maka akan didapat hasil sebagai berikut:
k 1
Ui  e 

i 1
Prosedur akan menjadi melaksanakan perkalian dari U(0,1) sampai
pertidaksamaan terakhir diatas terpenuhi.
Bilangan acak yang dicari adalah satu kurangnya dari sejumlah Uis yang
dipakai untuk memenuhi pertidaksamaan diatas.
Berikut adalah diagram alir yang digunakan untuk memecahkan masalah
mencari bilangan acak berdistribusi Poisson dengan catatan dalam contoh soal ini
di set t = 1:
POISSON
F = e(eksP-lamda
P=1
I=1
U(0,1)
P = P*Ui
X = X-1
I =I +1
yes
IS P < F
no
RETURN
Gambar 6.7 Flowchart untuk distribusi Poisson
73
Contoh:
Coba bangkitkan bilangan acak yang berdistribusi Poisson dengan  = 1.5
dengan menggunakan bilangan U(0,1) sebagai berikut: .35, .97, .22, .15, .60, .43,
.79, .52, .81, .65, .20, .57, .10.
Jawab:
Karena di set t = 1 dari persamaan: e- = e-1.5 = 0.223
Sehingga bilangan acak yang dicari dengan mudah bisa dicari dengan cara
mengalikan berturut-turut bilangan acaka dari yang pertama: misalny untuk
mendapatkan bilangan acak yang pertama kalikan tiga bilangan uniform yang
pertama seperti: .35*.97*.22 = .075 < .223; karena bilangan Ui yang digunakan
sebanyak 3 maka bilangan acaka yang dicari adalah X1 = (3-1) = 2.
Hasil bilangan acaka yang lain didapatkan: X2 = 0; X3 = 2; X4 = 3 dan X5
= 1 silahkan dicoba mencari sendiri.
6.7 Distribusi Normal
Dalam keadaan hidup sehari-hari distribusi normal paling sering
digunakan, baik dalam perhitungan nilai maupun lain-lainnya. Distribusi Normal
berbentuk simetri dengan densitas peluang berbentuk bell:
f (x)  (1 /  2 ){1/ 2( x ) / ) }
2
Dimana  = nilai rata-rata dan  = standard deviasi.
Seperti halnya fungsi gamma, Poisson maka distribusi normal juga tidak
diintegralkan langsung; sehinga kita menggunakan simulasi langsung.
Untuk sekedar mempemudah dalam pemecahan masalah distribusi normal
maka diambil nilai  = 1. Sehingga akan didapat nilai standard normal Z dimana
Z = (x-)/ sehingga persamaan diatas akan menjadi:
f ( z)  (1/ 2e  z
1/ 2
Fungsi densitas peluang ini adalah distribusi standard normal.
“Central Limit Theorem” dengan sample size yang besar akan menjadi
Z 
12
 Ui  6
i 1
distribusi normal atau bisa aianggap distribusi normal.
74
Dalam hal khusus, bila rata-rata sampel didapat dari sejumlah N bilangan acak
U(0,1) adalah besar:
maka:
N
Z  ((1 / n ) UI  (1 / 2)) / 1 /(12 N)
i 1
Dengan mengacu pada persamaan distribusi normal sebelumnya; maka
distribusi yang diatas ini akan merupakan persamaan distribusi normal dengan
N
Z  ( Ui  ( N / 2)) / N / 12
i 1
menset N lebih besar dari 10.
Persamaan terakhir diatas pembilang dan penyebutnya dibagi dengan N
maka akan didapat hasil sebagai berikut:
Dari persamaan terkhir untuk lebih mempermudah di set N = 12; sehingga
persamaan akan berubah menjadi:
Dari rumus ini untuk mencari Z maka jumlahkan saja sebanyak 12 U(0,1)
dan hasilnya dikurangi dengan 6.
Selanjutnya bila dikehendaki membangkitkan bilangan acak berdistribusi
normal dengan rata-rata =  dan standard deviasi =  maka denga mudah bisa
dicari dengan persamaan berikut:
X =  + Z
Contoh:
Coba bangkitkan 1 sebuah bilangan acak berdistribusi normal dengan rata-rata  =
5 dan standard deviasi  = 2. Dengan menggunakan bilangan uniform U(0,1)
sebagai berikut: .35, .97, .22, .15, .60, .43, .79, .52, .81, .65, .20, .57.
Jawab:
12
Ui  .35  .97  ...  .57  6.26
i 1
Dari hasil penjumlahan diatas bisa dicari bilangan standard normal Z nya
Z = (6.26 – 6) = .26
X =  + Z
= 5 + 2*.26
= 5.52
75
Untuk membangkitkan bilangan acak berdistribusi normal masih bisa
dengan menggunakan cara lain yaitu dengan rumus:
a. Z = (-2lnU1)1/2 sin(2U2)
b. Z = (-2lnU1)1/2 cos(2U2)
Kedua rumus diatas ini memberikan hasil blangan acak yang berdistribusi
standard normal. Sehingga untuk membangkitkan bilangan acak berdistribusi
normal dengan rata-rata  dan standard deviasi  dengan rumus:
X =  + Z
Contoh:
Coba bangkitkan bilangan acak berdistribusi normal dengan  = 5 dan  =
2 dengan menggunakan bilangan uniform U(0,1) sebagai berikut: .35, .97, .22,
.15, .60, .43, .79, .52, .81, .65, .20, .57.
Jawab:
Z1 = (-2ln.35)1/2sin(2.97) = -.27  X1 = 5 + 2*(-.27) = 4.46
Z2 = (-2ln.22)1/2sin(2.15) = 1.41  X2 = 5 + 2*(-.27) = 4.46
.
Z6 = (-2ln.20)1/2sin(2.57) = -.76  X6 = 5 + 2*(-.76) = 3.48
6.8 Rejection Methode
Metoda ini memberikan prosedur umum untuk membangkitkan bilangan
acak dengan suatu distribusi tertentu yang densitas peluangnya kontinyu dan
“bounded” pada suatu daerah tertentu dimana dengan batas:
0  f(x)  fmax; pada interval a  x  b.
