Bab6 GEM [Compatibility Mode]

Dosen Mata Kuliah
Andhy Setiawan, M.Si
Menu Utama
Pendahuluan
Persamaan Maxwell
Persamaan Gelombang Elektromagnetik
Transversalitas Gelombang Elektromagnetik
Vektor Poynting dan Kekekalan Energi
Gelombang Elektromagnetik dalam Medium
Gelombang dalam Medium Konduktif
Elektron bebas dalam Konduktor dan Plasma
Pemantulan dan Pembiasan Gelombang
Elektromagnetik
Hukum Snellius
Persamaan Fresnel
Pandu Gelombang
Pandu Gelombang dengan Penampang Segi Empat
Pandu Gelombang Jalur Transmisi Koaksial
A. PENDAHULUAN
Energi dan Momentum gelombang elektromagnetik dibawa
oleh medan listrik E dan medan magnet B yang menjalar
melalui vakum.
Sumber gelombangnya berupa muatan-muatan listrik yang
berosilasi dalam atom, molekul, atau mungkin juga dalam
suatu antene pemancar radio.
Untuk medan listrik E dan medan magnet B yang berubah
dengan waktu, keberadaan E selalu disertai B, dan
sebaliknya. Keterkaitan antara E dan B dituangkan dalam
persamaan Maxwell yang mendasari teori medan magnetik.
B. PERSAMAAN MAXWELL
Persamaan Maxwell dirumuskan dalam besaran medan
listrik E dan medan magnet B. Seluruh persamaan
Maxwell terdiri dari 4 persamaan medan, yang masingmasing dapat dipandang sebagai hubungan antara medan
dan distribusi sumber, baik sumber muatan ataupun
sumber arus.
Persamaan-persamaan Maxwell
Medium
→
Vakum
1.
∇. D = ρ b
∇.
∇.E = 0
2.
∇.B = 0
∇.B = 0
3.
∂B
∇xE = −
∂t
∂B
∇xE = −
∂t
4.
∂E
∇xB = µ oε 0
∂t
Click angka untuk mengetahui penurunan rumus masing-masing
persamaan di atas
Persamaan Maxwell pertama merupakan ungkapan dari
hukum Gauss, yang menyatakan bahwa:
“ Jumlah garis gaya medan listrik yang menembus suatu
permukaan tertutup, sebanding dengan jumlah muatan yang
dilingkupi permukaan tersebut.”
Secara matematis Hukum Gauss dituliskan dengan:
→. ∧
q
∫ E . n dA = ∑ ε
→. ∧
o
1
∫ E . n dA = ε ∫ dq
o
→.
∧
1
∫ E • n dA = ε ∫ ρdV
o
∫ E . n dA = ε ∫ (ρ
→. ∧
1
f
+ ρ b )dV
o
∫ E• n dA = ε ∫ (
→.
∧
1
)
r
− ∇ • P + ρb dV
o
r
∫ E• n dA = ∫ ∇ • EdV
→.
Dari teorema divergensi
r
r
1
∫ ∇ • EdV = ∫ − ∇ • P + ρb dV
εo
(
∧
)
→


→ 
∫  ∇ •  E ε o  + ∇ • P dv = ∫ ρb dV
→
→
→
ε o E+ P = ε E = D
→
∇ • D = ρb
Persamaan Maxwell (1) dalam Medium
Untuk ruang vakum, karena tidak ada sumber maka
ρ = 0 sehingga:
r ρb
∇• E =
ε0
→
∇•E = 0
Persamaan Maxwell (1) untuk ruang vakum,
tanpa sumber muatan
Persamaan Maxwell kedua merupakan Hukum Gauss
magnetik, yang menyatakan “fluks medan magnetik yang
menembus suatu permukaan tertutup sama dengan nol,
tidak ada sumber medan berupa muatan magnetik.” Atau
dengan kata lain,” garis gaya medan magnet selalu
tertutup, tidak ada muatan magnet monopole.”
Melalui teorema Gauss, persamaan Maxwell kedua dapat
dituliskan dalam bentuk integral:
→ ∧
φB = ∫ B . n dA = 0
Dari teorema divergensi
→ ∧
→
∫ B . n dA = ∫ ∇. BdV
maka
→
∫ ∇. BdV = 0
→
∇. B = 0 Persamaan Maxwell (2) dalam medium dan vakum
Persamaan Maxwell ketiga merupakan ungkapan Hukum
Faraday-Lenz, yang menyatakan bahwa “pengaruh medan
magnet yang berubah dengan waktu.”
Secara matematis dituliskan:
→ ∧
∂φ
dengan φ = ∫ B. n dA
ε =−
∂t
→
karena
ε = ∫ E.dl
maka
∂ → ∧
∫ E.dl = − ∂t ∫ B. n dA
→
→
→ ∧
Dari teorema Stokes ∫ E .dl = ∫ ∇x E . n dA
→ ∧
∂ → ∧
∫ ∇x E . n dA = − ∂t ∫ B . n dA
→
∂B
∇x E = −
∂t
→
Persamaan Maxwell (3) dalam medium
Dan vakum.
Persamaan Maxwell keempat merupakan Hukum Ampere:
→
→
→
∧
→
B
∫ B .dl = µI dengan µ = H ; I = ∫ J . ndA
→
→
→
H
.
dl
=
I
dan J = J b + J f
∫

