Proses Berpikir Kreatif

PERTEMUAN IVa
Proses berpikir kreatif
adalah pemikiran yang menghasilkan
metode baru, konsep baru, pengertian
baru, temuan baru dan pekerjaan baru.
Ada 5 tahapan berpikir
kreatif :
1. Orientasi
masalah di rumuskan
dan berbagai aspek di
identifikasi
2. Preparasi
pikiran berusaha untuk
mengumpulkan sebanyak
mungkin informasi yang
relevan dengan masalah.
3. Inkubasi
pikiran beristirahat sejenak
ketika menghadapi jalan
buntu, proses pemecahan
berlangsung terus dalam
jiwa bawah sadar.
4. Iluminasi
akhir masa inkubasi,
diperoleh ilham, gagasan
untuk pemecahan masalah.
5. Verifikasi
pengujian secara kritis dan
penilaian setiap langkah
pemecahan masalah

Contoh :
Kisah penemuan hukum Archimedes
Suatu hari Archimedes mendapat perintah
dari rajanya untuk meneliti apakah mahkota
raja tersebut terbuat dari emas murni atau
tidak (tanpa harus meleburnya).
1. Orientasi
Archimedes mulai berpikir,
bagaimana cara menentukan jenis
logam pembuat mahkota itu tanpa
merusaknya.
2. Preparasi.
Lalu ia meneliti berbagai cara
menganalisis logam, seperti cara :
Kimia, Fisika dll.
3. Inkubasi.
Semua cara tidak mungkin dilakukan
karena dapat merusak mahkota raja,
Archimedes menyingkirkan masalah
itu untuk sementara waktu
4. Iluminasi.
Suatu hari ketika mandi, di bak mandinya ia
merasakan tubuhnya terapung, saat itulah ia
menemukan pemecahan persoalan yang
dihadapinya.
Ia melonjak gembira dan dalam keadaan telanjang berlari ke
jalan sambil berteriak :” Eureka, eureka”.(saya menemukan
nya, saya menemukannya).
5. Verifikasi.
Setelah itu ia menguji apa yang di
temukannya, yang di kemudian hari di
kenal dengan hukum Archimedes
Tugas Kelompok Untuk di
Presentasikan Pada Pertemuan ke 5
Presentasikanlah pengalaman anda
tentang : “ Proses berpikir kreatif “
Yang sangat berkesan dalam
kehidupan anda.
PERTEMUAN IVb
Metoda Pembuktian dlm Matematika
Ada 4 macam pembuktian yang sering digunakan dalam
matematika yaitu :

Bukti langsung
Metoda pembuktian yang diperlukan untuk menyatakan
kebenaran suatu hasil matematika yang berbentuk
teorema, implikasi, biimplikasi dll.
 Contoh :
Buktikan bahwa jika x ganjil, maka x2 juga
bilangan ganjil.
Jawab :
x bilangan ganjil, x = 2n + 1, n bilangan bulat.
akibatnya x2 = ( 2n + 1 )2 = 4n2 + 4n + 1
= 2(2n2 + 2n) + 1
2n2 = bulat
2n = bulat
jadi 2n2 + 2n = bulat
jadi 2(2n2 + 2n) + 1 = ganjil, x2 ganjil.

Bukti Tak Langsung
Suatu implikasi dapat dibuktikan secara
tak langsung dari kontra positip, karena
implikasi ekivalen dengan
kontrapositipnya.
pqΞ~q~p
Contoh :
Jika hasil kali dua bilangan adalah ganjil
maka kedua bilangan tersebut ganjil.
Jwb :
Implikasi
:
Kontra positip :
x.y ganjil  x ganjil dan y ganjil
x genap atau y genap  x.y genap
x = 2n = genap, n bilangan asli
Maka x.y = 2n.y = 2(n.y) = genap karena kelipatan 2
Dengan demikian kontrapositipnya benar sehingga
Implikasinya juga benar.
Bukti
dengan Kontradiksi
Digunakan sebagai alternatif
terakhir dalam kasus bukti
langsung dan tak langsung tidak
dapat digunakan.
Dari soal p  q
Kita misalkan ~ q benar, artinya pemisalan ini akan
menghasilkan sesuatu yang bertentangan dengan
sesuatu yang kita anggap benar.
Karena konsistensi dalam matematika, berarti ~ q salah
sehingga ~ (~ q) benar.
Contoh :

Jika x2 = 2 maka x bukan bilangan rasional.
x2 = 2  x bukan rasional
Misalkan x bilangan rasional maka
x = m/n,
m = bilangan bulat, relatif prima
n = bilangan asli, relatif prima
Relatif prima berarti bahwa m dan n tidak mempunyai faktor
persekutuan selain satu.( contoh 2/4 dan 3/6 di tulis ½ )
x2 = 2 = m2/n2
2n2 = m2,
2n2 genap maka m2 genap sehingga m genap
Karena m dan n relatif prima maka n harus
ganjil (1)

m genap maka m = 2k, k = bilangan bulat
m2 = 4k2 juga genap, padahal 2n2 = m2 , jadi 2n2 = 4k2
atau n2 = 2k2 berarti n2 genap sehingga n genap (2).
Hasil (1) dan (2) bertentangan hal ini disebabkan oleh
pengandaian bahwa x bilangan rasional.
jadi tidak mungkin terdapat bilangan rasional yang kuadratnya
sama dengan 2 ( terbukti )

Bukti dng Induksi Mat.
Misalkan P(n) suatu pernyataan tentang bilangan asli n.
Kebenaran P(n) untuk semua bilangan asli n dibuktikan
dengan cara menunjukkan bahwa :
1.
P(1) benar.
2.
Andaikan P(n) benar maka P(n+1)
juga benar.

CONTOH :
jwb :
Buktikan !
P(n) : x2n-1 + y2n-1 habis dibagi oleh x + y
untuk n = 1, maka P(1) habis dibagi x + y
 P(1) benar
Misalkan P(n) benar, maka P(n+1) juga benar.
P(n+1) = x2(n+1)-1 + y2(n+1)-1
= x2n+1 + y2n+1 = x2 x2n-1 + y2 y2n-1
= x2 x2n-1 + x2 y2n-1 - x2 y2n-1 + y2 y2n-1
= x2 (x2n-1 + y2n-1) - y2n-1(x2 - y2)
Karena P(n) benar maka suku pertama
habis dibagi x+y
Karena x2 - y2 = (x+y)(x-y) maka
suku kedua juga habis dibagi x+y
 P(n+1) habis dibagi x+y
 Tugas
Perseorangan :
Untuk semua bilangan bulat n ≥ 1, buktikan
bahwa:
a. 1 + 2 + 3 + …+ n = n(n+1)/2
b. 1² + 2² + 3² +…+ n² = n(n+1)(2n+1)/6
c. Buat masing-masing 2 soal dan
penyelesaiannya tentang
pembuktian langsung dan tak langsung
Dikumpulkan pada pertemuan ke 5
 Tugas
kelompok :
Presentasikan pada pertemuan ke 5
sebuah persoalan dan penyelesaiannya
“pembuktian dengan kontradiksi”
T E R I M A KA S I H