bentuk alajabar

BENTUK ALJABAR
Mengenal Variabel Koefisien dan Konstanta
Perhatikan ilustrasi berikut :
Terdapat beberapa benda yaitu pensil 4 buah, lem 6 buah dan penghapus 7 buah, penulisan benda
tersebut bisa kita singkat misal : 4 P = 4 Pensil, 6 L = 6 lem, 7 H = 7 penghapus. Huruf – huruf
pengganti tersebut disebut variable, sedang angka didepannya disebut dengan koefisien.
Contoh :
Perhatikan bentuk Aljabar berikut :
1) 2 H + 4 Y – 6 P + 2
Bentuk ini disebut bentuk Aljabar suku 4 dengan Variabel : H, Y , P dan Kefisien : 2,
4, - 6. dan konmstanta 2
2) 2 X + 6 Y – 10
Bentuk ini disebut bentuk aljabar suku 3 dengan Variabel X dan Y dan koefisien 2
dan 6 dan konstanta - 10
Latihan Soal
1. Tentukan variable, konstanta, dan koefisien pada masing-masing bentuk aljabar berikut
ini :
a. 5x – 3 y + 9
b. 3x2 – 5x – 4
c. 3x3 + 2x2 + 6y + 5
2. Tuliskan suku-suku yang sejenis pada bentuk aljabar berikut :
a. -2x + 3y + 6x – 5y +7
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
b. 3ab – 5bc + 2ba – 4bc
Operasi Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk
Aljabar
1
O
perasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya dilakukan
pada suku-suku yang sejenis yaitu suku dengan variable yang sama, untuk
suku yang tidak sejenis hanya ditulis kembali saja.
Contoh 1.
Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut :
a. 2x + 3y – 10x + 5y + 12x – 5
b. 2xy + 3x2 – 3y + 3xy + 5x2 -9
Penyelesaian :
a) 2x – 10x + 12x + 3y + 5y -5
= (2 – 10 + 12 ) x + ( 3 + 5 ) y – 5
= 4x + 8y – 5
b) 2xy + 3xy + 3x2 + 5x2 – 3y – 9
= (2 + 3)xy + ( 3 + 5)x2 – 3y – 9
= 5xy + 8x2 – 3y – 9
Contoh 2.
Tentukan jumlah dari 2x2 + 3x – 2y + 4 dan 5x2 – 7x + 4y -6
Penyelesaian :
= (2x2 + 3x – 2y + 4) + ( 5x2– 7x + 4y -6)
= 2x2 + 5x2 + 3x – 7x - 2y + 4y + 4 – 6
= 7x2 – 4x – 9y – 2
Latihan Soal
1. Sederhanakan operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar berikut :
a. 2a + 3c – 6a + 5c + 10a
b. 2xy + 3y – 6x + 5xy – 2x
c. 3x3 + 2x – x3 + 2x2 + 3x
2. Jumlah dari 3x2 – 4x + 5 dan -7x2 + 2x – 8 adalah ….
3. Jumlah dari 5x2 – 4x – 2 dan 3x - 2x2 + 2x adalah ….
4. Hasil pengurangan 3x2 – 2x + 6 dari 2x2 + 5x adalah …..
5. Hasil pengurangan -2( 3x + 4 ) dari -4( 3x -1 ) adalah…..
Operasi Perkalian dan Pembagian Bentuk Aljabar
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
2
Operasi Perkalian
Operasi perkalian pada bentuk aljabar suku satu dengan suku lebih satu memenuhi sifat
berikut a ( b + c ) = ab + ac , suku dua dengan suku dua ( a + b ) ( c + d) = ac + ad + bc + cd
sifat pangkat tak sebenarnya an + am = am + n.
Contoh Soal 1 :
Tentukan penyelesaian operasi perkalian bentuk aljabar berikut
a. 2a ( 3b + 2c – 6 )
= 6ab + 4ac – 12a
b. 2x ( 5x – 2y + 3x2)
= 10x2 – 4xy + 6x3
c. ( y + 3 ) ( y – 2)
= y2 – 2y + 3y – 6
= y2 + y – 6
Operasi Pembagian
Operasi pembagian memenuhi sifat pembagian pangkat tak sebenarnya berikut
am
 a mn
n
a
Contoh Soal 2.
Selesaikan operasi pembagian bentuk aljabar berikut
21x  7 y  14
 3x  y  2
7
4y3  8y2  x 1 2
x
b.
 y y
8y
4
8y
a.
Kuadrat Suku dua
Kuadrat suku dua memenuhi sifat dari segitiga pascal berikut :
( a + b )2 = a2 + 2ab + b2
Contoh Soal 3.
