logika matematika, dialektika dan teknik

ISSN: 2088-687X
127
LOGIKA MATEMATIKA, DIALEKTIKA DAN TEKNIK
PENGAMBILAN SIMPULAN
RR. Imamul Muttakhidah
Program pascasarjana pendidikan matematika Universitas Bengkulu
Jl.Telaga dewa II kota Bengkulu, [email protected]
ABSTRAK
Matematika membutuhkan dukungan penalaran dan cabang ilmu lain untuk
menyempurnakan materinya. Oleh karenanya, matematika sangat dimungkinkan untuk berkembang
secara luas. Begitupun logika sebagai ilmu pemikiran/penalaran akan terus mengalami
perkembangan. Logika klasik atau logika formal selama ini hanya berpaku pada simbol saja. Maka
perlu sebuah kajian untuk menyingkirkan kontradiksi antara teori dengan realitas. Apabila
persoalan logika berubah karakternya dalam masalah-masalah kehidupan sehari-hari, dan berusaha
mencapai sebuah pengertian yang lebih rumit maka dialektika-lah yang digunakan. Hingga
diperoleh kesimpulan yang tepat dan sesuai karakter permasalahan. Adanya kritik atau
pertentangan tersebut ditujukan untuk memperkaya materi berpikir tentang logika.
Kata kunci : Logika matematika, dialektika, pengambilan kesimpulan
ABSTRACT
Mathematics need another knowledge to be perfect for himself, therefore, enables mathematics to
develop broadly. The presentation should be able to get rid of the contradiction between theory and
reality. Likewise logic as the science of thinking / reasoning will continue to experience growth.
Classical logic or formal logic have only spiked on a symbol. If the logic problem changed its
character in the problems of everyday life, and trying to achieve a more complex understanding of
the dialectics run. Until it is concluded that the proper and appropriate character issues. Criticism or
disagreement is intended to enrich the material to think about the logic.
Keywords: mathematical logic, dialectics, deduction
dapat
Pendahuluan
Matematika bukan pengetahuan
yang
menyendiri
sehingga
dikonstruksi
keinginan,
asalkan
sendiri,
tidak
sesuai
kontradiksi
dapat
dengan struktur matematika yang telah
sempurna karena dirinya sendiri, tetapi
ada. Karena menurut Soedjadi (dalam
keberadaannya untuk membantu manusia
Wahyu, 2012), objek-objek matematika
dalam
hanyalah “buatan otak manusia”.
memahami
dan
menguasai
permasalahan sosial, ekonomi dan alam
Matematika
kini,
(Morris Klein dalam Alan Woods dan
pergeseran,
Ted
bukan lagi harga mati dari sebuah dasar
grant,
2010).
memungkinkan
Oleh
karenanya,
matematika
setidaknya
ia
mengalami
dipandang
untuk
penalaran yang berbasis antara lain pada
berkembang secara luas. Matematika
diferensiasi makna atau definisi antara
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
128
ISSN: 2088-687X
simbol praksis dan teoretis. Apalagi
hidup, tetapi juga, seperti dikatakan
anggapan
menyatakan
Popper (dalam Alan Woods dan Ted
matematika adalah dasar pengetahuan,
grant, 2010) bahwa matematika hanya
landasan dari kapasitas nalar atau logika
menghasilkan
seseorang,
memiliki
deduktif, yang karena kodratnya itu ia
kapabilitas menjelaskan apa pun deretan
cocok dengan ilmu pasti yang dipenuhi
fakta atau fenomena di sekeliling kita.
oleh dugaan-dugaan (conjectures).
umum
yang
untuk
Seolah
bisa
penyajiannya
tidak
dapat
Dari
semacam
sekolah
hipotesis-
dasar
sampai
menyingkirkan kontradiksi antara teori
perguruan tinggi kita terbiasa bertarung
dengan realitas.
pada cara berpikir yang berdasarkan
Tampaknya ada semacam premis
logika.
yang
menjadi
kerjakan, eksperimen dalam ilmu alam
semacam keyakinan yang sekian lama
dan pembuktian yang guru lakukan di
kemudian
depan
dasar
telah
bergeser
bernuansa
mistis,
yang
Hitungan
kita,
yang
semuanya
biasa
kita
mengandung
menempatkan matematika sebagai ”ratu”
logika (Tan Malaka, 1943). Dengan kata
atau ”ibu” ilmu pengetahuan. Keyakinan
lain, logika adalah ilmu berpikir yang
ini diperkuat Roger Bacon (dalam The
sangat dekat dengan kehidupan kita.
Liang Gie, 1999, hal 9), yang dengan
Pembahasan
mengenai
logika
tegas menyatakan, tak ada hal apa pun di
sendiri sudah ada sejak lama, bahkan
dunia ini dapat kita pahami tanpa
sejak sebelum manusia mengenal istilah
memiliki
pengetahuan
tentang
logika itu sendiri. Setelah melalui proses
matematika.