Dengan menggunakan metoda Monte Carlo untuk menghitung integral.
Untuk mendapatkan bilangan acak X ditempuh dengan cara sebagai berikut:
a. Bangkitkan sepasang bilangan acak U1 dan U2 dengan menggunakan
bilangan acak berdistribusi U(0,1).
b. Carilah sebuah bilangan acak Z pada interval a  x  b dengan rumus:
Z = a + (b-a)*U1
c. Hitung densitas peluang pada titik z f(z)
76
d. Hitung harga acak Y yang berdistribusi uniform dalam interval 0  y 
fmax dengan rumus: Y = fmax*U2 (Z dan Y merupakan koordinat di
ruang contoh)
e. Bandingkan Y dengan f(z):
1). Bila Y  f(z)  X = Z
2). Bila Y > f(z)  tolak teruskan ke step a lagi.
f. Untuk mendapatkan sebuah bilangan acak yang diinginkan prosedur a
sampai dengan e dilaksanakan terus sampai titik 5a terpenuhi atau
terlaksana.
6.9 Distribusi Beta
Untuk meberikan ilustrasi penggunaan metoda rejection, maka kita lihat
densitas peluang sebuah distribusi Beta dengan densitas peluang sebagai berikut:
f(x) = ((1+2-1)!x1-1(1-x) (2-1))/((1-1)!( 2-1)!)
dimana 1dan 2 adalah bilangan bulat positif dan 0  x  1 rata-rata distribusi
ini adalah:
 = 1/(1+2) dan varian = 2 = 2/(1+2)*(1+2+1)
Sedang variabel acak bisa dintrpretasikan dengan:
x = x1/(x1+x2) dimana x1 = variabel gamma dengan parameter (1,1)
sedang x2 adalah variabel gamma dengan para meter (2,2).
Contoh:
Cara termudah membangkitkan bilangan acak berdistribusi Beta adalah
dengan menggunakan metoda simulasi langsung, untuk itu coba bangkitkan
beberapa bilangan acak berdistribusi beta dengan 1 = 2 dan
2= 3 yang
dibangkitkan dengan pertolongan bilangan U(0,1) sebagai berikut: : 35, .97, .22,
.15, .60, .43, .79, .52, .81, .65, .20, .57.
Jawab:
Z = Ui karena a = 0 dan b = 1 ( 0  x  1)m sehingga densitas peluangnya
bisa ditulis menjadi:
f (x) 
(4!)
x (1  x ) 2 12.r (1 x ) 2
(1!)( 2!)
77
dengan harga maximum pada x = 1/3.
Dari sini didapat fmax = 12(1/3)(2/3)2 = 16/9 = 1.78 sehinga akan
menjadi:
Y = 1.78 U2.
Dengan cara yang diterangkan didepan didapatkan hasil sebagai berikut:
U1
U2
Z
F(z)
Y
X
Yf(z)
.35
.97
.35
1.77
1.73
Ya
.35
.22
.15
.22
1.61
.27
Ya
.22
.60
.43
.60
1.15
.77
Ya
.60
.79
.52
.79
.42
.93
No
.81
.65
.81
.35
.1.16
No
.20
.57
.20
1.54
1.01
yes
.20
Dari tabel diatas terbangkitkan 4 bilangan acak yang berdistribusi beta
yang harga-harganya terletak pada kolom terakhir.
6.10
Memilih Fungsi Distribusi
Karena pemilihan fungsi distribusi bagi para pemula maka berikut ada
beberapa petunjuk pertimbangan pemilihan fungsi distribusi:
a. Karakteristik spesial dari fungsi distribusi tertentu.
b. Ketelitian dengan mana sebuah fungsi distribusi bisa menyatakan
sebuah himpunan data empiris tertentu.
c. Kemudahan dengan mana sebuah fungsi distribusi bisa sesuai dengan
himpunan data empiris tertentu.
d. Efisiensi dalam perhitungan bila sebuah bilangan acak dibangkitkan.
78
6.11
Latihan soal
Coba bangkitkan masing-masing 10 bilangan acak dengan bantuan bilangan
acak yang anda buat sendiri:
1. Distribusi yang didapat dengan f(x) = x/5 dengan bilangan silahkan
buat sendiri
2. Distribusi Poisson dengan  = 2
3. Distribusi eksponensial dengan xo = 6 dan µ = 10
4. Distribusi Geometrik dengan peluang sukses p = 0.02
5. Distribusi beta dengan 1 = 3 dan 2= 4
6. Distribusi normal yang  = 65 dan standard deviasi  = 1.25 dengan
menggunakn rumus X =  + Z dimana Z = (-2lnU1)1/2 sin(2U2)
yang penting untuk U1, U2 menggunakan kolom yang berbeda dari
bilangan acak yang anda bangkitkan sendiri.
7. Distribusi Gamma dengan  = 3 dan  = 5
79
BAB
VII
APLIKASI SIMULASI PADA
INDUSTRI DAN BISNIS
Materi yang dibahas:





Prosedur perhitungan umum
Simulasi Pemanfaatan Fasilitas
Simulasi Perbaikan Peralatan
Simulasi Dalam Pengendalian Inventori
Simulasi Dalam Jaring Kerja
Yang perlu menjadi perhatian kita bahwa simulasi bisa dimanfaatkan
dimana saja dalam kehidupan sehari-hari, hanya saja kadang-kadang kita harus
selalu mempertimbangkan dua hal penting yaitu dasar resiko dan dasar dana yang
digunakan dalam tiap kita menggunakan suatu metodologi pemecahan masalah.
Dalam simulasi pada umumnya ada dua dasar yaitu:
a. Model yang didasarkan atas terjadinya “events”(misalnya arrival,
departure dan sebagainya).
b. Model yang didasarkan atas “time”(waktu) misalnya: urutan dari
interval waktu yang berurutan (simulasi pada antrean telpon).
