Trigonometri - tiwipradikta

1.1
Definisi Trigonometry
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro =
mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut
segitiga
dan
fungsi
Trigonometri
trigonometrik
memiliki
seperti
hubungan
dengan
sinus,
cosinus,
geometri,
dan
tangen.
meskipun
ada
ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri
adalah bagian dari geometri.
Trigonometri adalah bagian dari matematika yang mempelajari relasi
antara sudut dan sisi sisi pada suatu segitiga dan juga fungsi –fungsi dasar dari
relasi-relasi tersebut. Trigonometri sebagai suatu metode dalam perhitungan
untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan perbandingan-perbandingan
pada bangun geometri, khususnya dalam bangun yang berbentuk segitiga. Pada
prinsipnya trigonometri merupakan salah satu ilmu yang berhubungan dengan
besar sudut, dimana bermanfaat untuk menghitung ketinggian suatu tempat
tanpa mengukur secara langsung sehingga bersifat lebih praktis dan efisien.
Trigonometri juga dapat diartikan sebagai cabang ilmu matematika yang
mempelajari tentang perbandingan ukuran sisi suatu segitiga apabila ditinjau
dari salah satu sudut yang terdapat pada segitiga tersebut. Dalam mempelajari
perbandingan sisi -sisi segitiga pada trigonometri, maka segitiga itu harus
mempunyai tepat satu sudutnya (90°.) artinya segitiga itu tidak lain adalah
segitiga siku-siku. Satuan sudut selain derajat adalah radian, di mana satu
radian adalah besarnya sudut yang menghadap busur lingkaran yang panjangnya
sama dengan jari-jari.
1.2 Sejarah Awal Trigonometri
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia
dan
peradaban
Matematikawan
Lembah
India
Indus,
adalah
lebih
perintis
dari
3000
penghitungan
tahun
variabel
yang
lalu.
aljabar
yang
digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Lagadha adalah
matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang menggunakan geometri dan
1
Kelompok Empat
trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam bukunya Vedanga, Jyotisha,
yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel
trigonometri untuk menyelesaikan segitiga. Matematikawan Yunani lainnya,
Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan trigonometri lebih
lanjut. Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya
yang berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata
ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis.
1.3 Trigonometri sekarang ini
Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi
yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintang
terdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam
sistem
navigasi
satelit.
Bidang
lainnya
yang
menggunakan
trigonometri
termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa),
teori
musik,
akustik,
optik,
analisis
pasar
finansial,
elektronik,
teori
probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging (CAT scan
dan ultrasound), farmasi, kimia, teori angka (dan termasuk kriptologi),
seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei
darat
dan
geodesi,
arsitektur,
fonetika,
ekonomi,
teknik
listrik,
teknik
mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran"
dan "quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut
trigonometri rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger
dari Universitas New South Wales.
1.4 Hubungan fungsi trigonometri
2
Kelompok Empat
Penjumlahan
Rumus sudut rangkap dua
Rumus sudut rangkap tiga
Rumus setengah sudut
Secara umum :
sin a = 2 sin ½ a cos ½a
cos na = cos2 ½ a - 1
= 2 cos2 ½ a - 1
3
Kelompok Empat
= 1 - 2 sin2 ½ a
tg na = 2 tg ½ a
1 - tg2 ½ a
BENTUK PENJUMLAHAN KE PERKALIAN
sin a + sin b = 2 sin a + b . cos a - b
2
2
sin a - sin b = 2 cos a + b . sin a - b
2
2
cos a + cos b = 2 cos a + b . cos a - b
2
2
cos a + cos b = - 2 sin a + b . sin a - b
2
2
BENTUK PERKALIAN KE PENJUMLAHAN
2 sin a cos b = sin (a + b) + sin (a - b)
2 cos a sin b = sin (a + b) - sin (a - b)
2 cos a cos b = cos (a + b) + cos (a - b)
- 2 sin a cos b = cos (a + b) - sin (a - b)
1.5 Perbandingan Trigonometri
a. Sinus
Sinus dalam matematika adalah perbandingan sisi
segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring
(dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga
siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).
Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus
4
Kelompok Empat
di atas maka nilai sinus adalah :
Catatan : Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan
IV.
Nilai Sinus Sudut Istimewa :
Hukum Sinus
Dalam
trigonometri,
hukum
sinus
ialah
pernyataan tentang segitiga yang berubahubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus
sederhana) a, b dan c dan sudut yang
berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and
C, hukum sinus menyatakan :
5
Kelompok Empat
Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut
dan 1 sisinya diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga
digunakan saat 2 sisi dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam
kasus ini, rumus ini dapat memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang
dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya 1 hasil akan menyebabkan seluruh
sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada 2 penyelesaian valid pada
segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni
a/sin(A)) sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan
Dapat ditunjukkan bahwa:
di mana;
s merupakan semi-perimeter
Turunan
Buatlah segitiga dengan sisi a, b, dan c, dan sudut
yang berlawanan A, B, dan C. Buatlah garis dari
sudut C pada sisi lawannya c yang menonjol sekali
dalam 2 segitiga siku-siku, dan sebut panjang garis
ini h.