Seiring
perkembangan
yang panjang, lahirlah metode logika
zaman, keyakinan ilmuwan Perancis
yang dipakai hingga saat ini. Salah
tersebut
satunya adalah logika simbolis atau
telah
terbukti
tidak
cukup
relevan.
logika matematika. Anehnya, metode
Pemahaman umum yang sudah
tersebut,
jadi mitos ini memang sudah selayaknya
berbeda
dikoreksi. Nalar, bahkan logika dalam
diperkenalkan oleh Aristoteles sekitar dua
pengertian
ribu tahun yang lalu (Mario natiello, n.d).
logosentrisme
(Eropa)
Oksidental sekalipun, sebenarnya sudah
secara
fundamental,
dengan
Kalau
mengaji
konsep
lebih
tidak
yang
dalam,
sejak lama memosisikan matematika
tentang ada atau tak-adanya barang, asal
hanya sekadar bagian dari bangunan
dan akibatnya sesuatu barang, tegasnya
pemikiran atau kerja akal-intelektual kita.
kalau kita tenggelam dalam ombak
Tidak hanya karena matematika butuh
gelora filsafat, ke dalam persoalan yang
presisi bahasa yang kaku (rigor) sehingga
berhubungan dengan alam, masyarakat
lumpuh dalam mengapresiasi kelenturan
politik,
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
yang
hilang
atau
timbul,
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
ISSN: 2088-687X
129
bergerak dan berhenti, pada waktu yang
berhenti adalah logika.
singkat atau lama, pada perkara yang
Misalkan ada suatu pernyataan
mempunyai asal, maka kita tidak bisa
yang “benar” : Saya suka makan bakso
sampai ke ujung dengan logika saja.
dan minum jus alpukat. Pernyataan saya
Sebaiknya memakai dialektika. Bahkan
suka
dialektika
benar. Pernyataan saya suka minum jus
lebih
diutamakan
(Tan
Malaka, 1943).
makan
bakso (P) sendiri adalah
alpukat (Q) juga benar. Tetapi dalam
Sebagaimana pengertian logika
kasus atau kondisi, misalkan, saya baru
sebagai ilmu berpikir (Solso, Otto, dan
saja kehujanan (R), tentu saja, saya tidak
Kimberly, 2008, hal. 405) maka materi
suka minum jus alpukat dalam kondisi
logika matematika yang diajarkan dalam
seperti itu. Atau saya telah makan nasi
sekolah juga mempunyai dampak pada
goreng (T), dalam kondisi kenyang, saya
pola berpikir siswa. Mengingat hukum
juga tidak suka makan bakso. Jika kita
yang
modelkan dengan logika matematika
dibangun
dalam
matematika
membutuhkan pemikiran yang akurat dan
berikut.
teliti. Menurut Tan Malaka (Madilog,
P˄Q=B˄B=B
1943) dibutuhkan dialektika yang dipakai
R ˄ ~Q = B ˄ S = B
untuk persoalan yang kompleks atau
hukum logika matematika ini tidak
ketika persoalan yang sederhana berubah
benar,
karakteristiknya
dari
menghasilkan salah ‘B ˄ S = S’).
diperkirakan.
Selanjutnya,
mengungkapkan
bahwa
maupun
dialektika
materi/benda
yang
yang
baik
biasa
benar
dan
salah
T ˄ ~P = B ˄ S = B
Tan
logika
(Berdasarkan
haruslah
(Berdasarkan
hukum logika matematika ini juga tidak
bergantung
pada
benar,
benar
mempunyai
sifat
menghasilkan salah ‘B ˄ S = S’). Dapat
bergerak dan berhenti, hukum bergerak
dibuktikan
berkaitan dengan dialektika dan hukum
berikut.
dan
dengan
salah
tabel
haruslah
kebenaran
Tabel 1. Tabel Kebenaran Konjungsi
P
Q
R
T
~P
~Q
P˄Q
T ˄ ~P
R ˄ ~Q
B
B
B
B
S
S
B
S
S
B
B
S
S
S
S
B
S
S
B
S
B
B
S
B
S
S
B
B
S
S
B
S
B
S
S
S
S
B
B
S
B
S
S
S
S
S
B
S
S
B
S
S
S
S
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
S
S
S
B
B
S
S
S
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
130
ISSN: 2088-687X
Kalaupun kita gunakan peraturan
ini justru bernilai Salah.
 Jika saya telah kehujanan maka saya
logika kondisional/implikasi dimana R
dan T adalah hipotesis, P dan Q adalah
konsekuen/konklusi.
Dapat
tidak
suka
kita
.
minum
jus
alpukat
Berdasarkan
kondisi,
modelkan sebagai berikut.
harusnya ini merupakan pernyataan
 Jika saya telah makan nasi goreng
yang
maka saya tidak suka makan bakso
.
Berdasarkan
bernilai
Benar.
Tetapi
berdasarkan hukum logika implikasi
kondisi,
ini
justru
bernilai
Salah.
