Nama : - Matematika

Test II
MA 2281 Matematika Diskrit
Hari,Tanggal: Kamis, 31 Maret 2005
Waktu: 100 Menit
Semester: II, 2004/2005
Departemen Matematika
Institut Teknologi Bandung
No. 1. (Prinsip Sarang Merpati)
Berapa banyak bilangan yang harus dipilih dari himpunan {1,3,5,7,9,11,13,15} untuk
menjamin bahwa paling sedikit satu pasang bilangan memiliki jumlah 16?
Gunakan prinsip sarang merpati untuk menjelaskan jawaban Anda.
No. 2. (Counting)
Empat belas mahasiswa Departemen Matematika akan bertanding sepakbola.
a. Ada berapa cara untuk memilih sebelas pemain pertama?
b. Ada berapa cara untuk memilih sebelas pemain pertama dengan memperhatikan
nomor urut (posisi) pemain?
c. Jika tiga dari mahasiswa tersebut adalah wanita, ada berapa cara untuk memilih
kesebelas pemain pertama dengan syarat minimal terdapat satu pemain wanita
yang terpilih?
No. 3. (Koefisien Binomial)
Misalkan n dan k adalah bilangan bulat dengan 1 ≤ k ≤ n.
Buktikan bahwa
n
 n  1

k    n
k 
 k  1
a. dengan menggunakan bukti kombinatorial.
b. dengan menggunakan bukti secara aljabar.
No. 4. (Counting)
Terdapat 10 soal dalam ujian akhir Matematika Diskrit. Ada berapa cara untuk
memberikan nilai bagi setiap soal jika total nilai untuk kesepuluh soal tersebut adalah
100 dan setiap soal mempunyai nilai minimal 5?
Ujian Tengah Semester I
MA 2281 Matematika Diskrit
Hari,Tanggal: Rabu, 17 Maret 2004
Waktu: 100 Menit
Semester: II, 2003/2004
Departemen Matematika
Institut Teknologi Bandung
Solusi
No. 1. (Prinsip Sarang Merpati)
Pandang empat subhimpunan yang mempartisi {1,3,5,7,9,11,13,15} berikut:
{1,15}, {3,13}, {5,11}, {7,9}
Anggota-anggota dari keempat subhimpunan tersebut, bila dijumlahkan, akan tepat
sama dengan 16.
Jadi, jika kita memilih 5 bilangan dari {1,3,5,7,9,11,13,15}, menurut prinsip sarang
merpati, paling tidak terdapat sepasang bilangan yang merupakan anggota dari
subhimpunan yang sama. Akibatnya, pasangan bilangan tersebut jumlahnya sama
dengan 16.
No. 2. (Counting)
a. Ada berapa cara untuk memilih sebelas pemain pertama?
Karena urutan tidak penting, maka banyaknya cara adalah C(14,11).
b. Ada berapa cara untuk memilih sebelas pemain pertama dengan
memperhatikan nomor urut (posisi) pemain?
Karena urutan penting, maka banyaknya cara adalah P(14,11).
c. Jika tiga dari mahasiswa tersebut adalah wanita, ada berapa cara untuk
memilih kesebelas pemain pertama dengan syarat minimal terdapat satu
pemain wanita yang terpilih?
Banyaknya cara untuk memilih satu pemain dari 3 wanita adalah C(3,1).
Banyaknya cara untuk memilih sepuluh pemain sisanya dari 11 pria adalah
C(11,10).
Jadi, banyaknya cara untuk memilih sebelas pemain dengan tepat 1 pemain
wanita adalah C(3,1) . C(11,10).
Dengan cara yang sama dapat dihitung banyaknya cara untuk memilih sebelas
pemain dengan tepat 2 pemain wanita dan tepat 3 pemain wanita.
Jadi, secara keseluruhan, banyaknya cara untuk memilih kesebelas pemain
pertama dengan syarat minimal terdapat satu pemain wanita adalah
C(3,1) . C(11,10) + C(3,2) . C(11,9) + C(3,3) . C(11,8).
Ujian Tengah Semester I
MA 2281 Matematika Diskrit
Hari,Tanggal: Rabu, 17 Maret 2004
Waktu: 100 Menit
Semester: II, 2003/2004
Departemen Matematika
Institut Teknologi Bandung
No. 3. (Koefisien Binomial)
a. dengan menggunakan bukti kombinatorial.
Misalkan S adalah himpunan dengan n anggota, akan dihitung banyaknya cara
memilih subhimpunan S yang memiliki tepat k anggota dan memilih suatu
anggota tertentu dari subhimpunan tersebut.
Cara pertama dilakukan dengan terlebih dahulu memilih subhimpunan yang
n
dapat dilakukan dengan   cara. Baru kemudian diikuti dengan memilih satu
k 
n
anggota subhimpunan yang dapat dilakukan dengan k cara. Jadi, terdapat k  
k 
cara untuk memilih subhimpunan S yang memiliki k anggota dan memilih suatu
anggota tertentu dari subhimpunan tersebut.
Cara kedua dilakukan dengan pertama-tama memilih satu anggota dari
himpunan S, yang dapat dilakukan dengan n cara. Kemudian, untuk memilih
subhimpunannya, kita hanya tinggal memilih k-1 dari n-1 anggota S yang tersisa,
 n  1
 n  1
 cara. Jadi, terdapat n
 cara untuk
yang dapat dilakukan dengan n
 k  1
 k  1
memilih subhimpunan S yang memiliki k anggota dan memilih suatu anggota
tertentu dari subhimpunan tersebut.
n
 n  1
 .
Akibatnya, k    n
k 
 k  1
b. dengan menggunakan bukti secara aljabar.
n
 n  1
n!
n  (n  1)!
(n  1)!

k    k
k
n
 n
k!(n  k )!
k (k  1)!(n  k )!
(k  1)!(( n  1)  (k  1))!
k 
 k  1
Ujian Tengah Semester I
MA 2281 Matematika Diskrit
Hari,Tanggal: Rabu, 17 Maret 2004
Waktu: 100 Menit
Semester: II, 2003/2004
Departemen Matematika
Institut Teknologi Bandung
No. 4. (Counting)
Misalkan nilai untuk soal ke-i dalam ujian adalah Ni, i=1,2,…,10. Karena nilai total
adalah 100, maka
N1  N 2  N 3  N 4  N 5  N 6  N 7  N 8  N 9  N10  100, dengan N i  5, i  1,2,,10
Banyaknya solusi untuk persamaan di atas adalah C(100-5.10,10-1) = C(50,9).