TRIGONOMETRI Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga

TRIGONOMETRI
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur) adalah
sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsi
trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen. Trigonometri memiliki hubungan
dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya; bagi
beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.
Sejarah awal
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan
peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah
perintis penghitungan variable aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan
juga trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang
menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam
bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah
India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk
menyelesaikan segi tiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan
penghitungan trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang
berpengaruh tentang trigonometri pada 1595 dan memperkenalkan kata ini ke
dalam bahasa Inggris dan Perancis.
Trigonometri sekarang ini
Ada banyak aplikasi trigonometri. Terutama adalah teknik triangulasi yang digunakan
dalam astronomi untuk
menghitung
jarak
ke
bintang-bintang
terdekat,
dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistem navigasi satelit.
Bidang
lainnya
yang
menggunakan
trigonometri
termasuk astronomi (dan
termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis
pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical
imaging (CAT
scan dan ultrasound),
farmasi,
kimia,
teori
angka
(dan
termasuk kriptologi), seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam
ilmu fisika, survei darat dan geodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik
mekanik, teknik sipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi.
Trigonometri
1
Ada pengembangan modern trigonometri yang melibatkan "penyebaran" dan
"quadrance", bukan sudut dan panjang. Pendekatan baru ini disebut trigonometri
rasional dan merupakan hasil kerja dari Dr. Norman Wildberger dari Universitas New
South Wales.
Hubungan fungsi trigonometri
Fungsi dasar:
Trigonometri
2
Sinus
Sinus (lambang: sin; bahasa Inggris: sine) dalam matematika adalah perbandingan
sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi miring (dengan catatan bahwa
segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 o). Perhatikan
segitiga di kanan; berdasarkan definisi sinus di atas maka nilai sinus adalah
Nilai sinus positif di kuadran I dan II dan negatif di kuadran III dan IV.
Kosinus
Kosinus atau cosinus (simbol: cos; bahasa Inggris: cosine) dalam matematika adalah
perbandingan sisi segitiga yang terletak di sudut dengan sisi miring (dengan catatan
bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 o).
Perhatikan segitiga di atas. Berdasarkan definisi kosinus di atas maka nilai kosinus
adalah
Nilai kosinus positif di kuadran I dan IV dan negatif di kuadran II dan III.
Trigonometri
3
Tangen
Tangen (lambang tg, tan; bahasa Belanda: tangens; bahasa Inggris: tangent) dalam
matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang ada di depan sudut dengan sisi
segitiga yang terletak di sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga sikusiku atau salah satu sudut segitiga itu 90o).
Berdasarkan segitiga pada ilustrator (di atas), berdasarkan definisi tangen, di atas maka
nilai tangen adalah
Nilai tangen positif di kuadran I dan III dan negatif di kuadran II dan IV.
Hubungan Nilai Tangen dengan Nilai Sinus dan Cosinus
Kosekan
Kosekan (disimbolkan
dengan cosec atau csc; bahasa
Inggris: cosecant)
dalam
matematika adalah perbandingan sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak di depan
sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu
sudut segitiga itu 90o). Perhatikan segitiga di atas; berdasarkan definisi kosekan di atas
maka nilai kosekan adalah
Hubungan kosekan dengan sinus:
Trigonometri
4
Sekan
Sekan (lambang: sec; bahasa Inggris: secant) dalam matematika adalah perbandingan
sisi miring segitiga dengan sisi yang terletak pada sudut (dengan catatan bahwa
segitiga itu adalah segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 o). Perhatikan
segitiga di atas; berdasarkan definisi sekan di atas maka nilai sekan adalah
Hubungan sekan dengan kosinus:
Kotangen
Kotangen (lambang: cot, cotg,
atau cotan; bahasa
Inggris: cotangent)
dalam
matematika adalah perbandingan sisi segitiga yang terletak pada sudut dengan sisi
segitiga yang terletak di depan sudut (dengan catatan bahwa segitiga itu adalah
segitiga siku-siku atau salah satu sudut segitiga itu 90 o). Perhatikan segitiga di atas;
berdasarkan definisi kotangen di atas maka nilai kotangen adalah
Hubungan kotangen dengan tangen:
Trigonometri
5
Hukum sinus
Dalam trigonometri, hukum sinus ialah pernyataan tentang segitiga yang berubahubah di udara. Jika sisi segitiga ialah (kasus sederhana) a, b dan c dansudut yang
berhadapan bersisi (huruf besar) A, B and C, hukum sinus menyatakan
Rumus ini berguna menghitung sisi yang tersisa dari segitiga jika 2 sudut dan 1 sisinya
diketahui, masalah umum dalam teknik triangulasi. Dapat juga digunakan saat 2 sisi
dan 1 dari sudut yang tak dilampirkan diketahui; dalam kasus ini, rumus ini dapat
memberikan 2 nilai penting untuk sudut yang dilampirkan. Saat ini terjadi, sering hanya
1 hasil akan menyebabkan seluruh sudut kurang daripada 180°; dalam kasus lain, ada
2 penyelesaian valid pada segitiga.