Tentukan penyelesaian bentuk aljabar berikut :
a. ( y + 2 )2
= y2 + 4y + 4
b. ( 2a + 3 )2
= 4a2 + 12a + 9
c. ( 3y – 4 )2 = 9y2 - 24y + 16
Latihan Soal
1. Hasil dari -3( 6x – 5 ) adalah….
2. Tentukan penyelesaian dari
12 x  18
3
 14 y  3 x 
3. Hasil dari  2   adalah …
 6 x  2 y 
4. Selesaikanlah
5a 2 bc 3
7ab 2 c 2

24 p 3 q 2 r 18 pq 2 r
Test Uji Kompetensi I
Pilihlah satu jawaban yang tepat
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
3
1. Pada bentuk aljabar 4x2 – 2x – 1, koefisien x dan konstanta berturut-turut adalah …
a. -2 dan -1
b. 4 dan 2
c. 4 dan -1
d. -1 dan -2
c. -3x + 1
d. -3x – 1
c. -3x2 – 9x – 2
d. -3x2 – 9x – 2
3m 2
c.  2
5n
3m 2
d. 2
5n
2. Hasil dari 5 – 3( x + 2 ) adalah …
a. 2x + 4
b. 2x + 2
3. Bentuk 3x(x – 3) – 2x(x+1) + (2x – 2)
a. x2 – 9x – 2
b. x2 – 3x – 2
  3m 
4. Bentuk sederhana dari 
 adalah …
 5n 
2
9m 2
a. 
25n 2
9m 2
b.
25n 2
5. Faktor persekutuan dari suku-suku pada bentuk penjumlahan a2bx + abx + ax2 adalah …
a. abx
b. ab
c. bx
d. ax
6. FPB dari 18x2y3, 30x3y2 dan 36x4y3 adalah …
a. 4x2y2
b. 6x2y2
c. 8x2y2
d. 12x2y
7. Hasil dari (-3x + 2y )2 adalah …
a. -9x2 – 12xy + 4y2
b. 9x2 – 12xy + 4y2
c. -9x2 – 6xy + 4y2
d. -9x2 + 12xy + 4y2
8. Bentuk 2a2 – 3ab dapat difaktorkan menjadi …
a. a(2a – 3ab)
9.
b. ab(2a – 3)
c. a(2a – 3b)
d. b(2a2 – a)
Hasil pemfaktoran dari 6a2 + 8ab – 8b2 adalah …
a. (2a -2b)(3a – 4b)
b. (3a – 2b)(2a + 4b)
c. (3a + 2b)(3a - 4b)
d. (3a + 4b)(2a – 2b)
10. Bentuk sederhana dari
a.
x 1
x5
Rosid Tamami
x 2  4x  5
adalah …
x2 1
b.
x 1
x 1
Cerdas Matematika MTs 8.a
c.
x5
x 1
d.
x5
x 1
4
RELASI DAN FUNGSI
RELASI
Definisi
Relasi adalah aturan yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B,
perhatikan ilustrasi berikut :
A
“IBUKOTA DARI”
B
Bali
Surabaya
Jawa Timur
Semarang
Jawa Tengah
Bandung
Sumatera Utara
Medan
Sumatera Selatan
Denpasar
Jawa Barat
Anggota himpunan A dengan anggota himpunan B dihubungkan dengan sebuah relasi yaitu “ ibu
kota dari”.
Relasi dinyatakan dengan 3 cara yaitu :
1. diagram panah
2. himpunan pasangan berututan
3. grafik kartesius
Contoh Soal
Himpunan A = { 0,1,2,3,4} , himpunan B = {1,2,3,4,5,6} relasi dari himpunan A ke B “ kurang
dua dari “ nyatakan relasi ini dengan tiga cara
Penyelesaian
a. Diagram panah
“Kurang dua dari”
A
0
B
1
2
1
3
2
4
3
5
4
6
b. Pasangan berurutan = { (0,2), (1,3), (2,4), (3,5), (4,6)}
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
5
c.Grafik Kartesius
6
5
4
3
2
1
1
0
2
3
4
5
FUNGSI
Definisi
Fungsi adalah sebuah relasi khusus yaitu relasi yang memasangkan setiap anggota himpunan A
dengan tepat satu anggota himpunan B.
Fungsi dinyatakan dengan tiga cara
1. diagram panah
2. himpunan pasangan berututan
3. grafik kartesius
Istilah-istilah dalam Fungsi
a. Domain adalah daerah asal fungsi yaitu semua anggota himpunan A (Df)
b. Kodomain adalah daerah kawan yaitu semua anggota himpunan B
c. Range adalah daerah hasil/peta yaitu anggota himpunan B yang mempunyai pasangan
anggota himpunan A { Range C Kodomain }
Jika banyak anggota himpunan A adalah n(A) = a dan banyak anggota himpunan B adalah
n(b) = b, maka :
a. banyak pemetaan yang mungkin dari A ke B = ba
b. banyak pemetaan yang mungkin dari B ke A = ab
Contoh Soal
Dari beberapa diagram panah relasi berikut nyatakan fungsi atau bukan
A
a)
a
b
“relasi”
B
A
“relasi”
B
0
a
1
c
2
d
3
Rosid Tamami
b)
Cerdas Matematika MTs 8.a
b
0
1
c
2
d
3
6
c)
“relasi”
A
B
0
a
b
c
B
0
a
b
1
d
“relasi”
A
d)
1
2
c
2
3
d
3
Penyelesaian
a) Sebuah fungsi, memenuhi definisi fungsi
b) Bukan fungsi
c) Bukan fungsi
d) Fungsi
Latihan Soal
1. Himpunan A = { 3,4,5 } , himpunan B = { 2,4,6,8, } relasi dari A ke B adalah “ kurang
dari” nyatakan relasi tersebut dengan tiga cara !