7.1 Prosedur Perhitungan Umum.
Yang pertama sekali harus dikerjakan dengan betul adalah model, bila model
telah diformulasikan dengan benar dan data yang dibutuhkan telah didapat maka
baru dilaksanakan perhitungan dengan prosedur sebagai berikut:
a. Inputkan data (yaitu harga-0harga untuk varriabel keputusan,
parameter sistem) ke dalam komputer.
b. Urutan berikut diulangi N kali:
1). Sebuah harga dibangkitkan untuk masing-masing variabel acak
yang diperlukan (X1, X2, …, Xn)
2). Model kemudian dipecahkan yang akan memberikan harga
numeric untuk masing-masing variabel status.
80
3). Kriteria penampilan sistem (y) kemudian dievaluasi dengan
menggunakan bilangan acak yang dibangkitkan pada lanfgkah b 1).
Dan harga-harga yang didapatkan pada variabel status b 2).
(Catatan pengulangan langkah b ini akan meberikan N harga Y
yang berbeda.
c. Hitung dan Cetak informasi statistik untuk kriteria penampilan
sistem.
1). Nilai harapan rata-rata .
2). Standard deviasi .
3) Frekuensi relatif dan frekuensi kumulatif(saran sebaiknya cetak
beberapa input data untuk idenfikasi masalah juga variabel status)
d. Pada beberapa situasi diperlukan untuk mengubah beberapa harga
data input tertentu dan laksanakan simulasi ulang lagi. (langkah a
s/d c).
7.2 Simulasi Pemanfaatan Fasilitas
Banyak masalah yang terkait dengan usaha pemanfaatan fasilitas (seperti:
mesin, servis pelayanan dan sebagainya) . Yang dicari kesiambangan jangan
sampai terlalu banyak digunakan dan juga terlalu banyak menganggur, seperti
yang telah diterapkan di TNI-AL pada ALUT dimana ada JADUAL OLAH
GUNA dan ada JADUAL OLAH PERBAIKAN.
Berikut adalah sebuah model simulasi dimana diasumsikan tidak ada
“backlog” artinya bila ada order datang dan fasilitas sedang terpakai maka order
ini tidak akan menunggu atau dengan akata order akan hilang.
“tentunya ada model lain dimana order tidak hilang tetapi menunggu untuk
mendapatkan pelayanan pada antrean yang akan dibahas pada bab lain”
Untuk membahas model ini ada beberapa simbol dan pengertian yang
harus diketahui:
Ai = Arrival time order yang ke i
Di = Departure time dari order yang ke i
ATi = Time interval between the arrival “order” yang ke i-1 dan ke
i biasanya acak.
81
PTi = time required for the facility to process order yang ke i
ITi = waktu fasilitas menganggur dari saat pelanggan yang ke i-1
meninggalkan fasilitas sampai kedatangan ke fasilitas pelanggan ke
i.
TOTIT = Total kumulatif waktu fasilitas menganggur
F = perbandingan fasilitas digunakan (kriteria penampilan sistem).
(Jangan lupa suscript diatas hanya untuk pelanggan yang diproses
senyatanya saja tak termasuk order yang hilang).
Untuk menyelesaikan masalah pemanfaatan fasilitas ini cukup
dengan menggunakan beberapa persamaan sederhana sebagai
berikut:
(1). Ai = Ai-1 + ATi
(2) Di = Di-1 + PTi + ITi
Hubungan arrival dengan departure ditulis dengan rumus:
(3) Di = Ai + PTi
order tidak akan hilang bila pertidak samaan berikut terpenuhi
(4) Ai  Di-1
Bila Ai yang dibangkitkan dengan (1) tidak memenuhi kondisi (4)
order akan hilang.
Bila itu terjadi maka bangkitkan ATi yang baru lagi dan cari
kembali:
(5) Ai = Ai + ATi
Mudah dilihat bahwa ITi  0 dan (4) terpenuhi maka dari (2) dan
(3) didapat:
(6) ITi = Di – (Di-1+PTi)
= (Ai+PTi) – (Di-1+PTi)
= Ai – Di-1  0
Untuk mulai melaksanakan perhitungan maka untuk mempermudah maka
pada masalah ini di SET Ai = TOTIT = 0 dan
D1 = PT1, dimana PT1
dibangkitakan secara acak. Sedang untuk order berikutnya bangkitkan ATi dan
PTi dan hitung Ai dengan menggunakan rumus (1) didepan, bila perlu Ai juga
bisa dihitung dengan rumus (5) bila order yang masuk hilang; Di dihitung dengan
82
rumus (3) dan ATi dengan (2) sedang waktu menganggur fasilitas bisa diupadate
dengan rumus:
(7) TOTIT = TOTIT + ITi
Prosedur ini diulang-ulang sampai sejumlah order tertentu.
Persentase Fasilitas bisa digunakan bisa bisa didapat dengan:
(8) F = 1 – [TOTIT/(Dn –A1)]; Dn adalah keluarnya pelanggan
terakhir dari sistem atau pelanggan ke n.
Diagram alir penyelesaian masalahnya bisa diperiksa halaman berikut:
START
Ai = Ai-1+ATi
TOTIT=TOTIT+ITi
READ N
DO J = 1 TO N
IS Ai < Di-1
IS I<N
yes
GENERATE NEW
ATi
yes
A
no
no
I = 1, a1 =0,
TOTOI = 0
Ai = Ai +ATi
F=1-TOTIT/Di
GENERATE PTi
GENERATE PTi
GENERATE
STATISTICAL
INFORMASI
Di = ptI
Di = Ai + PTi
A
WRITE DATA
OUTPUT
I = I+1
ITi = Di-(dI-1_PTi)
GENERATE ATi
STOP
Gambar 71. Flowchart untuk simulasi pemanfaatan fasilitas
Contoh sebuah rumah sakit ingin melaksanakan studi tentang penggunaan
fasilitas gawat darurat. Jarak waktu antar kedatangan pasien yang membutuhkan
pelayanan fasilitas gawat darurat diketahui berdistribusi Exponensial dengan
mean 1.4 jam. Pelayanan berdistribusi normal dengan mean 0.8 jam dan dengan
dan standard deviasi 0.2 jam.