∧
r r 
∫ H .dl = ∫  J b + J f  n .dA


→

→

∧
∧
∂
E
∫ (∇xH ) n .dA = ∫  J b + ε ∂t  n .dA




→
∂E
∇xH = J b + ε
∂t
→
→
∂ D Persamaan Maxwell (4) dalam medium
∇xH = J b +
∂t
→
Untuk persamaan Maxwell (4) dalam vakum, yaitu:
→
∫ B.dl = µ I
0
→ ∧
r
Dari teorema Stokes ∫ B.dl = ∫ ∇x B. n dA maka
→
→ ∧
→ →
∫ ∇x B. n dA = µ ∫ J . n dA
0
→
→
∇x B = µ 0 J
→
∂E
∇x B = µ 0 ε 0
∂t
→
Persamaan Maxwell (4) dalam Vakum,
Tanpa sumber muatan
B.1. PERSAMAAN GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIK
MEDAN LISTRIK
Dari persamaan Maxwell (3):
→
∂B
∇× E = −
∂t
Ruas kanan dan ruas kiri dideferensialkan dengan
operasi rotasi, maka:
→
→
→
∂



∇ × ∇ × E  = − ∇ × B 
∂t 



Dari vektor identitas
→
→


 →
2
∇ ×  ∇ × E  = ∇ ∇. E  − ∇ E




Maka:
→
→
∂
 →

2
∇ ∇. E  − ∇ E = −  ∇ × B 
∂t 



→
Dengan ∇. E = 0 dan ∇ × B = µ 0ε 0 ∂ E sehingga
→
∂t
2
→
∂ E
2
− ∇ E = −µ 0ε 0 2
∂t
→
→
→
∂ E
∇ E = µ 0ε 0 2
∂t
2
→
2
→
2
∂
E
2
∇ E − µ 0ε 0
=0
2
∂t
→
→
1 ∂ E
∇ E− 2
=0
2
c ∂t
2
dengan c =
1
µ 0ε 0
→
2
Sehingga persamaan gelombang medan listrik
dalam bentuk diferensial:
 ∂2
∂2
∂2
1 ∂2  →
 2 + 2 + 2 − 2 2  Ex = 0
∂y
∂z
c ∂t 
 ∂x
 ∂2
∂2
∂2
1 ∂2  →
 2 + 2 + 2 − 2 2  Ey = 0
∂y
∂z
c ∂t 
 ∂x
 ∂2
∂2
∂2
1 ∂2  →
 2 + 2 + 2 − 2 2  Ez = 0
∂y
∂z
c ∂t 
 ∂x
Solusi paling sederhana:
→
→
E ( z , t ) = E 0 cos (kz − ω t )
MEDAN MAGNET
Dari persamaan Maxwell (4):
∂E
∇xB = µ oε 0
∂t
Dengan operasi rotasi:
→
→
∂ (∇ × E )


∇ ×  ∇ × B  = µ 0ε 0
∂t


→
→
∂ (∇ × E )
 →
2
∇ ∇. B  − ∇ B = µ 0 ε 0
∂t


→
→


 →
2
Karena vektor identitas ∇ ×  ∇ × B  = ∇ ∇. B  − ∇ B




Dan persamaan Maxwell (2) serta (3):
→
→
∇. B = 0 dan ∇ × E = − ∂ B
∂t
→
sehingga
→
∂ B
∇ B = µ 0ε 0 2
∂t
2
→
2
→
1 ∂ B
∇ B= 2
c ∂t 2
2
→
2
→
2
1
∂
B
2
∇ B− 2
=0
2
c ∂t
→
Maka persamaan gelombang medan magnet dalam
bentuk diferensial:
 ∂2
∂2
∂2
1 ∂2  →
 2 + 2 + 2 − 2 2  Bx = 0
∂z c ∂t 
 ∂x ∂y
 ∂2
∂2
∂2
1 ∂2  →
 2 + 2 + 2 − 2 2  By = 0
∂z
c ∂t 
 ∂x ∂y
 ∂2
1 ∂2  →
∂2
∂2
 2 + 2 + 2 − 2 2  Bz = 0
∂z c ∂t 
 ∂x ∂y
→
→
Solusinya: B( z , t ) = B 0 cos(kz − ωt )
Solusi persamaan gelombang elektromagnet untuk
medan Listrik dan medan magnet merupakan contoh
eksplisit dari gelombang datar (Plan Wave)
Bentuk umum: f (kz − ωt )
Kecepatan: v = ω
k
Bentuk muka gelombangnya
tegak lurus vektor satuan k,
maka:
∧ →
k . z = kons tan
Sifat-sifat gelombang datar:
1. Mempunyai arah jalar tertentu (dalam persamaan,
arah z).
2. Tidak mempunyai komponen pada arah rambat.
3. Tidak ada komponen E dan B yang bergantung pada
koordinat transversal (pada contoh, koordinat
transversalnya x dan y).
Sehingga solusi persamaan gelombangnya menjadi:
→
∧
∧
E = i Ex ( z, t ) + j E y ( z, t )
→
∧
∧
B = i Bx ( z, t ) + j By ( z, t )
→
∧
∧
→
∧
∧
E = j E y ( x , t ) + k E z ( x, t )
B = j By ( x, t ) + k Bz ( x, t )
B.2. TRANSVERSALITAS GELOMBANG
ELEKTROMAGNETIK
MEDAN LISTRIK
Untuk membuktikan sifat dari gelomabng datar yaitu
transversalitas,dari persamaan Maxwell (1) dan (4):
→
∇. E = 0
→
→
→
∂ E x ( z, t ) ∂ E y ( z, t ) ∂ E z ( z, t )
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
→
∂ E z ( z, t )
= 0 Ez tidak bergantung pada z (sisi spatial)
∂z
∂z
→
→
∂E
∇ × B = µ 0ε 0
∂t
→
→
→
→
∂ B y ∂ Bz
∂Ez
∂ E z ( z, t )
−
= µ 0ε 0
= 0 Sisi temporal
∂x
∂y
∂t
∂t
Yang berarti Ez tidak bergantung pada t
Jadi Ez (z,t) = konstan =0, yang berarti arah getar
dari gelombang medan listrik tegak lurus pada arah
rambatnya, karena medan listrik E hanya mempunyai
komponen-komponen pada arah yang tegak lurus
pada arah rambat.
MEDAN MAGNET
Dari persamaan Maxwell (2):
→
∇. B = 0
→
→
→
∂ B x ( z, t ) ∂ B y ( z, t ) ∂ B z ( z, t )
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
→
∂ B z ( z, t )
= 0 Sisi spatial, yang berarti Bz tidak bergantung
∂z
pada z.
Dan dari persamaan Maxwell (3):
→
∂B
∇x E = −
∂t
→
→
→
∂ E y ∂ E x ∂ B z ( z, t )
−
=
∂x
∂y
∂t
→
→
∂ B z ( z, t )
= 0 Sisi temporal, yang berarti Bz
∂t
tidak bergantung pada t.
Yang berarti arah getar gelombang medan magnet tegak
lurus terhadap arah rambatnya.
Dengan demikian maka gelombang
Elektromagnetik merupakan gelombang transversal.
Hubungan E dan B, misal menjalar dalam arah z:
→
∧
→
∧
→
∧
→
∧
∧
E = i Ex + j E y
∧
E = i E0 x cos(kz − ωt ) + j E0 y cos(kz − ωt )
∧
B = i Bx + j B y
∧
B = i B0 x cos(kz − ωt ) + j B0 y cos(kz − ωt )
→
∂B
∇x E = −
∂t ∧
∧
∧