6
Kelompok Empat
Dapat diamati bahwa:
Kemudian:
dan
Melakukan hal yang sama dengan garis yang digambarkan antara sudut A dan
sisi a akan menghasilkan:
b. Cosinus
Kosinus atau cosinus (simbol: cos) dalam matematika
adalah perbandingan
sudut
dengan
sisi
sisi
miring
segitiga yang
(dengan
terletak di
catatan
bahwa
segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu
sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan. Berdasarkan definisi
kosinus di atas maka nilai kosinus adalah
Catatan : Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II
dan III.
Nilai Cosinus Sudut Istimewa
7
Kelompok Empat
Hukum Cosinus
Hukum kosinus, atau disebut juga aturan
kosinus,
dalam
trigonometri
adalah
aturan yang memberikan hubungan yang
berlaku
dalam
antara
panjang
suatu
sisi-sisi
segitiga,
segitiga
yaitu
dan
kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.
Aturan kosinus menyatakan bahwa :
dengan
adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi
yang berhadapan dengan sudut
8
Kelompok Empat
.
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:
Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit
oleh kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi
yang satunya. Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat
menentukan besar sudut dalam segitiga tersebut. Dengan mengubah sedikit
aturan kosinus tadi, kita peroleh:
 Hukum Cosinus Pertama
 Hukum Cosinus Kedua
9
Kelompok Empat
c. Tangen
Tangen (bahasa Belanda: tangens; lambang tg, tan) dalam matematika
adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi segitiga
yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga sikusiku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).
Berdasarkan segitiga pada ilustrator (di kanan), berdasarkan definisi
tangen, di atas maka nilai tangen adalah
Catatan: Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan
IV.
Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus
Nilai Tangen Sudut Istimewa
10
Kelompok Empat
d. Sekan
Sekan
(lambang:
sec)
perbandingan sisi miring
dalam
matematika
adalah
segitiga dengan sisi yang
terletak pada sudut (dengan catatan bahwa segitiga
itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut
segitiga
itu
90o).
Perhatikan
segitiga
di
kanan;
berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan
adalah
Hubungan sekan dengan kosinus:
e. Kosekan
Kosekan
(disimbolkan
dengan
cosec
atau
csc)
dalam
matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan
sisi yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa
segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut
11
Kelompok Empat
segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan definisi kosekan di
atas maka nilai kosekan adalah
Hubungan kosekan dengan sinus:
f. Kotangen
Kotangen (lambang: cot, cotg, atau cotan) dalam
matematika adalah
perbandingan sisi
segitiga yang
terletak pada sudut dengan sisi segitiga yang terletak
di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu
adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga
itu 90o). Perhatikan segitiga di kanan; berdasarkan
definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah
Hubungan kotangen dengan tangen:
1.6 Fungsi Trigonometri
Fungsi trigonometrik adalah fungsi dari
sebuah sudut yang digunakan untuk
menghubungkan antara sudut-sudut dalam suatu
segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut.
12
Kelompok Empat
Fungsi trigonometrik diringkas di tabel di bawah ini. Sudut θ adalah sudut
yang diapit oleh sisi miring dan sisi samping -- sudut A pada gambar di
samping, a adalah sisi depan, b adalah sisi samping, dan c adalah sisi miring:
Fungsi
Singkatan
Sinus
sin
Kosinus
cos
Tangen
tan (atau tg)
Deskripsi Identitas (memggunakan radian)
Kotangen cot (atau ctg
atau ctn)
Sekan
sec
Kosekan
csc
(atau cosec)
Bentuk dasar fungsi trigonometri memiliki kurva seperti berikut
Bentuk Pengembangan
13
Kelompok Empat
1.7 Limit Fungsi Trigonometri
KETENTUAN
Untuk x <<< ( x  0 ) maka sin x x
(x <<< kecil sekali ;  setara )
lim
x0
sin x = 1
x
lim
x0
x =1
sin x
lim
x0
lim
x0
tg x = 1
x
x =1
tg x
PERLUASAN
l i m sin ax = a/b
x → 0 bx
lim
x→0
tg ax = a/b
bx
lim
ax = a/b
x → 0 sin bx
lim
ax = a/b
x → 0 tg bx
l i m sin ax = a/b
x → 0 sin bx
l i m tg ax = a/b
x → 0 tg bx
l i m sin ax = a/b
x → 0 tg bx
lim
x→0
tg ax = a/b
sin bx
Rumus-rumus trigonometri yang sering digunakan untuk merubah fungsi:
cos x = sin (90° - x)
14
Kelompok Empat
ctg x = tg (90° - x)
sin ax = 2 sin ½ax cos ½ax
cos ax = 1- 2 sin² ½ax
cos²x = 1 - sin²x
HAL-HAL KHUSUS
l i m axm + bxm-1 + .... =
x → ¥ pxn + qxn-1 + ...
