A4_template for transducers01 - Repository Unhas

Bilangan Ramsey untuk
Kombinasi k-copy Graf Pohon dengan beberapa Graf
Hasmawati1, E. T. Baskoro2, H. Assiyatun2, A. N. M. Salman 2
2
Departemen Matematika FMIPA Institut Teknologi Bandung (ITB)
Jalan Ganesa no.10 Bandung, 40132
(hasmawati,ebaskoro,hilda,msalman)@dns.math.itb.ac.id
Abstrak
Untuk sebarang graf G dan H, bilangan Ramsey R(G,H) adalah bilangan asli terkecil n sedemikian
sehingga sebarang graf F yang berorde n memenuhi kondisi berikut: F memuat G atau komplemen F
memuat H. Dalam makalah ini dikaji bilangan Ramsey R(kG,H), dimana G adalah graf pohon dan H
adalah graf roda Wm atau graf lengkap Km. Kami akan menunjukkan bahwa jika n  3, m ganjil dan
m  2n-1, maka R(kSn,Wm ) = 3n-2 + (k-1)n. Juga akan ditunjukkan bahwa untuk sebarang bilangan n
dan m berlaku R(kTn,Km)= R(Tn.Km) + (k-1)n.
Abstract
For given graphs G dan H, the Ramsey number R(G,H) is the smallest natural number n such that for
every graph F of order n: either F contains G or the complement of F contains H. This paper
investigates the Ramsey numbers R(kG,H), where G is a tree and H is either wheels Wm or complete
graph Km . We show that if n  3 and m is odd, m  2n-1 then R(kSn,Wm ) = 3n-2 + (k-1)n.
Furthermore, for arbitrary n and m we obtain R(kTn,Km)= R(Tn.Km) + (k-1)n.
Keywords: : Bilangan Ramsey, graf bintang, graf roda, dan graf lengkap.
.
1. Pendahuluan
Graf G(V,E) adalah suatu sistem yang terdiri
dari himpunan titik berhingga tak kosong V=V(G)
dan
himpunan sisi E=E(G) yaitu himpunan
pasangan tak terurut dari anggota-anggota V. Jika
V(G) mempunyai anggota sebanyak n, maka graf G
dikatakan berorde n dan dinotasikan
G  n. Jika
u,v  V(G) dan e=uv  E(G), maka u disebut
tetangga dari v, demikian pula sebaliknya.
Graf G dengan n titik dan setiap dua titiknya
bertetangga disebut graf lengkap, dinotasikan
dengan Kn. Graf F disebut komplemen dari graf G
bila V(F)=V(G) dan uv  E(F) jika dan hanya jika
uv  E(G). Komplemen dari graf G dinotasikan
dengan G . Graf H disebut subgraf dari G jika
V(H)  V(G) dan E(H)  E(G).
Himpunan titik V pada graf G disebut himpunan
titik bebas jika setiap dua titik di V tidak
 0 (G) menyatakan
bertetangga.
Notasi
1
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Hasanuddin
banyaknya titik pada himpunan titik bebas
maksimal di G.
Suatu graf G dikatakan bipartit jika V(G) dapat
dipartisi kedalam dua subhimpunan tak kosong V1
dan V2, sedemikian sehingga untuk setiap sisi
e=uv  E(G), berlaku u  V1 dan v  V2 atau v  V1
dan u  V2.
Misalkan G adalah graf bipartit dengan
V1 =n
V2 =m. Graf G dikatakan bipartit lengkap dan
dinotasikan Kn,m, jika setiap titik u  V1 dan v  V2
terdapat sisi e=uv  E(G).
dan
Jika G1 adalah graf dengan himpunan titik V1
dan himpunan sisi E1, serta G2 adalah graf dengan
himpunan titik V2 dan himpunan sisi E2, maka graf
G = G1 + G2 adalah graf dengan himpunan titik
V(G) = V1  V2 dan himpunan sisi E(G) = E1 
E2  {uv: u  V1, v  V2}.