Dapat
harusnya ini merupakan pernyataan
dibuktikan dengan tabel kebenaran
yang
berikut.
bernilai
Benar.
Tetapi
berdasarkan hukum logika implikasi
Tabel 2. Tabel Kebenaran Implikasi
P
Q
R
T
~P
~Q
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
S
S
S
S
B
B
B
S
B
B
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
B
S
B
S
S
B
S
B
S
S
B
S
B
B
S
S
B
S
B
B
B
B
S
S
S
S
B
B
B
B
Contoh kasus diatas adalah salah
formal memikul sebuah hubungan yang
satu kelemahan yang dimiliki hukum
serupa
logika matematika. Sedangkan, dialektika
matematika
merupakan metode berpikir, bukanlah
matematika yang lebih rendah.
fiksi
dan
bukan
pula
mistisisme,
dengan
hubungan
tingkat
Dengan
tinggi
cara
antara
dengan
memperketat
melainkan sebuah pengetahuan mengenai
perkiraan-perkiraan,
bentuk pemikiran kita sejauh ia tidak
kongkritisasi;
dibatasi
masalah-masalah
memberikan sebuah kekayaan mengenai
kehidupan sehari-hari, tetapi berusaha
isi dan fleksibilitas kepada konsep-
mencapai sebuah pengertian yang lebih
konsep. Penulis menganggap ini adalah
rumit dan proses-proses yang mendesak
upaya untuk mengembangkan logika
untuk diperbincangkan (seperti contoh
untuk membawanya lebih dekat pada
kasus
fenomena yang nyata dalam kehidupan
ke
yang
dalam
diberikan
pada
awal).
Sehingga Tan Malaka (Madilog, 1943)
sehari-hari
mengatakan logika dialektika dan logika
disekolah.
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
koreksi-koreksi,
pemikiran
terutama
bila
dialektis
dipelajari
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
ISSN: 2088-687X
Pada
131
dasarnya
logika
dan
dialektika mempunyai pendekatan yang
logos, yang artinya pertimbangan akal
pikiran (Adam Leroy, 1909).
sama, yakni filsafat. Karena tokohtokohnya seperti Aristoteles, Heraclitus,
Logika Matematika
Demokritus dan kawan kawan pun
menelusuri
keduanya,
pendekatan
filsafat
menggunakan
(logika klasik) oleh Aristoteles 300 SM
matematis,
yang lalu manusia sudah mengenal logika
dituangkan kedalam sistem matematika
(dalam Bofandra Muhammad, 2008).
dan alam gerakan pemikiran dialektis.
Meskipun,
Namun
manusia terus mengalami perkembangan
makalah
dan
Sebenarnya sebelum lahir analytic
ini
ingin
fokus
memang,
cara
bernalar
mengemukakan, hubungan logika dan
seiring perubahan
dialektika. Bagaimana bila keduanya
dasarnya, logika sudah menjadi bagian
saling dikaitkan menggunakan beberapa
yang terintegrasi dalam diri seseorang.
contoh kasus yang dikemukakan secara
Dalam kehidupan sehari-hari baik dalam
praktis.
urusan pekerjaan, belajar, bahkan sampai
Logika
sebagai
pemikiran/penalaran
akan
zaman,
pada
ilmu
kepada bagaimana kita memilih barang,
terus
sebenarnya
proses
penalaran
terus
mengalami perkembangan. Logika klasik
berjalan Setiap harinya ratusan penalaran
atau logika formal selama ini hanya
kita lakukan tanpa diri kita sendiri perlu
berpaku pada simbol saja. Tanpa adanya
menyadarinya.
suatu kritik/pengujian antara paham yang
Logika
satu dan yang lainnya. A da yang saling
Klasik
bertentangan dan adapula yang memiliki
konsep
dasar
sama.
Akan
tetapi
Manusia
membakukan
yang
proses
kali
penalaran
atau
meskipun bertentangan, bukanlah untuk
logika
saling dipertentangkan. Justru dengan
Aristoteles (Mario Natiello, n.d) adalah
banyaknya
sudah
suatu sistem berpikir deduktif (deductive
diperkenalkan oleh tokoh-tokoh tersebut
reasoning), yang bahkan sampai saat
harus diketahui dan diperkenalkan untuk
ini masih dianggap sebagai dasar dari
mendukung
setiap pelajaran tentang logika formal
metode
materi
yang
berpikir
tentang
logika.
adalah
pertama
Aristoteles.
Logika
(formal logic).
Berpikir dan logika telah menjadi
Teori dan Pembahasan
subjek spekulasi untuk waktu yang lama.
Logika secara etimologi diturunkan
Lebih dari 200 tahun lalu Aristoteles
dari kata sifat logike dari bahasa Yunani
memperkenalkan suatu sistem penalaran
kuno yang berhubungan dengan kata
atau validasi argumen yang disebut
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
132
ISSN: 2088-687X
silogisme (Solso, Otto, dan Kimberly,
logika klasik Aristoteles (384 - 322 SM).
