Dalam makalah ini akan dibahas tentang Teorema Cayley dan

TEOREMA CAYLEY DAN PEMBUKTIANNYA
Eddy Djauhari
Departemen Matematika Fmipa Universitas Padjadjaran
Jalan Raya Bandung-Sumedang km. 21, tlp./fax. : 022-7794696, Jatinangor, 45363
Email : [email protected]
ABSTRAK
Dalam makalah ini akan dibahas tentang Teorema Cayley dan pembuktiannya dengan menggunakan
dua metode, yaitu melalui korespondensi 1-1 antara pohon berlabel dengan barisan dan melalui
Teori Kombinatorial. Teorema Cayley ini dikemukakan oleh seorang matematikawan Inggris yang
bernama Arthur Cayley. Dalam Teorema Cayley ini dikatakan bahwa bila n merupakan bilangan
bulat lebih besar dari satu, maka jumlah pohon yang memiliki n simpul berlabel adalah 𝑛𝑛−2 .
Sampai saat ini sudah banyak yang menemukan metode pembuktian Teorema Cayley ini, namun
dalam makalah ini hanya dibahas dua metode pembuktian saja.
Kata kunci : Teori Graf, Teori Kombinatorial, Teorema Cayley, Korespondensi 1-1, dan
Pohon Berlabel.
1. PENDAHULUAN
Dalam waktu sekarang-sekarang ini, teori
graf telah menguatkan dirinya sebagai alat
(tool)matematika yang sangat penting dan
bermanfaat. Hal yang utama adalah
berhubungan dengan struktur diskrit yang ada
pada sistem. Banyak sekali ilmu yang
menggunakan Teori Graf (Graph Theory),
mulai dari riset operasi, proses komputasi,
rangkaian listrik, ilmu komputer, kimia dan
biologi (terutama tentang genetika). Teori graf
bahkan telah menjadi ilmu tersendiri seperti
halnya cabang Ilmu Matematika yaitu Aljabar
dan Analisis.
Bahkan dengan berkembangnnya Ilmu
Komputer dan Teknik Informatika, maka
Teori Graf telah banyak memberikan
dukungan dalam ilmu yang baru yakni
Algoritma Graf (Graph Algorithm). Graf
secara sederhana terdiri dari dua himpunan
berhingga, yaitu himpunan titik yang disebut
dengan himpunan vertex (V=vertex = titik)
dan himpunan garis atau himpunan sisi (E =
Edge) = sisi). Graf dengan himpunan vertex
dan himpunan sisi disimbolkan dengan G
(V,E). Dalam makalah ini akan dibicarakan
tentang graf yang bersifat khusus, yaitu pohon
(tree), karena Teorema Cayley berhubungan
dengan pohon berlabel.
2. KAJIAN LITERATUR
2.1 Pohon
Untuk para Matematikawan dan Ilmuwan
yang lain, pohon merupakan bentuk graf yang
sederhana dan banyak memiliki sifat-sifat
yang
mentakjubkan
/
mengagumkan.
Contohnya isomer – isomer kimia karbon
divisualisasikan berbentuk pohon. Penyajian
jaringan komputer pun merupakan bentuk
pohon. Dalam kehidupan sehari-hari, orang
telah lama menggunakan pohon untuk silsilah
keluarga. Pohon sudah lama digunakan sejak
tahun 1857, ketika Matematikawan Inggris
bernama Arthur Cayley menggunakan pohon
untuk menghitung jumlah senyawa kimia.
Akhir – akhir ini pohon digunakan juga
pada pemodelan jaringan komputer yang
memuat berbagai macam elemen seperti
komputer-komputer dan kabel komunikasi.
Selanjutnya akan diberikan beberapa definisi
yang berkaitan dengan teori pohon.
Definisi 2.1 :
Pohon (tree) adalah graf tak berarah
terhubungkan yang tidak memiliki rangkaian
sederhana.
Definisi 2.2 :
Pohon perentang (spanning tree) dari graf G
adalah graf bagian G yang berupa pohon dan
memuat semua vertex dari G.
Definisi 2.3 :
Derajat (degree) sebuah vertex (simpul) atau
titik v disimbolkan dengan deg(v) adalah
banyaknya sisi/garis/rusuk yang berhubungan
dengan titik v, dan sisi suatu loop dihitung dua
kali.
Definisi 2.4 :
Jembatan (bridge) adalah sisi dalam suatu graf
yang penghapusannya akan membuat graf
terpecah menjadi dua komponen.