∧

k sin( kz − ωt )  i Eoy − jEox  = −ω sin( kz − ωt )  i Box + jB0 y 




→
∧
∧

∧

∧
k  i Eoy − jEox  = −ω  i Box + jB0 y 




(
)
→
r r
− k × E = −ω B
r r
E⊥B
E=
ω
k
B
E = cB
Hubungan vektor propogasi k, medan listrik E,
dan medan magnet B ditunjukkan dengan gambar:
B.3. VEKTOR POYNTING DAN KEKEKALAN
ENERGI
Energi medan elektromagnetik merupakan jumlah dari
Energi Medan listrik dan energi medan magnet.
u = uB + uE
1
1
u=
B + ε0E2
2µ 0
2
Laju perubahan rapat energi atau perubahan rapat energi
terhadap waktu:
2
→
→
→ ∂E
du 1 → ∂ B
=
B•
+ ε 0 E•
dt µ0
∂t
∂t
Dari persamaan Maxwell (3) dan (4), maka:
→
→
→
∂E
∂B
dan ∇ × B = µ 0 ε 0
∇x E = −
∂t
∂t
→
Sehingga
→
→
du 1 → 
 1 → 

=
B • − ∇ × E  +
E•  ∇ × B 
dt µ0

 µ0


→
→
du
1 → 
 r 

= −  B•  ∇ × E  − E •  ∇ × B  
dt
µ0  



Dari vektor identitas
→
→
r r → 
 →

∇ • E × B = B•  ∇ × E  − E • ∇ × B 
maka




r r
→
du
1
du
= − ∇• E×B
+ ∇ • S = 0 Hukum Kekekalan Energi
dt
µ0
dt
→
r r
1
dengan S =
E × B disebut vektor poynting
µ0
(
(
)
)
(
)
mengungkapkan besarnya energi persatuan
waktu per satuan luas yang dibawa oleh
medan elektromagnetik
C. GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
DALAM MEDIUM
Persamaan-persamaan Maxwell
∇..D = ρ b
∇
∇.B = 0
∂B
∇× E = −
∂t
∂D
∇ × H = Jb +
∂t
C. 1 GEM DALAM MEDIUM KONDUKTIF
Dalam medium konduktif yang bebas sumber, dan dari
hubungan B = µ H dan D = ε E, persamaan
Maxwell 4 dapat ditulis:
∂D
∇ × H = Jb +
∂t
∂E
∇ × B = µJ + εµ
∂t
∂
∂
∂E
∂B
(∇ × B ) = ( µJ + εµ
), dengan ∇ × E = −
∂t
∂t
∂t
∂t
∂J
∂2E
− ∇ × (∇ × E ) = µ
+ µε 2 ,
∂t
∂t
∇ × (∇ × E ) = ∇ (∇.E ) − ∇ 2 E dan J = σE
maka
Dengan solusi :
2
∂
E
∂
E
2
− (∇(∇.E ) − ∇ E ) = µσ
+ µε 2
∂t
∂t
2
∂
E
∂
E
2
0 + ∇ E = µσ
+ µε 2
∂t
∂t
2
∂
E
∂E
2
∇ E − µε 2 − µσ
=0
∂t
∂t
E(z, t) = E0 cos (κz - ωt)
Atau dalam bentuk kompleks :
E(z, t) = E0 e-i (κz - ωt )
E(z, t) = E0 e-i (κz - ωt )
Sehingga :
2
∂
E
∂E
2
∇ E − µε 2 − µσ
=0
∂t
∂t
2
∂
∇ 2 E = 2 E0 e −i (κz −ωt ) = i 2κ 2 E0 e −i (κz −ωt ) = −κ 2 E
∂z
(
)
∂E
− i ( κz − ω t )
= iω E 0 e
= iω E
∂t
∂2E
2
2
− i ( κz − ω t )
2
= i ω E0e
= −ω E
2
∂t
-κ2E + µεω2E – µσiωE = 0
κ2E - µεω2E + µσiωE = 0
κ2= µεω2 – iµσω
Misal : κ = a + ib
κ2 = (a + ib)2 = a2 – b2 + 2abi
Dari pers κ2= µεω2 – iµσω, maka :
a2 – b2 = µεω2
a − (−
2
a −(
2
µσω
2a
µσω
2a
dan
) = µεω
2
) = µεω
2
2
2ab = - µσω
2
b=−
µσω
2a
kalikan dengan 4a2
4(a2)2 – 4µεω2a2 – (µσω)2 = 0
4(a2)2 – 4µεω2a2 – (µσω)2 = 0
Dengan menggunakan rumus akar kuadrat, diperoleh :
( a1, 2 ) 2 =
( a1, 2 ) =
2
4 µεω
µεω
2
2
2
±
1
±
2
( − 4 µεω 2 ) 2 + 4 ( 4 )( µσω ) 2
8
( µεω 2 ) 2 + ( µσω ) 2
1
1
2
( a 1 , 2 ) = ( µεω ) ± µω ε 2 ω 2 + σ 2
2
2
1
1
σ 2
2
2
2
( a 1 , 2 ) = ( µεω ) ± µω ε 1 + (
)
2
2
εω
2
1
1
σ 2
2
2
( a 1 , 2 ) = ( µεω ) ± µω ε 1 + (
)
2
εω
2
2
2