l i m Öax2 + bx + c - Ödx2 + ex + f
x→¥
¥ untuk m > n ;
a/p untuk m =n ;
0 untuk m < n
¥ untuk a > d ;
b-e untuk m =n ;
2Öa
-¥ untuk a < d
Bila salah satu suku belum berbentuk tanda akar maka dibentuk dengan cara mengkuadratkan
kemudian menarik tanda akar.
DALIL L'HOSPITAL
Jika fungsi f dan g masing-masing terdifferensir pada titik x= a
dan f(a) = g(a) = 0 atau f(a) = g(a) = ¥ maka
l i m f(x) = l i m f(x)
x → ¥ g(x) x → a g(x)
CONTOH LIMIT FUNGSI ALJABAR
1. l i m x2 - 5x + 6 = (3)2 - 5(3) + 6 = 0
x→3
2. l i m 3x - 2 = ¥ (*) Uraikan
x → ¥ 2x + 1
¥
x(3 - 2/x) = 3 - 2/x = 3 - 0 = 3
x(2 - 1/x) 2 + 1/x 2 - 0 2
atau langsung gunakan hal khusus
3. l i m x2 - x - 1 = ¥ (*) Uraikan
x → ¥ 10x + 9
¥
x(x - 1 - 1/x) = x - 1 - 1/x = ¥ - 1 - 0 = ¥ =¥
x(10 - 9/x)
10 + 9/x
10 + 0 10
atau langsung gunakan hal khusus
15
Kelompok Empat
4. l i m x2 - 3x + 2 = 0 (*) Uraikan
x → 2 x2 - 5x + 6
0
(x - 1)(x - 2) = (x - 1) = 2 - 1 = -1
(x - 3)(x - 2) = (x - 3) = 2 - 3
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
5. l i m x3 - 3x2 + 3x - 1 = 0 (*) Uraikan
x→1
x2 - 5x + 6
0
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
6. l i m Ö2 + x - Ö2x = 0 (*) Hilangkan tanda akar dengan
x→2
x-2
0
mengalikan bentuk sekawan
(x - 1)3 = (x - 1)2 = (1 - 1)2 = 0 = 0
(x - 1) (x - 5) (x + 5) (1 + 5) 6
atau langsung gunakan hal khusus ® Differensial
7. l i m (3x - Ö9x2 + 4x) = ¥ - ¥ (*) Hilangkan tanda akar
x→¥
l i m (3x - Ö9x2 + 4x ) = é 3x - Ö9x2 + 4x ù = (*) Hilangkan tanda
x→ ¥
ë 3x - Ö9x2 + 4x û
akar
l i m (9x2 - (9x2 + 4x) = l i m
-4x
=
2
x → ¥ 3x + Ö(9x + 4x) x → ¥ 3x + 3x Ö[1+(a/9x)]
lim
x→ ¥
-4
= -4 = -2
(1
3 + 3Ö + 0)
6
3
atau langsung gunakan hal khusus
CONTOH LIMIT FUNGSI TRIGONOMETRI
1. l i m sin 2x = 0 (*)
x → 0 tg 3x 0
16
Kelompok Empat
sin 2x = 3x 2 = 1 . 1 . 2 = 2
2x tg 3x 3
3 3
2. l i m 1 - cos 2x = 0
x → 0 sin 2x
0
1 - (1 - 2 sin² 2x) = 2 sin² x = sin x = tg x = 0
2 sin x cos x
2 sin x cos
cos x
3. l i m 1 - cos x = 0
x→0
3x²
0
2 sin² (½x) = sin (½x) . sin (½x) = 1 . 1 . 1 = 1
3 . 4 . (½x) 6 (½x)
(½x) 6
6
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
4. l i m sin x - sin a = 0 (*)
x→0
x-a
0
2 cos ½(x+a) sin ½(x-a) = cos ½(x+a) . sin ½(x-a) =
x-a
½ (x - a )
cos ½(x+a) . 1 = cos ½(a+a) . 1 = cos a
atau langsung gunakan hal khusus Differensial
1.8 Grafik fungsi trigonometri dan periode
Berikut ini adalah 3 gambar grafik trigonometri yang mendasar, yaitu
grafik fungsi sinus, grafik fungsi kosinus dan grafik fungsi tangen. Untuk grafik
fungsi trigonometri yang lainnya, bisa digambar di software grafik yang
pembaca miliki.
