KBS Jogja

H. MEMECAHKAN MASALAH KEUANGAN DENGAN KONSEP
MATEMATIKA
Menyelesaikan Masalah Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk Dalam Keuangan
Bunga Tunggal
Pengertian Bunga
Persen Diatas Seratus dan Persen Dibawah Seratus
Persen Di atas Seratus
Persen diatas seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut
dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum di tulis :
P
100  P
Untuk menentukan P diatas seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua
cara, yaitu :
Dengan perhitungan biasa,P % di atas seratus dari modal M adalah :
P
xM
100  P
Dengan jumlah deret geometri turun tak berhinga :
P
P
P
P
100
 100  100 
100

P
P
100  P
 P 
1
1 

100
100
 100 
Bentuk terakhir tersebut meruoakan jumlah deret geometri turun tak
terhingga dengan :
P
Suku pertama a 
100
P
r
Rasio
100
Sehingga ,
2
3
P
P  P  P   P  P    P  P  


. 
 

 

   ...
100  P 100 100  100  100  100   100  100  
2
3
4
P  P   P   P 




 ... - …
100 100  100  100 
P
xM adalah :
Dengan demikian untuk menghitung
100  P
P
M
Hitung
100  P
2
 p 
Hasil 1) dikurangi 
 M
100 
3
Hasil 2) ditambah
 p 
100   M


4
 p 
Hasil 3) dikurangi 
 M
100 
Dan seterusnya
Contoh 3
Persen Di bawah Seratus
Persen dibawah seratus adalah bentuk pecahan yang selisih antara penyebut
dan pembilangnya sama dengan seratus. Secara umum di tulis :
P
100  P
Untuk menentukan P dibawah seratus dari modal M dapat dilakukan dengan dua
cara, yaitu :
Dengan perhitungan biasa,P % di bawah seratus dari modal M adalah :
P
M
100  P
Dengan jumlah deret geometri turun tak berhinga :
P
P
P
P
 100  100  100
P
100  P 100  P 1  P
1
100
100
100
Bentuk terakhir tersebut meruoakan jumlah deret geometri turun tak
terhingga dengan :
2
3
P
P  P P   P  P    P  P 


.


 

   ...
100  P 100 100 100  100  100   100  100  
2
3
4
P  P   P   P 



 ... - …
100 100  100  100 
P
xM adalah :
Dengan demikian untuk menghitung
100  P
Pengertian Bunga Tunggal

Bunga Tunggal adalah bunga yang timbul pada setiap akhir jangka waktu
tertentu yang tidak mempengaruhi besarnya modal yang dipimjam.
Jika kita memperbungakan modal (uang ) sebesar M dengan bunga tunggal
sebesar P % setahun, dan besarnya bunga dinyatakan dengan I , maka :
Setelah t tahun, besarnya bunga :
I
M .P.t
100
Setelah t bulan, besarnya bunga :
I 
M .P.t
100  12
Setelah t bulan, besarnya bunga :
1) Jika satu tahu 360 hari, maka
I
M .P.t
100  360
2) Jika satu tahun 365 hari ( tahun kabisat) ,maka
I
M .P.t
100  365
3) Jika satu tahun 366 hari ( tahun kabisat) ,maka
I
M .P.t
100  366
Metode Perhitungan Bunga Tunggal
a.
Metode Pembagi Tetap
Kita telah mengenal rumus untuk mencari besar bunga dari uang sebesar M
yang digunakan selama t hari dengan suku bunga P % setahun,yang dirunuskan
sebagai berikut :
P
t
I M

100 360
M t
P

100 360
M .t 360

:
100 P
M .t
360
Bentuk
disebut angka tahun dan
disebut penbagi tetap, maka rumus
100
P
bunga di atas menjadi :