2. Himpunan A = { 1,2,3,4 } , himpunan B = { 0,1,2,3,4,5 } relasi dari A ke B adalah
“ kurang satu dari” nyatakan relasi tersebut grafik kartesius !
3. Dari beberapa pasangan berurutan relasi berikut, jelaskan masing-masing fungsi atau
bukan
a. { (a,1), (b,1), (c,1), (d,1), (e,1)}
b. { (a,2), (a,3), (a,4), (a,5)}
c. { (a,4), (b,3), (c,2), (d,1), (a,1)}
Nilai Fungsi
Fungsi ditulis dalam notasi berikut f : x →f(x), dibaca x memetakan x f(x) atau juga
ditulis dengan notasi y = f(x), contoh notasi fungsi f(x) = 2x + 1.
Contoh Soal
1. Suatu fungsi f : x →x + 1, dengan domain = { 0,1,2,3 }, tentukan range dan diagram
kartesius
2. Suatu fungsi mempunyai rumus f(x) = 2x +2, tentukan nilai dari f(0), f(-2) dan f(2),
kemudian gambarlah dalam diagram kartesius
Penyelesaian
1. f : x →x + 1
domain = { 0,1,2,3 }
f : 0 →0 + 1
=1
f : 1 →1 + 1
=2
f : 2 →2 + 1
=3
f : 3 →3 + 1
=4
Jadi kita dapatkan range = { 1,2,3,4 }
6
5
4
3
2
1
0
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
1
2
3
4
5
7
2. Rumus fungsi f(x) = 2x +2, maka nilai
f(0) = 2(0) + 2
f(-2)
= 2(-2) + 2
f(2)
= 2(2) + 2
=0+2
= -4 + 2
=4+2
=2
= -2
=6
6
5
4
3
2
1
-2 -1 0
--1
-2
1
2
3
Latihan Soal
1. Diberikan sebuah fungsi f(x) = 3x – 2 dengan domain = { 1,2,3, ... } maka daerah hasil dari
fungsi tersebut adalah ...
a. { 1,3,5, ... }
b. { 1,4,7, ... }
c. { 1,-1,-3,... }
d. { 5,8,11, ... }
2. Pasangan berikut yang merupakan fungsi adalah ...
a. { (1,4),(1,5),(1,6),(1,7) }
b. { (1,4),(2,6),(3,4),(3,6) }
c. { (1,4),(2,7),(3,5),(4,5) }
d. { (1,4),(2,4),(3,5),(3,7) }
3. Range dari fungsi f(x) = 3 – 2x – x2 untuk domain bilangan asli adalah
a. { 0,3,4,5 }
b. { 0,3 }
c. { 0,3,4 }
d. { 3,4 }
4. Bayangan - 2 oleh fungsi f(x) = -x2 + 5x + 6 adalah ...
a.
-8
b. -6
c. -2
d. 0
c. 8
d. 0
5. Bayangan -2 oleh fungsi f(x) = 2x2 +8 adalah ...
a. 16
b. 12
6. Pada pemetaan f : x → 5 – x , jika daerah asalnya { -3,-2,-1,0,1,2,3,4 }, maka daerah hasilnya
adalah ...
a. { 1,2,3,4,5,6,7,8 }
b. { 2,3,4,5,6,7,8,9 }
c.{ -8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1}
d. { -9,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2}
7. Daerah hasil dari diagram panah di bawah ini adalah ...
A
1
2
Rosid Tamami
B
a
b
3
c
4
d
Cerdas Matematika MTs 8.a
a.
b.
c.
d.
{ a,b,c }
{ b,c,d }
{ a,c,d }
{ a,b,c,d }
8
D
efinisi

Garis adalah kumpulan dari tak terhingga titik.

Dari dua buah titik bisa dibuat sebuah garis lurus.
Perhatikan gambar berikut
●●● ini adalah kumpulan dari 3 buah titik, kalau kita membuat titik yang banyaknya tak
terthingga maka akan terbentuk sebuah garis, seperti berikut ini :
… dari kumpulan titik yang tidak terhingga ini akan terbentuk
sebuah garis.
Menggambar Garis
Untuk menggambar garis bisa dengan membuat dua titik yang berbeda, kemudian dua
titik tersebut dihubungkan maka akan terbentuk sebuah garis, seperti berikut ini
Dua titik P dan Q ini kalau
dihubungkan akan menjadi
sebuah ruas garis
● P
●Q
Persamaan Garis Lurus
Bentuk umum persamaan garis lurus
1. Y = m X + C
→ Persamaan garis bentuk ekplisit, contoh
a. Y = 2 X + 3
b. Y = -3X – 2
3
c. Y  X  2
5
2.
a X + b Y + C = 0 → Persamaan garis bentuk implisit, contoh
a. 2 X + 4Y – 2 = 0
b. 3 X = 2Y + 3
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
9
c. 2X + 5Y = 6
Menggambar Garis Dalam bidang Kartesius
Menggambar Titik
Untuk menentukan letak sebuah titik bisa digunakan sistem koordinat kartesius sebagai
berikut titik P (X1 , Y1) dan titik Q (X2, Y2).X1 dan X2 adalah absis dan Y1 dan Y2 adalah ordinat
Contoh :
1. Gambar lah titik-titik berikut dalam bidang kartesius. P (1,2) , Q (5,3), R (-2,3) dan
S (-5, -2)
Jawab.
