Determinan Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar. Sebagai contoh, kita ambil matriks A x A tentukan determinan A untuk mencari determinan matrik A maka, detA ad bc Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Determinan dengan Minor dan kofaktor A tentukan determinan A Pertama buat minor dari a M detM a a xa a Kemudian kofaktor dari a adalah c M a a xa a kofaktor dan minor hanya berbeda tanda C ij M ij untuk membedakan apakah kofaktor pada ij adalah atau maka kita bisa melihat matrik dibawah ini Begitu juga dengan minor dari a M detM a a xa a Maka kofaktor dari a adalah c M xa a xa a Secara keseluruhan, definisi determinan ordo x adalah detA a C a C a C Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama Misalkan ada sebuah matriks A x A maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, detA a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Contoh Soal A tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama Jawab detA Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama. Misalkan ada sebuah matriks A x A maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah, detA a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a Contoh Soal A tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama Jawab detA Adjoin Matriks x Bila ada sebuah matriks A x A Kofaktor dari matriks A adalah C C C C C C C C C maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom adjA Determinan Matriks Segitiga Atas Jika A adalah matriks segitiga nxn segitiga atas, segitiga bawah atau segitiga diagonal maka adalah hasil kali diagonal matriks tersebut Contoh Metode Cramer jika Ax b adalah sebuah sistem linear n yang tidak di ketahui dan detA maka persamaan tersebut mempunyai penyelesaian yang unik dimana A j adalah matrik yang didapat dengan mengganti kolom j dengan matrik b Contoh soal Gunakan metode cramer untuk menyelesaikan persoalan di bawah ini x x x x x x x x Jawab bentuk matrik A dan b Ab kemudian ganti kolom j dengan matrik b A A A dengan metode sarrus kita dapat dengan mudah mencari determinan dari matrikmatrik di atas maka, RE r ...E E A dan, detRdetE r ...detE detE detE A Jika A dapat diinvers, maka sesuai dengan teorema equivalent statements , maka R I, jadi detR dan detA . Sebaliknya, jika detA , maka detR , jadi R tidak memiliki baris yang nol. Sesuai dengan teorema R I, maka A adalah dapat diinvers. Tapi jika matrix bujur sangkar dengan baris/kolom yang proposional adalah tidak dapat diinvers. Contoh Soal A karena detA . Maka A adalah dapat diinvers. Mencari determinan dengan cara Sarrus A tentukan determinan A untuk mencari determinan matrik A maka, detA aei bfg cdh bdi afh ceg Metode Sarrus hanya untuk matrix berdimensi x Menghitung Inverse dari Matrix x A kemudian hitung kofaktor dari matrix A C C C C C C C C C menjadi matrix kofaktor cari adjoint dari matrix kofaktor tadi dengan mentranspose matrix kofaktor di atas, sehingga menjadi adjA dengan metode Sarrus, kita dapat menghitung determinan dari matrix A Sistem Linear Dalam Bentuk Ax x dalam sistem aljabar linear sering ditemukan Ax x dimana adalah skalar sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan xAx, atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi IAx contoh diketahui persamaan linear x x x x x x dapat ditulis dalam bentuk yang kemudian dapat diubah A dan x yang kemudian dapat ditulis ulang menjadi sehingga didapat bentuk IA namun untuk menemukan besar dari perlu dilakukan operasi det I A adalah eigenvalue dari A dan dari contoh diperoleh det I A atau dan dari hasil faktorisasi di dapat dan dengan memasukkan nilai pada persamaan I A x , maka eigenvector bisa didapat bila maka diperoleh dengan mengasumsikan x t maka didapat x t x VEKTOR . Pengertian vektor Pada garis berarah dari titik A ke titik B di R mempunyai panjang tertentu