I
Angka bunga
Pembagi tetap
Jika ada beberapa uang yang dipergunakan atas dasar bunga yang sama maka :
Jumlah bunga 
Jumlah angka bunga
Pembagi tetap
b.
Metode persen yang sebanding
Metode persen yang sebanding digunakan jika suku bunga bukan
merupakan pembagi habis 360, sebab dengan metode ini satu tahun dihitung 360
1
hari,missal kita ambil suku bunga 9 % setahun ,dengan langkah sebagai
2
berikutini :
a.
Hitunglah besar bunga berdasarkan persentase terdekat dengan suku bunga
merupakan pembagi habis 360 !
b.
Hitunglah besar bunga yang dimaksud dengan menggunakan persen yang
sebanding!
c.
Metode persen yang seukuran
Metode persen yang seukuran menggunakan perhitungan satu tahun = 365,
sehingga perhitngan dengan metode ini mula – mula harus dihitung bunga 5 %
setahun sebagai berikut :
5
t
M 
100
365
M .t
5


100 365
M .t 1
M .t
100




100 73 10.000 73
I
100
1 1
1
 1 

73
3 30 300
Jadi, besar bunga 5 % sebanding dengan
M .t  1 1
1 


1  

10.000  3 30 300 
Kemudian, menghitung besarnya bunga yang dimaksud dengan metode persen
yang sebanding.
Bilangan
2.
a.
c. Rp 900.000,00 selama 90 hari
Bunga Majemuk
Perbedaan bunga dengan diskonto
Untuk memperjelas perbedaan bunga dengan diskonto, marilah kit
perhatikan ilustrasi sebagai berikut!
Budi menminjam uang kepada Rony sebesar Rp 20.000.000,00 atas dasar
bunga tunggal yang akan dikembalikan setahun kemudian. Jika saat meminjam,
Jumlah uang yang ditrima BUdi sebesar Rp 18.000.000,00, maka hal ini di
katakan Budi telah membayar diskonto sebesar Rp 2.000.000,00.
Dari kejadiaan diatas, dapat disimpulkan bahwa diskonto adalah bunga
yang dibayarkan oleh peminjam saat menerima pinjaman.
Jika nilai diskonto = D, jumlah uang yang diterima saat meminjam atau
Nilai Tunai = NT, dan jumlah uang yang harus dikembalikan atau Niai Akhir =
NA, maka hubunga ketiganya dinyatakan dalam bentuk :
D = NA - NT
Ada dua cara untuk mencari diskonto adalah sebagai berikut :
1)
Disakonto dari nilai akhir
D
2)
P
t
 NA 
100
h
Keterangan :
D
= Diskonto
P
= Suku bunga diskonto
NA
= Nilai akhir
t
= waktu pinjaman
h
= 1, 12, dan 360
Diskonto dari nilai tunai
D
P
.NT
100  P
Pengertian dan konsep bunga majemuk
Jika kita menyimpan modal berupa uang di bank selama pereode bunga
tertentu, misalnya satu tahun, maka setelah satu tahun kita akan mendapat bunga
sebesar P % kali modal yang kita bungakan. Jika bunga itu tidak kita ambil, tapi
ditambahkan pada modal awal untuk dibungakan lagi pada pereode berikutnya
sehingga besarnya bunga pada setiap periode berikut berbeda jumlanya ( menjadi
bunga berbunga ) maka dikatan modal tersebut dibungakan atas dasar bunga
majemuk.
Perbedaan bunga tunggal dan bunga majemuk
Untuk memahami perbedan antara bunga tunggal dengan bunga majemuk,
marilah kita perhatikan contoh – contoh berikut!
Contoh :
Herman menabung uang dibank sebesar Rp 2.000.000,00 dengan suku bunga
tunggal 5 % setahun. Menjadi berapakah uang Herman setelah satu tahun?
Jawab :
Diketehui :
M = 2.000.000
P =5
t =3
P
 M t
I =
100
5
 2.000.000  3  300.000
=
100
Jadi, jumlah uang Herman setelah 3 tahun menjadi Rp 2.000.000,00 + Rp
300.000,00 = Rp 2.300.000,00
Perhitungan nilai akhir modal
1
Dengan menggunakan rumus
Jika modal sebesar M dibungakan atas dasar bunga majemuk sebesar P % satahun
P
selama n tahun, maka besarnya modal setelah n tahun adalah : ( i =
)
100
Maka rumusnya adalah :
Mn = M ( 1 + i)n
Contoh 14
Perhitungan nilai tunai modal
Dengan menggunakan rumus nilaitunai
Kita masih ingat bahwa rumus nilai akhir bunga majemuk, yaitu :
Mn = M ( 1 + i)n
Rumus di atas dapat diubah menjadi :
M 
Mn
1  i n
M = modal mula – mula atau nilai tunai ( NT )
Mn = modal setelah n jangka waktu ( periode ),selanjutnya ditulis M
Mn
Jadi , NT 
1  i n
1
Atau NT  M 
1  i n
atau
NT = M ( 1 + i)-n
Menentukan nilai tunai modal dengan kalkulator
Nilai tunai modal dengan masa bunga pecahan
NT 
M
1  i n 1  a i 
 b 
Menyelesaikan Masalah Rente Dalam Keuangan.
Pengertian Rente dan Macan Rente
Rente adalah deret modal yang dibayarkan atau diterima pada sertiap
jangka waktu tertentu yang tetap besarnya. Masing – masing modal ini disebut
angsuran. Pada hakikatnya , ada tiga macam rente sebagai berikut ini ;
1. Berdasar saat pembayaran angsuran meliputi :
1) Rente pra – numerando
2) Rente post – numerando
2. Berdasarkan banyaknya angsuran, meliputi :
1) Rente terbatas
2) Rente Kekal
3. Berdasarkan langsung tidaknya pembayaran pertama,meliputi :
1) Rente langsung
2) Rente yang di tangguhkan
2.
Menghitung Nilai Akhir Rente
Nilai akhir rente adalah jumlah seluruh angsuran dan bunga – bunga yang
di hitung pada akhir masa bunga terakhir. Nilai akhir rente dinyatakan dengan
NA.Ada dua macam nilai akhir rente, yaiti nilai akhir rete pra – numerando dan
nilai akhir rente post – numerando.
2.a. Menghitung Akhir Rente Pra - numerando
Dengan Deret Geometri
n

