Geometri Vektor (Garis dan Bidang)

Geometri Vektor
(Garis dan Bidang)
1. Dua Dimensi (R2)
 Persamaan Garis
Untuk membentuk persamaan garis diperlukan minimal
dua titik. Garis merupakan tempat kedudukan titiktitik. Jika suatu garis melalui titik A (xA,yA) dan titik B
(xB,yB), maka tentunya ada titik P (x,y) yang terletak
pada garis tersebut.
Secara vektor dituliskan : AP = k AB
p-a = k(b-a)
p = kb-(k-1)a
 xB   x A 
 k      (k  1)
 yB   y A 
 k ( xB  x A )  x A 


k
(
y

y
)

y

B
A
A
Jadi titik P mempunyai koordinat :
x = k(xB – xA) + xA
y = k(yB – yA) + yA
Dengan mensubstitusikan nilai k, maka diperoleh :
y B  y A y A xB  y B x A
y

xB  x A
xB  x A
Persamaan garis secara umum dinyatakan : y = mx + c
yB  y A
dengan : m 
disebut : gradient/kemiringan
xB  x A
y
juga ditulis : tan  
x
y A xB  y B x A
c
 konstanta
xB  x A
Persamaan garis juga dapat ditulis :
(yB – yA)x + (xB – xA)y + (xAyB – yAxB) = 0
Atau : ax + by + c = o
Contoh :
Buktikan bahwa vektor normal n dari garis :
ax + by + c = 0 adalah (a,b).
Jawab :
Persamaan garis dapat digambarkan dalam koordinat
kartesius seperti berikut :
 Sudut antara dua garis
Jika sudut garis g1 dengan sumbu x adalah α,
sedangkan sudut garis g2 dengan sumbu x adalah β,
maka sudut perpotongan garisnya adalah : (β – α)
Oleh karena itu :
=θ
tan   tan 
tan(    ) 
1  tan  tan 
Jika : tan   m1 dan tan   m2 ,
g1
g2
m2  m1
maka : tan  
1  m1m2
dengan θ = sudut antara 2 garis
Sudut istimewa :
θ = 0o
tan θ = 0o, m1 = m2
θ = 90o
tan θ = ~
2 garis //
1+ m1m2 = 0 atau m1m2 = – 1
Contoh :
Tentukan sudut yang dibentuk oleh dua garis berikut :
x + y – 2 = 0 dan 2x – y + 3 = 0
Jawab :
Langkah awal yang dilakukan adalah mencari gradien :
x+y–2=0
y = – x + 2, maka m1= –1
2x – y + 3 = 0
y = 2 x + 3, maka m2= –1
Dengan mensubtitusikan m1 dan m1 ke rumus
sudut antara 2 garis yang berpotongan, maka
diperoleh :
m2  m1
2  (1)
tan  

 3
1  m1m2 1  2(1)
  arc tan(-3)  71,57
0
Jarak titik terhadap garis
Jarak titik P(xP, yP) yang berada di
luar garis g1 yang mempunyai
persamaan ax+ by + c = 0 adalah :
d  AP cos 
Perhatikan :
AP . n  AP n cos 
n  ( a, b)
axP  byP  (axA  byA )  d . a  b
2
2
Titik A terletak pada garis g1, maka axA + byA + c = 0
sehingga didapatkan c = – axA – byA
Jadi jarak titik terhadap suatu garis adalah :
d
axP  byP  c
a b
2
2
Contoh :
Tentukan jarak antara garis x – y + 3 = 0 dan garis y = x + 2
Jawab :
Gambar kedua garis tersebut sebagai g1 dan g2.(g1 //g2)
Misalkan titik P(2,4) berada pada
garis g2, maka jarak titik P ke garis
g1 sama dengan jarak garis g1 ke g2.
Dengan menggunakan rumus jarak
diperoleh :
2. Tiga Dimensi (R3)
 Persamaan Garis
Titik A (xA,yA,zA) dan titik B (xB,yB,zB)
terletak pada satu garis.
Jika titik P (xP,yP,zP) terletak di tengah
titik A dan B, secara vektor dituliskan :
Jadi persamaan garis yang melalui titik A dan titik B
dituliskan dalam bentuk persamaan parametrik :
xP = k(xB– xA) + xA
yP = k(yB– yA) + yA
zP = k(zB– zA) + zA
Contoh :
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,-1,0)
dan (1,-1,1).
Jawab :
Gunakan persamaan garis melalui kedua titik tersebut .
x = k(xB– xA) + xA = k(2 – 1)+2= k + 2
yP = k(yB– yA) + yA = k(– 1–(–1)+(–1) = k – 1
zP = k(zB– zA) + zA = k(0 – 1)+ 0= – k
Perhatikan :
Persamaan garis di ruang 3 dimensi adalah persamaan
parametrik. Variabel A dan B dapat ditukar, yang mem
bedakan adalah arah garisnya
 Persamaan bidang
Bidang merupakan suatu permukaan datar.
Untuk membentuk suatu persamaan garis
dibutuhkan 2 titik, sedangkan untuk membentuk
persamaan bidang dibutuhkan 3 titik atau satu titik
dan vektor normal dari bidang tersebut.
Jika terdapat satu bidang yang melalui titik P (xP,yP,zP)
dan memiliki vektor normal n = (a,b,c), maka bila
ingin mencari persamaan dari bidang tersebut
diperlukan suatu titik sembarang Q(x,y,z) yang
terletak pada bidang tersebut.
Dari definisi bahwa vektor normal tegak lurus terhadap
bidang, maka
QP . n  0
 xP  x   a 
 y  y  . b  0
 P
  
