trigonometri - WordPress.com

1. TRIGONOMETRI
A. Sejarah
Trigonometri (dari bahasa Yunani trigonon = tiga sudut dan metro = mengukur)
adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan
dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometrik seperti sinus, cosinus, dan tangen.
Trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipun ada ketidaksetujuan
tentang apa hubungannya; bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari
geometri.
Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan
peradaban Lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan India adalah perintis
penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga
trigonometri. Lagadha adalah matematikawan yang dikenal sampai sekarang yang
menggunakan geometri dan trigonometri untuk penghitungan astronomi dalam
bukunya Vedanga, Jyotisha, yang sebagian besar hasil kerjanya hancur oleh penjajah India.
Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun tabel trigonometri untuk
menyelesaikan segitiga.
Matematikawan Yunani lainnya, Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan penghitungan
trigonometri lebih lanjut.
Matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitk
B. Materi
A.
Pengertian Trigonometri
Trigonometri terdiri dari sinus (sin), cosinus (cos), tangens ( tan), cotangens (cot), secan
(sec) dan cosecan (cosec). Trigonometri merupakan nilai perbandingan yang didefinisikan
pada koordinat kartesius atau segitiga siku-siku. Jika trigonometri didefinisikan dalam
segitiga siku-siku, maka definisinya adalah sebagai berikut.
B.
C.
Rumus-rumus Identitas Trigonometri
Nilai Trigonometri untuk Sudut-sudut Istimewa
D. Rumus- Rumus Trigonometri
E.
Ukuran Radian
Aturan Trigonometri dalam Segitiga
Satu radian adalah besar sudut pusat busur lingkaran yang panjangnya sama dengan jari-jari.
Hubungan Derajat dengan Radian
Untuk mengubah sudut sebesar 𝛉 ke dalam satuan radian, menggunakan rumus:
Dan untuk mengubah sudut sebesar X radian ke dalam satuan derajat, menggunakan rumus:
Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku
Jika dipandang dari sudut 𝛉, maka sisi BC disebut sisi depan, sisi AB disebut sisi samping, dan sisi AC
disebut sisi miring.
Jika sisi AB = x, sisi BC = y, dan sisi AC = r, maka
Perbandingan Trigonometri Sudut Berelasi
Dalam satu putaran, yaitu 360°, sudut dibagi menjadi empat relasi, yaitu:
1.
2.
3.
4.
Kuadran I
Kuadran II
Kuanran III
Kuadran IV
: 0°≤ α ≤ 90°
: 90° < α ≤ 180°
: 180° < α ≤ 270°
: 270° < α ≤ 360°
CONTOH SOAL!
1. Tentukan sumbu simetri grafik
fungsi kuadrat y = 5x2 -
20x + 1.
Pembahasan:
Sumbu simetri suatu fungsi kuadrat dapat dihitung dengan rumus x = -b/2a. Dari fungsi
kuadrat pada soal diperoleh a = 5 dan b = -20.
x = -b/2a
⇒ x = -(-20)/2(5)
⇒ x = 20/10
⇒x=2
Jadi sumbu simetri untuk fungsi kuadrat y = 5x2 - 20x + 1 adalah x = 2.
2. Tentukan titik balik fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)2 + 3.
Pembahasan:
Terlebih dahulu kita uraikan fungsi kuadrat di atas menjadi :
F(x) = 2(x + 2)2 + 3
⇒ F(x) = 2(x2 + 4x + 4) + 3
⇒ F(x) = 2x2 + 8x + 8 + 3
⇒ F(x) = 2x2 + 8x + 11 Dari fungsi di atas diperoleh a = 2, b = 8.
Titik balik fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan (x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
x = -b/2a
⇒ x = -8/2(2)
⇒ x = -8/4
⇒ x = -2
y = F(-b/2a) = F(x)
⇒ y = F(-2)
⇒ y = 2(-2)2 + 8(-2) + 11
⇒ y = 2(4) - 16 + 11
⇒ y = 8 - 16 + 11
⇒ y = 8 - 16 + 11
⇒ y = 3 Jadi, titik balik untuk fungsi kuadrat F(x) = 2(x + 2)2 + 3 adalah (-2,3).
3. Tentukan koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x - 6)(x + 2).
Pembahasan:
Uraikan persamaan di atas menjadi :
y = (x - 6)(x + 2)
⇒ y = x2 + 2x - 6x - 12
⇒ y = x2 - 4x - 12
Dari persamaan di atas diperoleh a = 1 dan b = -4.
Titik balik fungsi kuadrat dapat ditentukan dengan:
(x,y) = (-b/2a, F(-b/2a)).
x = -b/2a
⇒ x = -(-4)/2(1)
⇒ x = 4/2
⇒ x = 2 y = F(-b/2a) = F(x)
⇒ y = F(2) ⇒ y = 22 - 4(2) - 12
⇒ y = 4 - 8 - 12
⇒ y = -16 Jadi, titik balik fungsi kuadrat y = (x - 6)(x + 2) adalah (2,-16).
4. Jika grafik fungsi y = x2 + px + k mempunyai titik puncak (1,2), maka tentukan nilai p dan k.
Pembahasan:
Dari y = x2 + px + k diperoleh a = 1, b = p dan c = k.
Titik puncak (1,2) maka x = 1 dan y = 2.
x = -b/2a = 1
⇒ -b/2a = 1
⇒ -p/2 =1
⇒ p = -2 y = y(-b/2a) = y(1) = 2
⇒ x2 + px + k = 2
⇒ (1)2 + -2(1) + k = 2
⇒1-2+k=2
⇒k=2+1
⇒ k = 3 Jadi, p = -2 dan k = 3.
