bab 6 (persamaan trigonometri)

BAB VI
PERSAMAAN TRIGONOMETRI
Sepertihalnya dalam Aljabar, konsep Trigonometri juga mengenal istilah
persamaan triginomeri. Persamaan trigonometri bedakan menjadi dua jenis, yaitu
persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas dan persamaan
bersyarat. Persamaan trigonometri yang berhubungan dengan identitas adalah
persamaan yang memenuhi suatu nilai yang belum diketahui, sedangkan
persamaan bersyarat adalah persamaan yang variabelnya dibatasi.
Persamaan trigonometri memuatu suatu variabel yang belum diketahui,
dan variabel tersebut merupakan besaran suatu sudut yang satuannya dapat
dinyatakan dalam bentuk derajat atau radian. Variabel-variabel yang dapat
ditentukan nilainya tersebut akan merupakan suatu selesai jika disubstitusikan ke
dalam persamaan maka memenuhi persamaan tersebut. Pada umumnya selesaian
tersebut dapat dihubungkan dengan periode grafik dari fungsi trigonometri, yaitu
360 0  2 radian untuk fungsi sinus dan cosinus, dan 180 0   radian untuk
tangen, cotengen, secan, dan cosecan.
6.1 Persamaan Trigonometri Sederhana
Persamaan trigonometri adalah persamaan yang memuat fungsi trigonometri
dari suatu sudut yang belum diketahui. Dengan demikian sin 2x  tan x  1 adalah
persamaan trigonometri, karena x suatu sudut yang belum diketahui ukurannya
dan sebagaimana telah diketahui bahwa ukuran sudut adalah derajat atau radian
yang keduanya mempunyai hubungan 360 0  2 radian.
Sebaliknya, dalam trigonometri dikenal istilah persamaan triginometri invers.
Jika cos x  k adalah suatu persamaan trigonometri maka persamaan tersebut
mempunyai
selesaian
x  arccos k  cos 1 k .
Bentuk-bentuk
sin x  k , cos x  k , tan x  k , cot x  k , sec x  k . csc x  k
disebut
persamaan
persamaan
trigonometrimetri sederhana.
Trigonometri: Dwi Purnomo -
103
Selesaian persamaan trigonometri sebagaimana tersebut di atas dapat
diselesaikan dengan beberapa langkah sederhana. Pertama, ubahlah persamaan
menjadi persamaan sederhana yang terdiri atas satu lebih persamaan, Kedua,
gunakan metode dalam Aljabar untuk menentukan varibel besarnya sudut yang
belum diketahuidapat, misalnya dengan pemfaktoran atau cara lainya. Ketiga,
setelah diperoleh variable yang belum diketahui tersebut, substitusikan ke
persamaan semula sebagai pengecekan nilai dalam persamaan.
Jika x adalah sebarang bilangan real yang memenuhi persamaan, maka
persamaan trignometri tersebut dapat ditentukan selesaiannya.
Perhatikan beberpa contoh persamaan trigonometri sederhana berikut ini.
Tentukan selesaian persamaan trigonometri berikut.
1) sin 2 x 
1
4
Jawab
Dengan cara memberikan tanda akar pada kedua bagian diperoleh
1
4
1
 sin x  
2
 1
x  arcsin   
 2
 5 7 11
 , ,
,
,...
6 6 6 6
sin 2 x 
sin 2 x 
Semua nilai sudut tersebut memenuhi persamaan
1
4 sehingga
selesaiannya dapat dinyatakan dengan
x

6
 n , n  Z 
Trigonometri: Dwi Purnomo -
104
2) tan x  cot x  2
Jawab
Dengan mengganti cot x 
1
tan x
Maka persamaan
tan x  cot x  2
1
20
tan x
 tan 2 x  2 tan x  1  0
 tan x 
 (tan x  1)(tan x  1)  0
Sehingga diperoleh
tan x  1
x  arctan 1
x
 5 9
, , , ,...
4 4 4
Secara umum selesaian persamaan tan x  cot x  2 adalah
x