 zP  z  c 
ax  by  cz  (axP  byP  czP )  0
ax  by  cz  d  0
Persamaan Umum, dengan :
d  axP  byP  czP
Contoh :
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik (1,2,1)
dan memiliki vektor normal (-1,2,3).
Jawab :
Langsung digunakan persamaan umum dengan
mensubstitusi vektor normal :
ax  by  cz  d  0
 x  2 y  3z  d  0
Untuk mencari nilai d, dilakukan substitusi titik (1,2,1)
ke persamaan, karena titik tersebut terletak di bidang.
Maka : 1  2(2)  3(1)  d  0
d 6
Jadi persamaan bidang yang dicari adalah :
 x  2 y  3z  6  0
Bagaimana mencari persamaan bidang jika yang
diketahui adalah 3 buah titik?
Contoh :
Tentukan persamaan bidang yang melalui titik A(-1,2,1),
B(2,1,1) dan C(-2,-1,3).
Jawab :
Cara 1. Substitusikan koordinat dari 3 titik itu ke dalam
persamaan umum, sehingga diperoleh 3 persamaan
dengan 4 variabel yaitu :
a  2b  c  d  0
2a  b  c  d  0
2a  b  3c  d  0
Dengan menggunakan eliminasi Gauss-Jordan
diperoleh :
a = 1/10 d, b = 3/10 d dan c = ½ d
Persamaan bidang yang dicari adalah :
 dx  y  z  d  0
1
10
3
10
1
2
x  3 y  5 z  10  0
Dikalikan 
10
 diperoleh :
d
Cara 2. Mencari vektor normal n dengan menggunakan
perkalian silang vektor AB dan vektor BC.
 3
-1
AB  -1  ; AC  -3
 0 
 2
 Jarak titik terhadap bidang
Vektor normal n pada bidang ax + by + cz+ d = 0
dapat ditulis sebagai (a,b,c). Titik A(xA, yA) berada di
luar bidang, sedangkan sembarang titik P(x,y,z) pada
bidang, sehingga :
PA . n  PA n cos
 x A  x  a 
 y  y  . b   D n
 A
  
 z A  z  c 
D : jarak titik A ke bidang
axA  byA  czA  (ax  by  cz )  D a  b  c
2
D
2
2
axA  byA  czA  d
a 2  b2  c 2
Persamaan yang digunakan untuk mencari jarak suatu
titik ke bidang yang telah diketahui persamaannya.
Contoh :
Tentukan jarak titik (2,1,1) ke suatu bidang dengan
persamaan 3x – y – 2z + 5 = 0
Jawab :
Gunakan persamaan : D 
3x  y  2 z  5
32  12  22
3.2  1.1  2.1  5