4
(-2,3) ●
● (5,3)
3
2 ●P (1,2)
1
-5 -4 -3 -2 -1 0
-1
(-5,-2) ●
1 2 3 4 5
-2
-3
Latihan Soal
1. Gambarlah titik-titik berikut ini dalam bidang kartesius A (1,7), B (5,3), C ( 7,1),
D (-2,3)
2. Hubungkan titik A dengan titik B dan Titik C dengan titik D
Menggambar Garis
Dari persamaan garis bentuk ekplisit atau implisit, kita dapat menggambar grafiknya yaitu
berupa garis lurus dengan cara menentukan beberapa titik yang melaluinya kemudian saling
dihubungkan.
Contoh
1. Gambarlah garis dengan persamaan Y = 2 X + 4
Jawab
Mencari titik yang melalui persamaan dengan cara mengganti nilai X untuk menemukan
nilai Y.
X = 1 → Y = 2 (1) + 4 = 6 → titik yang dilalui ( 1, 4)
X = 2 → Y = 2 (2) + 4 = 8 → titik yang dilalui ( 2, 8), gambar titik dalam
bidang kartesius kemudian dihubungkan seperti berikut :
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
10
8
4
Y=2X+4
Latihan Soal
1. Gambarlah persamaan persamaan garis berikut dalam bidang kartesius
a) Y = 2 X + 1
b) Y = 3 X – 5 c) Y = - 2 X + 1 d) Y = -4 X -1
2. Gambarlah garis dengan persamaan berikut ini :
a) 2y – 3 x + 6 = 0
b) 4y + 2 x = 8
c) 2y + 5 x = 10 d) 3y = 12 – 6 x
GRADIEN GARIS
Gradien Garis
Gradien Garis adalah ukuran kemiringan/kecondongan suatu garis disimbolkan dengan m
dirumuskan dengan perbandingan komponen y dan komponen x sebagai berikut
m=
y
x
Perhatikan garis berikut ini :
4
Komponen y =4
Gradien garis ini adalah
y
4
m
 2
x
2
jadi gradien garis ini 2
2
Komponen x = 2
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
11
Menentukan Gradien Garis dari Persamaan
Persamaan Y = m X + C gradien dari persamaan garis ini adalah m
Contoh :
1. Tentukan gradien garis dengan persamaan y = - 3 X + 2
Jawaban :
Gradiennya = -3
Persamaan garis dengan bentuk a x + b y + c = 0, untuk mencari gradiennya dirumuskan sebagai
berikut m 
a
. Contoh.
b
1. Tentukan gradien garis dengan persamaan 3x + 6 y + 8 = 0.
Jawaban :
a = 3, b = 6, maka gradiennya :
m
 3 1

6
2
Kita juga bisa menentukan nilai gradien garis dari dua buah titik yang dilalui garis tersebut, jika
sebuah garis melalui dua titik yaitu titik A (X1,Y1) dan titik B (X2, Y2) maka gradien garis bisa
ditentukan dengan rumus m 
y 2  y1
x 2  x1
Contoh :
1. tentukan gradien garis yang melalui titik berikut A ( 2,3) dan B (5,6)
Jawab :
X1 = 2, Y1 = 3 dan X2 = 5 , Y2 = 6 maka gradiennya :
63 2
 1
52 2
 gradiennya 1
m
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
12
Test Uji Kompetensi 3
I. Selesaikan Soal-soal Berikut dengan singkat dan jelas
1. tentukan gradien garis dari persamaan garis berikut ini :
a. y = 2 x + 2
b. y = -3 x + 7
1
x 4
2
c.
y
d.
y 
5
x3
4
2. tentukan gradien dari persamaan garis berikut ini :
a.
2x+8y=2
b. 3 x – 5 y = 4
c. 2y = 6 x -7
3. tentukan gradien garis yang melalui titik-titik berikut ini
a. titik A ( 2, 7) dan titik B (1,2)
b. titik P (-3,4) dan titik Q (-5,-1)
II. Pilihlah satu jawaban yang paling tepat
1. Rumus gradien garis yang melalui titik A (x1 , y1) dan B (x2 , y2) adalah .......
a. m 
y 2  y1
x1  x2
b. m 
x1  x2
y1  y 2
c. m 
y1  y 2
x2  x1
d. m 
y 2  y1
x2  x1
2. Gradien garis yang melalui pusat koordinat dan titik A (-2,4) adalah .......
a. -8
b. -4
c. -2
d. 6
3. Gradien garis yang melalui titik A ( 3,1 ) dan titik B ( 5,-3 ) adalah .......
a. 2
b. 1
c. -2
d. -3
c. -1/4
d. -2
4. Gradien garis 4x – 2y + 3 = 0 adalah .....
a. 2
b. ½
5. Ditentukan titik A ( -2,5 ) dan B ( p, -4 ), jika gradien garis yang melalui A dan B adalah -1 ,
maka nilai dari p adalah .........