2008, hal 406). "A discourse in which,
Hanya saja logika simbolis menerangkan
certain things being stated, something
logika dengan lebih rapi. Pengembangan
other than what is stated follows of
dan diskusi yang terus dilakukan tidak
necessity
mengubah konsep dasar yang sudah ada.
from
their
being
so.",
Aristoteles (Ross W.D, n.d).
Sehingga wajar jika Cohen dan Nagel,
Contoh silogisme sederhana:
(dalam An Introduction to Logic and the
Semua
Scientific
mamalia
menyusui
(Premis Mayor)
Ikan
Paus
adalah
mamalia
paus
menyusui
(Kesimpulan)
Kesimpulan silogisme diambil
jika subjek dari premis minor adalah
bagian
dari
halaman
vii)
menyatakan :
(Premis Minor)
Ikan
Method,
subjek
premis
mayor.
Predikat kalimat kesimpulan adalah
"We do not believe that there is
any non-Aristotelian logic in the
sense in which there is a nonEuclidean geometry, that is, a
system of logic in which the
contraries of the Aristotelian
principles of contradiction and the
excluded middle are assumed to be
true, and valid inferences drawn
from them."
Logika
predikat premis mayor.
matematika
sendiri
terbentuk dari proposisi atau pernyataan,
Logika Matematika
ilmu
yakni kalimat yang hanya bernilai benar
tentang penyimpulan yang sah (absah),
saja atau salah saja namun tidak keduanya
khususnya yang dikembangkan dengan
(Susanna S. Epp, 2011, hal 24). Jadi
penggunaan metode-metode matematika
dalam kaidah logika matematika tidak
dan
simbol-simbol
memperhatikan kedudukan kalimat atau
memungkinkan
struktur kata seperti kaidah penulisan
Logika
dengan
khusus
simbolik
bantuan
sehingga
adalah
seseorang menghindarkan makna ganda
dalam
dari bahasa sehari-hari (Frederick B.
berdasarkan kasus yang diberikan diatas.
dengan
istilah
simbolik
logika
Indonesia.
Misalkan
Dalam Ensiklopedi Britannica
Fitch dalam Bofandra, 2008).
Logika
bahasa
dikenal
(“Formal Logic” p34) Logika Hegel
matematika.
lebih dikenal dengan istilah formal
ini
Logika matematika membuat penalaran
logic.
lebih terarah dan jelas tetapi secara
terangkum dalam tiga hukum atau
konsep masih mengikuti
prinsip, yaitu:
sudah
ada
ilmu
logika
sebelumnya. Sehingga
Ide
dasar
formal
1) The law of identity
logic
("A" =
walaupun logika ini lahir di abad 19 M,
"A").
konsep dasarnya masih sama dengan
2) The law of contradiction ("A" ≠
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
ISSN: 2088-687X
133
“ ~A").
makan nasi goreng (T), P
3) The law of the excluded middle
B. Berdasarkan The law of the excluded
("A" ≠ "B").
middle ("A" ≠ "B"), saya suka makan
T=B
B=
Berkaitan dengan hukum diatas,
bakso (P) tidak sama dengan saya makan
contoh kasus yang dikemukakan dalam
nasi goreng (T) tetapi jika pernyataan
latar belakang dengan menggunakan
saya suka makan bakso (P) benar, dan
logika dan dialektika matematika maka
saya makan nasi goreng (T) juga benar
dapat diuraikan sebagai berikut.
maka menyebabkan ia tidak konsisten.
Saya suka makan bakso (P)
Berarti harus ada pernyataan benar bahwa
adalah pernyataan benar. Saya suka
saya suka makan bakso (P) dan saya suka
minum
makan nasi goreng (T).
jus
alpukat
(Q)
adalah
pernyataan benar. Konsisten dengan The
Pada contoh nyata, bila hukum
B = B ("A" =
“tidak ada jalan tengah” ini digunakan
"A"). Ketika dihadapkan pada kondisi
saat kita bercermin misalnya, organ
saya
maka
kanan akan tampak disebelah kiri dan
pernyataan saya suka minum jus alpukat
begitu juga sebaliknya. Tentu tangan
(Q)
ini
kanan ≠ tangan kiri ("A" ≠ "B"),
mengarahkan bahwa pada kondisi apapun
kenyataannya tangan kanan yang tampak
pernyataan benar tetap menjadi benar.
dicermin adalah tangan kiri kita A = B,
Menurut The law of contradiction maka
berarti hukum logika ini pun kontradiksi
law of identity P
P
baru
kehujanan
bernilai
~Q = B
berdasarkan
Q=B
salah.
(R),
Hukum
S = B ("A" ≠ “ ~A"). Justru
kenyataan
ini
dengan realitas.
