RUANG VEKTOR dan SUBRUANG VEKTOR

RUANG VEKTOR dan
SUBRUANG VEKTOR
(VECTOR SPACE &
SUBSPACE)
TUJUAN
• Mahasiswa akan dapat membuktikan
bahwa suatu sistem adalah ruang vektor
dan subspace
Cakupan
– Ruang Vektor
– Subspace
DEFINISI
• Ruang vektor V atas field skalar K adalah
himpunan tak kosong dengan operasi
penjumlahan vektor dan perkalian skalar
yang bersifat sbb.
Ciri Ruang Vektor
1.
Tertutup terhadap penjumlahan vektor dan
perkalian skalar
2. Komutatif penjumlahan vektor
3. Asosiatif penjumlahan vektor
4. Ada vektor 0 yang berlaku sbg unkes
penjumlahan vektor
5. Ada vektor –v yang berlaku sbg invers aditif
dari v
6. k(u+v) = k.u+k.v
7. (k+m)u = ku+mu
8. (km)u = k(mu)
9. 1u=u, 1K
Semua ini untuk setiap u,v  V dan setiap k,mK
Beberapa contoh
Manakah yang merupakan ruang vektor?
1. Ruang R1, R2, R3, …., Rn atas field riil
2. Himpunan polinomial riil:
p(t)=a0+a1t+a2t2+….+antn atas field riil
3. Himpunan matriks 2x2 atas field riil
4. Himpunan matriks mxn atas field riil
5. V={(a,b)} atas field riil dengan operasi-operasi:
a. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(ka,b)
b. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(ka,kb)
c. (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d), k(a,b)=(k2a,k2b)
SUBSPACE =
Ruang Vektor Bagian
• Misal V ruang vektor atas field K. W
adalah subspace dari V, bila W  V, W tak
kosong dan W sendiri merupakan ruang
vektor atas field K.
• Atau W adalah subspace dari ruang vektor
V atas field K, jika W dan berlaku
kw1+mw2  W, untuk setiap w1,w2W dan
setiap k,m  K.
Sifat-sifat
• Irisan dua subspace juga merupakan
subspace atas field yang sama.
• Gabungan dua subspace merupakan
subspace bila yang satu terkandung
dalam yang lain.
Contoh-contoh
Manakah yang subspace:
1. V=R3, W={(a,b,c), a,b riil}
2. V=R3, W={(a,2b,3c), a,b,c riil}
3. V=R3, W={(a,b,c), a=b=c}
4. V=R3, W= kumpulan bidang di R3 yang
melalui (0,0,0)
5. V=R3, W={(a,b,c), a+b+c=0}
6. V=R3, W={(a,b,c), a2+b2+c2  1, a,b,c riil}
7. V=R3, W={(a,b,c), a.b.c rasional}
Penutup
– Ruang Vektor harus memenuhi 9 sifat
tertentu. Apa sajakah?
– Subspace: bagian dari ruang vektor yang juga
merupakan ruang vektor.