1

 n   n  
4
4

3) 3 sin 2 x  2 cos 2 x  2
Jawab
Karena
sin 2 x  2 sin x cos x, cos 2 x  1  sin 2 x maka
3 sin 2 x  2 cos 2 x  2
 3(2 sin x cos x)  2(1  sin 2 x)  2
 6 sin x cos x  2  2 sin 2 x  2
 6 sin x cos x  2 sin 2 x  0
 sin x(3 cos x  sin x)  0
Sehingga diperoleh
Trigonometri: Dwi Purnomo -
105
sin x  0
x  arcsin 0
x  0,  ,2 ,3 ,...
Atau
3 cos x  sin x  0
 3  tan x  0
 tan x  3
 x  arctan 3
x  710 34' ,2510 31' ,.....
2
Sehingga secara umum selesaian persamaan 3 sin 2 x  2 cos x  2 adalah
x  0  n , n  Z  atau x  710 34'n  710 34'n(180 0 )
4) sin x  2 cos x  1
Jawab
sin x  2 cos x  1
 sin x  1  2 cos x
Dengan mengkuadratkan masing-masing bagian, diperoleh
sin 2 x  (1  2 cos x) 2
 sin 2 x  1  4 cos x  4 cos 2 x
 (1  cos 2 x)  1  4 cos x  4 cos 2 x
 5 cos 2 x  4 cos x  0
 cos x(5 cos x  4)  0
Sehingga diperoleh
cos x  0
x  arccos 0
x
 3 5 7
, , ,
,..
2
2
2
2
Atau
Trigonometri: Dwi Purnomo -
106
5 cos x  4  0
4
5
 4
 x  arccos  
 5
x  148 0 8' ,...
 cos x  
Setelah dicek ke dalam persamaan sin x  2 cos x  1 yang memenuhi adalah
0
untuk x  90, x  143 8'
Sehingga secara umum selesaian persamaannya adalah
x  0  n2 , n  Z  atau x  14308'n2 , n  Z 
5) sin 3x  sin x  cos x
Jawab
sin 3x  sin x  cos x
 sin 3x  sin x  cos x  0
 3x  x   3x  x 
 2 sin 
 cos
  cos x  0
 2   x 
 2 sin 2 x cos x  cos x  0
 cos x(2 sin 2 x  1)  0
Sehingga diperoleh
cos x  0
x  arccos 0
x
 3 5 7
, , ,
,..
2
2
2
2
Atau
2 sin 2 x  1  0
 sin 2 x 
1
2
 
 2 x  arcsin  
2
 5
2 x  , ,.....
6 6
Setelah dicek ke dalam persamaan yang memenuhi adalah untuk
Trigonometri: Dwi Purnomo -
107
x
 3 5
, , ,...
2 2 2
Sehingga secara umum selesaian persamaannya adalah
x

 n 2 , n  Z 
2
Soal-soal
Tentukan selesaian persamaa berikut ini.
1) cos 2 x  cos 70 0
2) sin 2x  sin 
3) tan 3 x  tan
4) cos 2 x 
3
4
1
2
5) tan 2 x  3
6) sin 2 x 
1
2
7) tan x  cot x  2
8) 3 sin 2 x  2 cos 2 x  2
9) sin x  2 cos x  1
10) sin 5x  sin 3x  0
11) sin 3x  sin x  cos x
12) 2 cos 2 x  11cos x  6  0
13) 4 sin 2 x  3
14) tan 2 x  3
15) cot 2 x  1
16) sec 2 x  2
17) 2 cos 2 x  1
18) sin 3x  1
19) 4 cos 2 2 x  3
20) tan 5x  1
Trigonometri: Dwi Purnomo -
108
21) cot 4 x  3
22) sin 2 x  sin 2
23) cot x  3 tan x
24) sec x  1  tan x
25) 2 cos 2 x(1  sin x)  0
26) sin 2x  cos x
27) sin 2 x  2 sin x
28) tan 2x  3 tan x  0
29) 2  3 cos x  cos 2x  0
30) sin 4x  sin 2x
31) cos x  cos 2x  1
 x
32) sin    1  cos x
2
 x
33) cos   1  cos x
2
 x
34) tan    cos x  1
2
35) sin x  2 cos x  2
36) 8 sin x  cos x  7
37) tan x  cot x  2  0
38) cot 2x cot x  1
39) csc x  2 sin x  3
40) cos cos 5x  cos 2x
41) 2 sin 2 3x  cos 3x  0
 x
42) cos 2 x  6 cos 2    4
2
43) sin 4 x  cos 4 x 
1
2
44) cos x  cos 7 x  cos 4x
45) sin 3x  sin x  cos x
Trigonometri: Dwi Purnomo -
109
46) sin 3x  sin x  cos 2 x csc x
47) sin 5x  sin 3x  2 cos x  0
48) cos 5x  cos 3x  cos x  0
49) sin 5x  sin 3x  sin x  0
50) tan 3x  tan x
51) sin 2x  sin x  cos 2x  cos x
52) tan 2x  2 cos x  0
53) 5 sin x  cos x  3
54) sin 3x  4 sin 2 x  0
55) tan 2 x  3 csc x  7
56) cos 3x  4 cos 2 x  0
57) 4 sin 2x  3 cos 2x  4
58) tan 4x  2 tan 2x
59) 6 cot 2 2 x  1  cos 2 2 x
60) cos 4 x  4 sec 2 x  4  cos 2 2 x
61) 2 sin 3 x  3 sin 2 x  3 sin x  2  0
62) 3 tan 3 x  5 tan 2 x  11 tan x  3  0
63) 3 sec 4 x  4 sec 2 x  1  0
64) csc 4 x  csc 3 x  csc 2 x  2  0
65) tan x(tan 2 x  4)  sec 2 x  5
66) 6 sin 3 x  17 sin 2 x  4 sin x  3
6.2 Persamaan Trigonometri Tipe-tipe Khusus
Persamaan trigonometri tipe khusus dibedakan menjadi dibedakan menjadi dua
tipe.
1) a cos x  b sin x  c, c 2  a 2  b 2
Kedua bagian dibagi dengan
a
a b
2
2
cos x 
b
a b
2
2
a 2  b 2 diperoleh
sin x 
c
a  b2
2
Trigonometri: Dwi Purnomo -
110
Selanjutnya kita definisikan 0    2
Dengan sin  
a
a2  b2
b
dan cos  
a2  b2
Sehingga
a
a b
2
2
cos x 
b
a b
2
2
sin x 
a  b2
c
 sin  cos x  cos  sin x 
 sin(   x) 
c
2
a2  b2
c
a  b2
2