Misalkan G adalah suatu graf dengan himpunan
titik V(G)=v1, v2, ..., vn dan x=vi vj  E(G) untuk
suatu i,j  {1,2, ...,n}. Graf G’:= G+x adalah suatu
graf baru dengan himpunan titik V(G’)=V(G) dan
himpunan sisi E(G’)=E(G)  {x}.
Jalan dari u ke v dengan panjang k pada graf
G(V,E) adalah suatu subgraf dengan barisan titik
u=u0,u1,...,uk dimana (u1ui+1)  E(G) untuk
i=1,2,...,k-1. Lintasan Pn adalah jalan dengan n titik
yang setiap titiknya berbeda. Suatu graf dikatakan
terhubung jika untuk setiap dua titik u dan v dari
graf tersebut terdapat suatu lintasan dari u ke v.
Komponen dari suatu graf adalah subgraf terhubung maksimal dari graf tersebut.
Jika Pn adalah suatu lintasan dengan barisan titik
v1, v2, ..., vn dan n  3. maka graf Cn := Pn+ v1vn
disebut siklus dengan n titik.. Graf pohon Tn (tree)
adalah graf terhubung dengan n titik yang tidak
memuat siklus.
Graf roda Wk (wheel) dengan k+1 titik adalah
graf Ck+K1. Titik x  V(K1) disebut titik pusat roda
(hub) dan siklus Ck disebut rim dari roda. Graf
K n1 +K1 disebut graf bintang (star) dengan n
titik, dan dinotasikan Sn. Titik x  V(K1) disebut
sebagai titik pusat (center) graf bintang (lihat
Gambar 1.1).
a) T7
b) S6
diwarnai dengan k warna maka setiap dua titik yang
bertetangga pada H mempunyai warna berbeda.
Chvatal dan Harary dalam [5] memberikan batas
bawah untuk R(G,H), yaitu R(G,H)  (  (H)1)(c(G)-1)+1, dimana c(G) adalah banyaknya titik
pada komponen terbesar G. Berdasarkan batas
bawah Chvatal dan Harary ini diperoleh:
 Batas bawah untuk R ( Sn ,Wm ) dimana
n  3 dan m ganjil adalah 3n – 2
 Batas bawah untuk R(Tn,Km) dimana n
dan m sembarang adalah (m-1)(n –1)+1
Beberapa bilangan Ramsey yang telah
dihasilkan antara lain: S. A. Burr dkk. dalam [2]
membuktikan bahwa km+ln – min(mi,nj) – 1 
R(mG,nH)  km+ln -min(mi,nj)+C, dimana
G k,
H  l , i=  0(G) dan j=  0(H).
Dalam [1], E. T. Baskoro dkk. membuktikan
bahwa jika n  3, maka R(Sn,W5) = 3n-2. Chen
dkk. [3], menunjukkan bahwa jika n  m-1  2 dan
m ganjil maka R(Sn,Wm) = 3n-2. Dalam [6],
Hasmawati memperoleh R(Sn,Wm) = m+n-2 untuk
n ganjil dan m genap, R(Sn,Wm) = m+n-1 untuk
yang lainnya.
Makalah ini akan membahas mengenai bilangan
Ramsey untuk kombinasi k-copy graf bintang
dengan graf roda dan kombinasi k-copy graf pohon
dengan graf lengkap.
Berikut ini adalah beberapa hasil yang akan
digunakan dalam pembuktian-pembuktian teorema.
Teorema 1.1. (Hasmawati [7]). Jika n  3 dan m
ganjil m  2n-1, maka R(Sn,Wm) = 3n-2.
Teorema 1.2. (V. Chvatal [4]). R(Tn,Km) = (n-1)(m1) +1, untuk sebarang bilangan asli n dan m.
2. Hasil Utama
c) K4
d) W6
Gambar 1.1: a) graf pohon, b) graf bintang
c) graf lengkap, dan d) graf roda
Bilangan Ramsey R(G,H) untuk sebarang graf G
dan graf H adalah bilangan asli terkecil n
sedemikian sehingga untuk setiap graf F dengan n
titik memenuhi kondisi: F memuat G atau F
memuat H. Misalkan F berorde n tidak memuat G
dan F tidak memuat H. Jika sebarang graf dengan
orde n+1 senantiasa memuat G atau komplemennya
memuat H, maka F disebut graf kritis untuk G dan
H.