Ada
menjadi
perbedaan
dalam
penggunaan
inkonsistensi, karena saya suka minum
konjungsi
jus alpukat (Q) tidak sama dengan saya
Indonesia dengan matematika. Dalam
tidak suka minum jus alpukat (~Q).
sistem kebahasaan, kedudukan Subjek,
Sedangkan pernyataan saya suka minum
prediket,
jus alpukat (Q) adalah benar, dan saat
konjungsi
pada kondisi saya baru kehujanan (R),
kesetaraan antar kalimatnya. Sedangkan
maka pernyataan saya suka minum jus
matematika tidak demikian.
Objek
kalimat
bahasa
menggunakan
“dan”
kata
memperhatikan
alpukat (Q) juga bernilai benar ("A" = “
Dalam bahasa Indonesia:
~A").
Saya suka makan bakso dan saya
Apabila saya suka makan bakso
suka minum jus alpukat
S
(P) adalah pernyataan benar. Saya suka
minum jus alpukat (Q) adalah pernyataan
K P
K
P
O
S
O
benar. Ketika menjadi kalimat konjungsi,
saya suka makan bakso (P) dan saya telah
Sedangkan dalam matematika:
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
134
ISSN: 2088-687X
R = saya baru saja kehujanan
(pernyataan benar)
mempengaruhi
dialektika
Q = saya suka minum jus alpukat
(pernyataan benar)
berdasarkan
timbulnya
(karena
waktu)
proses
berlainan
dalam
suatu
persoalan.
Contoh kasus diatas mengikuti
Misalnya, pada contoh kasus pada
kaidah konjungsi yang didefinisikan; jika
latar belakang, pada suatu waktu kita
p, q variabel pernyataan, dinotasikan
kehujanan (R), maka nilai kebenaran
. Dan bernilai benar, hanya jika
saya suka minum jus alpukat (Q)
variabel pernyataan p dan q bernilai benar
adalah Salah.
(Susanna S. Epp, 2011, hal 27). Tidak
R ˄ ~Q = B ˄ S = B
mengharuskan sebuah kalimat/pernyataan
2. Hubungan, seluk beluk
Artinya
yang mempunyai struktur setara.
keterkaitan
suatu
(konsep/definisi/pernyataan)
dapat
permasalahan
Dialektika
Dialektika adalah suatu proses
disandarkan
pada
pernyataan
gerakan pikiran, dimana dua pikiran yang
sebelumnya. Sehingga dapat diambil
seolah terpisah, itu saling memasuki satu
suatu hubungan terpisah maupun
sama lain akibat sifat yang dimilikinya
terkait antara pernyataan tersebut
sendiri
membatalkan
berdasarkan seluk beluk/pernyataan
keterkaitan itu (Tan Malaka, 1943, hal
pangkalnya. Maka, dialektika timbul
167). Berbeda dengan logika klasik,
berdasarkan perbedaan hubungan atau
dialektika
berawal
seluk beluk suatu permasalahan.
proposisi
yang
dan
kemudian
dari
proposisi-
masih
diragukan
Misalnya, pada contoh kasus pada
latar belakang, pada suatu waktu kita
kebenarannya (W.D Ross, n.d).
menurut
kehujanan (R), nilai kebenaran saya
Tan malaka (dalam Madilog, 1943, hal
suka minum jus alpukat (Q) adalah
106-112) disebabkan oleh empat hal
salah. Pada konteks hubungan ini
yaitu:
ditinjau apakah kondisi kita kehujanan
1. Tempo/Waktu
(R) berhubungan dengan kesukaan
Timbulnya
dialektika
dapat
kita minum jus alpukat (Q). Atau
bisa
memang kita tidak minum jus alpukat
diselesaikan dengan pasti antara iya
(~Q) hanya saat kita telah kehujanan
dan
(R).
Artinya
menjadi
gagal,
tidak.
tertentu,
suatu
perkara
dan
Ketika
suatu
tidak
pada
konteks
objek
kajian
Namun,
pada
hukum
logika.
(konsep/definisi/pernyataan) bisa jadi
Implikasi/kondisional
tidak berlaku. Sehingga, tempo/waktu
merupakan hubungan sebab akibat.
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
bukan
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
ISSN: 2088-687X
135
Contoh: jika x + y = y + x dimana x, y
jus alpukat (~Q).
merupakan bilangan real maka Paris
R ˄ ~Q = B ˄ S = B.
merupakan ibukota Inggris. Dengan
menggunakan
model
matematika
Menurut hukum logika ini Salah,
tapi menurut realitas ini Benar. Jadi
sebagai berikut.
keduanya mempunyai landasan kuat,
p = x + y = y + x dimana x, y
tentu
merupakan bilangan real (B)
tetapi bergantung darimana sudut
q = Paris merupakan ibukota Inggris
pandang kita untuk menarik simpulan.