σ 
1

2
2
(a1, 2 ) = ( µεω ) 1 ± 1 + 
 
2
εω  




Karena a bilangan riil, maka a2 harus positif
sehingga dipilih:
2

1
σ 

2
2
a = ( µεω ) 1 + 1 + 
 
2
εω  




a2 – b2 = µεω2
b2 = a2 - µεω2
2

1
σ 

2
2
a = ( µεω ) 1 + 1 + 
 
2
εω  




2

1
σ  
2
2
2

b = µεω 1 + 1 + 
−
µεω

2
εω  




2
1 1

σ
 
b 2 = µεω 2  +
1 +   − 1
εω 
2 2




2
 1 1
σ 

2
2
b = µεω − +
1+ 
 
εω  
 2 2



2

µεω
σ  
2

b =
−1+ 1+ 

εω  
2 



2
Besarnya bilangan gelombang
κ = κκ* = (a + ib)(a −ib)
2
κ = a2 + b2
2


1
σ 2 1
σ 2
2
2
κ = µεω 1+ 1+ ( )  + µεω −1+ 1+ ( ) 
2
εω  2
εω 


2
σ 2
κ = µεω 1+ ( )
εω
2
2
κ merupakan fungsi dari ω. Dan karena k berkaitan
dengan cepat rambat, maka pada medium konduktif,
cepat rambat gelombang bergantung pada frekuensi.
Medium tersebut seperti medium dispersif.
Untuk medium yang berkonduktivitas tinggi, σ >>
maka
a2
a2
a2
a =

1
=
µεω 2 1 +
2


 σ  
1+ 

 εω  
2 

1
σ 

2
=
µεω 1 + 
 
2
εω  




1

2  σ
=
µεω 

2
 εω 
µσω
2
2
Sehingga :
b = −
µσω
2a
b = −
2
δ =
2
µσω
b = −
Jika
µσω
µσω
2
2
µσω
maka
a = −b =
1
δ
Dengan besaran δ disebut tebal kulit (skin depth)
Jadi
κ =a+ib=
(1−i)
δ
merupakan bilangan gelombang untuk medium
dengan konduktivitas tinggi, pada frekuensi rendah
maka solusinya :
E ( z , t ) = E0 e − i [( a +ib ) z −ωt ]
E ( z , t ) = E0 e
 1− i

−i  (
) z −ωt 
 δ

−z
E ( z , t ) = E0 e δ e
z
−i ( −ωt )
δ
Untuk medium yang konduktivitasnya rendah
(konduktor buruk), σ jauh lebih kecil dari ωε. Maka
Skin depthnya :
a =
2
µεω 
σ 2
1 + 1 + ( ) 
2 
εω 
2
Diuraikan dengan deret Maclaurin
2
3
x
x
(1+x) =1+nx+(n−1) +n(n−1)(n−2) +L
2!
3!
n
jika
σ 2
x = (
)
εω
1
2
maka :
1 111
2
(1+ x) =1+ x + . ( −1)x +..........
2 2! 2 2
1
2
1σ2 1 1 σ4
 σ 2
1+(εω)  =1+2(εω) +4(−2)(εω) +......


1
2
1σ2
 σ 2
1+(εω)  =1+2(εω) −........


Jadi,
a =
2
a =
2
µεω 2 
2
1 σ 2
1 + 1 + 2 ( εω )  + .......


µεω 2 
2
1 σ 2
 2 + 2 ( εω )  + .......


2
µσ
a2 =
4ε
µσ 2
a=
4ε
σ µ
a=
2 ε
σ µ
a=−b=
2 ε
a = −b =
dengan
1
δ
δ=
2 ε
σ µ
yang disebut skin depth
Dari solusi persamaan gelombang pada medium
konduktif yaitu :
−
z
E ( z, t ) = E0e δ e
z
− i ( −ωt )
δ
yang dapat ditafsirkan setelah menempuh jarak
sebesar δ, maka amplitudo gelombang berkurang
menjadi
dari amplitudo semula.
1
e
− 1 − i (1−ω t )
Jika z = δ maka
E ( z , t ) = E0 e e
E 0 −i (1−ωt )
E ( z, t ) =
e
e
κ
Medan Magnet : B = E
ω
B( z, t ) =
Karena a + ib = re
− iθ
maka
B( z, t ) =
a + ib
ω
Eo e
E ( z , t ) = E0 e − i [( a +ib ) z −ωt ]
−i [( a + ib ) z −ωt ]
b
dengan r = a + b , dan θ = tan  
a
2
a +b
2
ω
2
2
Eo e −i [( a +ib ) z −ωt +θ ]
Jadi medan listrik (E) dan medan magnet (B)
tidak lagi mempunyai fase yang sama
−1
Kecepatan fase:
a =
2
µεω 2 
2
k
a2 =
2
k
a=
2
2
σ 2
1 + 1 + ( ) 
εω 