dinyatakan sebagai vektor. Vektor dapat dinotasikan dengan Atau dapat juga dinyatakan sebagai Dimana adalah vektor satuan. . Panjang Vektor Jika titik A x ,y ,z dan B x ,y,z maka vektor AB adalah . Vektor Satuan Vektor satuan adalah adalah vektor yang panjangnya satu satuan. Jika vektor maka vektor satuan dari a adalah . Operasi Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Vektor dangan Skalar a. Penjumlahan atau pengurangan vektor Contoh Diketahui vektor Nilai Jawab b. Perkalian Skalar dengan vektor . Rumus Perbandingan, Perkalian Skalar Proyeksi dan Perkalian Silang Vektor a. Perkalian Skalar b. Cross Product d. Rumus Pembagian Contoh Diketahui titik A , , , B , , dan C , , Titik R membagi AB sehingga AR RB, vektor yang mewakili adalah Jawab LOGIKA l. PENGERTIAN LOGIKA Logika adalah dasar dan alat berpikir yang logis dalam matematika dan pelajaranpelajaran lainnya, sehingga dapat membantu dan memberikan bekal tambahan untuk menyampaikan pelajaran di sekolah. Dalam Logika dipelajari metodemetode dan prinsipprinsip yang dapat dipakai untuk membedakan cara berpikir benar correct atau tidak benar incorrect, sehingga dapat membantu menyatakan ideide tepat dan tidak mempunyai arti ganda. Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dari penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih. II. PERNYATAAN Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak keduaduanya. Istilahistilah lain dari pernyataan adalah kalimat matematika tertutup, kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement atau proposisi. III. PERNYATAAN TUNGGAL DAN MAJEMUK Suatu kalimat selain dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan, kalimat juga dibedakan pula atas pernyataan tunggal dan pernyataan majemuk. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal. Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat digabungkan menjadi sebuah kalimat baru yang merupakan pernyataan majemuk, sedangkan tiap pernyataan bagian dari pernyataan majemuk disebut komponenkomponen pernyataan majemuk. Komponenkomponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja pernyataan majemuk. Namun yang terpenting adalah bagaimana menggabungkan pernyataanpernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk. Untuk menggabungkan pernyataanpernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk dapat dipakai kata gabung atau kata perangkai yang disebut operasioperasi logika matematika. Contoh . Jakarta adalah ibukota negara RI . Merah putih adalah bendera negara RI . adalah bilangan prima yang genap . Jika suatu bilangan habis dibagi dua maka bilangan itu genap IV. OPERASI LOGIKA Adapun operasioperasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah . Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai tidaklah benar, simbol . Konjungsi, dengan kata perangkai dan, simbol . . Disjungsi, dengan kata perangkai atau, simbol v . Implikasi, dengan kata perangkai Jika , maka .., simbol . Biimplikasi, dengan kata perangkai .jika dan hanya jika ., simbol Contoh pernyataan majemuk . Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih . Ani dan Ana anak kembar . Cuaca hari ini mendung atau cerah . Jika x maka x x . Suatu segitiga dikatakan segitiga sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama V. TABEL KEBENARAN . Operasi Negasi Operasi negasi atau ingkaran adalah operasi yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan Jika p adalah pernyataan tunggal, maka p adalah pernyataan majemuk. Negasi dari suatu pernyataan yang bernilai benar adalah salah dan negasi dari suatu pernyataan yang bernilai salah adalah benar. Definisi Suatu pernyataan dan negasinya mempunyai nilai kebenaran yang berlawanan Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb Contoh p Jakarta ibukota negara Republik Indonesia p Jakarta bukan ibukota negara