(S)
menimbulkan
pertentangan,
4. Gerakan
Meskipun kalimat diatas tidak
mempunyai
arti,
kebenarannya
namun
dapat
Dari sinilah timbulnya Dialektika,
nilai
yang juga pernah dinamakan Ilmu
dibuktikan
Berpikir dalam Gerakan. Dalam hal
dengan tabel kebenaran berikut.
semacam ini kita mesti menjawab ya
dan tidak. Bukan saja ya atau hanya
Tabel 3. Tabel kebenaran implikasi
P
B
B
S
S
tidak, tetapi ya dan tidak keduanya.
Jadi
Q
B
S
B
S
B
S
B
B
dalam
bergerak,
semua
kita
benda
mesti
yang
memakai
Dialektika. Kita mesti ketahui, bahwa
semua benda di dunia ini tak ada yang
tetap, semuanya berubah, bergerak.
3. Pertentangan
Artinya
Tumbuhan
suatu
objek
kajian
(konsep/definisi/pernyataan)
tidak
bisa dikatakan secara pasti benarsalah, iya-tidak sekaligus. Namun,
disandarkan
pada
sudut
pandang
(point of view) dan berdasarkan
konteks yang subjektif. Sehingga,
tempo/waktu
mempengaruhi
timbulnya proses dialektika (karena
saling bertentangan)
dalam suatu
persoalan meski mempunyai kajian
yang sama.
Misalnya pada contoh kasus pada
latar belakang, pada kondisi kita baru
muncul
dari
bijinya,
tumbuh, berbuah, dan mati, zatnya
kembali ke tanah, ke air dan ke udara.
Hewan lahir, tumbuh, beranak, tua,
mati dan zatnya kembali ke tanah.
Misalnya dalam matematika, pola
bilangan merupakan gerak bilangan
berdasarkan
pola
tertentu.
Ada
gerakan dalam bilangan berhingga
(artinya gerakan bilangan berhenti
pada
suatu
batas
tertentu)
dan
bilangan
tak
sebaliknya
pada
berhingga
“∞”(artinya
gerakan
bilangan tidak disepakati kapan ia
berhenti pada suatu batas tertentu).
kehujanan (R), saya tidak suka minum
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
136
ISSN: 2088-687X
Persoalan
dimunculkan
logika
sebab
yang
faktor
dapat
gerakan
keadaan, aksi, dan keinginan (dalam
W.D. Ross, n.d).
(dialektika) ini misalkan, bilangan pada
Maka
berdasarkan
penjelasan
pada sistem perkalenderan yang berlaku.
yang telah diuraikan diatas, dialektika
Diketahui, antara sebelum Masehi dan
matematika
sesudah Masehi. Faktor hubungan, yakni
makalah ini adalah kemampuan gerakan
keduanya masuk sistem perkalenderan.
pikiran
Maka faktor gerakan bilangan, bila
matematika, dimana dua pikiran yang
disandarkan pada sebuah garis Sebelum
seolah terpisah itu saling memasuki satu
Masehi (diumpamakan) bilangan negatif
sama lain akibat sifat yang dimilikinya
(-) karena pergerakan bilangan berjalan
sendiri
mundur dan Masehi sebagai bilangan
keterpisahan
bulat
kaidah
positif
(+)
berjalan
maju.
yang
dimaksud
tentang
suatu
dalam
konsep
dan kemudian membatalkan
tersebut
penalaran
berlandaskan
matematis
untuk
Seharusnya diantara keduanya dipisahkan
menerapkan suatu konsep matematika
sebuah titik asal yakni 0. Namun, logika
berdasarkan
tidak
khususnya tentang logika.
memungkinkan
untuk
konteks
permasalahan,
menggunakan angka 0 masuk dalam
sistem perkalenderan. Hal ini dapat
Teknik Pengambilan simpulan
memunculkan dialektika yang meneliti
dimana
gerakan
materi
(bilangan)
Pengambilan
hukum
logika
simpulan
matematika
pada
masih
tersebut. Ide pikiran menyepakati adanya
terlampau terikat dengan aturan yang
aturan suatu sistem untuk berhenti dan
telah dibuat Aristoteles dulu. Solso, Otto
dihentikan.
yang
dan Kimberly (2008) mengatakan bahwa
memungkinkan suatu angka berhenti
konklusi diraih ketika penalaran silogistik
adalah logika itu sendiri.
diakui valid atau benar, jika premis-
yang
Sementara,
Berbeda dengan logika klasik atau
premisnya akurat dan bentuknya benar.
juga
Maka,
analitika,
dikenal
dengan
dialektika
istilah
berawal
sangat
mungkin
untuk
dari
menggunakan logika silogistik untuk
proposisi-proposisi yang masih diragukan
validasi argumen. Konklusi yang tidak
kebenarannya.
logis
Ide
dasar
dialektika
sebenarnya
sudah
dicetuskan
oleh
Aristoteles
dalam
Organon-nya.
dapat
ditentukan
dan
sebab-
sebabnya terisolasi.