Definisi 2.5 :
Pohon berlabel atau pohon bernilai adalah
pohon yang di setiap simpulnya mempunyai
keterangan/nilai yang digunakan untuk
mengindikasikan bahwa diagram tersebut
digunakan untuk tujuan tertentu. Di bawah ini
diberikan contoh pohon dan bukan pohon.
T1 :
v1
v2
v4
v3
v5
v6
v7
T2 :
v8
v7
v1
v3
v2
v4
v8
v5
v6
Gambar 1. T1 pohon dan T2 bukan pohon
Teorema – teorema di bawah ini dan buktinya
merupakan hasil dan sifat-sifat yang dimiliki
pohon.
Teorema 2.1 :
Jika T adalah pohon dengan n titik maka T
mempunyai (n − 1) sisi atau rusuk.
Bukti :
Untuk n = 1 maka jelas T merupakan sebuah
titik saja yaitu graf tanpa sisi (n − 1) = 0 sisi.
Untuk n > 1, maka T mempunyai (n − 1) sisi.
Jika sebuah sisi sembarang e di T dihapus,
maka akan didapat 2 graf bagian yang masingmasing merupakan pohon, katakanlah T1 dan
T2 dengan masing-masing titik sebanyak n1
dan n2 dan masing-masing sisi sebanyak k1
dan k 2 .
Dari sini diperoleh hubungan sebagai berikut :
n1 + n2 = n , k1 + k 2 = (n1 − 1) + (n2 −
1) = n1 + n2 − 2 = n − 2 (sebab sebuah sisi
sembarang e telah dihapus dari T). Jadi k1 =
n1 − 1 dan k 2 = n2 − 1.
Teorema 2.2 :
Jika T tidak memiliki rangkaian sederhana dan
mempunyai (n − 1) sisi, maka T terhubung
Bukti :
Misalkan T tak terhubung dan mempunyai
(n − 1) sisi maka T tidak memiliki rangkaian
sederhana dan jumlah titiknya lebih satu
daripada jumlah sisinya. Oleh sebab itu jumlah
total titik di T melebihi sisinya dengan paling
sedikit 2, yang kontradiksi dengan kenyataan
bahwa T memiliki (n − 1) sisi.
Teorema 2.3 :
Jika T adalah graf terhubung dan mempunyai
(n − 1) sisi mata T terhubung dan setiap
sisinya adalah jembatan.
Bukti :
Akan dibuktikan dengan kontradiksi. Misalkan
T terhubung dan ada sisinya yang bukan
jembatan, maka dengan menghilangkan sebuah
sisi tertentu, akan didapat graf dengan n titik
dan (n − 2) sisi. Graf ini pastilah tidak
terhubung, sehingga diperoleh kontradiksi.
Teorema 2.4 :
Jika T adalah graf terhubung dan setiap sisinya
merupakan jembatan, maka dua titik
sembarang di T dihubungkan dengan tepat satu
lintasan.
Bukti :
Akan dibuktikan dengan kontradikasi :
Jika dua titik sembarang di T dihubungkan
dengan lebih dari satu lintasan (katakanlah dua
lintasan), maka dua titik tersebut membentuk
rangkaian. Dengan adanya rangkaian maka
setiap sisi pada rangkaian tersebut bukan
jembatan, dengan kata lain ada sisi yang bukan
merupakan jembatan di T. Hal ini kontradiksi
dengan kenyataan bahwa setiap sisi di T
adalah jembatan. Teorema - teorema di atas
merupakan teorema penting yang berkaitan
dengan pohon. Teorema Cayley berhubungan
dengan jumlah total (non isomorfis) pohon
berlabel.
Teorema 2.5 (Teorema Cayley) : [3]
Ada sebanyak nn-2 pohon berlabel dengan n
titik yang berbeda.
sehingga diperoleh hanya dua titik yang
tinggal.
Ilustrasi :
3. METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang penulis lakukan adalah
membahas tentang kontruksi pembuktian
Teorema Cayley dengan dua pendekatan.
Pendekatan itu adalah dengan melakukan
korespondensi 1-1 antara pohon berlabel
dengan barisan bilangan bulat positif dan yang
kedua dengan melakukan perhitungan melalui
teori kombinatorial. Dalam hal ini pohon
berlabel adalah pohon yang titiknya dilabelkan
dengan bilangan bulat positif.
4. HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1 Korespondensi 1-1 antara pohon
berlabel dengan barisan. [4]
Inti pembuktian Teorema Cayley dengan
korespondensi
adalah
melakukan
korespondensi 1-1 antara pohon berlabel
dengan barisan ( a1 , a2 , a3 , …, an−2 ).
Pembuktian ini telah dilakukan oleh Pruefer.
Gambar 2. Konstruksi dasar pembuktian
dengan korespondensi 1-1
Pros. 1 (Proses 1) :
konstruksi dari pohon berlabel menjadi barisan.
Pros. 2 (Proses 2) :
konstruksi dari barisan menjadi pohon berlabel.
Langkah – langkah pada proses 1
(diketahuinya pohon berlabel ):
a. Cari titik dengan derajat satu dan pilih
dengan label indeks terkecil.
b. Cari titik yang langsung berhubungan
dengan titik yang telah dipilih dan
tempatkanlah indeks itu pada posisi
pertama barisan.
c. Hilangkan titik yang dipilih pada langkah a.
dan sisi yang berhubungan dengannya,
sehingga diperoleh pohon yang lebih kecil
jumlah titiknya.
d. Ulangi langkah a. sampai dengan c,
T:
v7
v1
v2
v3
v6
No
:1
Pilih
: v3
Berhub. : v2
Indeks : 2
Hilang : v3
v5
2
v4
v2
2
v4
v4
3
v2
v1
1
v2
4
v1
v5
5
v1
5
v6
v5
5
v6
Gambar 3. Pohon berlabel T dan barisan (2 ,
2 , 1 , 5 , 5 ) sebagai pasangannya
Langkah-langkah
pada
proses
2
(diketahuinya barisan (a1 , a2 , a3 , …, an−2) ) :
a. Gambarlah n titik, labelkan mereka dari v1 ,
v2 , v3 …, vn dan buatlah daftar bilangan
dari 1 sampai dengan n.
b. Tentukan bilangan terkecil yang ada di
dalam daftar tersebut, tapi tidak berada di
barisan dan juga tentukan bilangan pertama
dalam barisan; kemudian tambahkan sisi
yang menggabungkan titik-titik tersebut
dalam gambar.
c. Hilangkan bilangan pada langkah b. dari
daftar bilangan dan bilangan pertama dari
barisan, sehingga didapat daftar bilangan
dan barisan bilangan yang lebih sedikit.
d. Ulangi langkah b. dan c. untuk daftar
bilangan dan barisan bilangan sisanya,
sampai hanya ada dua label yang tinggal
dalam daftar. Kemudian gabungkan titiktitik pada gambar sesuai dengan dua label
sisanya.
Ilustrasi : diketahui barisan (2, 2, 1, 5, 5), akan
dicari pohon berlabel yang bersesuaian
dengannya. Sediakan lebih dahulu daftar
{1 , 2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7 }, sebab 7 – 2 = 5.
1. Barisan : ( 2 , 2 , 1 , 5 , 5 )
Daftar : {1 , 2 , 3 ,4 , 5 , 6 , 7 }
v7
v1
v2
5.Barisan : ( 5)
Daftar : { 5 , 6 , 7 }
v7
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v6
2. Barisan : ( 2 , 1 , 5 , 5 )
Daftar : {1 , 2 , 4 , 5 , 6 , 7 }
v1
v3
v5
v4
6.Barisan : ( - )
Daftar : { 5 ,7 }
v2
v7
v7
v1
v2
v3
v6
v5
v4
v3
v6
v5
v4
Gambar 4. Langkah-langkah proses 2
3. Barisan : ( 1 , 5 , 5 )
Daftar : {1 , 2 , 5 , 6 , 7 }
v1
v2
v7
v3
v6
v5
v4
4.Barisan :( 5 ,5)
Daftar : {1 , 5 ,6 , 7 }
v1
v2
v7
v3
v6
v5
v4
Dengan adanya konstruksi korespondensi 1- 1
tersebut, langsung dapat dilihat bahwa, bila
dimiliki pohon berlabel maka dapat dibentuk
barisannya. Jika dimiliki barisan (a1 , a2 , a3 ,
…, an−2 ) maka dapatlah dibentuk pohon
berlabelnya. Buktinya langsung diperoleh dari
barisan. Barisan (a1, a2 , a3 , …, an−2) memuat
(n-2) suku dan tiap-tiap suku mempunyai
kemungkinan untuk mengambil nilai 1, 2, 3, 4,
5, ..., n. Sehingga jumlah total kemungkinan
pohon berlabelnya ada nn−2 buah. Selesailah
bukti dengan metode pertama.