Setiap pasien harus segera terlayani pada fasilitas bila diperlukan; bila
fasilitas sedang digunakan maka pelanggan ini tidak akan dilayani pada fasilitas
gawat darurat ini namun akan dilayani pada bagian lain dari Rumah Sakit ini.
(yang dalam hal ini tidak dbahas).
83
Dengan menggunakan diagram alir dari yang sudah ada pada halaman
sebelumnya, maka rumah sakit ini bisa mulai dismulasikan dengan hasil seperti
yang terlihat pada tabel hasil simulasi dibawah:
i
Ati
Ai
1
2
AiDi-1
0
Pti
Di
Iti
TOTIT
0.746
0.746
0
0
1.082
2.552
0.724
0.724
1.470
1.470
Yes
0.043
1.513
No
3
2.120
3.633
Yes
0.886
4.519
1.081
1.805
4
2.656
6.289
Yes
0.782
7.071
0.770
3.575
0.715
7.004
No
1.182
8.186
Yes
0.694
8.880
1.115
4.690
0.330
8.516
No
0.915
9.431
Yes
0.648
10.079
0.551
5.241
0.295
9.726
No
7
0.608
0.608
Yes
0.840
11.169
0.250
5.491
8
2.253
12.582
Yes
1.182
13.764
1.413
6.904
5
6
Dari tabel hasil simulasi diatas bisa dicari berapa persen fasilitas gawat
darurat digunakan:
Hitung lamanya simulasi di “RUN” yaitu Dn – A1 = 13.764-0 = 13.764,
sedang waktu menganggur fasilitas secara kumulatif bisa dilihat pada tabel
hasil simulasi diatas yaitu Iti = 6.904, sehingga bisa didapatkan persentase
pemanfaatan fasilitas yaitu:
F = [1-(6.904/13.764)]*100% = 50.20%
Sebuah contoh lain tentang simulasi gawat darurat
Sebuah rumah sakit ingin melaksanakan studi tentang penggunaan fasilitas
gawat daruratnya. Untuk itu manager rumah sakit telah melaksanakan studi
perbandingan pada rumah sakit yang telah mempunyai fasilitas gawat darurat.
Dari hasil studi ini didapatkan untuk membuat sebuah fasilitas gawat darurat
diperlukan investasi awal sedikitnya Rp. 100.000.000,-,sedang untuk tenaga
medis apabila akan disiapkan hanya satu server saja setiap hari jumat tenaga
medis ini dibayar Rp. 5.000.000,-. Pada rumah sakit yang diteliti didapatkan
bahwa setiap pasien yang dilayani keluarganya akan membayar Rp. 1.200.000
untuk setiap jam pelayanan sedang untuk peralatan yang digunakan diperlukan
biaya pemeliharaan sebesar Rp. 100.000/ jam pemakaian. Pada rumah sakit ini
84
waktu antar kedatangan berdistribusi acak dan dicari dengan menggunakan table 1
sedangkan lamanya pelayanan berdistribusi acak menggunakan table 2. Untuk
mencari nilai waktu antar kedatangan gunakan kolom ganjil mulai kol 1
sedangkan untuk lamanya pelayanan gunakan kolom genap mulai dari kol 2.
Rumah sakit ini akhirnya memutuskan untuk membuat fasilitas gawat
darurat dan ternyata untuk fasilitas bangunan dan perlengkapannya dibutuhkan
dana Rp.120.000.000; Rumah sakit ini karena baru akan membuka fasilitas gawat
darurat ini diputuskan oleh manager pelanggan yang akan dilayani disini cukup
membayar Rp. 1.000.000/jam pelayanan. Fasilitas dibuka tanggal 1 januari hari
senin jam 08.00
Pertanyaan:
1.
Kapan rumah sakit ini mencapai BEP?
2.
Selama simulasi berapa pelanggan yang datang?
3.
Berapa pelanggan yang dilayani?
4.
Berapa pelanggan yang tidak dilayani?
5.
Sampai dengan didapatkan BEP, berapakah utility system?
6.
Apa saran anda kepada manager rumah sakit ini?Coba saran ini
didukung dengan menggunakan cost and benefit analisis.
Hasilnya bisa dilihat pada LAMPIRAN 3
7.3
Simulasi Perbaikan Peralatan
Dalam kasus ini diasumsikan situasi ideal, dimana selalu ada tersedia
Team HARKAN bila sebuah peralatan mengalami kerusakan yang memerlukan
perbaikan. Dalam hal ini tidak ada Backlog Demand. Asumsi mungkin tepat
untuk kasus tertentu, tetapi tidak tepat untuk kasus lainnya.
Sebagai pertimbangan “preventiive maintenance” akan dikerjakan pada
interval waktu yang rutin.
Berikut adalah: beberapa simbol yang harus dipahami sebelum kita
mencoba membahas simulasi tentang pemeliharaan peralatan.
Ai = waktu terjadinya kerusakan ke i (sama dengan waktu
kedatangan Team yang akan memperbaiki)
85
Di = waktu telah selesainya diperbaiki perlatan yang rusak sama
dengan waktu perginya team HARKAN.
Dti = interval waktu antara penyelesaian perbaikan ke (i-1) dengan
kejadian rusak
i (sama dengan lamanya peralatan berfungsi
sebelum terjadi kerusakan. Biasanya acak.
Rti = waktu yang dibutuhkan untuk memperbaiki kerusakan ke i.
Ini juga biasanya bilangan acak.
MT = waktu yang dibutuhkan untuk melaksanakan pemeliharaan
preventive rutin(diasumsikan konstan sebagai input parameter).
CT = waktu siklus (yaitu waktu antara servis pemeliharaan rutin
dan ini merupakan input parameter)
MC = maintenance cost, per unit waktu pemeliharaan rutin (input
parameter).