a. -7
b. -6
c. 6
d. 7
c. 4
d. 12
6. Gradien garis y = -3x + 4 adalah .......
a. -3
b. -1
7. Jika gradien garis yang melalui titik A ( 6,a ) dan B ( a+2, -2 ) adalah -5/2 , maka nilai a
adalah ......
a. 8
b. 16/3
c. -16/3
d. -8
8. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu X adalah .....
a. 0
b. 1
c. -1
d. Tak terdefinisi
9. Gradien garis yang persamaannya 2 ( x-3 ) = 4 ( y-5 ) adalah .........
a. 4
b. 3
c. 3/2
d. ½
10. Sebuah garis dengan persamaan 5x + cy = 9 mempunyai gradien -1 ¼ , nilai c = ......
a. -5
Rosid Tamami
b. -4
Cerdas Matematika MTs 8.a
c. 4
d. 5
13
PERSAMAAN GARIS
Menentukan Persamaan Garis
Persamaan garis yang melalui sebuah titik A (X1,Y1) dengan gradien m dirumuskan sebagai
berikut :
Y – Y 1 = m ( X – X1 )
Contoh :
1. tentukan persamaan garis melalui titik A (3,2) dengan gradien 3
Jawab :
m = 3 , X1 = 3 dan Y1 = 2 sehingga persamaannya sebagai berikut
y  y1  m ( x  x1 )
y  2  3( x  3 )
y  2  3x  9
y  3x  9  2
y  3x  7
Persamaan garis yang melalui dua buah titik yaitu titik A (X1,Y1) dan titik B (X2,Y2) dirumuskan
sebagai berikut :
y  y1
y2  y1

x  x1
x2  x1
Contoh :
1. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2, 1) dan titik B (5,7)
Jawab :
x1  2 , y
1
 1 dan x 2  5, y 2  7 sehingga persamaan garisnya sebagai berikut :
y 1 x  2

7 1 5  2

y 1 x  2

 3 ( y  1)  6 ( x  2)
6
3
3 y  3  6 x  12
3 y  6 x  12  3
3y  6x  9
6x  9
3
y  2x  3
y 
Latihan soal
1. tentukan persamaan garis dengan gradien 5 melalui titik P (1,4)
2. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2, -3 ) dengan gradien -2
3. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (6,2 ) dengan gradien
2
3
4. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (1,5) dan titik B (5,9)
5. tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2,3) dan titik B (-2,-5)
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
14
Hubungan antara dua buah Garis
Dua garis yang sejajar mempunyai gradien sama m1 = m 2
Dua garis yang saling tegak lurus mempunyai gradien yang berbeda dan memenuhi hubungan
m1 x m2 = -1 atau m1 =
1
.
m2
Contoh
1. dari dua buah persamaan garis berikut ini tunjukkan apakah keduanya sejajar atau tegak
lurus
a. garis y = 2 x + 4 dan garis 4 x – 2 y + 8 = 0
b. garis y = 3 x + 3 dan garis x + 3y + 6 = 0
Jawab
Untuk mengetahui kedudukan dua garis tersebut cukup dengan dicari gradiennya seperti
berikut :
a. y = 2 x + 4 → gradiennya = 2 dan 4 x – 2 y + 8 = 0 → gradiennya =
4
 2 , karena
2
kedua gradien sama maka kedudukan dua garis sejajar.
b. y = 3 x + 3 , gradiennya = 3 dan x + 3y + 8 = 0 gradiennya =
tersebut kalau dikalikan  3 x
1
, kedua gradien
3
1
  1 , sehingga kita simpulkan dua buah garis ini
3
saling tegak lurus.
Menentukan Persamaan Dua buah Garis yang saling sejajar atau saling Tegak Lurus
Garis yang melalui sebuah titik ( X1, Y1) dan sejajar atau tegak lurus garis lain kita cari
menggunakan rumus
Y – Y 1 = m2 ( X – X1)
Contoh.
1. Tentukan persamaan garis yang melalui titik A (2,3) dan sejajar garis dengan persamaan y
=3X-6
2. Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-3,1) tegak lurus garis dengan persamaan x
+3y=5
Jawab
1. y = 3 X – 6 → gradiennya = 3, → m1 1= 3 , garis yang dicari sejajar → m2 = 3 melalui titik
A (2,3) → X1 = 2 , Y1 = 3 , sehingga persamaannya dicari sebagai berikut :
Y – Y1 = m2 ( X – X1) → Y – 3 = 3 ( X – 2 ) → Y – 3 = 3 X – 6
Y=3X–6+3
Y=3X–3
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
15
2. x + 3 y = 5,
 m1 
1
1
,  gradien garis kedua m1 x m2  1
x m 2   1 m 2  3
3
3
melalui titik A (-3,1) → X1 = -3, Y1 = 1 sehingga persamaanya dicari seperti berikut ini :
Y – Y1 = m2 ( X – X1) → Y – 1 = 3 ( X – (-3)) → Y – 1 = 3 ( X + 3)
Y–1=3X+9
Y =3X+9+1
Y = 3 X + 10
RANGKUMAN MATERI
1
Gradien garis
Gradien garis melalui titik A ( X1,Y1) dan B (X2,Y2)
Gradien garis dengan persamaan y = m x + c
m
y
x
y 2  y1
x2  x1
Gradien = m
a
b
Gradien garis dengan persamaan ax + by + c = 0
m
Dua garis sejajar gradiennya sama
m1  m 2
Dua garis tegak lurus gradiennya berbeda
2
m=
m1 x m 2  1
Persamaan garis dengan gradien m melalui titik A ( X1, Y1) Y – Y1 = m (X – X1)
yy
3
Persamaan garis melalui dua titik, A ( X1, Y1) dan B ( X2,
Y2)
y 2  y1

x  x1
x2  x1
Latihan Soal
1. Tentukan persamaan garis melalui titik A(3,5) sejajar garis dengan persamaan y = 3X +1
2. Tentukan persamaan garis melalui titik A (-2,4) sejajar garis dengan persamaan 2y = 8X –
4
3. Tentukan persamaan garis melalui titik A (2,3) tegak lurus garis dengan persamaan
1
y  x5
4
4. Tentukan persamaan garis melalui titik A (3,-4) tegak lurus garis dengan persamaan 3X +
6y + 2 = 0
5. Tentukan persamaan garis melalui titik A (-3,-1) sejajar garis yang melalui titik A (2,3)
dan B (5,9)
