geometri netral

Geometri Netral ?
• Geometri yang dilengkapi dengan sistem
aksioma-aksioma insidensi, sistem
aksioma-aksioma urutan, sistem aksioma
kekongruenan (ruas garis, sudut, segitiga)
dan sistem aksioma-aksioma archiemedes
A. Jumlah Sudut dalam Segitiga
• Teorema 1
Jumlah dua sudut dalam segitiga kurang dari
1800.
Bukti:
Bukti Teorema 1
F
B
2’
3
E
2
1
A
4
3’
C
Bukti Teorema 2
Teorema 3
Jumlah sudut segitiga sembarang kurang
dari atau sama dengan 1800.
Bukti:
Bukti Teorema 3
Bukti Teorema 3
Definisi: Sebuah segiempat dinamakan persegi
panjang apabila besar setiap sudutnya 900.
Oleh karena geometri yang kita bicarakan
adalah geometri netral yang tidak menganut
aksioma kesejajaran euclides, maka sifat-sifat
dalam persegi panjang yang kita kenal harus
dibuktikan tidak dengan menggunakan sifatsifat yang ada pada persegi panjang.
Teorema 1
Jika ada sebuah persegi panjang dalam
geometri netral, maka akan ada juga sebuah
persegi panjang dengan salah satu sisinya lebih
panjang dari ruas garis tertentu.
Bukti:
Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan
ruas garis yang diketahui adalah XY. Harus
dibuktikan adanya persegi panjang dengan
panjang salah satu sisi melebihi XY.
Bukti Teorema 1
B
C
C1
A
D
D1
x
C2
Cn
Dn
D2
Y
Perpanjang AD sampai DD1 sehingga AD = DD1. Perpanjang BC
sampai CC1 sehingga BC = CC1. Artinya ada D1 dengan ADD1
sehingga panjang AD = DD1 dan ada C1 dengan BCC1 sehingga
panjang BC = CC1. Tarik C1D1 maka AD1C1B adalah sebuah
persegi panjang. Proses ini kita lanjutkan. Jadi ada D2 dengan
DD1D2 sehingga panjang DD1 = D1D2 dan ada C2 dengan CC1C2
sehingga CC1 = C1C2. Tarik C2D2 maka AD2C2B suatu persegi
panjang. Menurut aksioma archimides (aksioma kekontinuan),
ada Dn sehingga ADn = n x AD dan ADn > XY, maka ADnCnB suatu
persegi panjang. Persegi panjang inilah yang dicari.
Teorema 2
Jika ada sebuah persegi panjang dalam
geometri netral maka ada persegi panjang
yang panjangnya dua sisi yang bersisihan
masing-masing melebihi panjang dua ruas
garis yang diketahui.
Bukti:
Andaikan diketahui persegi panjang ABCD dan
ruas garis XY dan PQ.
Bukti Teorema 2
G
H
Q
C
B
P
A
E
D
X
F
Y
Dengan menggunakan teorema 1 dua kali maka kita
peroleh persegi panjang ABEF dengan AF > XY. Kemudian
ada persegi panjang AGHF dengan AG > PQ. Maka
persegi panjang AGHF adalah persegi panjang yang dicari
Teorema 3
Jika dalam suatu geometri netral ada persegi
panjang, maka jumlah besar sudut-sudut dalam
segitiga siku-siku sama dengan 1800
Bukti :
Prosedur pembuktiannya adalah dengan cara
menunjukkan bahwa:
1. Setiap segitiga siku-siku adalah tiruan dari segitiga
yang dibentuk dengan cara membelah persegi panjang
pada diagonalnya.
2. Segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut 1800
Bukti Teorema 3
 Misalkan segitia ABC siku-siku
di B, menurut teorema 2, maka
terdapat persegi panjang A’B’C’D’ sedemikian hingga A’B’ = AB dan
B’C’ = BC.
Hubungkan A’ dan C’, maka segitiga ABC kongruen dengan
segitiga A’B’C’.
Sehingga kedua segitiga tersebut mempunyai jumlah sudut yang
sama.