Timbal balik bilangan yang yang digambarkan dengan hukum sinus (yakni a/sin(A))
sama dengan diameter d . Kemudian hukum ini dapat dituliskan
Dapat ditunjukkan bahwa:
di mana
s merupakan semi-perimeter
Trigonometri
6
Hukum cosinus
Sebuah segitiga sembarang
Hukum kosinus, atau disebut juga aturan kosinus, dalam trigonometri adalah aturan
yang memberikan hubungan yang berlaku dalam suatu segitiga, yaitu antara panjang
sisi-sisi segitiga dan kosinus dari salah satu sudut dalam segitiga tersebut.
Perhatikan gambar segitiga di atas.
Aturan kosinus menyatakan bahwa
dengan adalah sudut yang dibentuk oleh sisi a dan sisi b, dan c adalah sisi yang
berhadapan dengan sudut .
Aturan yang sama berlaku pula untuk sisi a dan b:
Dengan kata lain, bila panjang dua sisi sebuah segitiga dan sudut yang diapit oleh
kedua sisi tersebut diketahui, maka kita dapat menentukan panjang sisi yang satunya.
Sebaliknya, jika panjang dari tiga sisi diketahui, kita dapat menentukan besar sudut
dalam segitiga tersebut.
Trigonometri
7
Triangulasi
Triangulasi dapat digunakan untuk menentukan koordinat dan jarak dari pantai ke
kapal. Pengamat di A mengukur sudut αantara pantai dan kapal, dan pengamat di B
melakukan hal yang sama untuk β. Jika panjang l atau koordinat A dan B diketahui,
maka hukum sinus dapat diterapkan dalam menentukan koordinat kapal di C dan
jarak d.
Dalam trigonometri dan geometri dasar, triangulasi adalah proses mencari koordinat
dan jarak sebuah titik dengan mengukur sudut antara titik tersebut dan dua titik
referensi lainnya yang sudah diketahui posisi dan jarak antara keduanya. Koordinat dan
jarak ditentukan dengan menggunakan hukum sinus.
Pada gambar di atas, dapat dilihat bahwa sudut ketiga (sebut saja θ) diketahui sama
dengan 180°-α-β, atau dapat dihitung sebagai perbedaan antara dua penentuan arah
kompas yang diambil dari titik A dan B. Sisi l adalah sisi yang berlawanan dengan
sudut θ dan sudah diketahui jaraknya. Dengan hukum sinus, rasio sin(θ)/l sama dengan
rasio yang berlaku untuk sudut α dan β, sehingga panjang dari 2 sisi lainnya dapat
dihitung
dengan
aljabar.
Dengan
menggunakan
salah
satu
panjang
sisi, sinus dan cosinus dapat digunakan untuk menghitung arah/kedudukan dari sumbu
utara/selatan dan timur/barat dari titik pengamatan ke titik yang tidak diketahui tersebut,
sehingga dapat memberikan koordinat akhir.
Identitas trigonometri
Trigonometri
8
Penjumlahan
Rumus sudut rangkap dua
Rumus sudut rangkap tiga
Trigonometri
9
Rumus setengah sudut
Sumber : id.wikipedia.org/wiki/Trigonometri
Trigonometri
10