Ia
Pada contoh kasus yang diberikan
menyebutkan
sepuluh
kategori
yang
membangun
penalaran
atau
logika
sistematis hanya dapat diperoleh menurut
dialektika, yaitu : substansi, kuantitas,
hukum logika matematika. Karena dalam
kualitas, relasi, tempat, waktu, posisi,
Dialektika belum ada aturan baku seperti
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
diawal,
maka
kesimpulan
secara
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
ISSN: 2088-687X
137
logika formal. Dialektika menggerakkan
sebagai pilihan terbaik dari sejumlah
sebuah
alternatif.
penalaran
bahwa
ia
tidak
selamanya berlaku, untuk semua hal.
Induksi
dalam
logika
proses
Menurut Johnson-Laird (dalam
penalaran dari khusus ke umum. Francis
Solso, Otto dan Kimberly, 2008) ada
bacon (Solso, Otto dan Kimberly, 2008,
empat kemungkinan dalam penarikan
hal 410) mengajukan induksi sebagai
kesimpulan tentang logika deduktif yang
logika penemuan ilmiah dan deduksi
lebih
sebagai logika argumentasi. Sebenarnya,
dekat
dengan
metode
logika
matematika.
kedua proses ini digunakan bersama
1. Kesimpulan
relasional
berdasarkan
secara
teratur
dalam
ilmu
empirik;
perangkat logis dari hubungan sebagai
dengan pengamatan terhadap peristiwa-
: lebih dari, di sebelah kanan dari, dan
peristiwa tertentu (induksi) dan dari
setelah.
prinsip-prinsip yang sudah diketahui
2. Kesimpulan preposisional berdasarkan
(deduksi),
negasi dan dalam koneksi seperti jika,
kemudian
atau, dan dan.
dimunculkan.
3. Silogisme
berdasarkan
pasangan
prinsip
hipotesis
dirumuskan
Dapat
kita
baru
dan
hukum
ambil
contoh
premis yang masing-masing pemberi
pengambilan keputusan induktif, yang
sifat tunggal seperti seluruh atau
mungkin anda hadapi saat anda memilih
sebagian.
suatu produk kecantikan. Proses kerja
4. Menjumlahkan kesimpulan kuantitatif
produk tersebut mempunyai klasifikasi;
berdasarkan premis yang berisi lebih
cepat (A), Sedang (B) dan Lambat (C).
dari satu kesimpulan.
Bagaimana kita mengambil keputusan?
Dalam konteks kehidupan sehari-
Salah
satu
metodenya
hari, kita biasa membuat kesimpulan
mengevaluasi
yang
dalam hal nilai relatif pilihan-pilihan itu
tidak
paradigma
terlalu
silogistik
mencerminkan
yang
tiap
adalah
pilihan
(kualitas)
bersifat
pada dimensi terkait. Dimensi yang
deduktif, tapi dalam konteks penalaran
penting meliputi (1) keamanan produk (2)
induktif, yang keputusannya berdasarkan
harga
pengalaman
memperoleh (4) contoh konkrit pengguna
masa
lalu
dan
kesimpulannya berdasarkan yang dirasa
produk
(3)
kemudahan
produk.
Tabel 4. Tabel Ukuran Kuantitatif untuk Pertimbangan Pengambilan Keputusan
Proses memperoleh
Cepat
Sedang (hitungan
Lambat (hitungan
(hitungan hari)
bulan)
tahun)
9
7
6
hasil
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
138
ISSN: 2088-687X
5
7
9
Harga produk
9
7
6
Kemudahan
7
8
8
6
8
8
27
30
32
Keamanan
produk
(BPOM)
memperoleh
Contoh pengguna
Berdasarkan contoh-contoh kasus
melengkapi
dan
menguatkan
diatas bahwa kesimpulan yang diperoleh
pembelajaran
memperhatikan
menurut Adam (Logic, 1909, hal 14)
permasalahan
konteks/kondisi
sebagaimana
sudah
matematika.
dalam
mengatakan
Sedangkan
bahwa
sebuah
dijelaskan pada kasus diatas. Dalam
dugaan/kesimpulan
dunia nyata keputusan bisa diambil
pada
dengan mengambil pertimbangan tertentu
seseorang. Biasanya dipengaruhi oleh
saja, yang kemudian diungkapkan Adam
pengalaman dan tingkat berpikir orang
(Logic, 1909) sebagai dialog penalaran.
tersebut. Sehingga kesimpulan logika
Misalnya, kita sengaja ingin membeli
yang disandarkan pada hukum logika
produk
matematika menyepakati satu rumusan
untuk
sebuah
acara.
Maka
dibutuhkan kerja cepat, dan kemudahan
kualitas
sangat
tergantung
objektifitas
pikiran
kesimpulan, sedangkan dialektika tidak.
memperoleh. Disini peran dialektika
dalam pengambilan keputusan dikaitkan
dengan hukum logika yang berlaku.