1   1
M 1  i 
atau
i

NA 

M 1  i 
1  i n  1
i


Bentuk ( 1 + i )n dapat dicari dalam Daftar bunga I.
Dengan Daftar Bunga
Selan dengan deret geometri, nilai akhir rente pra – numerando juga dapat
disajikan dalam bu\entuk notasi sigma :
n
NA  M  1  i 
k
k 1
2.b. Akhir Rente Post- numerando
Nilai akhir post – numerando adalah nilai akhir suatu rente yang amgsuran
terakhirnya belum mengalami pembungaan.
Atau
NA 


M
1  i n  1
i
Rumus diatas adalah nilai akhir rente post – numerando, bentuk ( 1 + i ) dapat
dicari dalam daftar I atau dengan kalkulator.
Atau dinyatakan sebagai berikut :
n
NA  M  M  1  i 
k 1
3.
Hitung Nilai Tunai Rente
k
Nilai tunai rente adalah jumlah seluruh nilai tunai angsuran yang dihitung
pada awal masa bunga pertama, yang dinyatakan dengan NT.
Ada dua jenis nilai tunai rente yaitu : nilai tunai rente pra – numerando
dan nilai tunai rente post – numerando.
3.a. Menghitung Nilai Tunai Rente Pra - numerando
Maka rumus NA diatas dapat diubah menjadi :
n
M . 1  1  
NT 
1
1  1  i 
Atau


NT 
M 1  i 
n
1  1  i 
i


Selain dengan deret geometri dapatjuga disajikan dengan notasi sigma :
NA = M + M(1+ i )-1+ M(1+ i )-2 + ... + M(1+ i )2 - n + M(1+ i )1 - n
NA = M + M[(1+ i )-1+ M(1+ i )-2 + ... + M(1+ i )2 – n + M(1+ i )1 - n ]
NT  M  M
n 1
 1  i 
k
k 1
n 1
Bentuk
 1  i 
k
dicari dalam daftar IV
k 1
3.b. Menghitung Nilai Tunai Rente Post – numerando
n
M 1  1  i 
NT 
i
Atau nilai tunai rente post – numerando :