TOTC = kumulatif total cost per maintenance cycle(kriteria
penampilan sistem).
NC = jumlah dari siklus pemeliharaan dalam periode simulasi
(input parameter)
Model matematisnya didasarkan pada dua persamaan; yang
menerangkan kejadian rusak untuk suatu peralatan, dan waktu yang
dibutuhkan untuk memperbaiki masing-masing kerusakan.
Ai = Di-1 + Dti
Di = Ai + Rti
Kumulatif total cost harus selalu di”update” bila perlatan diservis
dengan rumus:
TOTC = TOTC + RC*Rti untuk setiap perbaikan
TOTC = TOTC + MC*MT ini bila dilaksanakan
pemeliharaan rutin.
86
Diagram alir pemecahan masalahnya adalah sebagai berikut:
IS Ai<CT
START
GENERATE RTi
READ INPUT
DATA
Di = Ai + RTi
FOR I = 1 TO NC
TOTC=TOTC +
RC+RTi
I=0,A1=0,D1 =0
TOTC =0
IS Di<CT
I=I+1
TOTC=TOTC+MC
+MT
GENERATE DTi
GENRATE
STATISTICAL
INFORMATION
Ai = Di-1+DTi
STOP
Gambar 7.2 Flowchart untuk simulasi HARKAN
Contoh sebuah mesin mempunyai 12 “drill press” yang digunakan secara
kontonyu. Masing-masing mempynyai kerusakan yang mengikuti
distribusi sebagai berikut:
Waktu antara kerusakan hari
0 - 1.99
2 - 3.99
4 - 5.99
6 – 7.99
8 – 9.99
10 – 11.99
12 – 13.99
14 – 15.99
16 – 17.99
18 – 19.99
20 – 21.99
22 – 23.99
24 – 25.99
26 – 27.99
28 – 29.99
Total
Frekuensi relatif
0.021
0.044
0.079
0.106
0.119
0.128
0.123
0.113
0.092
0.067
0.047
0.032
0.018
0.008
0.003
1.000
Waktu perbaikan dari peralatan berdistribusi Gamma dengan  = 3 dan 
= 2, (sehingga exponensial value dariwaktu perbaikan adalah 2/3 hari). Biaya
down time per hari adalah $ 100, untuk lebih menyederhanakan diasumsikan
87
tukang atau montir selalu tersedia kapan saja mesin mengalami kerusakan(ini
memang tidak realistik tetpi suatu ketika adalah yang paling realistik ingat KRI),
jadi untuk perbaikan mesin tidak harus menunggu.
Program pemeliharaan preventiveyang dilaksanakan secara periodik butuh
waktu 6 jam per mesin, dengan biaya $ 50 per mesin. Bila program ini digunakan,
semua mesin akan diservis setelah 60 hari kerja kontinyu, mesin juga diperbaiki
hari minggu bila rusak. Berikut adalah ilustrasi prosedur perhitungan simulasi
untuk satu cycle pemeliharaan.
i
Dti
Ai
Ai<60
RTi
Di
Di<60
Cost
TOTC
1
9.64
9.64
Yes
0.36
10.00
Yes
36
36
2
24.05
34.05
Yes
1.14
35.19
Yes
114
150
3
7.51
42.70
Yes
0.45
43.15
Yes
45
195
4
6.10
49.25
Yes
0.80
50.05
Yes
80
275
5
13.77
63.82
No
Stop
50
325
Kerusakan ke 5 terjadi setelah 63.82 hari ini > dari 1 siklus (60 hari) total
cost untuk contoh diatas adalah biaya perbaikan kumulatif sebesar $ 275 ditambah
biaya pemeliharaan sebesar $ 50 = $ 325.
Sebagai catatan hampir semua masalah pemeliharaan perlatan terkait
dengan peralatan bebas yang ada dalam peralatan itu sehingga harus dismulasikan
satu persatu untuk semua peralatan.
Sebuah contoh lain Simulasi pemeliharaan dan perbaikan peralatan
Waktu perbaikan dari peralatan berdistribusi acak yang ditentukan
menggunakan tabel 1 yang nilainya dicari menggunakan tabel bilangan acak kol1.
Biaya down time per hari kerusakkan adalah $ 200, untuk lebih menyederhanakan
diasumsikan tukang atau montir selalu tersedia kapan saja mesin mengalami
kerusakan(ini memang tidak realistik tetpi suatu ketika adalah yang paling
realistikingat KRI), jadi untuk perbaikan mesin tidak harus menunggu.
Program pemeliharaan preventive yang dilaksanakan secara periodik butuh waktu
12 jam per mesin, dengan biaya $ 250 per mesin. Bila program ini digunakan,
semua mesin akan diservis setelah 200 hari kerja kontinyu, mesin juga diperbaiki
hari minggu bila rusak. Berikut adalah ilustrasi prosedur perhitungan simulasi
88
untuk satu cycle pemeliharaan. Dalam satu cycle dilaksanakan pemeliharaan
secara menyeluruh dengan dana sebesar $ 750, dan dikerjakan selama 1 minggu (7
hari). Interval waktu antara kerusakkan ke i-1 dan i berdistribusi acak ditentukan
tabel 2 dengan menggunakan kol2 yang nilainya dicari dengan menggunakan
tabel bilangan acak yang ada. Coba simulasikan sebanyak 20 cycle.
Pertanyaan:
1.
Coba rencanakan bentuk output (kolom) yang menampung semua
informasi yang dibutuhkan
2.
Cari nilai rata-rata dan standart deviasi selama 20 siklus
Tahap–tahap menjawab:
1. Untuk membuat model outputnya siapkan kolom-kolom sebabgai
berikut:
2. Kol1 untuk NC
3. Kol2 untuk Rep
4. Kol3 No untuk setiap NC
5. Kol4 untuk nilai acak 1
6. Kol5 untuk DTi
7. Kol6 untuk Ai
8. Kol7 untuk check apakah bisa kerusakan yang terjadi ditangani
9. Kol8 untuk nilai acak 2
10. Kol9 untuk RTi
11. Kol10 untuk Di
12. Kol11 untuk check apakah masih bisa diperbaiki
13. Kol12 untuk cost
14. Kol13 untuk TOTC (untuk total ongkos)
Hasil simulasi sebanyak 10 replikasi didapat rata-2 total ongkosnya
adalah $77.075 dengan standard deviasi $4.05, untuk lengkapnya
pemecahan masalahnya bis dilihat pada LAMPIRAN 4.