σ 2
1 + 1 + ( ) 
εω 


σ 2
1 + 1 + ( ) 
εω 

1
2
dengan kv = ω, dan karena a > k , maka kecepatan fase
pada medium konduktif < v di udara/non konduktif
Besarnya vektor poynting untuk medium
konduktif, yaitu :
1 r r
S = ( E × B)
dengan
µ
1 κ 
S = E( E)
µ ω 
S =
S=
1
µω
1
µω
κE
2
2 − 2 i (κz −ωt )
( a + ib ) E0 e
κ
B =
E
ω
S=
(a + ib)
µω
2 − 2 i [( a + ib ) z −ωt ]
E0 e
 a2 + b2  2 −2i (a+ib) z −ωt +θ2 

S =
 E0 e 
 µω 
1
Untuk medium konduktif a = −b =
δ
maka
Faktor
 a2 + b2  2 −2 z −2i  δz −ωt +θ2 

S =
 E0 e δ e 
 µω 
e
−2
z
δ
merupakan faktor redaman dalam perambatan energi.
C. 2 ELEKTRON BEBAS DI DALAM KONDUKTOR
DAN PLASMA
Elektron bebas di dalam konduktor tidak terikat
pada atom dan molekul sehingga dapat digunakan
persamaan Maxwell 3, yaitu :
∂B
∇× E = −
∂t
2
∂
E
∂J
2
− ∇ E = −µ0ε 0 2 − µ0
∂t
∂t
-
2
∂
E
∂J
2
∇ E − µ0ε0 2 − µ0 = 0
∂t
∂t
(1)
Gerakan elektron :
dv
m
= qe E dengan v = kecepatan elektron
dt
Ruas kiri dan ruas kanan dikalikan dengan Nqe
∂ (vqe N )
m
= N (qe ) 2 E dan J = vqeN, maka :
∂t
∂J
m
= N ( q e ) 2 E ........( 2 )
∂t
Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1)
∂E
(Nqe )
∇ E − µ0ε0 2 − µ0
E =0
∂t
m
2
2
2
Sehingga :
2
2
N
(
q
)
∂
E
e
∇2 E − µ0ε 0 2 − µ0
E =0
∂t
m
dan
E ( z , t ) = E 0 e − i ( kz − ω t )
∇ E = i k E0e
2
2
2
− i ( kz − ωt )
= −k E
2
∂E
− i ( kz − ω t )
= iω E 0 e
= iω E
∂t
maka,
∂ 2 E 2 2 −i(kz−ωt )
2
=
i
ω
E
e
=
−
ω
E
0
2
∂t
N (qe ) 2
− k E + µ 0 ε 0 (ω E ) − µ 0
E =0
m
2
-
2
-
N ( qe ) 2
k = µ 0ε 0ω − µ 0
m
2
2
N (qe ) 2
= 1−
2
µ0ε 0ω
ε 0 mω 2
k2
N ( qe ) 2
= 1−
2
µ 0ε 0 ω
ε 0 mω 2
1
karena
k2
c =
1
2
µ0ε 0
dengan
dan
ω2
1
= 2
v
2


ω
c
p
1 −

=
v 2 
ω 2 
2
maka
k2
N ( qe ) 2
2
= ωp
εm
Berdasarkan definisi indeks bias :
c
n=
v
2


ω
p
2
n = 1 − 2 


ω


ωp
n = 1− 2
ω
2
Indeks Bias Plasma
Bila ω<ωp maka nilai indeks bias n
berupa bilangan imajiner yang berarti
gelombang di dalam plasma tsb akan
teredam.
Bila ω ≥ ωp, maka nilai indeks bias n
berupa bilangan nyata (real) sehingga
gelombang akan diteruskan.
D. PEMANTULAN DAN PEMBIASAN
GELOMBANG ELEKTROMAGNETIK
D.1 HUKUM SNELLIUS
Tinjau untuk kasus Transverse Electric (TE)
B1 B2
E1x
Med1
Med2
k2
x
k1
E2
α 1α 2
µ1ε1
α3
µ2ε2
B3
E3x
k3
Dari gambar tersebut diperoleh persamaan
untuk gelombang medan magnet
B1 (r , t ) = B01 cos( k1 • r − ωt ) = B01ei ( k1 • r −ωt )
B2 (r , t ) = B02 cos(k 2 • r − ωt ) = B02ei ( k 2 • r −ωt )
B3 ( r , t ) = B03 cos( k3 • r − ωt ) = B03e
Persamaan 1
i ( k 3 • r − ωt )
dengan
k1 = k1 [ i sin (α1) – j cos (α1)]
k2 = k2 [ i sin (α2) + j cos (α2)]
k3 = k3 [ i sin (α3) – j cos (α3)]
Persamaan 2
Substitusi persamaan 1 ke persamaan 2:
B1 ( r , t ) = B 01 e i [ k 1 ( x sin α 1 ) − ( y cos α 1 ) − ω t ]
B 2 ( r , t ) = B 02 e i [ k 2 ( x sin α 2 ) + ( y cos α 2 ) − ω t ]
Persamaan 3
B 3 ( r , t ) = B 03 e i [ k 3 ( x sin α 3 ) − ( y cos α 3 ) − ω t ]
Syarat batas di y = 0 ; maka
B1x – B2x = B3x
B1 cos α1 – B2 cos α2 = B3 cos α3
Dan persamaan 3 menjadi :
B01 cosα1.e
i ( k1 x sin α1 )
− B02 cosα 2 .e
i ( k 2 x sin α 2 )
= B03 cosα3.e
i ( k 3 x sin α 3 )
Persamaan
B01 cosα1.ei ( k x sin α ) − B02 cosα 2 .ei ( k x sin α ) = B03 cosα3.ei ( k x sin α
1
1
2
dapat dipandang sebagai
2
3
3)
Aeax + Bebx = Cecx
dengan menggunakan deret eksponensial:






a2 x2
b2 x2
c2 x2
+ ..... + B 1 + bx +
+ ..... + C 1 + cx +
+ .....
A1 + ax +
2!
2!
2!






