PERTEMUAN IVa Proses berpikir kreatif adalah pemikiran yang menghasilkan metode baru, konsep baru, pengertian baru, temuan baru dan pekerjaan baru. Ada 5 tahapan berpikir kreatif : 1. Orientasi masalah di rumuskan dan berbagai aspek di identifikasi 2. Preparasi pikiran berusaha untuk mengumpulkan sebanyak mungkin informasi yang relevan dengan masalah. 3. Inkubasi pikiran beristirahat sejenak ketika menghadapi jalan buntu, proses pemecahan berlangsung terus dalam jiwa bawah sadar. 4. Iluminasi akhir masa inkubasi, diperoleh ilham, gagasan untuk pemecahan masalah. 5. Verifikasi pengujian secara kritis dan penilaian setiap langkah pemecahan masalah Contoh : Kisah penemuan hukum Archimedes Suatu hari Archimedes mendapat perintah dari rajanya untuk meneliti apakah mahkota raja tersebut terbuat dari emas murni atau tidak (tanpa harus meleburnya). 1. Orientasi Archimedes mulai berpikir, bagaimana cara menentukan jenis logam pembuat mahkota itu tanpa merusaknya. 2. Preparasi. Lalu ia meneliti berbagai cara menganalisis logam, seperti cara : Kimia, Fisika dll. 3. Inkubasi. Semua cara tidak mungkin dilakukan karena dapat merusak mahkota raja, Archimedes menyingkirkan masalah itu untuk sementara waktu 4. Iluminasi. Suatu hari ketika mandi, di bak mandinya ia merasakan tubuhnya terapung, saat itulah ia menemukan pemecahan persoalan yang dihadapinya. Ia melonjak gembira dan dalam keadaan telanjang berlari ke jalan sambil berteriak :” Eureka, eureka”.(saya menemukan nya, saya menemukannya). 5. Verifikasi. Setelah itu ia menguji apa yang di temukannya, yang di kemudian hari di kenal dengan hukum Archimedes Tugas Kelompok Untuk di Presentasikan Pada Pertemuan ke 5 Presentasikanlah pengalaman anda tentang : “ Proses berpikir kreatif “ Yang sangat berkesan dalam kehidupan anda. PERTEMUAN IVb Metoda Pembuktian dlm Matematika Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam matematika yaitu : Bukti langsung Metoda pembuktian yang diperlukan untuk menyatakan kebenaran suatu hasil matematika yang berbentuk teorema, implikasi, biimplikasi dll. Contoh : Buktikan bahwa jika x ganjil, maka x2 juga bilangan ganjil. Jawab : x bilangan ganjil, x = 2n + 1, n bilangan bulat. akibatnya x2 = ( 2n + 1 )2 = 4n2 + 4n + 1 = 2(2n2 + 2n) + 1 2n2 = bulat 2n = bulat jadi 2n2 + 2n = bulat jadi 2(2n2 + 2n) + 1 = ganjil, x2 ganjil. Bukti Tak Langsung Suatu implikasi dapat dibuktikan secara tak langsung dari kontra positip, karena implikasi ekivalen dengan kontrapositipnya. pqΞ~q~p Contoh : Jika hasil kali dua bilangan adalah ganjil maka kedua bilangan tersebut ganjil. Jwb : Implikasi : Kontra positip : x.y ganjil x ganjil dan y ganjil x genap atau y genap x.y genap x = 2n = genap, n bilangan asli Maka x.y = 2n.y = 2(n.y) = genap karena kelipatan 2 Dengan demikian kontrapositipnya benar sehingga Implikasinya juga benar. Bukti dengan Kontradiksi Digunakan sebagai alternatif terakhir dalam kasus bukti langsung dan tak langsung tidak dapat digunakan. Dari soal p q Kita misalkan ~ q benar, artinya pemisalan ini akan menghasilkan sesuatu yang bertentangan dengan sesuatu yang kita anggap benar. Karena konsistensi dalam matematika, berarti ~ q salah sehingga ~ (~ q) benar. Contoh : Jika x2 = 2 maka x bukan bilangan rasional. x2 = 2 x bukan rasional Misalkan x bilangan rasional maka x = m/n, m = bilangan bulat, relatif prima n = bilangan asli, relatif prima Relatif prima berarti bahwa m dan n tidak mempunyai faktor persekutuan selain satu.( contoh 2/4 dan 3/6 di tulis ½ ) x2 = 2 = m2/n2 2n2 = m2, 2n2 genap maka m2 genap sehingga m genap Karena m dan n relatif prima maka n harus ganjil (1) m genap maka m = 2k, k = bilangan bulat m2 = 4k2 juga genap, padahal 2n2 = m2 , jadi 2n2 = 4k2 atau n2 = 2k2 berarti n2 genap sehingga n genap (2). Hasil (1) dan (2) bertentangan hal ini disebabkan oleh pengandaian bahwa x bilangan rasional. jadi tidak mungkin terdapat bilangan rasional yang kuadratnya sama dengan 2 ( terbukti ) Bukti dng Induksi Mat. Misalkan P(n) suatu pernyataan tentang bilangan asli n. Kebenaran P(n) untuk semua bilangan asli n dibuktikan dengan cara menunjukkan bahwa : 1. P(1) benar. 2. Andaikan P(n) benar maka P(n+1) juga benar. CONTOH : jwb : Buktikan ! P(n) : x2n-1 + y2n-1 habis dibagi oleh x + y untuk n = 1, maka P(1) habis dibagi x + y P(1) benar Misalkan P(n) benar, maka P(n+1) juga benar. P(n+1) = x2(n+1)-1 + y2(n+1)-1 = x2n+1 + y2n+1 = x2 x2n-1 + y2 y2n-1 = x2 x2n-1 + x2 y2n-1 - x2 y2n-1 + y2 y2n-1 = x2 (x2n-1 + y2n-1) - y2n-1(x2 - y2) Karena P(n) benar maka suku pertama habis dibagi x+y Karena x2 - y2 = (x+y)(x-y) maka suku kedua juga habis dibagi x+y P(n+1) habis dibagi x+y Tugas Perseorangan : Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, buktikan bahwa: a. 1 + 2 + 3 + …+ n = n(n+1)/2 b. 1² + 2² + 3² +…+ n² = n(n+1)(2n+1)/6 c. Buat masing-masing 2 soal dan penyelesaiannya tentang pembuktian langsung dan tak langsung Dikumpulkan pada pertemuan ke 5 Tugas kelompok : Presentasikan pada pertemuan ke 5 sebuah persoalan dan penyelesaiannya “pembuktian dengan kontradiksi” T E R I M A KA S I H