Republik Indonesia . Operasi Konjungsi Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi. Operasi konjungsi dilambangkan dengan . . Definisi Sebuah konjungsi bernilai benar jika komponenkomponennya bernilai benar, dan bernilai salah jika salah satu dari komponennya bernilai salah Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb pqp.q BBB BSS SBS SSS . Operasi Disjungsi Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai atau disebut disjungsi. Operasi disjungsi dilambangkan dengan v pp BS SB Definisi Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar jika paling sedikit salah satu komponennya bernilai benar, sedangkan disjungsi eksklusif bernilai benar jika paling sedikit komponennya bernilai benar tetapi tidak keduaduanya. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb Disjungsi Inklusif Disjungsi Eksklusif pqpvq BBB BSB SBB SSS . Operasi Implikasi Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai Jika . maka .. disebut implikasi. Operasi implikasi dilambangkan dengan Definisi Sebuah pernyataan implikasi hanya salah jika antesedennya benar dan konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya implikasi bernilai benar. Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb pqpq BBB BSS SBB SSB . Operasi Biimplikasi Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai jika dan hanya jika disebut biimplikasi. Operasi biimplikasi dilambangkan dengan Definisi Sebuah pernyataan biimplikasi bernilai benar jika komponenkomponennya mempunyai nilai kebenaran sama, dan jika komponenkomponennya mempunyai nilai kebenaran tidak sama maka biimplikasi bernilai salah. pqpvq BBS BSB SBB SSS Definisi diatas dapat ditulis dalam tabel kebenaran sbb pqpq BBB BSS SBS SSB VI. BENTUKBENTUK PERNYATAAN Bentukbentuk pernyataan dalam logika dibedakan dalam . Kontradiksi . Tautologi . Kontingensi Kontradiksi adalah suatu bentuk pernyataan yang hanya mempunyai contoh substitusi yang salah, atau sebuah pernyataan majemuk yang salah dalam segala hal tanpa memandang nilai kebenaran dari komponenkomponennya. Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang benar dalam segala hal, tanpa memandang nilai kebenaran dari komponenkomponennya. Kontingensi adalah sebuah pernyataan majemuk yang bukan suatu tautologi maupun kontradiksi. Contoh Selidiki pernyataan di bawah ini apakah suatu tautologi, kontradiksi atau kontingensi p.qvqp pqpp.qqpp.qvqp BBSSBB BSSSBB SBBBSB SSBSBB Karena pada tabel kebenaran di atas benar semua, maka pernyataan di atas suatu TAUTOLOGI VII. IMPLIKASI LOGIS DAN EKWIVALEN LOGIS Suatu bentuk pernyataan implikasi yang merupakan tautologi disebut implikasi logis. Contoh pqpqpq.ppq.pp BBBBB BSSSB SBBSB SSBSB Dua atau lebih pernyataan majemuk yang mempunyai nilai kebenaran sama disebut ekwivalen logis dengan notasi atau Contoh pqpqpqqppq.qp BBBBBB BSSSBS SBSBSS SSBBBB Karena p q mempunyai nilai kebenaran sama dengan p q . q p , maka kedua pernyataan majemuk di atas disebut ekwivalen logis. Jadi, p q p q . q p VIII. KONVERS, INVERS DAN KONTRAPOSISI Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut konvers Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi p q disebut invers Jika suatu bentuk implikasi p q diubah menjadi q p disebut kontraposisi Skema konvers, invers dan kontraposisi dapat dilihat sbb konvers pqqp invers kontraposisi invers pqqp konvers Contoh Carilah konvers, invers dan kontraposisi dari pernyataan Jika binatang itu bertubuh besar maka binatang itu disebut gajah Konvers Jika binatang itu disebut gajah maka binatang itu bertubuh besar Invers Jika binatanag itu tidak bertubuh besar maka binatang itu bukan gajah Kontraposisi Jika binatang itu bukan gajah maka binatang itu tidak bertubuh besar IX. PENGERTIAN KUANTOR Suatu Kuantor adalah suatu ucapan yang apabila dibubuhkan pada suatu kalimat terbuka akan