dengan mengabaikan suku ke tiga, diperoleh :
A + B =C
Aax + Bbx = Ccx
Aax + Bbx = (A + B) cx
Dalam bentuk matriks :
[A
 ax 
B ]
=

 bx 
diperoleh
maka
[A
 cx 
B ]

cx


a=b=c
k1 sin α1 = k2 sin α2
Karena gelombang datang dan gelombang pantul
berada dalam medium yang sama yaitu medium 1
maka :
k1 = k2
sehingga α1 = α2
Dari a = c maka
k1 sin α1 = k3 sin α3
ω
c
c
k =
⇒ n =
⇒ v =
v
v
n
k =
ω
c
n
=
ωn
c
⇒ k ≈ n
maka k1 dan k3 sebanding dengan n1 dan n3
sehingga
n1 sin α1 = n2 sin α3
Persamaan Snellius
D.2. PERSAMAAN FRESNELL
Setelah memahami tentang hukum Snellius, selanjutnya
akan ditunjukkan perbandingan Amplitudo gelombang
pantul dan gelombang bias terhadap amplitudo gelombang
datang yang disebut dengan persamaan Fresnell
Kasus Transverse Magnetik (TM)
E1
B1•
1
2
k1
αα
B2
x
k2
E2
θ
µ1ε1
µ2ε2
E3
B3•*⋅
k3
Dengan memasukkan batas di y = 0 (berdasarkan gambar)
Untuk medan listrik :
E1x + E2x = E3x
(E1 + E2 ) cos(α ) = E3 cos(θ )
……… 1
Untuk medan magnet :
B1 – B2 = B3
Dengan B=E/c di Vakum atau B= E/v di medium
1
1
sehingga
(E1 − E2 ) = E3 dan n=c/v maka 1/v ~ n
v1
v2
maka
n1 (E1-E2) = n2 E3
……… 2.1
n1 (E1 − E 2 ) ……… 2.2
E3 =
n2
Persamaan 2.2 disubstitusikan kedalam
persamaan 1,maka akan diperoleh :
n1
(E1 + E2 ) cos(α ) = (E1 − E2 )cos(θ )
n2


n

n
E2  cos(α ) + 1 cos(θ ) = E1  1 cos(θ ) − cos(α )
n2


 n2

Maka diperoleh koefisien refleksi yaitu
perbandingan antara medan pantul terhadap medan
datang (E2/E1).
n1
cos(θ ) − cos(α )
E2 n2
r TM =
=
E1 n1 cos(θ ) + cos(α )
n2
dikali n2
E2 n1 cos(θ ) − n2 cos(α )
maka r TM = =
E1 n1 cos(θ ) + n2 cos(α )
……… 3
Dari persamaan 2.1 kita peroleh persamaan
n1 (E1-E2) = n2 E3
n1 E1 − n2 E3
E2 =
n1
…… 4
Persamaan 4 disubstitusikan ke persamaan 1, maka :

n E − n 2 E3 
 cos(α ) = E3 cos(θ )
 E1 + 1 1
n1


n2
2 E1 cos(α ) − E3 cos(α ) = E3 cos(θ )
n1
maka
dikali n1
2n1 E1 cos(α ) − n2 E3 cos(α ) = n1 E3 cos(θ )
2n1 E1 cos(α ) = E3 (n1 cos(θ ) + n2 cos(α ))
Dari persamaan diatas dapat dicari koefisien transmisi,
Yaitu perbandingan antara E3/E1
E3
2n1 cos(α )
tTM =
=
E1 n1 cos(θ ) + n2 cos(α )
Kasus Transver Elektrik (TE)
B2
E1
•
1
B1
k1
αα
k2
x
E
2
θ
2
µ1ε1
µ2ε2
•E
⋅3
B3
k3
Berdasarkan gambar diatas apabila digunakan syarat
batas di y=0 Maka akan diperoleh hubungan :
Untuk meda magnet
B1x-B2x = B3x
(B1 − B2 )cosα = B3 cosθ
……… 1
Untuk medan listrik
E1 + E2 = E3
κ ; E=ωB ; v=ω ; n= c
Dari hubungan B = E
; κ
κ
v
ω
maka
E1 + E2 = E3
v1 (B1 + B2) = v2 B3
v ~ 1/n
1
1
(B1 + B2 ) = B3
n1
n2
....... 2.1
n2
B3 = (B1 + B2 )
n1
....... 2.2
Persamaan 2.2 disubstitusikan ke pesamaan 1
Sehingga diperoleh :
n2
(B1 − B2 )cosα = (B1 + B2 )cosθ
n1


 n2 
n2
− B2  cosα + cosθ  = B1   cosθ − cosα
n1


 n1 
maka RTE
n2
cosθ − cos α
B2
n1
=−
=
B1 cos α + n2 cosθ
n1
n2
cos α − cos θ
B2
n1
rTE =
=
B1 cos α + n2 cos θ
n1
n1 cos α − n2 cos θ
rTE =
n1 cos α + n2 cos θ
Dari persamaan 2.1 kita peroleh
1
1
(B1 + B2 ) = B3
n
n2
n1
B2 = B3 − B1
n2
....... 3
Persamaan 3 disubstitusi ke persamaan 1