NT 

M
n
1  1  i 
i

Jika bentuk diatas ditulis dalam notasi sigma, maka dapat ditulis sebagai :
NT  M
n
 1  i 
k
k 1
n
Bentuk
 1  i 
k
dapat dicar dalam daftar IV.
k 1
4.
4.a
Menghitung Rente Kekal
Menghitung Nilai Rente Kekal Pra – numerando
Nilai tunai rente pra – numerando adalah jumlah masing – masing nilai
tunai suatu pembayaran setiap awal masa bunga , dengan waktu yang tidak
terbatas dan suku bunga tetap. Kita ingat kembali tentang nilai tunai rente pra –
numerando. Jika rentenya tanpa batas ,maka :
Jadi, nilai tunai rente kekal pra – numerando dapat ditulis dalam bentuk
NT 
M 1  i 
i
4.b. Menghitung Nilai Tunai Rente Kekal Post – numerando
Sehingga, nilai tunai rente kekal post – numerando dapat ditulis dalam bentuk :
NT 
M
i
5.
Rente Yang Ditangguhkan
Semua jenis rente yang telah dibahas diatr adalah rente langsung yaitu
pembayaran atau penerimaan yang pertama dilakukan pada awal atau akhir
masa bunga yang pertama. Pada rente yang ditangguhkan atau rente tertuda,
pembayaran atau penerimaan yang pertama mengalam penangguhan atau
penundaan selama k mas bunga. Untuk lebih memahami pengertian rente yang
di tangguhkan, maka perhatikan contoh berikut ini :
Pada tanggal 1 Januari 2006 ,Fitri meminjam uang di bank . Pinjaman
tersebut pelunasannya dicicil tiap awal bulan sebesar Rp 100.000,00m dimulai 1
April 2006 dan berakhir 1 Maret 2007 dengan suku bunga majemuk 5 % setiap
bulan. Jumlah uang yang dipinjam Fitri pada tanggal 1 Januari 2006 disebut
nilai tunai rente yang tertunda.
Jika pada contoh masalah di atas, uang yang di pinjam adalh M rupiah, di
bayar tiap awal bulan ke –n, suku bunga majemuk I = P % per bulan, maka di
peroleh :
 1  i n  1  i k 1 
M
1
NT 
.


i 1  i k 1 
1  i n

NT 
M 1
1 



i  1  i k 1 1  i n 
Dengan notasi sigma ditanyakan dalam bentuk :
n
NT  M  1  i 
m 1
m
k 1
 M  1  i 
m 1
m
C. Mennyelesaikan Masalah Anuitas Dalam Sistem Pinjaman
1. Pengertian Anuitas
Anuitas adalah sejumlah pembayaran yang sama besarnya, yang dibayarkan setiap
akhir jangka waktu, dan terdiri atas bagian bungaan bagian angsuran.Jika besarnya
anuitas adalah A, angsuranperiode ke-n dinyatakan dengan an, dan bunga periode ken adalah bn, maka diperoleh hubungan:
A = an + bn , n = 1,2,3,..
Menghitung anuitas
Dengan notasi sigma:
1
A = M n
(1  i )  k