Kesimpulan
Berdasarkan
penjelasan-penjelasan
Ketika suatu kondisi/persoalan persoalan
diatas, simpulan yang diperoleh penulis
kompleks atau ketika persoalan yang
adalah sebagai berikut.
sederhana berubah karakteristiknya dari
1) Agar materi matematika tidak bersifat
yang biasa diperkirakan. Maka yang
teoritik saja, salah satu bahasan, logika
menjadi
analisis
matematika yang selama ini kita
kebutuhan sebagai pertimbangan utama
pelajari harus mampu jabarkan pada
dalam mengambil keputusan.
realitas.
prioritas
adalah
Pada matematika sekolah, Man
2) Logika matematika dan dialektika
Keung Siu (dalam Algorithmic and
menggunakan pendekatan yang sama
Dialectical mathematic, n.d) logika dan
yaitu filsafat.
dialektika
ini
dibutuhkan
untuk
3) Logika
Matematika
atau
Logika
mengukur penalaran siswa. Keduanya
Simbolis memiliki sifat yang sama
merupakan metafora aspek “Yin” dan
dengan
“Yang” seperti filosofi Cina, saling
menyelesaikan suatu persoalan
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
Logika
Klasik
untuk
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
ISSN: 2088-687X
4) Logika
139
simbolis
atau
logika
matematika atau logika klasik dapat
dipakai
untuk
persoalan yang
Pustaka
Bofandra, Muhammad. (2008). Logika
Klasik dan Logika Matematika.
kepastian benar dan salahnya sudah
Jurnal Informatika
jelas. Keputusan yang ingin diambil
September 2015
hanya antara ya dan tidak atau antara
benar dan salah.
diselesaikan
matematika
Cohen, Morris R. dan Nagel, Ernest.
(1934). An Introduction to Logic
5) Persoalan-persoalan yang umumnya
dapat
ITB, 79. 29
:
dengan
logika
persoalan
and the Scientific Method. 28
September 2015.
seputar
matematika, algoritma pemrograman,
http://www.britannica.com/AnIntroduction-to-Logic-and-the-
dsb.
6) Dialektika
dipakai
untuk
yang
kompleks.
persoalan
Atau
ketika
persoalan
yang
Scientific-Method/dp/1931541914
Ensiklopedia britannica. (n.d). Formal
Logic.
12
April
2015.
sederhana berubah karakteristiknya
http://www.britannica.com/eb/arti
dari yang biasa diperkirakan.
cle-9110687/formal-logic.
7) Logika
Klasik
sudah
memiliki
bentuk yang sistematis yaitu Logika
Matematika,
belum
sementara
mempunyai
Dialektika
bentuk
yang
sistematis.
8) Persoalan yang bisa cukup dengan
menggunakan
logika
matematika
tidak
perlu
menggunakan
dialektika
karena
justru akan
sekolah,
pembelajaran
pendidik
matematika
harus
PUBIB : Yogyakarta
Keung Siu, Man. (n.d). Algorithmic
Mathematic
and
mathematic.
Department
Dialectical
Journal
of
Mathematic
Education. 28 September 2015
http://www.
mampu
a/algorithmic.htm
Malaka, Tan. (1943). MADILOG. 6
menerapkan atau menjelaskan pada
Agustus
kondisi seperti apa hukum logika
http://www.scribd.com
matematika
digunakan.
memungkinkan,
dialektika
agar
mengembangkan
of
universityofhongkong.ch/dialectic
menambah rumit permasalahan.
9) Dalam
Gie, Liang. (1999). Filsafat Matematika.
Jika
perkenalkan
siswa
dapat
logika
diluar
persoalan rutin.
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015
2014.
Natiello, Mario. (n.d). The Mathematical
Manuscripts of Karl Marx. Centre
for
Mathematical Science. 30
September
2015.
http://www.
Mario
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
140
ISSN: 2088-687X
natiello/pages/linguistics/courses.
(Fourth edition). Canada : Cole
pdf
Cengage Learning.
Jones,
Adam
Logic
The Chiswick Centre. (2005). Supporting
Inductive and Deductive. Henry
Mathematical Thinking. Britain :
holt and company :
David Fulton
York.
Leroy.
21
1909.
New
september
2015.
http://archive.org/
2
Oktober
2015.
http://www.constitution.org
Suryadi,
Didi.
(2011).
(2012).
Pengantar
dalam matrikulasi di UNIB
November 2012.
Woods, Alan, and Grant, Ted. (2008).
Membangun
Does mathematic reflect reality?.
Budaya Baru dalam Berpikir
Reason in revolt.
Matematika. Bandung :
2015.http://www.marxist.com/rea
UPI
press.
Epp,
Wahyu.
Analisis Real. Makalah disajikan
Ross, W.D, ed. (n.d). Aristotle organon
Physics.
Widada,
Susanna
son-in-Alan
S.
Mathematics
2011.
with
Discrete
Woods
30
dan
April
Ted
grant-16-matematika.htm
Application
Logika … (RR. Imamul Muttakhidah)
AdMathEdu | Vol.5 No.2 | Desember 2015