14
8
4


14
14 7
Sudut antara dua bidang
Jika 2 bidang saling berpotongan, maka dalam
menentukan sudut yang terbentuk sama halnya
seperti mencari sudut antara 2 garis.
Persamaan bidang
P1 : a1x + b1y + c1z + d1 = 0
P2 : a2x + b2y + c2z + d2 = 0
Jika koefisien : a1 = a2, b1 = b2, c1 = c2,
maka ada 2 kemungkinan yaitu :
1. Bidang berhimpit bila d1 = d2,
2. Bidang sejajar apabila d1≠d2,
Jika koefisien tidak mempunyai nilai yang sama,
maka kedua bidang pasti berpotongan.
Vektor normal bidang P1 adalah N1(a1,b1,c1).
Vektor normal bidang P2 adalah N2(a2,b2,c2).
Dengan perkalian titik kedua vektor normal
tersebut dapat diperoleh sudut antara 2 bidang,
yaitu :
n1 . n 2  n1 n 2 cos 

  arc cos 




a22  b22  c22 
a1a2  b1b2  c1c2
a12  b12  c12
Contoh :
Tentukan sudut yang dibentuk oleh bidang-bidang
dengan persamaan berikut ini :
P1 : 2x –3y + 2z –4 = 0
P2 : x + y + z –3 = 0
Jawab :
Vektor normal P1: (2, –3,2) dan P2: (1,1,1).