Bilangan kromatik  (H) adalah bilangan asli
terkecil k sehingga jika titik-titik pada H dapat
Pasal ini menyajikan dua hasil utama yaitu
bilangan Ramsey R(kSn,Wm ) dan bilangan Ramsey
R(kTn,Km), dimana k menunjukkan banyaknya
komponen.
Teorema 2.1. Jika n  3, dan m ganjil m  2n-1,
maka R(kSn,Wm ) = 3n-2 + (k-1)n.
Bukti: Misalkan m ganjil m  2n-1 dan n  3.
Pandang graf F= K kn 1  2 K n 1 . Graf ini berorde
3n-3 + (k-1)n dan terdiri dari 3 komponen.
Komponen pertama adalah graf lengkap berorde
kn-1, dan dua komponen lainnya juga masingmasing merupakan graf lengkap, dengan orde
berturut-turut n-1, n-1. Komponen pertama hanya
memuat (k  1) Sn , dan dua komponen lainnya
masing-masing tidak memuat
S n . Jadi graf
F= K kn 1  2 K n 1
tidak
memuat
kSn .
Selanjutnya, perhatikan F .
F1 memuat (k  1)Sn . Tulis
A  V ( F1 ) \ V ((k  1) Sn ) dan T adalah subgraf
berdasarkan asumsi
F1 yang diinduksi oleh A. Karena T =3n-2 dan
Kn-1
T tidak memuat Wm , maka menurut Teorema
1.1, subgraf T
memuat
S n . Dengan demikian
dapat disimpulkan bahwa F1 memuat k S n . Jadi
diperoleh R(kSn,Wm )  3n-2 + (k-1)n.
Teorema 3.2. R(kTn,Km)= R(Tn.Km) + (k-1)n untuk
sebarang bilangan asli n dan m.
Bukti: Pandang graf
Kkn-1
Graf ini berorde (m-1)(n-1)+(k-1)n, tidak memuat
kTn dan komplemennya tidak memuat K m . Karena
Kn-1KK
Graf F =
Kkn1 +  K n1  K n1  merupakan
graf tripartit yang terdiri dari tiga partisi dengan
masing-masing partisi mempunyai kn-1, n-1,dan n1 titik. Andaikan F memuat Wm dengan m ganjil,
maka titik pusat roda akan berada pada salah satu
partisi dan rim roda Cm berada pada kedua partisi
lainnya. Karena siklus
Cm adalah ganjil, maka
kedua partisi tersebut tidak mungkin membentuk
graf bipartit. Akibatnya, ketiga partisi dimaksud di
atas tidak mungkin membentuk graf tripartit (suatu
kontradiksi). Jadi graf F tidak memuat
m
ganjil.
Dengan
Wm untuk
demikian
F  (m  2) K n1  K kn1 tidak memuat kSn
dan
F = Kkn1 +  K n 1  K n1  tidak memuat
Wm untuk m ganjil. Karena itu, diperoleh
R(kSn,Wm )  3n-2 + (k-1)n untuk m ganjil..
Berikutnya akan ditunjukkan bahwa bilangan
Ramsey R(kSn,Wm )  3n-2 + (k-1)n. Dalam
pembuktian akan digunakan proses induksi
matematika. Untuk k = 1, diperoleh R(Sn,Wm) =
3n-2. Hasil ini sama dengan hasil pada Teorema
1.1. Asumsikan Teorema benar untuk setiap
r  k , yakni R(rSn,Wm) = 3n-2 +(r-1)n. Akan
ditunjukkan bahwa Teorema juga benar untuk
r k .
Ambil sebarang graf
(k-1)n. Andaikan
Akan ditunjukkan
F  (m  2) K n1  K kn1 .
F1 dengan F1 = 3n-2 +
F1 tidak memuat roda Wm .