5. Tentukn koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat y = 3x2 - x - 2 dgn sumbu x & sumbu y.
Pembahasan:
Titik potong pada sumbu x dapat diperoleh jika y = 0.
3x2 - x - 2 = 0
⇒ (3x + 2)(x - 1) = 0
⇒ x1 = -2/3 dan x2 = 1 Maka titik potongnya (-2/3,0) dan (1,0).
Titik potong pada sumbu y dapat diperoleh dengan x = 0.
⇒ y = 3x2 - x - 2
⇒ y = 3(0)2 - (0) - 2
⇒ y = -2 Maka titik potongnya (0,-2).
6. Ke arah manakah grafik fungsi f(x) = x2 harus digeser untuk memperoleh grafik fungsi
kuadart f(x) = x2 - 6x + 7.
Pembahasan:
Fungsi kuadrat f(x) = x2 memiliki nilai :
⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas.
⇒ b = 0 sehingga titik balik parabola berada pada sumbu y.
⇒ c = 0 sehingga grafik parabola melalui titik (0,0).
Fungsi kuadrat f(x) = x2 - 6x + 7 memiliki nilai :
⇒ a > 0 sehingga parabola terbuka ke atas
⇒ b = -6 maka a.b = -6 < 0 sehingga titik balik ada di kanan sumbu y.
⇒ c = 7 > 0 sehingga parabola memotong sumbu y di atas sumbu x.
Karena titik balik ada di kanan sumbu y, berarti grafik f(x) = x2 harus digeser ke arah kanan
sumbu x. Untuk lebih jelasnya kita dapat menentukan terlebih dahulu titik-titik yang
dibutuhkan, yaitu :
⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -(-6)/2(1) = 3
⇒ nilai ekstrim = y = f(-b/2a) = f(3) = 32 - 6(3) + 7 = -2 ⇒ titik balik = (x,y) = (3,-2)
Ingat bahwa grafik f(x) = x2 melalui titik (0,0) sedangkan grafik f(x) = x2 - 6x + 7 melalui
titik (3,-2), maka kita dapat menggambar grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 - 6x + 7 dengan
menggeser grafik fungsi kuadrat f(x) = x2 ke arah kanan sumbu x sejauh 3 satuan dan ke arah
bawah sumbu y sejauh 2 satuan seperti gambar di bawah ini :
7. Gambarkan grafik fungsi kuadrat y = x2 + 2x + 5.
Pembahasan:
Dari soal diperoleh a = 1, b = 2 dan c = 5. Tentukan titik-titik yang dibutuhkan, yaitu :
⇒ sumbu simetri = x = -b/2a = -2/2(1) = -1
⇒ nilai ekstrim = y = f(-1) = (-1)2 + 2(-1) + 5 = 4
⇒ titik balik = (x,y) = (-1,4) berarti parabola tidak memotong sumbu x.
⇒ titik potong pada sumbu y = (0,c) = (0,5)
maka grafik untuk y = x2 + 2x + 5 adalah seperti berikut ini :
Jika dianalisis berdasarkan nilai a, b, c dan diskriminan, kita dapat membuktikan bahwa
grafik di atas sesuai atau tidak. ⇒ a = 1 → a > 0 : parabola terbuka ke atas. ⇒ b = 2 → a.b =
1(2) = 2 → a.b > 0 : titik balik di kiri sumbu y. ⇒ c = 5 → c > 0 : parabola memotong sumbu
y di atas sumbu x. ⇒ D = b2 - 4ac = 4 - 4(1)(5) = - 16 : grafik tidak memotong sumbu x
karena D < 0.
8. Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang mempunyai titik balik minimum (1,2) dan
melalui titik (2,3).
Pembahasan:
Misalkan fungsi kuadrat f(x) = ax2 + bx + c
maka kita harus mencari nilai a, b, dan c. Titik balik minimum (1,2) maka :
sumbu simetri = x = 1
⇒ -b/2a = 1 maka b = -2a
nilai ekstrim = y = 2
⇒ f(-b/2a) = 2
⇒ a(1)2 + b(1) + c = 2
⇒ a + b + c = 2 → ganti b dengan -2a.
⇒ a - 2a + c = 2
⇒ -a + c = 2 Melalui titik (2,3), maka :
⇒ f(2) = 3
⇒ a(2)2 + b(2) + c = 3
⇒ 4a + 2b + c = 3
⇒ 4a + 2(-2a) + c = 3
⇒ 4a - 4a + c = 3
⇒ c = 3 Substitusi nilai c = 3 ke persamaan -a + c = 2.
⇒ -a + 3 = 2
⇒ -a = -1
⇒ a = 1 Karena a = 1 maka :
⇒ b = -2a
⇒ b = -2(1)
⇒ b = -2 Jadi fungsi kuadrat yang grafiknya melalaui titik (2,3) dan titik balik minimum (1,2)
adalah : x2 - 2x + 3.
9. Nyatakan sudut 0,65 radian dalam satuan derajat!
Jawab:
10. Nyatakan sudut 154° ke satuan radian!
Jawab:
11. Suatu lingkaran memiliki panjang busur 15 cm dan dengan sudut pusat 45°, carilah jari-jari
lingkaran tersebut!
Jawab:
Kita harus merubah 𝛉= 45° ke dalam bentuk radian.
panjang
cm, dan panjang AB = 12 cm, dengan sudut b = 𝛉.
12. Perhatikan gambar berikut!
Diketahui
AC = 9
Tentukan
nilai dari sin 𝛉, cos 𝛉, dan tan 𝛉!
Jawab:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
13. Jika sin 15°= y.
Tentukan nilai trigonometri berikut dalam y!
Cos 15°
Tan 15°
Sin 75°
Cos 75°
Tan 75°
Cosec 15°
Cotan 75°
Sec 75°
jawab:
a.
b.
c.
d.
e.