 n1

 B1 −  B3 − B1  cos α  = B3 cos θ
n



 2



n1
2 B1 cos α − B3 cos α = B3 cos θ
n2
2n2 cos B1 cos α = B3 (n1 cos α + n2 cos θ )
tTE
B3
2n2 cos α
=
=
B1 n1 cos α + n2 cos θ
Apabila sudut bias 900
maka,
Dari hukum Snellius diperoleh hubungan
n1 sin α1 = n2 sin α 3
n1 sin α1 = n2 sin 90o
n2 maka n > n
sudut kritis
sin α1 =
1
2
n1
Sudut datang yang menghasilkan sudut bias 900
Bila sudut datang lebih besar dari sudut kritis,
maka terjadi pemantulan total.
Apabila α + θ = 90 o
dari hukum Snellius diperoleh hubungan:
n1 sin α = n2 sin θ
n1 sin α = n2 sin(90o − α )
n2
sin α = cos α
n1
n2
tan (α ) =
n1
Sudut Brewster
o
α
+
θ
=
90
Sudut datang yang menghasilkan
E. PANDU GELOMBANG
Selubung konduktor kosong yangujung-ujungnya
dibatasi oleh permukaan disebut rongga (cavity).
Sedangkan bila ujung-ujungnya tidak dibatasi
oleh permukaan disebut dengan pandu gelombang
Diasumsikan bahwa pandu gelombang benar-benar
konduktor sempurna, Sehingga bahan material
tersebut berlaku E = 0 Dan B = 0
Misalkan gelombang elektromagnetik merambat dengan
Bentuk fungsi sebagai berikut :
E ( x, y, z, t ) = Eo ( y, z )ei (kx −ωt )
B(x, y, z, t ) = Bo ( y, z )ei (kx −ωt )
……… 1
Persamaan ini disubstitusikan ke dalam persamaan Maxwell 3
dan 4 ,Maka akan diperoleh :
∂E x
∂Ez ∂E y
………
2.1
− ikE y = −iωBz ……… 2.3
−
= iωBx
∂y
∂z
∂z
∂E x
− ikEz = iωBy ……… 2.2
∂z
∂Bz ∂By
iω
−
= − 2 Ex
∂y
∂z
c
……… 2.4
∂Bx
iω
− ikBz = − 2 E y ……… 2.5
∂z
c
……… 2.6
∂Bx
iω
− ikBy = 2 Ez
∂y
c
Dari persamaan 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, akan menghasilkan
Solusi Untuk Ey, Ez, By, dan Bz sebagai berikut
Ey =
i
(ω / c )
2
 ∂E x
∂Bx ……… 3.1
 k

+ω
2
∂z 
− k  ∂y
 ∂Ex
∂Bx  ……… 3.2
k

Ez =
−ω
2
2 
∂y 
ω / c − k  ∂z
i
(
By =
)
 ∂Bx ω ∂Ex  ……… 3.3
k

− 2
2
2 
ω / c − k  ∂y c ∂z 
(
i
)
 ∂Bx ω ∂E x  ……… 3.4
k

Bz =
+ 2
2
2 
ω / c − k  ∂z c ∂y 
(
i
)
Dari persamaan 3 tampak bahwa bila komponen
Longitudinal Ex dan Bx diketahui, maka komponen
lainnya dapat diketahui.
Dengan mensubstitusikan persamaan 3 ke dalam
Persamaan Maxwell, kita akan peroleh persamaan
Differensial dari komponen longitudinal sebagai
Berikut :
2
2
 ∂2

∂
ω 
2
 2 + 2 +   − k  Ex = 0 ……… 4.1
∂z  c 
 ∂y

2
2
 ∂2

∂
ω 
2
 2 + 2 +   − k  Bx = 0 ……… 4.2
∂z  c 

 ∂y
Dengan menggunakan syarat batas pada permukaan
konduktor sempurna, yaitu :
nˆ ⋅ B = 0
nˆ × B = 0
……… 5
Dengan
n̂ adalah vektor satuan normal pada
konduktor, maka akan kita peroleh
Ex = 0
Di permukaan
……… 6.1
∂Bx
=0
∂
∂n
Di permukaan
……… 6.2
Bila Ex = 0, disebut gelombang TE (Transverse elektrik
Bila Bx = 0, disebut gelombangTM (Transverse MAgnetik),
Dan Ex = 0 dan Bx = 0, disebut gelombang TEM (Transverse
Electric Magnetik)
Pada pandu gelombang yang terselubung, kasus TEM tidak
pernah terjadi hal ini dapat ditunjukkan sebagai berikut :
Bila Ex = 0, maka menurut hukum gauss haruslah berlaku hukum
∂E y ∂Ez
……… 7
+
=0
∂y
∂z
Dan bila Bx = 0, maka menurut hukum Faraday
Berlaku hubungan
∂Ex ∂E y
……… 8
−
=0
∂y
∂z
Karena E = 0 di permukaan logam, maka potensial listrik
V = konstan pada permukaan logam. Menurut hukum Gauss
Atau persamaan Laplace untuk V, berlaku pula V = konstan
Didalam rongga. Ini berarti E = 0 didalam rongga. Dari
Persamaan
∂B
−
= ∇× E
∂t
Berarti B tidak bergantung waktu, dengan demikian tidak
ada gelombang didalam rongga
E.1 PANDU GELOMBANG DENGAN
PENAMPANG SEGI EMPAT
Persamaan differensial dari komponen longitudinal
2
2
 ∂2

∂
ω 
2
 2 + 2 +   − k  Bx = 0
∂z  c 
 ∂y

……… 1
Dan syarat batas nˆ ⋅ B = 0 dan nˆ × B = 0
Maka dengan pemisalan : Bx (y,z) = Y (y) Z(z)
Substitusikan ke persamaan 1, maka :
2
 ∂2