Contoh: k 1
Menghitung Pelunasan Hutang
Jika pelunasan (angsuran) dalam anuitas ke-1
adalah a1, dalam anuitas ke-n adalah an, hutang
semula M dan suku bunganya i, maka :
1.
an = a1(1+i)n-1
, an = ak (1+i)n-k
Penyusutan Dalam Masalah Nilai Suatu Barang
a. Pengertian Penyusutan dan Aktiva
Penyusutan atau depresi adalah prises pengalokasian secara periodic dari
perolehan suatu aktiva terhadap biaya perusahaan.
Aktva atau harta perusahaan adalah segala sumber daya ekonomi suatu
perusahaan yang berupa harta benda dan hak – hak yang dimiliki.Ditinjau dari
manfaat aktiva dibedakan menjai dua macam , yaitu aktiva lancer dan aktiva tetap.
a. Aktiva lancar adalah uang tunai atau aktiva lain yang dapat dicairkan
menjadi uang tunai, dijual atau dipakaihabis, selama satu periode operasi
normal dari perusahaan itu.
b. Aktiva tetap adalah aktiva yang digunkan dalam menyelengarakan operasi
perusahaan. Aktiva tetap mempunyai sifat yang tahan lama tau relative
permanent, artinya lebih dari satu periode operasi yang normal dari
perusahaan. Ada dua kelompok aktiva tetap ;
Aktiva teap berwujut adalah ktiva tetap yang memiliki sifat fisik : tanah,
bangunan mesin, kendaraan, peralatan, dan lain – lain.
Aktiva tetap tidak berwujud,adalah aktiva tetap yang tidak memilii sifat
fisik akan tetapi mempunyai nilai uang karena kekuatan hukumnya
misalnya ; hak paten, merek dagang, dan lain – lain.
b. Perhitungan Penyusutan.
Ada beberapa perhitungan penyusutan , diantarnya sebagai berikut :
Metode garis lurus
Metode garis lurus atau metode prosentase tetap dari harga pembelian.
Rumus Besar Penyusutan tiap periode.
D
AS
n
Rumus Persentase Penyusutan.
D
r   100 %
A
D = Beban penyusutan
A = Aktva
S = Nlai sisa atau residu
n = Perkiraan umur mafaat
r = Persentase penyusutan
Metode Persentase Tetap Dari Nilai Buku
Metode ini didasarkan pada persentase tetap terhadap nilai buku. Kaena nilai
buku tiap tahun berlainan, maka besarnya penyusutan buku tiap tahun juga
berlainan.
 Nilai buku akhir tahun ke -1
= A – rA = A (1 - r)
 Nilai buku akhir tahun ke -2
= A(1 – r) – rA(1 – r)
= A(1 – r)(1 – r)
= A(1 – r)2
 Nilai buku akhir tahun ke -3
= A(1 – r)2 - rA(1 – r)2
= A(1 – r)2 (1 – r)
= A(1 – r)3
Maka, diperoleh nilai buku akhir tahun ke – n = A(1 – r)n
Jika nilai buku akhir tahun ke- n sama dengan sisa (S), maka :
S = A(1 – r)n
S
 = (1 – r)2
A
S
 1 –r = 1  n
A
r  1 n
S
A
A = Aktva
S = Nlai sisa atau residu
n = Perkiraan umur mafaat
r = Persentase penyusutan
Metode Satuan Jam Kerja Aktiva
Dalam metode satuan jam kerja ini beban penyusutan untuk satu nperiode
tergantung pada jam kerja aktiva itu dipakai, dan dinyatakan dengan rumus
r 
A S
n
n = jumlah jam kerja
A = Aktiva
S = Sisa
Metode Satuan Hasil Produksi
Perhitungan besar penyusutan dengan metode satuan hasil produksi ( Shp )
dihitung berdasarkan banyaknya satuan hasil produksi yang dihasilkan dari
suatu aktiva.
r 
A S
n
Keterangan :
r = Tingkat penyusutan
A = Biaya perolehan
S = Nilai sisa
n = Jumlah satuan hasil produksi
Metode Jumlah Bilangan Tahun
Cara menghitung besar penyusutan dengan metode dapat dilihat contoh
sebagai berikut :
Contoh :
Biaya perolehan suatu aktiva sebesar Rp 10.000.000,00 diperkirakan umur
manfaat aktiva tersebut 4 tahu dan nilai sisanya sebesar Rp 2.000.000,00
Tentukan :
a. Tingkat penyusutan!
b. Daftar penyusutan!
Jawab :
Diketahui :
A = 10.000.000
S = 2.000.000
Bilangan tahun = 1 + 2 + 3 + 4 = 10
a. Besar penyusutan : ….?
4
 Rp 8.000,00 = Rp 3.200.000,00
10
3
 Rp 8.000,00 = Rp 2.400.000,00
Tahun ke-2 =
10
Tahun ke-1 =
2
 Rp 8.000,00 = Rp 1.600.000,00
10
1
 Rp 8.000,00 = Rp 800.000,00
Tahun ke-4 =
10
b. Daftar penyusutan ;
Tahun ke-3 =
Tahun
0
1
2
3
4
A- S
8.000.000
8.000.000
8.000.000
8.000.000
Beban
Penyusutan
4/10
3/10
2/10
1/10
3.200.000,00
2.400.000,00
1.600.000,00
800.000,00
Nilai Buku
Akhir Tahun
10.000.000’00
6.800.000,00
4.400.000,00
2.800.000,00
2.000.000,00