7.4 Simulasi Dalam Pengendalian Persediaan
Setiap perusahaan atau rumah tangga tidak ada yang tidak menggunakan
inventori, pada umumny selalu menyimpan inventori bermacam-macam barang
untuk memenuhi kebutuhan kebutuhan sehari-hari baik untuk pelanggan atau
untuk memenuhi kebutuhan seharihari rumah tangga. Karena itu. Karena transaksi
dari pelanggan akan menyebabkan barang di gudang sampai pada suatu level
tertentu dimana perusahaan harus beli lagi.
89
Barang sampai level tertentu ini sering disebut sebagai titik pesan kembali
atau reorder point. Pada saat ini barang-barang di gudang berkurang terus sampai
suatu ketika barang masuk kembali dari hasil pesanan, waktu dari saat memesan
barang sampai dengan barang sampai di gudang disebut Lead Time yang sering
juga di Indonesiakan dengan waktu ancang. Pengendalian inventori bertujuan
untuk menjaga level inventori barang di gudang yang cukup dengan biaya yang
tidak terlalu banyak.
Untuk pemecahan masalah ini paling tepat digunakan model berdasarkan
waktu, constant tmie interval, namun sebelum kita mulai mebahas materinya
maka perlu dibahas terlebih dahulu beberapa pengertian untuk mempermudah
dalam perhitungan nanti.
D = customer demand jumlah satuan per hari (acak)
IL = inventori level, dalam satuan
S = inventory shortage, jumlah satuan per hari
ROP = Reorder Point dalam satuan
Q = order size dalam satuan
LT = lead time, dalam satuan waktu
t = waktu kumulatifdalam hari
tf = final time dalam hari kriteria untuk stop
T = waktu pesanan akan terpenuhi (waktu barang masuk ke gudang)
NB = jumlah dalam satuan back order
CI = carrying cost per satuan per hari
CIT = cumulative carrying cost
CO = order cost per order
CS = shortage cost, per satuan per hari
CST = cumulative shortage cost
TOTC = cumulative total cost (kriteria penampilan sistem)
Model matematisnya adalah adalah model yang mangambil inventory
level dan jumlah satuan back ordered; sehingga inventory level diatur upward
setelah order baru diterima dengan rumus:
IL = IL + Q – NB
90
Dan secara down ward untuk memenuhi permintaan dari pelanggan dengan
rumus:
IL = IL – D
Dengan kendala: IL  0
Dengan jalan yang sama jumlah satuan backward diatur secara upward bila terjadi
shortage dengan rumus:
NB = NB + S
Dan arah down ward bila pesanan baru diterima dengan rumus:
NB = NB – Q
Dengan kendala: NB  0
Shortage S akan terjadi bila D > IL sehingga dari rumus diatas akan didapat IL
negatif, dan untuk ini maka di set S = -IL dan IL = 0
Waktu kumulatif didapat dengan t = t + 1
Bila melaksanakan pesanan baru maka waktu deliverynya ditentukan dengan
rumus:
T = t + LT
Selanjutnya dibutuhkan untuk menghitung bermacam-macam biaya kumulatif
antara lain:
Cumulative carrying cost dengan rumus:
CIT = CIT + CI*IL
Cumulative shortage cost dengan rumus:
CST = CST + CS*NB
Cumulative order cost
COT = COT + CO
Akhir simulasi dibutuhkan kriteria penampilan sistem yaitu cumlative total
cost dengan rumus:
TOTC = CIT + CST + COT
Contoh:
Sebuah perusahaan menjual TV berusaha menjaga jumlah TV di
gudang untuk memenuhi permintaan pelanggan yang datangnya mengikuti
distribusi Poisson dengan mean 8.2 set per hari. Lead time untuk mendapatkan TV
set yang baru dari supplier adalah 5 hari.
91
Akan ditentukan dengan simulasi suatu kebijaksanaan pemesanan (yang
cocok dengan ROP dan order size). Bila CI = $.25/set/hari, biaya tiap kali pesan
$20, jangan lupa + biaya harga dari masing-masing barang. Biaya kehabisan
barang CS = $ 2 per set per hari.
Coba simulasikan masalah ini dengan dasar IL awal 60 set ROP 40 set dan
dengan Q = 50 set.
Dari rumus yang ada didepan maka didapat hasil simulasi seperti yang
terdapat pada tabel berikut:
T
D
IL
NB
0
0
60
0
1
10
50
0
2
12
38
3
9
4
PESAN?
CIT
CST
COT
TOTC
0
0
0
0
No
12.50
0
0
12.50
0
Yes
22.00
0
20
42.00
29
0
No
29.25
0
20
49.25
11
18
0
No
33.75
0
20
53.75
5
8
10
0
No
36.25
0
20
56.25
6
12
0
2
No
36.25
4
20
60.25
7
6
42
0
No
46.75
4
20
70.75
8
9
33
0
yes
55.00
4
40
99.00
9
11
22
0
no
60.50
4
40
104.50
10
5
17
0
No
64.75
4
40
108.50
Dalam praktek banyak variasi lain misalnya dengan model:
a. Tidak ada backorder (NB)
b. LT = 0 (Pada saat pesan barang langsung datang)
c. LT mungkin acak
d. Pesanan (order) boleh overlap model ini sering disebut sebagai model
multiple order dimana setiap saat boleh melaksanakan pesanan apabila
barang yang ada digudang lebih kecil dari titik pesankembali. Akibat
model ini maka ada konsekuensi logis yang timbul bahwa barang yang
masuk akibat multiple order bisa melebihi kapasitas gudang sehingga
barang lebih ini terpaksa harus disimpan pada gudang sewa dari
gudang orang lain.
e. Sebuah inventory yang lengkap akan mengandung lebih dari satu item
barang,
92
f. Bisa terjadi sebuah item hanya bisa disimpan di gudang dalam waktu
tertentu saja sebagai contoh barang-barang kimia, darah dan
sebagainya, tidak bisa digunakan kalau sudah lewat waktu atau dengan
kata lain, barang itu segera harus dikeluarkan dari gudang setelah
waktu tertentu.