∂2  ω 
2
 2 + 2 +   − k Y ( y ) Z ( z ) = 0
∂z  c 
 ∂y

2

∂ 2Y
∂ 2 Z   ω 
2
Z 2 + Y 2 +   − k YZ = 0
 c 

∂y
∂z


dibagi YZ
2


1 ∂ Y 1 ∂ Z ω 
2
+
 −k  = 0
2
2 
Y∂ y
Z ∂z  k 

……… 2
2
2
ω 
− k 2Y − k Z +   − k 2 = 0
c
2
Sehingga
Solusi dari persamaan 3 :
Y = A sin (k y y ) + B cos (k y y )
2
1
∂
Y
2
dengan
=
−
k
y
2
Y ∂y
………3
1 ∂2Z
2
=
−
k
z
2
Z ∂z
……… 4
Syarat batas
dY
=0
dy
di y = 0 dan di y = a
dY
= k y A cos(k y y ) − k y yB sin (k y y )
dy
0 = k y B sin (k y a )
atau
maka, k y a = mπ dengan m = 0, 1, 2,….
mπ
ky =
a
Untuk solusi
Syarat batas
maka
0 = ky A, maka A = 0
1 ∂2Z
2
=
−
k
z
2
Z ∂z
dZ
=0
dz
yaitu Z = A sin(k z Z ) + B cos(k z Z )
di z = 0, z = b
dZ
= k z A cos(k z Z ) − k z B sin (k z Z )
dz
dZ
Untuk dz = k z B sin (k z Z )
k z z = nπ
maka
Sin kzz = 0
k zb = nπ
nπ
kz =
b
untuk
dZ
= k z A cos(k z Z )
dz
0 = kz A
k z B ≠ 0 dan kzz = 0
dengan n = 0, 1, 2, ….
z=b
cos(k z Z ) ≠ 0
maka untuk
Z = A sin (k z Z ) + B cos(k z Z )
Y = A sin (k yY ) + B cos(k yY )
 mπ
= 0 + B cos
 a
 mπy 
= B cos

a


Sehingga
 nπz 
= 0 + B cos

 b 
 nπz 
= B cos

b



y

 mπy 
 nπz 
Bx ( y, z ) = B cos
 ⋅ B cos

 a 
 b 
Untuk mendapat bilangan gelombang k, maka dari
persamaan yang sudah didapat
2
mπ dan k = nπ
ω


2
2
z
− k Y − k Z +   − k = 0 dengan k y =
b
c
maka
a
 mπ   nπ   ω 
2
−
 −
 +  −k = 0
 a   b  c
2
2
2
 ω   mπ   nπ 
k =   −
 −

c  a   b 
2
2
2
2
1
k=
ω2 − ω
c
2
mm
2
 ω   mπ   nπ 
k =   −
 −

c
a
b
  
 

2
2
2
ωmm
m n
= πc   +  
 a  b
2
Untuk mengetahui kecepaatan grup maka dapat
diperoleh dari persamaan
dω
vg =
dk
vg =
1
dω / dk
1
k=
ω2 − ω
c
Dari persamaan :
dk
d 1

2
2
=
ω − ω mm 

dω dω  c

1
dk 1 d
2
2
=
ω − ω mm 2
dω c dω
1
−
dk 1 1 2
=
ω − ω 2 mm 2 ⋅ 2ω
dω c 2
1
−
dk ω 2
= ω − ω 2 mm 2
dω c
ω
dk
=
dω c ω 2 − ω 2 mm
(
mm
)
(
(
2
)
)
vg =
c ω 2 − ω 2 mm
ω
ω 2 ω 2 mm
vg =
− 2
2
ω
ω
 ωmm 
vg = 1 − 

ω 
2
E.2 PANDU GELOMBANG JALUR
TRANSMISI KOAKSIAL
Gambar diatas memperlihatkan pandu gelombang berupa
jalur trandmisi koaksial (coaxial) transmition line),
terdiri dari kawat panjang yang diselimuti konduktor
silinder. Kawat panjang itu terletak pada sumbu silinder
Dari persamaan Maxwell 3 dan 4 diperoleh :
∂Bx
iω
− ikB y = 2 E z
∂y
c
∂Bx
iω
− ikBz = − 2 E y
∂z
c
Untuk medan listrik :
∂E y
∂Ez
+
=0
∂y
∂z
∂E x ∂E y
−
=0
∂y
∂z
Untuk medan magnet :
∂By
∂Bz
+
=0
∂y
∂z
∂Bx ∂B y
−
=0
∂y
∂z
Maka cBz = Ey dan cBy = -Ez
Solusi dengan menggunakan koordinat silinder
1
Eo = Eo rˆ
r
dan
Eo 1 ˆ
Bo =
Φ
c r
Diasumsikan dalam pandu gelombang benar-benar
konduktor sempurna, berlaku E = 0 dan B = 0
Sehingga fungsi gelombangnya
E ( x, y, z, t ) = Eo ( y, z )ei (kx−ωt )
B(x, y, z, t ) = Bo ( y, z )ei (kx−ωt )
Untuk persamaan :
E ( x, y, z , t ) = Eo ( y, z )ei (kx −ωt )
= E o cos (kx − ω t ) + iˆE o cos (kx − ω t )
Substitusikan
diperoleh
1
Eo = Eo rˆ
r
Eo
E=
cos(kx − ωt )rˆ
r
Untuk persamaan
B(x, y, z, t ) = Bo ( y, z )ei (kx−ωt )
= Bo cos(kx − ωt ) + iˆBo cos(kx − ωt )
yang diambil bagian realnya maka,dengan mensubstitusi
Eo 1 ˆ
Bo =
Φ maka
c r
E o cos (kx − ω t ) ˆ
B =
Φ
c
r