Perhatikan gambar berikut:
A
D’
A’
p
B
C
B’
q
C,
Bukti Teorema 3
 Misalkan p adalah jumlah sudut segitiga ABC dan
q adalah jumlah sudut segitiga A’B’C’
 maka menurut definisi segi empat semua
sudutnya adalah 900, maka p + q = 4 x 900 …………
(1)
 Menurut teorema 3, maka p ≤ 1800.
 Andaikan p < 1800.
 Sedangkan menurut persamaan (1), p + q = 3600,
maka diperoleh q > 1800.
 Hal ini bertentangan dengan teorema 3.
 Jadi p = 1800 (terbukti)
Teorema 4
Jika dalam geometri netral ada persegi panjang
maka jumlah besar sudut-sudut dalam segitiga 1800
Bukti :
Perhatikan gambar berikut:
C
A
D
B
Bukti Teorema 4
• Akan ditunjukkan segitiga ABC memiliki jumlah sudut 1800.
• A + B + C = 1800
 Tarik garis tinggi CD, sehingga membagi segitiga ABC menjadi
dua segitiga siku-siku yaitu segitiga ACD dan BCD.
 Jumlah sudut ACD = ABD = 1800. (menurut teorema 3)
 Sehingga
( A + C1 + D1) + ( B + C2 + D2) = 2 x 1800 = 3600
↔ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600
↔ ( A + C1 + 900) + ( B + C2 + 900) = 3600
↔ A + B ( C1 + C2) = 1800
Jadi A + B + C = 1800
(terbukti)
Teorema 5
Jika dalam geometri netral ada sebuah
segitiga dengan jumlah sudut 1800, maka akan ada
sebuah persegi panjang.
Bukti :
Bukti Teorema 5
 Perhatikan gambar berikut:
C
p
A
q
B
D
• Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut 1800.
 Pertama kita tunjukkan bahwa ada segitiga siku-siku
dengan jumlah sudut 1800.
 Potong segitiga ABC menjadi dua segitiga siku-siku yang
masing-masing mempunyai jumlah sudut p dan q,
dengan menarik garis tinggi tertentu, tulis AD.
 Maka p + q = 2 x 900 + 1800 = 3600
Bukti Teorema 5
 Kita tunjukkan p = 1800, menurut teorema 3, p =
1800
 Jika p < 1800, q > 1800 maka ini bertentangan
dengan teorema 3.
 Jadi ada dua segitiga siku-siku, misalnya segitiga
ABD dengan sudut siku-siku di D yang mempunyai
jumlah sudut 1800.
 Sekarang kita mengambil dua segitiga siku-siku,
kemudian kedua segi tiga siku-siku tersebut kita
tempelkan bersama untuk membentuk sebuah
persegi panjang.
Bukti Teorema 5
E
A
1’
2’
B
1
2
D
• Lukis segitiga BAE kongruen dengan segitiga ABD
dengan E berlainan pihk dengan D dari sisi AB,
dengan BE bersesuaian dengan AD. (lihat gambar di
atas)
• Karena jumlah sudut segitiga ABD adalah 1800, maka
Bukti Teorema 5
• 1 + 2 = 900, karena 1 = 1’, 2 = 2’, maka kita peroleh
1 + 2’ = 900 dan 1’ + 2 = 900.
• Tetapi 1 + 2’ = EAB
1’ + 2 = EAD
• Jadi EAB = EAD = 900, berarti ADBE persegi
panjang (definisi persegi panjang)
Jika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 1800, maka
setiap segitiga mempunyai jumlah sudut 1800.
Bukti :
 Diketahui sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut
1800.
 Akan ditunjukkan bahwa setiap segitiga mempunyai
jumlah sudut 1800.
 Misalkan ada sebuah segitiga yang mempunyai jumlah
sudut 1800, maka menurut teorema 5 akan ada sebuah
persegi panjang.
 Sedangkan menurut teorema 4, jika ada sebuah persegi
panjang maka setiap segitiga memiliki jumlah sudut
1800. (terbukti)
Jika sebuah segitiga ABC mempunyai jumlah sudut kurang
dari 1800, maka setiap segitiga mempunyai jumlah sudut
kurang dari 1800.