c
   x  arcsin 
2
2
 a b

c
 x  arcsin 
2
2
 a b





 


Contoh
1) Tentukan selesian persamaan
1
3 cos x  7 sin x 
2
Jawab
Dengan membagi kedua bagian dari persamaan
3 cos x  7 sin x  2
Diperoleh
3 cos x  7 sin x  2

3
7
1
cos x 
sin x 
4
4
2
Karena
3
 7
, dan cos  
,   1310 25'
4
4
1
sin(   x) 
2
sin  
Sehingga
Trigonometri: Dwi Purnomo -
111
1
(  x)  arcsin    30 0 ,150 0 ,390 0 ,...
2
1
(  x) 
2
Karena
  1310 25'
Maka
x  180 35' ,2580 35' ,....
Secara umum selesesaian dari persamaan
3 cos x  7 sin x  2
Adalah
x  180 35'n(360 0 ) dan x  2580 35'n(360 o )
2) sin ax  cos bx, tan ax  cot bx, sec ax  csc bx
Persamaan triginometri bentuk di atas dapat diselesaikan dengan menggubah
salah satu bagian dari persamaan menjadi bentuk penjumlahan atau
pengurangan dua sudut sebegaiamana yang telah dijelaskan pada bab
sebelumnya.
Untuk lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh di bawah ini,
1.
Tentukan selesaian persamaan
tan 2x  cot 3x
Jawab
Dengan mengubah
cot 3x  tan( 90 0  3x)
Persamaan
tan 2x  cot 3x
 tan 2 x  tan( 90 0  3x)
Trigonometri: Dwi Purnomo -
112
0
Karena grafik fungsi tangen mempunyai periodik 180 maka diperoleh
2 x  90 0  3x,2 x  270 0  3x,2 x  450 0  3x,2 x  630 0  3x,2 x  810 0  3x,.....
5 x  90 0 ,5 x  270 0 ,5 x  450 0 ,5 x  630 0 ,5 x  810 0 ,...
x  15 0 ,84 0 ,90 0 ,126 0 ,162 0 ,....
2.
Tentukan selesaian persamaan
cos 4x  sin 5x
Jawab
Dengan mengubah
sin( 90 0  4 x)  cos 4 x
Persamaan
12 sin x  5 cos x  13
 sin( 90 0  4 x)  sin 5x
Karena grafik fungsi sinus mempunyai periodik 360 maka diperoleh
5 x  90 0  4 x,5 x  450 0  4 x,5 x  810 0  4 x,...5 x  (90 0  n360 0  4 x)
9 x  90 0 ,9 x  450 0 ,9 x  810 0 ,9 x  (90 0  n.360 0 )
x  10 0 ,50 0 ,90 0 ,...(10 0  n.40 0 )
Soal-soal
Tentukan selesaian persamaan trigonometri berikut ini.
1) sin x  3 cos x  2
2) 4 sin x  3 cos x  5
3) 12 sin x  5 cos x  13
4) 2 sin x  3 cos x  5
5) 3sin x  4 cos x  2
6) 4 sin x  5 cos x  5
7) sin x  5 cos x  3
8) 3sin x  7 cos x  2
9) sin 3x  cos 2x
Trigonometri: Dwi Purnomo -
113
10) sin 5x  cos 3x
11) tan 3x  cot 2x
12) sec 5x  csc x
 3x 
2
13) cot  4   tan  3  x
 3x 
 5x 
14) csc 5   sec 8 
Trigonometri: Dwi Purnomo -
114
6.3 Persamaan-persamaan Trigonometri Bersyarat
6.4 Invers Fungsi Trigonometri
6.5 Identitas dalam Invers Fungsi Trigonometri
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)
adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan
fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki
hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa
hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Daftar isi
[sembunyikan]