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
16
Latihan Ulangan Bab
1. Gradien garis yang sejajar dengan sumbu y adalah .....
a. nol
b. Tak tentu
c. Hasil kalinya -1
d. Tidak didefinisikan
2. Gradien garis yang sejajar dengan garis 2x = 4y – 2 adalah ............
a. -2
b. ½
c. 2
d. 4
3. Jika gradien garis yang melalui titik P ( -3, 4a ) dan Q ( 9, a ) adalah 2, maka nilai a
adalah .......
a. -7
b. -8
d. – 10
c. -9
4.
Persamaan garis dari grafik disamping adalah …..
2
O
-5
a. 5y = 2 x + 10
b. 5y = 2x – 2
c. 2y = 5x + 4
d. 2y = 5x - 2
5. Persamaan garis yang melalui titik ( 3, -4 ) dan bergradien – 3 adalah .........
a. y = -3x – 5
b. y = -3x + 5
c. y = 3x + 5
d. y = 3x – 5
6. Persamaan garis yang melalui titik A ( -3, 4 ) dan B ( 2, -5 ) adalah ......
a. 5x – 9y = 7
b. 5x + 9y = 7
c. 9x – 5y = -7
d. 9x + 5y = -7
7. Pasangan garis berikut yang tidak saling sejajar adalah ........
a. y = 2x – 1 dan 2 x – y + 2 = 0
b. y = -2
dan
y=1
c. x - 3y + 3 = 0 dan 3 x - y + 3 = 0
d. 2x + y = 0
dan
4x + 2y = 3
8. Persamaan garis yang melalui titik ( -4,0 ) dan tegak lurus garis y = 2x + 5 adalah ....
a. 2y + x = 4
b. 2y + x = -4
c. y + 2x = 4
d. y + 2x = -4
9. Persamaan garis yang melalui titik ( 1, -3 ) dan tegak lurus garis yang melalui titik ( 3,5 )
dan ( -2, 1 ) adalah .....
5
7
a. y   x 
4
4
5
7
c. y  x 
4
4
10.
0
3
5
7
b. y   x 
4
4
5
7
d. y  x 
4
4
Persamaan garis yang sejajar dengan gambar garis disamping
adalah ……
a. 3 x + 5 y - 15 = 0
b. 3 x - 5 y - 15 = 0
c. 10 x - 6 y - 30 = 0
d. 10 x + 6y - 30 = 0
-5
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
17
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Persamaan linier dua variabel adalah sebuah persamaan linier yang mempunyai dua buah
variabel sekaligus, misalnya 2x + 3y = 10, persamaan ini mempunyai dua variabel yaitu x dan y ,
koefisien 2,3dan sebuah konstanta yaitu 10. Menyelesaikan persamaan linier dua variabel berarti
mencari pasangan dua bilangan pengganti x dan y sekaligus sehingga persamaan linier tersebut
menjadi kalimat matematika yang bernilai benar.
Contoh Soal.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 4x + 3y = 12 untuk x, y  C
Penyelesaian
x = 0 → 0 + 3y = 12 → y = 4 € C { penyelesaian }
x = 1 → 1 + 3y = 12 → y =
8
 C { bukan penyelesaian }
3
x = 2 → 2 + 3y = 12 → y 
4
 C { bukan penyelesaian }
3
x = 3 → 3 + 3y = 12 → y = 3 € C
{ penyelesaian }
Jadi, Himpunan Penyelesaiannya adalah { (0,4), (3,0) }
SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL
Sistem persamaan linier dua variabel atau biasa disingkat SPL2V adalah dua buah
persamaan linier dua variabel yang dibentuk menjadi sebuah sistem yang bisa kita selesaikan
bersama-sama, kemungkinan yang terjadi dalam menyelesaikan sebuah SPL2V ada tiga buah
yaitu :
1. SPL2V tidak mempunyai penyelesaian sama sekali
2. SPL2V mempunyai penyelesaian yang tak terhingga banyaknya
3. SPL2V mempunyai satu penyelesaian tunggal (trivial)
Untuk menyelesaikan sebuah SPL2V bisa kita gunakan tiga buah metode yaitu metode grafik,
metode subtitusi dan metode eliminasi.