mengubah kalimat terbuka tersebut menjadi suatu kalimat tertutup atau pernyataan. Kuantor dibedakan atas . Kuantor Universal/ Umum Universal Quantifier , notasinya . Kuantor Khusus Kuantor Eksistensial Quantifier , notasinya Contoh Jika px kalimat terbuka x gt Apabila pada kalimat terbuka di atas dibubuhi kuantor, maka x, x gt S atau x, x gt B Jika x e bilangan bulat, maka tentukan nilai kebenaran dari pernyataanpernyataan di bawah ini .xyxy .xyxyx . x y x gt y . x y x.y X. PERNYATAAN BERKUANTOR Contoh pernyataan berkuantor . Semua manusia fana . Semua mahasiswa mempunyai kartu mahasiswa . Ada bunga mawar yang berwarna merah . Tidak ada manusia yang tingginya meter Untuk memberikan notasi pada pernyataan berkuantor maka harus dibuat fungsi proposisinya terlebih dahulu, misalnya untuk pernyataan Semua manusia fana maka kita buat fungsi proposisi untuk manusia Mx dan fana Fx, sehingga notasi dari semua manusia fana adalah x, Mx Fx Buatlah notasi untuk pernyataan berkuantor di bawah ini . Semua pedagang asongan adalah pejalan kaki Ax, Kx . Ada mahasiswa yang tidak mengerjakan tugas Mx, Tx . Beberapa murid ikut lomba Porseni Mx, Lx . Semua guru diharuskan berpakaian seragam Gx, Sx XI. NEGASI PERNYATAAN BERKUANTOR Negasi pernyataan berkuantor adalah lawan/ kebalikan dari pernyataan berkuantor tersebut. Contoh Negasi dari pernyataan Semua mahasiswa tidak mengerjakan tugas adalah Ada mahasiswa yang mengerjakan tugas Jika diberikan notasi, maka pernyataan di atas menjadi x, Mx T x , negasinya x, Mx . Tx XII. ARGUMEN Argumen adalah kumpulan pernyataan, baik tunggal maupun majemuk dimana pernyataan pernyataan sebelumnya disebut premispremis dan pernyataan terakhir disebut konklusi/ kesimpulan dari argumen. Contoh .pq .p/q .pq.rs .qvs/pvr .p .q/p.q XIII. BUKTI KEABSAHAN ARGUMEN Bukti keabsahan argumen dapat melalui . Tabel Kebenaran . Aturan Penyimpulan Untuk argumen sederhana atau argumen yang premispremisnya hanya sedikit bukti keabsahan argumen dapat menggunakan tabel kebenaran, namun untuk argumen yang premispremisnya kompleks harus menggunakan aturanaturan yang ada pada logika diantaranya aturan penyimpulan. Contoh Buktikan keabsahan argumen ..pq .q/p ..ab .cd .bvd.avb/avc Bukti Soal no. menggunakan tabel kebenaran Pqpqpqpq.qpq.qp BBSSBSB BSSBSSB SBBSBSB SSBBBBB Karena dari tabel kebenaran di atas menunjukkan tautologi, maka argumen SAH XIV. ATURAN PENYIMPULAN . Modus Ponens MP pq p/q . Modus Tolens MT pq q/p . Hypothetical Syllogisme HS pq qr/pr . Disjunctive Syllogisme DS pvq p/q . Constructive Dillema CD pq.rs pvr/qvs . Destructive Dillema DD pq.rs qvs/pvr . Conjunction Conj p q/p.q . Simplification Simpl p.q p . Addition Add p pvq Fungsi . Pengertian Komposisi fungsi adalah penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan sehingga menghasilkan sebuah fungsi baru. Misalkan f A B dan g B C fg ABC hgof Fungsi baru h g o f A C disebut fungsi komposisi dari f dan g. Ditulis hx gofx gfx gof x g fx ada hanya j i ka R f D g Ni l ai f ungsi komposi si gof x untuk x a adal ah gofa gf a Contoh Diketahui fungsi f dan g dinyatakan dalam pasangan terurut f ,, ,, ,,, dan g ,, ,, ,, , Tentukanlah a f o g b g o f c f o g d g o f a f o g ,, ,, , b g o f ,, , cfogdgof Contoh f R R fx x , g R R gx x f o gx fgx fx x x x xx g o fx gfx gx x x f o g fg f . . g o f gf g Contoh Diketahui A x l x lt , B dan C adalah himpunan bilangan real. f A B dengan fx x g B C dengan gx x dan h g o f A C. Bila x di A dipetakan ke di C, tentukan nilai x hx g o fx gfx gx x hx x x x x atau x x Karena A x l x lt , maka nilai x yang memenuhi adalah x . x yfx zgy . Sifatsifat Komposisi Fungsi Jika f A B g B C h C D, maka berlaku i. fogx g o fx tidak komutatif ii. fogohx fogohx sifat asosiatif iii. foI x I ofx f x elemen identitas Contoh Diketahui fx x , gx x, dan hx x , Ix x f o gx