Bukti :
 Misalkan segitiga ABC mempunyai jumlah sudut < 1800,
perhatikan sebarang segitiga PQR.
Menurut teorema 1, jumlah sudut p ≤ 1800.
 Misalkan p = 1800, maka menurut akibat 1 dari teorema 5
di atas, sehingga segitiga ABC mempunyai jumlah sudut
1800.
Hai ini bertentangan dengan pemisalan di atas.
Jadi yang benar adalah p < 1800.
Proposisi-proposisi Geometri Netral
1.Dua garis yang tidak berhimpit mempunyai
paling banyak satu titik potong.
2.Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titik
tengah.
3.Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi.
4.Komplemen dari sudut-sudut yang sama
adalah sama.
5.Sudut yang bertolak belakang besarnya sama.
Proposisi-proposisi Geometri Netral
6. Kongrensi dua segitiga adalah SS-SD-SS, SD-SS-SD,
SS-SS-SS.
7. Jika dua sisi suatu segitiga adalah sama, maka
sudut-sudut dihadapanya adalah sama.
8. Jika dua sudut segitiga sama, maka dua sisi
dihadapannya sama.
9. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu
melalui satu titik pada garis tertentu tersebut.
10. Hanya ada satu garis yang tegak lurus garis tertentu
melalui satu titik diluar garis tertentu tersebut.
Proposisi-proposisi Geometri Netral
11. Titik T terletak pada sumbu segmen garis AB jika dan
hanya jika TA = TB.
12. Jika dua sisi suatu segitiga tidak sama maka sudut-sudut
dihadapannya juga tidak sama, dan sudut segitiga yang
lebih besar berhadapan dengan sisi yang lebih panjang.
13. Jika dua sudut suatu segitiga tidak sama maka sisi-sisi
dihadapannya juga tidak sama, dan sisi yang lebih
panjang berhadapan dengan sudut yang lebih besar.
14. Segmen garis terpendek yang menghubungkan sebuah
titik dan sebuah garis adalah segmen yang tegak lurus.
15. Jumlah panjang dua sisi lebih besar dari sisi ketiga.
Proposisi-proposisi Geometri Netral
16.Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing
sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sudut apit
segitiga pertama lebih besar dari sudut apit segitiga
kedua, maka sisi ketiga dari segitiga yang pertama lebih
panjang dari sisi ketiga dari segitiga kedua.
17.Jika dua sisi dari segitiga yang pertama masing-masing
sama dengan dua sisi segitiga yang kedua, dan sisi ketiga
dari segitiga pertama lebih panjang dari sisi ketiga dari
segitiga yang kedua, maka sudut apit dari segitiga yang
pertama lebih besar dari sudut apit dari segitiga ke dua.
18.Besar sudut luar dari suatu segitiga adalah lebih besar
dari salah satu sudut dalamnya yang tidak bersisian
dengan sudut luar tersebut.
Proposisi-proposisi Geometri Netral
19.Jumlah dua sudut dari suatu segitiga adalah
kurang dari 1800.
20.Jika dua garis dipotong oleh garis lain dan
membentuk sepasang sudut dalam
berseberangan yang sama dua garis tersebut
sejajar.
21.Dua garis yang tegak lurus pada garis yang sama
adalah sejajar.
22.Sekurang-kurangnya ada satu garis yang sejajar
dengan suatu garis tertentu yang melalui titik di
luar garis tertentu tersebut.
Proposisi-proposisi Geometri Netral
23. Misalkan garis 1 melaui titik C yang jaraknya kepusat
lingkaran kurang dari panjang jari-jarinya maka garis
satu memotong lingkaran di dua titik.
24. Sebuah garis merupakan garis singgung lingkaran jika
dan hanya jika garis tersebut tegak lurus pada jari-jari
lingkaran.
25. Jika diketahui segitiga ABC dan segmen garis PQ
sedemikian hingga PQ=AB maka ada titik R di luar PQ
sedemikian sehingga segitiga PQR kongruen segitiga
ABC.
26. Sebuah lingkaran dapat digambarkan melalui
sebarang segitiga.
Terima kasih