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
18
A. Metode Grafik
Dengan metode grafik bisa segera ditentukan apakah SPL2V mempunyai penyelesaian
atau tidak, dengan cara menggambar dua buah persamaan linier tersebut dalam bidang kartesius,
kemudian diamati sehingga terdapat tiga kemungkinan sebagai berikut :
a. Dua grafik sejajar maka SPL2V tersebut tidak mempunyai penyelesaian sama sekali
b. Dua grafik berpotongan disatu titik maka SPL2V tersebut mempunyai penyelesaian
tunggal yaitu ( x,y )
c. Dua grafik berimpit satu sama lain maka SPL2V mempunyai tak terhingga penyelesaian.
b. Metode Subtitusi
Pola kerja metode subtitusi atau pengganti adalah dengan mengganti variabel dari
persamaan linier tersebut dari dua variabel menjadi satu variabel sehingga bisa ditemukan
penyelesaian untuk kedua variabel tersebut.
Contoh Soal
2 x  y  4
Selesaikanlah sistem persamaan linier berikut 
3x  4 y  17
Penyelesaian
 persamaan 1
2 x  y  4

3x  4 y  17
 persamaan 2
Ambil persamaan (1) kemudian ubah menjadi
2x – y = 4
-y = 4 – 2x
y = - 4 + 2x ................. persamaan (3)
subtitusikan persamaan (3) y = -4 + 2x ke persamaan 2
3x + 4y
= 17
3x + 4( -4 + 2x)
= 17
3x – 16 + 8x
= 17
3x + 8x
= 17 + 16
11 x
= 33
x
= 33/11
x
=3
Subtitusikan nilai x = 3 kepersamaan 1,2 atau
3 untuk mendapatkan nilai y yang sama,
missal kita ambil persamaan 3
(3) y = -4 + 2x → y
= -4 + 2 (3)
= -4 + 6
=2
Jadi Himpunan Penyelesaiannya {(3,2) }
C. Metode Eliminasi
Cara kerja metode eliminasi adalah dengan mengeliminasi atau menghilangkan salah satu
dari dua variabel sehingga yang tinggal adalah satu variabel, dengan cara menyamakan koefisien
dari salah satu variabel. Kita juga bisa menggabungkan metode subtitusi dan eliminasi untuk
menyelesaikan suatu sistem persamaan linier dua variabel
Contoh Soal
3x  2 y  8
Selesaikanlah persamaan linier berikut 
5 x  3 y  7
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
19
Penyelesaian
Susun persamaan sebagai berikut
3 x  2 y  8 x3 9 x  6 y  24
5 x  3 y  7 x 2 10 x  6 y  14

Menyamakan koefisien variabel y 2 dan 3 menjadi 6
19 x  0  38
19 x  38
38
2
19
x  2
x
Menentukan nilai y
3x  2 y  8 x515 x  10 y  40
5 x  3 y  7 x315 x  9 y  21
Jadi didapat himpunan penyelesaian { (2,1) }

0  19 y  19
19 y  19
19
1
19
 y 1
y
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
20
Latihan Ulangan
1. Nilai x yang memenuhi SPL2V 3x + y = 5 dan 2x + y = 4 adalah ...
a. 5
b. 3
c. 2
d. 1
2. Himpunan penyelesaian dari 2x + 3y = 13 dan x + 2y = 6 adalah ...
a. { -8, -1 }
b. { 8, -1 }
c. { -1,8 }
d. { -1, -8 }
3. Nilai y yang memenuhi SPL2V 2x + 3y = 7 dan 2x – 4y = 14 adalah ...
a. -2
b. -1
c. 1
d. 2
4. Harga 7 buku tulis dan 3 pensil sama dengan Rp. 11.700,- .Harga 6 buku tulis dan 5 pensil
sama dengan Rp. 11.000,-. Maka harga satu buku tulis sama dengan Rp ...
a. 1.500
b. 1.250
c. 1.000
d. 750
5. Himpunan penyelesaian dari 2x + 2y = 48 dan x – y = 6 adalah ...
a. { (16,10) }
b. { (15,9) }
c. { (14,80) }
d. { (13,7) }
6. Himpunan penyelesaian dari persamaan 2x – 5 = 7 , untuk x bilangan cacah adalah ...
a. {-6 }
b. { -1 }
c. { 1 }
d. { 6 }
7. Himpunan penyelesaian dari persamaan 5x + 3 = 2x – 9 , adalah ...
a. { -6 }
b. { -2 }
c. { 2 }
d. { 6 }
8. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + y = 6 dan 3x – y = 14 adalah ...
a. { (15,-24) }
b. { (15,24) }
c. { (5,-4) }
d. { (-5,4) }
9. Harga 5 ekor ayam dan 6 ekor itik adalah Rp.150.000,- dan harga 2 ekor ayam dan 3 ekor
itik adalah Rp. 67.500,- . Harga 6 ekor ayam adalah Rp ...
a. 65.000,-
b. 75.000,-
c. 80.000
d. 90.000
 2x  3 y  2 1
 3  4  2
10. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 
adalah ...