Akibat 4.1.1 :
Jumlah pohon perentang untuk graf k n ada
nn−2 buah .
Bukti :
K n adalah graf yang terdiri dari n titik dimana
setiap pasang titiknya dihubungkan dengan
tepat satu sisi. Buktinya dengan menggunakan
korespondensi
1-1
seperti
di
atas.
Korespondensi itu dilakukan antara semua
pohon perentangan K n yang terdiri titik - titik
{ v1 , v2 , v3 …, vn } dengan himpunan barisan
(a1 , a2 , a3 , …, an−2 ), dimana ai adalah
bilangan bulat yang memenuhi 1 ≤ ai ≤ n.
Jumlah semua kemungkinan yang didapat
dari korespondensi itu adalah nn−2 , karena ada
n cara untuk memilih setiap ai .
Akibat 4.1.2 :
Jumlah pohon perentang dari graf K n – e
adalah (n-2)nn-3 .
Bukti :
K n – e adalah graf K n yang sembarang sisi e
dihapus. Misalkan sisi e tersebut adalah
{ vn−1 , vn }, maka dapat dibentuk
korespondensi 1-1 seperti pada pembuktian
Teorema Cayley. Korespondensi itu antara
titik { v1 , v2 , v3 …, vn } di K n – e dengan
himpunan barisan ((a1 , a2 , a3 , …, an−2)). Tiap
ai adalah bilangan bulat 1 ≤ ai ≤ n untuk i = 1,
2, 3, …, (n-3) dan 1 ≤ an−2 ≤ n-2 . Sehingga
ada n cara untuk memilih setiap ai , i = 1, 2, 3,
…, (n -3) dan ada (n – 2) cara untuk memilih
𝑎𝑛−2 . Dengan kata lain ada (n-2)nn-3 pohon
perentang.
Langkah induksi : misalkan teorema benar
untuk n = k. Jadi,
4.2. Teorema Kombinatorial
Proses
pembuktian
dengan
Teori
Kombinatorial merupakan bukti langsung.
Dengan teori ini, diadakan penghitungan
langsung dengan melakukan pemecahan dan
penggabungan pohon. Teorema - teorema
penting yang digunakan dalam pembuktian
akan diberikan di bawah ini.
(x + y)k+1 = (x + y)k (x + y)
Teorema 4.2.1 (Binomial) : [1]
Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan
real dan n adalah bilangan bulat positif, maka
n
n
(x + y) = ∑ ( ) x n−k y k
k
n
k=0
n
n
n
= ( ) x n + ( ) x n−1 y + ( ) x n−2 y 2 + ⋯ +
0
1
2
n
n n
n−1
(
) xy
+ ( )y
n−1
n
Bukti : Teorema binomial akan dibuktikan
dengan induksi matematika.
Basis induksi : Akan dibuktikan bahwa
teorema benar untuk 𝑛 = 1, yaitu bahwa
1
1
(x + y) = ∑ ( ) x1−k . y k
k
1
k=0
1
1
= ( ) x1−0 . y 0 + ( ) x1−1 . y1 = x + y
0
1
(x + y)k = (k) x k + (k) x k−1 y +
0
1
k k−2 2
( )x y + ⋯+
2
k
k
(
) xy k−1 + ( ) y k
k−1
k
Akan dibuktikan bahwa teorema juga benar
untuk n = k + 1, yaitu bahwa :
(x + y)k+1 = (k + 1) x k+1 + (k + 1) x k y +
0
1
k + 1 k−1 2
(
)x y +⋯+
2
k + 1 k+1
k+1
(
) xy k + (
)y
k+1
k
Dengan menggunakan kebenaran hipotesis
(x + y)k , maka didapat
(x + y)k+1 = {(k) x k + (k) x k−1 y +
0
1
k k (x
… + ( ) y } + y)
k
k k
k
= {( ) x + ( ) x k−1 y + ⋯ +
0
1
k
k
( ) y k } x + {( ) x k +
0
k
k
k
( ) x k−1 y + ⋯ + ( ) y k } y
1
k
(x + y)k+1 = {(k) x k+1 + (k) x k y + ⋯ +
0
1
k
k
( ) xy k } + {( ) x k y +
0
k
k k−1 2
k