Hitungan secara analitik untuk ROP dan Q yang akan meminimalkan total
inventory cost adalah:
a. Fixed (deterministik) demand dan LT konstan serta tidak ada
backorder bisa dihitung dengan menggunakan rumus berikut:
ROP = D*LT
Q  2CO * D / CI
CT = CO*D/Q +CI*Q/2
CT biaya total harian
b. Permintaan acak (distribusi Poisson dengan parameter  dan LT = 0
dan tidak ada backorder dengan rumus:
ROP = 0 (sebab LT = 0 atau barang yang dipesan langsung dapat)
Q = bilangan bulat terbesar sedemikian rupa:
Q = Q(Q-1)  CI*(Q-1)/2
Berikut adalah sebuah jawaban model simulasi multiple order dimana
terdapat beberapa variabel yang menjadi pertimbangan baru.
Pada model ini yang merpakan model multiple order murni
Yang menjadi input parameter adalah sebagai berikut:
Kapasitas gudang
=
Ongkos simpan per unit/perhari dogudang sendiri
=
Ongkos simpan per unit/hari digudang orang lain
=
Ongkos kehabisan barang per unit/hari
=
Titik pesan ulang
=
Sebuah contoh Lain simulasi inventori
Akan disimulasikan sebuah barang yang sangat laris di dalam pasar, untuk
itu manager tidak menghendaki adanya pelanggan yang tidak terlayani akibat
barang di gudang habis, sehingga untuk itu kepada kita disuruh membuat model
93
simulasi multiple order murni dimana terdapat beberapa variabel yang menjadi
pertimbangan baru.
Pada model ini yang merpakan model multiple order murni, beberapa yang
bersifat acak adalah : demand (D), ditentukan dengan menggunakan tabel 1, yang
nilai nya diambil dengan kolom 1; Volume sekali pesan (Q) ditentukan dengan
menggunakan tabel 2 yang nilai nya diambil kolom 2; ongkos sekali pesan (CO)
ditentukan dengan tabel 3 yang nilainya ditentukan dari kolom 3 dan lead
time(LT) ditentukan dengan tabel 4 yang nilai nya dari kolom 4.
Yang menjadi input parameter adalah sebagai berikut:
Kapasitas gudang
= 2000 unit
Ongkos simpan per unit/perhari di gudang sendiri
= $30
Ongkos simpan per unit/hari digudang orang lain
= $40
Ongkos kehabisan barang per unit/hari
= $35
Titik pesan kembali (ROP)
= 500 unit
Pel Kumulatif
0.000 - 0.125
0.126 - 0.250
0.251 - 0.375
0.376 - 0.500
0.501 - 0.625
0.626 - 0.750
0.751 - 0.875
0.876 - 0.999
D
100
150
200
250
300
350
400
450
Q
750
850
950
1050
1150
1250
1350
1450
CO
500
1000
1500
2000
2500
3000
3500
4000
LT
1
2
3
4
5
6
7
8
Coba simulasikan dengan kebijaksanaan untuk selama 40 hari berikut :
1.
Di gudang pada awalnya ada 1000 unit
2.
Di gudang pada awalnya ada 1200 unit
3.
Di gudang pada awalnya ada 1500 unit
Kebijaksanaan mana yang harus ditempuh oleh manager?
Jabawabnnya bisa dilihat pada LAMPIRAN 5
Kebijaksanaan
1000 unit
1200 unit
1500 unit
94
Total Cost
Rp. 190.097.500,00
Rp. 241,975,000.00
Rp. 181,575,000.00
Kesimpulan :
4. Pada pengujian kebijaksanaan dengan 1000 unit di gudang pada awalnya
dengan lama jual 40 hari mendapatkan total sebesar Rp. 190.097.500
5. Pada pengujian kebijaksanaan dengan 1200 unit di gudang pada awalnya
dengan lama jual 40 hari mendapatkan masih mendapatkan total sebesar
Rp. 241,975,000.00
6. Untuk pengujian kebijaksanaan dengan 1500 unit di gudang pada awalnya
dengan lama jual 40 hari baru mendapatkan total sebesar Rp.
181,575,000.00
Jadi keputusan yang diberikan kepada manajer yang sesuai dengan
hasil simulasi inventory adalah menggunakan kebijaksanaan dengan penyediaan
di gudang pada awalnya 1500 Unit, karena hanya dengan kebijaksanaan itu
perusahan mendapatkan Total Cost terkecil untuk penghematan biaya.
7.5 Simulasi Dalam Jaring Kerja
Jaring kerja merupakan suatu himpunan yang terdiri dari simpul dan
busur, dimana penghubung dari simul ke simpul sering berdistribusi tertentu,
sesuai dengan busur itu merupakan fungsi apa seperti pekerjaan atau kegiatan
tertentu.
Simpul Awal atau pangkal dari busur simpul awal sedang ujung anak
panah disebut simpul tujuan; kalau simpulnya terletak bukan simpul yang terakhir
disebut simpul tujuan antara, sedang bila simpulnya merupakan simpul terakhir,
maka disebut simpul tujuan akhir.
Dalam perhitungan semua simpul diberi nomor simpul berurutan dengan
simpul awal diberi nomo r simpul 1(I=1) ke simpul tujuan simpul n, sehingga
dengan asumsi diatas otomatis n menjadi jumlah simpul.
Didefinisikan pij sebagai peluang pemilihan simpul i ke simpul j.