  arc cos 



  arc cos 




a22  b22  c22 
a1a2  b1b2  c1c2
a12  b12  c12


12  12  12 
2.1  3.1  2.1
22  (3) 2  22
 1 
0
  cos 

81,
2

 51 
-1
 Jarak titik terhadap garis
Tidak seperti menghitung jarak titik
terhadap garis pada dimensi dua,
karena persamaan garisnya
berbeda.
Oleh karena itu, diperlukan
bantuan satu titik (Q) yang terletak
pada garis g1 sedemikian sehingga
jika dihubungkan dengan titik yang
diketahui(P) akan saling tegak lurus
Jadi jarak P terhadap g1 = jarak antara dua titik P dan Q (PQ)
Contoh :
Tentukan jarak titik (2,3,-1) ke garis g1 dengan persamaan x
= 2t-1; y = t-3; z = t.
Jawab :
Misalkan titik Q pada garis g1 dengan koordinat (2t-1, t-3, t),
maka :
Jadi :
Vektor kode dan modul aritmatika
Kode yang familier : Morse
Sistem titik dan garis
Era digital : semua data dikirim secara elektronik
dengan jumlah banyak, cepat dan akurat.
Vektor digunakan untuk mendeteksi kesalahan pada
pengiriman data, bahkan juga dapat membetulkan
kesalahan.
Komputer dirancang untuk mengolah data dengan
angka 0 dan 1 (binary)
Kode Biner
Data angka 0 dan 1 dapat diartikan sebagai:
Mati/hidup, tutup/buka, salah/benar atau tidak/ya.
Hukum penjumlahan dan perkalian biner :
1 : ganjil dan 0 : genap.
Hukum di atas merupakan jumlah dan kali bilangan
genap dan ganjil
modul 2 bilangan
Kumpulan bilangan {0,1} ditulis : Z2
Vektor biner dengan panjang n
Vektor dalam Zn2
Contoh :
(0,0), (0,1), (1,0) dan (1,1)
Z22
Berapakah jumlah vektor : Zn2 ?
Contoh soal :
Vektor U=[1,1,0,1,0] dan V=[0,1,1,1,0] merupakan dua
vektor biner dengan panjang 5. Tentukan U.V !
Jawab : U.V= 1.0 + 1.1 + 0.1 + 1.1 + 0.0
= 0 + 1 + 0 + 1 + 0
= 0
Pesan dalam bentuk kata, simbul ataupun angka dikirimkan
sebagai vektor biner.
Kode biner
Kumpulan vektor biner dengan panjang yang sama.
Encoding : proses merubah pesan ke dalam vektor kode
Decoding : proses merubah vektor kode ke dalam pesan
Kode deteksi kesalahan
Pesan sebagai kumpulan vektor kode biner dikirim
melalui saluran seperti pemancar radio, telepon, fiber
optik atau CD.
Dalam pengiriman ada kemungkinan terjadi kesalahan
pembacaan akibat adanya jalur yang sibuk, interferensi,
kotor atau rusak. Beberapa angka 0 berubah menjadi 1
atau sebaliknya.
Bagaimana caranya mengatasi masalah ini ?
Contoh :
Digunakan 4 vektor biner dalam Z22 sebagai kode biner
untuk mengirim pesan : naik, turun, kiri dan kanan.
Ditabelkan sebagai berikut :
Jika tidak terjadi kesalahan, maka proses decoding : trivial
Misalkan terjadi kesalahan tunggal seperti pesan turun
dengan kode[0,1] komponen 0 berubah jadi 1, sehingga
diterimanya [1,1] yang berarti kanan.
Dalam praktek, tidak mungkin terjadi banyak kesalahan.
Untuk mencegah kesalahan tunggal, penulisan pesan
menggunakan kode dalam Z32 yang ditabelkan berikut ini
Jika terjadi kesalahan tunggal seperti pesan turun
dengan kode[0,1,1], 1 komponen berubah, sehingga
diterimanya [1,1,1] atau [0,0,1] atau [0,1,0], maka tidak
ada yang cocok dengan vektor yang tersedia.
Inilah yang disebut dengan kode deteksi kesalahan.
Penggunaan kode deteksi kesalahan harus memiliki
kesamaan dengan kode awalnya (parity check code)
yaitu dengan menambahkan komponen ekstra yang
disebut angka pengecek (check digit) sehingga setiap
vektor mempunyai kesamaan ( jumlah total angka 1)
adalah genap.
Contoh :
Vektor biner [1,0,0,1,0,1] jumlah angka 1 ganjil,
ditambah dengan angka pengecek 1 agar jumlahnya
genap, sehingga vektor berubah menjadi [1,0,0,1,0,1,1]
Jika terjadi kesalahan pada komponen ke 3 sehingga
vektor yang diterima [1,0,1,1,0,1,1] dengan jumlah
angka 1 menjadi ganjil.
Bagaimana caranya untuk menormalkan kembali ?
Anggap pesan sebagai vektor biner :
n
Z
b =[b1, b2, ……….,bn] dalam 2
Vektor kode pengecek : v =[b1, b2, ….,bn, d] dalam Zn+1
2
dengan d adalah bilangan pengecek yang dipilih :
b1+ b2 +……….+ bn + d = 0 dalam Z2
Atau bentuk yang sama :
1.v =0
1 = [1,1…….1] vektor semua komponen 1 check vector
Jika vektor yang diterima adalah v’ dan 1. v ’ = 1, maka
dipastikan terjadi kesalahan
Modul Aritmatika :