Cosinus
17
Kelompok Empat
Gambar grafik kosinus ini, ketika
, maka nilai
. Menggambar
grafik trigonometri sinus dan kosinus ini sangat mudah untuk diingat. Ingat
saja lengkungannya dan periodiknya. Grafik kosinus dimulai dari 1, kemudian
ketika
, grafiknya memotong sumbu x. ketika
seterusnya sampai
, grafiknya bernilai
, dan
.
Grafiknya dicerminkan terhadap sumbu y. perhatikan gambar! Ingat.
suatu fungsi yang gambar grafiknya dicerminkan terhadapa sumbu y, maka
fungsi itu adalah fungsi genap. Jadi, nilai
. Sehingga kita bisa
mudah mengingat kenapa cos(-150) itu sama dengan cos(150).
Penggambaran
grafik
ini
sangat
membantu
untuk
mempermudah
menentukan nilai trigonometrinya. Kita sudah tidak perlu menghafal kuadrankuadran, nilai positif dan negatif.
Dengan melihat grafik dari fungsinya saja kita dengan mudah bisa
menentukan nilai trigonometrinya.
Sinus
18
Kelompok Empat
Gambar grafik sinus dimulai dari 0. Kemudian ketika nilai x sama dengan
, maka grafik tersebut mencapai ketinggian 1. Dan ketika nilai x sama
dengan
, maka grafiknya bernialai 0. Bisa dilihat pada gambar tersebut.
Fungsi sinus adalah fungsi ganjil. Perhatikan saja grafiknya. Gambar
grafiknya dicerminkan terhadap titik
.
Sinus
adalah
fungsi
. Ingat definisi fungsi ganjil, yaitu
ganjil.
Ini
bisa
dimanfaatkan
untuk
menentukan nilai dari sin(-60). Misalnya. Sin(-60) sama dengan –sin(60).
Tangen
Gambar grafik dari tangent cukup aneh bagi kita yang baru pertama
melihatnya. Perlu diingat bahwa tangent itu sama dengan sinus per cosines.
Jadi, titik-titik pada grafik tangent itu sama dengan titik-titik pada grafik
sinus dibagi dengan titik-titik pada grafik cosines. Perhatikan saja untuk
titik pada saat
pada grafik sinus adalah 0, dan padagrafik cosines adalah
1. Sehingga, pada grafik tangent akan sama dengan
Inilah yang bisa kalian pahami, mengapa tangent 90 itu tidak didefinisikan.
Tentunya karena pembagian dengan nol.
19
,
Kelompok Empat
Periodik dari ketiga fungsi trigonometri
Periodik adalah perulangan. Definisi periodic adalah
, maka
fungsi itu dikatakan periodic dengan periode c. Fungsi sinus, cosines dan
tangent adalah fungsi yang periodic. Karena ada c, sehingga
Yaitu ketika c itu sama dengan
.
. Perhatikan saja bahwa nilai dari
Sinus dan Cosinus
Fungsi sinus dan fungsi cosines adalah fungsi yang periodik dengan periode
.
Ini sangat membantu untuk menentukan suatu nilai trigonometri yang sangat
besar. Misalnya, berapakah nilai dari
. Maka kita tentunya bisa
memanfaatkan peridik dari fungsi tersebut.
Tangen
Berbeda dengan sinus dan kosinus. Fungsi tangent juga merupakan fungsi yang
periodic, tetapi besar periodenya berbeda dengan fungsi sinus dan fungsi
cosines. Periode dari tangent adalah
1.9 Persamaan Trigonometri
Persamaan trigonometri adalah suatu persamaan yang mengandung satu atau
lebih fungsi trigonometri. Contoh
Teknik dasar untuk menyelesaikan persamaan trigonometri adalah menggunakan
identitas trigonometri dan teknik aljabar untuk mengubah suatu persamaan
trigonometri menjadi bentuk yang lebih sederhana.
contoh.
20
Kelompok Empat
( membagi kedua ruas dengan 2)
(ingat identitas :
karena
, maka solusinya adalah
. dimana k adalah
bilangan bulat.
Contoh 2.
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan
, pada interval
.
Jawab.
. (
).
, (ingat
)
atau
untuk
untuk
, penyelesaiannya
.
, penyelesaiannya
Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah
contoh
3.
Tentukan penyelesaian dari
Jawab.
21
Kelompok Empat
, untuk
atau
Jadi penyelesaian dari persamaan di atas adalah
1.10 Pertidaksamaan Trigonometri
Pertidaksamaan trigonometri dapat diselesaikan dengan metode grafik
fungsi dan garis bilangan.
22
Kelompok Empat