x  2  2y  3  5 1
 2
4
4
a. { (-4,-6) }
Rosid Tamami
b. { (4,6) }
Cerdas Matematika MTs 8.a
c. { (-6,-4) }
d. { (6,4) }
21
TEOREMA PYTHAGORAS
A.KUADRAT DAN AKAR KUADRAT
Ingat kembali tentang konsep kuadrat dan akar kuadrat berikut
a2
=axa
a2
a
B. TEOREMA PYTHAGORAS
Perhatikan segitiga siku- siku berikut
C
c
b
a
A
B
Berdasarkan teorema pythagoras maka untuk setiap segitiga siku-siku berlaku aturan kuadrat sisi
miring (hypotenusa) sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lain.
c2
= a2 + b2
a2
= c2 – b2
b2
= c2 – a2
sehingga akan berlaku juga
Teorema ini juga berlaku sebaliknya jika sebuah segitiga memenuhi hubungan kuadrat sisi miring
(hypotenusa) sama dengan jumlah kuadrat dua sisi yang lain maka segitiga tersebut adalah
segitiga siku-siku.
Contoh Soal dan Penyelesaian
C
1.
c
6 cm
8 cm
A
Rosid Tamami
B
Cerdas Matematika MTs 8.a
Pada gambar disamping hitunglah panjang sisi BC
Jawab.
BC2 = AB2 + AC2
= 82 + 62
= 64 + 36
= 100
BC
= 100
= 10 cm
Jadi panjang sisi BC = 10 cm
22
2. Sebuah persegi panjang berukuran panjang 12 cm dan lebarnya 5 cm. Hitung panjang salah
satu diagonalnya ...
Jawab.
Berdasarkan teorema Pythagoras maka
a2
a cm
5 cm
12 cm
= 122 + 52
= 144 + 25
= 169
a
= 169
= 13
Jadi panjang diagonal persegi panjang 13 cm
3. Sebuah tangga yang panjangnya 5 m bersandar pada tembok. Jarak ujung bawah tangga
terhadap tembok = 3 m . Hitunglah tinggi tembok yang dapat dicapai oleh tangga
Jawab.
Berdasarkan teorema Pythagoras maka
t2
= 52 – 32
= 25 – 9
= 16
t
= 16
=4
5m
tm
Jadi, tinggi tembok yang dapat dicapai tangga 4 m
3m
Test Uji Kompetensi 5
Pilihlah Jawaban yang tepat
1.
C
Dari gambar disamping, pernyataan berikut ini yang benar adalah…
B
a. AC2 = AB2 + BC2
b. AB2 = AC2 + BC2
c. BC2 = AC2 - AB2
d.AC2 = BC2 - AB2
A
2. Sebuah persegi, panjang sisinya 3 cm. Panjang diagonal persegi tersebut adalah ... cm
a.
6
b.
9
d. 18
c. 12
3. Panjang hipotenusa sebuah segitiga siku-siku sama kaki adalah 20 cm. Panjang kaki-kaki
segitiga tersebut adalah ... cm
a.
40
b. 100
c.
200
d.
400
4.Keliling sebuah persegi adalah 40 cm, panjang diagonal persegi tersebut adalah ... cm
a.
80
Rosid Tamami
b. 160
Cerdas Matematika MTs 8.a
c.
200
d.
400
23
5. Panjang sisi sebuah persegi sama dengan panjang hipotenusa segitiga siku-siku yang panjang
sisi siku-sikunya 5 cm dan 12 cm. Luas persegi tersebut adalah ... cm2
a. 60
b. 65
c. 156
d. 169
6.
Panjang AD pada gambar disamping adalah … cm
26 cm
D
C
a.
b.
c.
d.
6cm
A
D
7.
8 cm
B
16 cm
C
Panjang AD pada gambar disamping adalah … cm
a.
b.
c.
d.
10 cm
10 cm
A
12
18
20
24
B
6
7
8
9
7. Panjang alas segitiga samakaki 10 cm, dan panjang panjang sisi yang sama 13 cm. Luas
segitiga tersebut adalah ... cm2
a. 130
b. 65,5
c. 65
d. 60
8. Diketahui ukuran-ukuran sisi suatu segitiga sebagai berikut :
(i)
3 cm, 4 cm, 5 cm
(ii)
3 cm. 4 cm, 6 cm
(iii)
6 cm, 8 cm, 12 cm
(iv)
6 cm, 8 cm. 13 cm
Dari ukuran-ukuran tersebut manakah yang dapat membentuk segitiga tumpul adalah ...
a. (i) dan (ii)
b. (ii) dan (iii)
c. (i), (ii) dan (iii)
d. (ii), (iii) dan (iv)
9. Sebuah kebun berbentuk persegi panjang dengan ukuran 3x meter dan 4x meter. Bila panjang
diagonalnya 50 m, maka nilai x adalah ... cm
a. 100
b. 164,3
c.
208,3
d.
357,1
10. Pada segitiga PQR berlaku PR2 = QR2 – PQ2, maka segitiga PQR adalah segitiga ...
a. siku-siku dititik P
b. siku-siku dititik Q
c. siku-siku dititik R
d. tumpul dititik Q
Rosid Tamami
Cerdas Matematika MTs 8.a
24