( ) x y + ⋯ + ( ) y k+1 }
1
k
(x + y)k+1 = (k) x k+1 + {(k) + (k)} x k y
0
0
1
k
k
k−1 2
+ {( ) + ( )} x y + ⋯
2
1
k
k
+ {( ) + (
)} xy k
k
k−1
k
+ ( ) y k+1
k
Menurut identitas Pascal,
k
k
k+1
( )+(
)=(
) sehingga
r
r−1
r
k+1
(x + y)
k
k+1 k
= ( ) x k+1 + (
)x y +
0
1
k + 1 k−1 2
(
)x y +⋯+
2
k+1
k
(
) xy k + ( ) y k+1
k
k
k
k+1
k
Akan tetapi ( ) = 1 = (
) dan ( )
0
0
k
k+1
=1=(
)
k+1
sehingga
(𝑥 + 𝑦)𝑘+1 = (k + 1) 𝑥 𝑘+1 + (k + 1) 𝑥 𝑘
0
1
k + 1 𝑘−1 2
+(
)𝑥
y +⋯
2
k+1
+(
) 𝑥 𝑦𝑘
k
k + 1 k+1
+(
)y
k+1
adalah pohon berlabel dengan deg(v) = k −
1 . Penghapusan sembarang sisi
e = wz
dari A yang tidak berhubungan dengan titik v
akan menghasilkan dua pohon-bagian, salah
satu darinya akan memuat v dan yang lain
akan memuat v dan w atau z (katakanlah w)
dan yang lainnya akan memuat titik z. Jika
titik v dan z digabungkan dengan
menambahkan satu sisi, maka diperoleh pohon
berlabel B dengan deg(v) = k . Pasangan
pohon berlabel (A,B) disebut link, jika B
dapat diperoleh dari A dengan konstruksi
seperti di atas (konstruksi : penghapusan dan
penggabungan). ilustrasi :
Terbukti bahwa teorema juga benar untuk n =
k+1 sehingga terbukti bahwa
n
n
n
(x + y) = ∑ ( ) x n−k y k = ( ) x n
k
0
n
k=0
n
n
+ ( ) x n−1 y + ( ) x n−2 y 2
1
2
n
+ ⋯+(
) x y n−1
n−1
n
+ ( ) yn
n
Benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Teorema 4.2.2 : [2]
n
n
(1 + x) = ∑ ( ) x n−k
k
n
k=0
Gambar 5. Link(A,B) dengan deg(v) = 3
pada A dan deg(v) = 4 pada B
Benar untuk semua bilangan bulat positif n.
Bukti :
Ambil y = 1 pada Teorema 4.2.1 di atas, jelas
teorema 4.2.2 terbukti benar. Konstruksi
pembuktian metode kedua adalah sebagai
berikut: pertama dibentuk T(n, k) yaitu
menunjukkan banyak pohon berlabel dengan
n titik dimana suatu titik tertentu ( sebut v )
memiliki derajat k. Dari T(n, k) ini akan
dijumlahkan dari k = 1 sampai dengan k =
(n − 1) sehingga didapat Tn, yaitu banyak
pohon berlabel dengan n titik. Misalkan A
Graf A dapat dipilih dengan salah satu T(n, k1) cara dan B secara tunggal didapat dari sisi
wz (yang dapat dipilih dengan (n − 1) – (k −
1) = n − k cara ). Terlihat bahwa link (A,B)
mempunyai jumlah total (n − k)T(n, k − 1) .
Demikian pula proses dari pohon berlabel B
menjadi pohon berlabel A.
T(n, k) {(n − 1 − n1 ) + (n − 1 − n2 ) +
(n − 1 − n3 ) + ⋯ + (n − 1 − nk )}
k
= T(n, k){kn − k − ∑ ni }
i=1
= {kn − k − n + 1}T(n, k)
= (n − 1)(k − 1) T(n, k),
Karena
k
∑ ni = n − 1
i=1
Sehingga akhirnya diperoleh persamaan
(n – k)T(n, k -1) = (n-1) (k-1)T(n, k), ambil
T(n, 1) = 1 dan lakukan
proses iterasi, maka diperoleh ∶
(n−2)
(n−2)
T(n, 2) = (n−1)(1) T(n, 1) = (n−1)(1)
(n−3)
Gambar 6. Link(A,B) dengan deg(v) = 4
pada B dan deg(v) = 3 pada A
B adalah pohon berlabel dengan deg(v) = k.