1 Sejarah awal
2 Trigonometri sekarang ini
3 Hubungan fungsi trigonometri
4 Identitas trigonometri
5 Penjumlahan
6 Rumus sudut rangkap dua
7 Rumus sudut rangkap tiga
8 Rumus setengah sudut
9 Lihat pula
[sunting] Sejarah awal
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan
peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India
adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung
astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal
sampai sekarang yang menggunakan geometri dan trigonometri untuk
penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar
hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Trigonometri: Dwi Purnomo -
115
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri
untuk menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan
penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang
berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke
dalam bahasa Inggris dan Perancis.
[sunting] Trigonometri sekarang ini
Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang
digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang terdekat,
dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi
satelit.
Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan
termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik,
analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan
medis/medical imaging (CAT scan dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka
(dan termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang
dalam ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik
listrik, teknik mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan
"quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri
rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas
New South Wales. Informasi lebih lanjut bisa dilihat di situs webnya [1].
[sunting] Hubungan fungsi trigonometri
Trigonometri: Dwi Purnomo -
116
Fungsi dasar:
[sunting] Identitas trigonometri
[sunting] Penjumlahan
[sunting] Rumus sudut rangkap dua
Trigonometri: Dwi Purnomo -
117
[sunting] Rumus sudut rangkap tiga
[sunting] Rumus setengah sudut
IDENTITAS TRIGONOMETRI
1. Rumus – rumus yang perlu dipahami:
a. Rumus Dasar yang merupakan Kebalikan
1
sin 
1
 sec  
cos 
1
 cot  
tan 
 cos ec 
b. Rumus Dasar yang merupakan hubungan perbandingan
Trigonometri: Dwi Purnomo -
118
sin 
cos 
cos 
 cot  
sin 
 tan  
c. Rumus Dasar yang diturunkan dari teorema phytagoras
 Cos 2  Sin 2  1
 1  tan 2   sec 2 
 1  Cot 2  Co sec 2 
Contoh 1
Buktikan identitas berikut:
a. Sin α . Cos α . Tan α = (1 – Cos α) (1 + Cos α)
Jawab:
Ruas kiri
= Sin α . Cos α . Tan α
Sin 
= Sin α . Cos α .
Cos
= Sin2 α
= 1 – Cos2 α
= (1 – Cos α) (1 + Cos α)
Terbukti!
b. Sin β . Tan β + Cos β = Sec β
Jawab:
Ruas Kiri
= Sin β . Tan β + Cos β
Sin 
= Sin β .
+ Cos β
Cos
= Ruas Kanan
Sin 2  Cos 2 

Cos
Cos
1
=
 Sec β = Ruas Kanan Terbukti
Cos
=
2. Persamaan Trigonometri
a. Persamaan Trigonometri Sederhana
Trigonometri: Dwi Purnomo -
119

Jika Sin x = Sin α
X1 = α + k . 360o
X2 = (180o – α) + k . 360o
 Jika Cos x = Cos α
X1 = α + k . 360o
X2 = - α + k . 360o
 Jika Tan x = Tan α
X = α + k . 180o
K Є bilangan bulat
Contoh 2
Tentukan himpunan Penyelesaian dari Persamaan Sin x =
1 o
, 0 ≤ x ≤ 360o
2
Jawab:
1
2
Sin x = Sin 30o
x = 30o + k . 360o
untuk k= 1
↔x
= 30o
untuk k = 2 ↔ x
= (180o – 30o) + k . 360o
= 150o
o
o
HP:{30 , 150 }
Sin x =
b. Persamaan Trigonometri dalam bentuk a cos x + b sin x =
c
Cara penyelesaian persamaan tersebut di atas sebagai
berikut:
k Cos x (x - α) = c
a2  b2
b
α = arc tan
a
dan syarat supaya penylesaian ada yaitu c2 ≤ a2 + b2
dengan
k=
Contoh 3
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan:
Cos y – Sin y = 1, jika 0o ≤ y ≤ 360o
Jawab:
Cos y – Sin y = 1
↔
a = 1; b = - 1 ; c = 1
a 2  b 2  12   1  2
a
1
Tan α = 
= - 1 ↔ α dikuadran IV
b 1
α = 315o
Sehingga diperoleh k =
2
Trigonometri: Dwi Purnomo -
120
jadi Cos y – Sin y = 1
↔ 2 Cos (x – 315o) = 1
1
↔
Cos (x – 315o) =
2
2
↔
Cos (x – 315o) = Cos 45o
↔
(x – 315o)
= 45o + k . 360o
↔
x = 360o + k . 360o
↔
x = 360o
Atau (x – 315o)
= - 45o + 360o
x = 270o + k . 360o
x = 270o
HP:{270o, 360o}
Trigonometri: Dwi Purnomo -
121