Sehingga bila berada pada simpul i, pij adalah peluang untuk memilih busur ij
adalah busur yang menuju simpul j. Karena simpul antara bisa mempunyai
beberapa tujuan, maka bisa ditulis pada setiap busur akan berlaku rumus untuk
peluang pemilihan busur sebagai berikut:
95
 pij  1
j
Dimana i = 1,2,…,(n-1) sedang j = 2,3, …, n
Panjang busur tij adalah acak dengan distribusi tertentu, misalnya dengan
mean =  ij dan stantard ij
T merupakan panjang waktu kumulatif jalan dari awal menuju simpul
tujuan akhir.
Sehingga panjang kumulatif dari simpul awal bisa selalu di update dengan
rumus:
T = T + tij
Diagram alir pemecahan masalahnya adalah sebagai yang tertera pada
halaman berikut.
MULAI
INPUT N
FOR I = 1 TO N
T = 0, I = 0
GENERATE P(i,j)
GENRATE tij
no
T = T + tij
IS I>N
yes
HITUNG
INFORMASI
STATISTIK
TULIS DATA
OUTPUT
SELESAI
Gambar 7.3 Flowchart untuk simulasi grafik
Bila algorithma atau diagram alir diatas diikuti setelah i = j maka simpul j
yang tadinya merupakan simpul tujuan antara ini akan menjadi simpul awal yang
96
baru dan bila kita ikuti terus sampai i = n maka berarti sudah sama pada simpul
tujuan akhir.
Contoh: Coba simulasikan jaring kerja berikut untuk mendapatkan CPM
yang baik untuk sedikitnya 10 kali replikasi dengan catatan seluruh busur
mempunyai waktu penyelesian berdistribusi normal dengan mean dan
standard deviasi yang diketahui. Dimana simpul awal adalah simpul 1 dan
simpul tujuan akhir adalah simpul 19. Pemilihan setiap simpul j yang akan
menjadi simpul i baru adalah acak.
Untuk menjawab model simulasi diatas maka yang perlu dipikirkan adalah
bagaimana membuat sebuah tabel selengkap mungkin sehingga baik anda maupun
orang lain mudah untuk mengerti.
Rep
Awal
1
Tujuan
Peluang
Pelkumul
1
2
0.152
0.152
1
3
0.147
0.299
1
4
0.211
0.510
1
5
0.365
0.875
1
6
0.125
1.000
2
3
0.345
0.345
2
10
0.337
0.682
2
11
0.318
1.000
3
4
0.451
0.451
3
9
0.334
0.785
3
10
0.215
1.000
4
5
0.359
0.359
4
8
0.441
0.800
4
9
0.200
1.000
5
7
0.456
0.456
5
8
0.334
0.790
5
17
0.210
1.000
6
5
0.751
0.751
6
7
0.249
1.000
7
17
1.000
1.000
8
16
0.452
0.452
8
17
0.548
1.000
9
8
0.345
0.345
9
14
0.445
0.790
9
16
0.210
1.000
10
9
0.245
0.245
10
12
0.2.65
0.510
10
13
0.265
0.7.75
10
14
0.225
1.000
11
10
11
12
0.625
1.000
12
13
0.545
0.545
12
15
0.4.55
1.000
13
14
0.673
0.673
13
19
0.327
1.000
14
16
0.776
0.776
14
19
0.224
0.224
15
13
0.871
0.871
15
19
0.129
1.000
0.375
Acakb
Busurp
Acak1
Acak2
Waktu
TKumul
0.657
(1,5)
0.811
(5,17)
0.375
97
16
18
0.657
0.657
16
19
0.343
1.000
17
16
0.725
0.725
17
18
0.275
1.000
(17,18)
18
19
1.000
1.000
(18,19)
0.625
Sebagai ajang latihan coba lengkapi tabel diatas, terutama penentuan nilai
bilangan acak normal untuk kegiatan terpilih dengan menggunakan rumus yang
menggunakan sinus(ingat rumus untuk mencari nilai standard normal).
Berikut jawaban untuk yang 10 x repelikasi lengkap dengan laporan hasil
statistiknya.
SOAL
Coba simulasikan jaring kerja berikut untuk mendapatkan CPM yang baik
untuk sedikitnya 1 kali replikasi dengan catatan seluruh busur mempunyai waktu
penyelesian mempunyai distribusi normal dengan mean dan standard deviasi yang
diketahui. Dimana simpul awal adalah simpul 1 dan simpul tujuan akhir adalah
simpul 19. Pemilihan setiap simpul j yang akan menjadi simpul i baru adalah
acak.
1
1
2
1
6
1
2
1
5
3
1
0
1
3
4
9
1
4
5
8
1
9
1
6
1
1
7
7
8
Gambar 7.4 Contoh gambar grafik
Untuk menjawab model simulasi diatas maka yang perlu dipikirkan adalah
bagaimana membuat sebuah tabel selengkap mungkin sehingga baik anda maupun
orang lain mudah untuk mengerti. Semua kegiatan berdistribusi normal dengan µ
20 hari σ 5 hari, laksanakan simulasi selama 10X dan buat laporan statistiknya
(Cari µ dan σ ). Untuk menetukan bilangan acak normal yang didapatkan gunakan
kolom 1 untuk U1 dan kolom 2 untuk U2, dengan menggunakan rumus Z = (lnU1)1/2 sin(2U2).
98
Tabel Statistik
Replikasi
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Total Hari
93,911
97,415
110,224
87,62
66,586
122,412
138,192
117,643
85,472
75,231
Lintasan
1-6-7-17-16-19
1-6-7-17-18-19
1-2-11-12-15-19
1-4-9-14-19
1-5-17-16-19
1-3-9-8-17-18-19
1-3-4-5-7-17-16-19
1-4-9-8-16-18-19
1-4-9-16-19
1-3-9-16-19
Kesimpulan
Rata-rata hari
: 99,4706
Dengan standard deviasi = 22.391
Hari tercepat: 66,586
Hari terlam: 138,192
Pemecahan lengkapnya bisa dilihat pada LAMPIRAN 6
99
100