Dan tentu saja T1 , T2 , T3 , T4 , …Tk adalah
pohon-bagian yang didapat dari B dengan
menghilangkan titik v beserta dengan k sisi
yang berhubungan dengannya. Misalkan
dihilangkan satu sisi (sebut vw4) dan
menghubungkan pohon-bagian T4 dengan
salah satu dari k pohon - bagian (sebut T1 )
sehingga ditemukan link (A,B). B dapat
dipilih dengan T(n, k) cara dan banyaknya
cara untuk menghubungkan w4 ke titik lain di
pohon-bagian yang lain adalah (n − 1) – ni
{ni adalah jumlah titik Ti , dalam hal gambar
di atas adalah n4 }. Oleh karena itu link (A,B)
adalah :
(n−3)(n−2)
T(n, 3) = (n−1)(2) T(n, 2) = (n−1)(2)(n−1)(1)
(n−4)
(n−4)(n−3)(n−2)
T(n, 4) = (n−1)(3) T(n, 3) = (n−1)(3)(n−1)(2)(n−1)(1)
...dst... T(n, k) =
(n−4)(n−3)(n−2)
(n−k)
…
(n−1)(k−1) (n−1)(3)(n−1)(2)(n−1)(1)
ada sebanyak (n – k – 1) untuk bentuk (n - 1),
sehingga :
(n−2)(n−3)(n−4)…(n−k)
T(n, k) = (k−1)(k−2)(k−3)…(3)(2)(1) (n − 1)(n−k−1)
T(n, k)
=
(n − 2)(n − 3)(n − 4) … (n − k). (n − k − 1)!
.
(k − 1)(k − 2)(k − 3) … (3)(2)(1). (n − k − 1)!
. (n − 1)(n−k−1)
(n−2)!
T(n, k) = (k−1)!(n−k−1)! (n − 1)(n−k−1)
n−2
=(
) (n − 1)(n−k−1)
k−1
Dalam mencari semua pohon berlabel dengan
n titik maka k harus dijumlahkan dari 1 sampai
dengan (n-1), prosesnya sebagai berikut :
n−1
n−1
n−2
Tn = ∑ T(n, k) = ∑ (
) (n − 1)n−k−1
k−1
k=1
k=1
n-1
n-2
n-2
n-2
Tn = ∑ ( ) (n-1)n-k-1 = ∑ ( ) (n-1)(n-2)-(k-1)
k-1
k-1
k=1
k-1=0
n-2
n-2
= ∑ ( ) (n-1)(n-2)-j
j
j=0
Persamaan di atas diperoleh dengan substitusi
k − 1 = j . Akhirnya dengan menerapkan
Teorema
4.2.2 substitusi r = j dan
x = (n − 1) maka diperoleh bentuk :
Tn = {1 + (n − 1)}n−2 = nn−2 seperti yang
diminta.
Akhirnya didapat hasil yang sama seperti
pada metode korespondensi 1-1 antara pohon
berlabel dan barisan. Selesailah bukti dengan
metode kedua.
5. KESIMPULAN
Kadang - kadang ada orang yang bertanya
metodologi apakah yang digunakan dalam
matematika. Makalah ini memperlihatkan
sedikit metode yang digunakan oleh para
Matematikawan. Dari kontruksi pembuktian di
atas dapat dilihat bahwa kedua pendekatan
tersebut menghasilkan bentuk akhir yang
sama. Sehingga metode yang satu dapat
membenarkan dan menguatkan hasil yang
sudah ada. Untuk metode korespondensi 1 – 1
dibutuhkan kontruksi aturan – aturan yang
dapat diterima untuk memetakan dari 1 sistem
ke sistem yang lain dan sebaliknya tanpa
menghilangkan struktur baku sistem tersebut.
Metode seperi ini juga digunakan dalam
menyelesaikan persamaan diferensial secara
tidak langsung, yaitu melalui Transformasi
Laplace. Sedangkan pada metode dengan
menggunakan Teori Kombinatorial dibutuhkan
penghitungan dan pencaharian secara rekursif
– iteratif, dan setelah itu dikembalikan pada
bentuk Teorema Binomial untuk penyelesaian
akhirnya. Ide dasar dari kedua pembuktian di
atas, biarlah dapat memberikan gagasan dan
ilham dan untuk bidang penelitian masalah
matematika yang lain.
DAFTAR REFERENSI
[1] Siang, Yek Jong. (2006) Matematika
Diskrit dan Aplikasinya Pada Komputer.
[2] Rosen, Kenneth H. (1999). Discrete
Mathematics and Its Application.
McGraw Hill, Inc.
[3] Michaels, John G.(2012) Applications of
Discrete Matemathics, McGraw-Hill,Inc”
[4] Wilson R.J (2014) Graphs An Intoductory
Approach, John Wiley & Sons, Inc.