Vektor dengan komponen kumpulan bilangan
terbatas (0,1,2, ………k) untuk k≥2, langkah yang
harus ditempuh adalah pengembangan dari
biner.
Z3
modul 3 bilangan = {0, 1, 2}
Contoh :
Hitung 2 + 2 + 1 + 2 dalam Z3
Jawab :
Cara 1. Jumlahkan 2 + 2 + 1 + 2 = 7, selanjutnya dibagi
3 , tentunya ada sisa 1.
Jadi : 2 + 2 + 1 + 2 = 1 dalam Z3
Cara 2. Cara yang lebih baik adalah dikerjakan dengan
bentuk perhitungan dalam Z3
2 + 2 + 1 + 2 = (2 + 2) + 1 + 2 = 1 + 1 + 2
= (1 + 1) + 2 = 2 + 2 = 1
Atau (2 + 2) + (1 + 2) = 1 + 0 = 1
Secara umum :
Zm = (0,1,2, ……..,m-1) : modul integer m
Z nm : vektor susunan m bilangan dengan panjang n
Kode yang menggunakan vektor susunan m
bilangan disebut kode bilangan m
vektor bilangan 3 panjang 5
Contoh : Z53
Bila u = [2, 2, 0, 1, 2] dan v = [1, 2, 2, 2, 1], maka:
u . v = 2.1 + 2.2 + 0.2 + 1.2 + 2.1
= 2 + 1 + 0 + 2 + 2
= 1
Universal Product Code (UPC)
Merupakan kode asosiasi dengan kode batang yang
ditemukan pada bermacam-macam barang produksi.
Batangan hitam putih dibaca dengan sinar laser,
merupakan susunan 10 bilangan vektor.
u = [u1, u2, ……..u11, d] dengan panjang 12. Sebelas angka
pertama merupakan komponen vektor Z11
10 menyatakan
informasi pabrik dan produksinya. Komponen terakhir d
adalah angka pengecek sehingga c.u = 0 dalam Z10.
Vektor pengecek c = [3,1,3,1,3,1,3,1,3,1,3,1]
Hasil akhir diperoleh :
3(u1 + u3 + u5 + u7 + u9 + u11)+(u2 + u4 + u6 + u8 + u10)+d= 0
Contoh UPC disamping, bisa ditentukan
bahwa angka pengeceknya adalah 6
dalam perhitungan Z10 dengan cara :
0
74927
02094
6
c.u = 3.0 +7 + 3.4 + 9 + 3.2 + 7 + 3.0 + 2 + 3.0 + 9 +3.4 +d
= 3(0+4+2+0+0+4) + (7+9+7+2+9) + d
= 3(0) + 4 + d
=4+d
Angka pengecek d harus 6 agar supaya hasil perhitungan = 0 dalam Z10
c.u merupakan kelipatan 10.
Kode nomor buku internasional(ISBN)
Merupakan kode angka pengecek yang juga telah
digunakan di seluruh dunia.
Vektor kode merupakan vektor dalamZ10
11 .
Sembilan angka pertama merupakan komponen yang
menyatakan informasi negara, penerbit dan buku.
Komponen kesepuluh adalah angka pengecek.
ISBN buku Calculus: Concepts and Contexts by James
Steward adalah 0-534-34450-X.
Ini tercatat sebagai vektor b =[0,5,3,4,3,4,4,5,0,X]
dengan angka pengecek adalah huruf X.
Vektor pengecek ISBN adalah vektor :
c = [10, 9, 8,7,6,5,4,3,2,1]
Diperlukan hasil c . b = 0 dalam Z11.
c . b = 10.0+9.5+8.3+7.4+6.3+5.4+4.4+3.5+2.0+d
Semua perhitungan dibuat ke bentuk kelipatan Z11
(contoh 9.5 = 1, karena 45 jika dibagi 11 akan sisa 1)
Maka : c . b = 0 + 1 + 2+ 6 + 7 + 9 + 5 + 4 + 0 + d
=1+d
c.u merupakan kelipatan 11, maka d = 10.
Karena dalam ISBN setiap komponennya adalah angka
tunggal, maka untuk angka 10 diganti dengan bilangan
Romawi X.
Sistem Codabar (ATM atau kartu kredit)
Kode angka pengecek berjumlah 16.
Lima belas angka pertama merupakan informasi dari
bank penerbit dan angka terakhir merupakan angka
pengecek.
Kebanyakan bank yang menggunakan sistem ini
menyebutnya dengan nama : Codabar.
Misalkan angka yang tercetak pada kartu Kredit adalah :
5412 3456 7890 4327
Vektor x = [5,4,1,2,3,4,5,6,7,8,9,0,4,3,2,d] dalam Z16
10 .
Vektor pengecek c = [2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1,2,1].
Diperlukan hasil c.x = 0 dalam Z10
Misalkan h adalah jumlah angka ganjil yang lebih besar
dari 4.
Dalam contoh ini angka tersebut adalah 5, 5, 7 dan 9,
sehingga h = 4.
Sehingga diperoleh : c.x + h=0 dalam Z10
Maka :
c.x + h = (2.5+4+2.1+2+2.3+4+2.5+6+2.7+8+2.9+0+2.4+3+2.2+d)+4
= 2(5+1+3+5+7+9+4+2)+(4+2+4+6+8+0+3+d)+4
= 2(6) + 7 + d + 4
=3+d
Jadi agar hasil akhir = 0 dalam Z10, maka d = 7
Soal Latihan :
1. Tentukan proyeksi vektor v ke vektor u berikut ini :
-1
 2
a. v  4  dan u  1 
 
 
 12 
1 
1 


b. v   2 dan u   2 
1
3 
 2
2. Tentukan persamaan garis g yang melalui titik A(-1,1)
dan titik B(1,2)
3. Cari jarak dari titik B =(1,0,2) ke bidang P yang
mempunyai persamaan x + y – z =1
4. a. Cari angka pengecek dari UPC berikut ini :
[0,5,9,4,6,4,7,0,0,2,7,d]
b. Cari angka pengecek dari ISBN berikut ini:
[0,3,8,7,9,7,9,9,3,d]