fgx f x x x x g o fx gfx gx x x x g o hx ghx gx x x Dari hasil di atas tampak bahwa fogx g o fx fogohx fog h x fog x x x fogohxf gohx f x x x x Dari hasil di atas tampak bahwa fogohx fo gohx foI x f I x fx x I ofx I fx I x x Dari hasil di atas tampak bahwa foI x I ofx fx . Fungsi Invers Definisi Jika fungsi f A B dinyatakan dengan pasangan terurut f a, bl aeA dan beB, maka invers dari fungsi f adalah f B A ditentukan oleh f b, a l beB dan aeA . Jika f A B, maka f mempunyai fungsi invers f B A jika dan hanya jika f adalah fungsi bijektif atau korespondensi . Jika f y fx f x fy fof xf o fx Ix fungsi identitas Rumus Cepat Menentukan Fungsi Invers i. fx ax b a f x a bx a ii. fx d cx b ax x c d f x a cx b dx x c a iii. fx a cx a gt f x a log x /c c a log x c iv. fx a log cx a gt cx gt f x c a x c v. fx axbxc a f x a x ac b b Catatan Fungsi kuadrat secara umum tidak mempunyai invers, tetapi dapat mempunyai invers jika domainnya dibatasi. Contoh Diketahui f R R dengan fx x . Tentukan f x Cara y x yang berarti x f y xy x y f x x Cara fx ax b f x a bx fx x f x x Contoh Diketahui Tentukan x f Cara yx x yx y x yx x y xy y x y y f x x,Rx, x x xfe x x y x x Cara fx d cx b ax f x a cx b dx x x xf f x x x Contoh Jika x,Rx, x x xfe dan k f . Tentukan nilai k Cara yx x xy y x xy x y xy y x y y f x x x f k k k k k kk k Cara f k a k fa kf kf . . x x y Contoh Diketahui fx x , tentukan f x Cara y x ingat rumus logaritma a n b n b log a x y log x y log f x x log Cara fx a cx f x c a log x fx x f x x log Contoh Diketahui fx x x , tentukan f x Cara yx x yx x yx yx xy xy f xx Cara fx axbxc f x a x ac b b fx x xf x x x x Contoh Diketahui x x f , tentukan f x Cara xy y x y x x y x y f x x Cara c bx a x f nm f x b cxa m n xxff x x x Menentukan Fungsi Jika Fungsi Komposisi dan Sebuah Fungsi Lain Diketahui Misalkan fungsi komposisi f o gx atau g o fx diketahui dan sebuah fungsi fx juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi gx. Demikian pula jika fungsi komposisi f o gx atau g o fx diketahui dan sebuah fungsi gx juga diketahui, maka kita bisa menentukan fungsi fx. Contoh Diketahui gx x dan g o fx x x , tentukan rumus fungsi fx Cara g o fx x x gfx x x fx x x fx x x fx x x, Cara gx x g x x fx g o g o fx fx , xx xxxx Contoh Diketahui fx x dan g o fx x x , tentukan rumus fungsi gx Cara g o fx gfx x x gx Misalkan x a x a ga . . a a ga a a a a gx x x Cara x x x x g o fx x x gfx x x gx x x gx x x gx x x Cara fx x f x x gx g o f o f xgoff x gx x x x x x x . . . Invers Dari Fungsi Komposisi Misalkan fungsi f dan fungsi g nasingmasing merupakan fungsi bijektif sehingga mempunyai fungsi invers f dan g . Fungsi komposisi g o f , pemetaan pertama ditentukan oleh f dan pemetaan kedua ditentukan oleh g. Mulamula x oleh fungsi f dipetakan ke y, kemudian y oleh fungsi g dipetakan ke z, seperti tampak pada diagram berikut. fg ABC gof x yfx zgy Fungsi g o f memetakan z ke x. Mulamula z dipetakan ke y oleh fungsi g , kemudian y dipetakan x oleh fungsi f . Sehingga g o f dapat dinyatakan sebagai komposisi dari f g . Seperti tampak pada diagram berikut. f g ABC gof Jadi diperoleh hubungan gof xf og x Contoh Diketahui fungsi fx x dan gx x, x . Tentukan f o g x Cara f o gx x x x x x Misalkan y f o gx y x x yx x xy y x xy x y xyy x y y fog x x x Cara f o gx x x x x x fog x x x x x x yfx zgy Contoh Diketahui f x x,g x x x dan hxg o fx. tentukan h x Cara f x x f o fx Ix f fx x fx x fx x fx x g x x x g o gx Ix g gx x xg xg x gx x.gx x gx x.gx x gx x x gx x x x x hx g o fx hx x x x x h x x Cara hx g o fx h xgof xf og xf g x h x . x x x x xx x xx x x Contoh Ditentukan fx x , dan gx x dan hx x , x , carilah nilai x sehingga h o g o f x Cara go fx x x h o g o fx x Misalkan h o g o f x y, maka y x y xy xy y x y y y y hogof x x x x x xx x Cara go fx x x h o g o fx x hogof xaxhogof a hogof xxhogof .