F1 memuat kSn. Karena
F1  3n-2 + (r-1)n untuk setiap r  k , maka
itu, diperoleh R(kTn,Km )  (m-1)(n-1)+(k-1)n+1.
Sebaliknya, tetapkan m dan n kemudian aplikasikan
induksi matematika untuk k. Jika k=1 diperoleh
R(Tn,Km) = (n-1)(m-1) +1. Teorema benar menurut
Teorema 1.2. Asumsikan Teorema benar untuk
setiap
r  k . Akan dibuktikan Teorema juga
benar untuk r=k.
Ambil sebarang graf
F1 dengan F1 = (m-1)(n-
1)+(k-1)n+1. Andaikan
F1 tidak memuat K m .
Akan ditunjukkan
F1 memuat kTm .
Karena
F1  (m-1)(n-1)+(r-1)n+1 untuk setiap r  k ,
F1 memuat (k  1)Tn .
Tulis B  V ( F1 ) \ V ((k  1)Tn ) dan H adalah
subgraf
F1 yang diinduksi oleh B. Karena
maka berdasarkan asumsi
H =(m-1)(n-1)+1 dan H tidak memuat
Km ,
maka menurut Teorema 1.2, subgraf H memuat
Tn . Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
F1 memuat k Tn . Jadi diperoleh R(kTn,Km ) 
(m.-1)(n-1)+ (k-1)n+1.
4. Kesimpulan
Pada pasal 1 pendahuluan diketahui bahwa
bilangan Ramsey untuk kombinasi graf bintang dan
graf roda R(Sn,Wm ) dengan m ganjil sama dengan
nilai batas bawah Chvatal dan Harary. Demikian
pula untuk bilangan Ramsey kombinasi graf pohon
dengan graf lengkap R(Tn,Km) juga sama dengan
nilai batas bawah Chvatal dan Harary.
Pada pasal 3, dibahas mengenai bilangan
Ramsey untuk kombinasi k-kopi graf bintang
dengan graf roda R(kSn,Wm ) dan kombinasi k-kopi
graf pohon dengan graf lengkap R(kTn,Km).
Hasil
dari
pembahasan
tersebut
,
menunjukkan bahwa terdapat hubungan antara
bilangan Ramsey untuk kombinasi graf bintang dan
graf roda R(Sn,Wm ) dengan bilangan Ramsey untuk
kombinasi k-copy graf bintang dan graf roda
R(kSn,Wm ) . Hal ini juga berlaku pada kombinasi
graf pohon dan graf lengkap R(Tn,Km) dengan
kombinasi k-copy graf pohon dan graf lengkap
R(kTn,Km).
Masalah yang masih terbuka untuk dikaji adalah
bilangan Ramsey R(kSn,Wm) untuk m genap, dan
R(kTn,H). dimana H adalah sebarang graf kecuali
graf Km.
Daftar Acuan
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
E. T. Baskoro, Surahmat, S. M. Nababan dan
M. Miller, On Ramsey Numbers for Tree
versus Wheels of Five or Six vertices, Graph
Combin., (2002) 18:717-721.
S. A. Burr, P. Erdos dan J. H. Spencer, Trans.
Amer. Math. Soc., 209, 1975.
Y. J. Chen, Y. Q. Zhang dan K. M. Zhang, The
Ramsey Number of Stars versus Whells,
Discrete Math., to appear.
V. Chv’atal Tree-Complete Graph Ramsey
Numbers, J. Graph Theory, 1(1977) 93.
V. Chv’atal dan F. Harary, Generalized Ramsey
Theory for Graph, III:Small off-Diagonal
Numbers, Pac. J. Math., 41(1972) 335-345.
Hasmawati,
Bilangan
Ramsey
untuk
kombinasi Graf Bintang terhadap Graf Roda,
Tasisi Magister, Departemen Matematika
ITB, 2004.
Hasmawati, E. T. Baskoro dan H. Assiyatun,
Star-Whell Ramsey Numbers, Proc. IWOGL
Mala ng, Indonesia, 6-9 Desember 2004.