File

TRIGONOMETRI
KOMPETENSI
SK
Menerapkan perbandingan, fungsi,
persamaan, dan identitas trigonometri
dalam pemecahan masalah
KD
Menentukan nilai perbandingan
trigonometri suatu sudut.
Mengkonversi koordinat kartesius dan
koordinat kutub
Menerapkan aturan sinus dan kosinus
Menentukan luas suatu segitiga
Menerapkan rumus trigonometri jumlah
dan selisih dua sudut
Menyelesaikan persamaan trigonometri
TOPIK PEMBAHASAN
• Apa itu trigonometri
• Sudut dan satuannya
• Segitiga siku-siku dan fungsi
trigonometri
• Fungsi trigonometri sudut
istimewa
• Koordinat dan fungsi
trigonometri
• Fungsi trigonometri di berbagai
kuadran
• Kuadran dan relasi I
• Komplemen dan relasi II
• Sudut negatif dan relasi III
• Sudut putaran dan relasi IV
• Lingkaran dan fungsi
trigonometri
• Grafik fungsi trigonometri
• Tabel fungsi trigonometri dan
kalkulator
• Koordinat kartesian dan
koordinat kutub
• Aturan sinus dan aturan kosinus
• Rumus luas segitiga
• Jumlah dan hasilkali trigonometri
• Identitas trigonometri
• Persamaan trigonometri
sederhana
Apa itu trigonometri
Hipparchus
•
•
•
•
•
•
at-Tusi
Regiomontanus
Trigonometri mula-mula dipelajari untuk kegiatan astronomi. Dimulai di Babilonia,
Yunani, Mesir, India, Arab, lalu ke Eropa.
Dalam bentuk awal, trigonometri mempelajari tentang penentuan “tali busur”
(chord).
Sering dikatakan Hipparchus (180-125 SM) adalah Bapak trigonometri, karena ia
orang yang pertama kali menulis tabel tali busur yang dikenal.
Tabel setengah tali-busur muncul di India, antara lain oleh Aryabhata I sekitar
tahun 500.
Di tangan orang Arab, studi trigonometri mulai jelas. Nashirudin at-Tusi (12011274) dikenal sebagai orang pertama yang menulis studi trigonometri lepas dari
astronomi dalam buku Treatise on the quadrilateral. Sebagai alternatif, ia juga
dikenal sebagai Bapak trigonometri.
Regiomontanus atau John Muller (1436-1476) menulis De triangulis omnimodis
yang dipercaya sebagai buku lengkap pertama yang membahas trigonometri bidang.
Apa itu trigonometri
Hipparchus
•
•
•
•
•
•
at-Tusi
Regiomontanus
Mungkin yang pertama kali menulis tentang “perbandingan trigonometri” dari
sebuah segitiga siku-siku pada lingkaran adalah Rheticus (murid Copernicus)
dalam buku Opus palatinum de triangulis (1596)
Kata “trigonometry” mula-mula muncul dalam bukunya Pitiscus berjudul
Trigonometria yang dipublikasi tahun 1595.
Kata “trigonometri” gabungan dari kata “tri (tiga), “gonos” (bidang/sisi), dan
“metros” (ukuran/ilmu). Secara ethimologi, trigonometri adalah ilmu tentang
segitiga (khususnya segitiga siku-siku).
Trigonometri sendiri adalah cabang besar matematika yang mempelajari hubungan
sudut dan sisi segitiga, khususnya segitiga siku-siku, dan sifat-sifat dari hubungan
itu. Hubungan itu yang dikenal dengan nama fungsi trigonometri.
Beberapa cabang trigonometri: trigonometri bidang datar, trigonometri bola,
analisis trigonometri, trigonometri analitik.
Trigonometri muncul dalam berbagai cabang ilmu antara lain: teori musik, optik,
elektronik, statistik, biologi, kimia, meteorologi, komputer grafik, geodesi,
arsitektur, bahkan ekonomi.
Sudut dan satuannya
•
•
•
•
•
•
•
Sudut adalah suatu “bukaan” (unsur geometri) yang dibentuk oleh dua buah sinar
dari sebuah titik atau dua buah garis yang bertemu di sebuah titik. (definisi statis)
Sudut adalah suatu daerah yang dibentuk dari perputaran sebuah sinar terhadap titik
asalnya atau perputaran sebuah garis terhadap titik ujungnya. (definisi dinamis)
Pada konsep “bukaan” dikenal sudut lancip dan sudut tumpul, juga sudut reflektif.
Pada konsep “putaran” dikenal “sudut positif” dan “sudut negatif”.
Satuan sudut antara lain: derajat, radian, gradian (gon), mil.
1 putaran penuh = 360o = 2 radian = 400 grad = 6400 mil (NATO).
Satuan derajat menggunakan sistem seksagesimal (warisan Babilonia dan
diinspirasi dari 1 tahun  360 hari). Untuk satuan yang lebih kecil berturut-turut
digunakan istilah “menit” () dan detik (). Satuan ini sering digunakan sehari-hari.
Satuan radian, murni menggunakan sistem desimal dan merupakan bilangan biasa
(bebas dari satuan fisis). Mengapa satuan radian biasanya tidak dituliskan?
Perhatikan bahwa bila kita membagi panjang busur di depan sudut dengan jari-jari
maka tidak ada satuan fisis yang terjadi (tidak berdimensi fisik, dimensionless).
Dengan alasan ini dan penulisan dalam desimal, maka “satuan” radian sering
digunakan dalam studi ilmiah.
Sudut dan satuannya
•
•
•
•
Bagaimana definisi satuan radian?
Kita tahu bahwa panjang keliling lingkaran dengan jari-jari r adalah 2r . Bila
dipilih jari-jari 1 satuan, maka keliling lingkaran adalah 2. Bilangan inilah yang
selanjutnya dipilih sebagai satuan radian untuk 1 putaran penuh. Dari pemilihan ini,
diperoleh antara lain bahwa 1 radian adalah besar sudut pusat lingkaran dengan
panjang busur sama dengan jari-jari lingkaran.
Jadi, seharusnya jelas perbedaan antara  = 180o dan  = 3,1415926…
Satuan gradian (grade , gon) menetapkan besar sudut siku-siku = 100 grad = 100g .
Mula-mula digunakan di Perancis. Sekarang, secara internasional ditetapkan
dengan nama “gon”. Pemakaiannya terbatas di beberapa negara dan khususnya
untuk kegiatan pengukuran tanah.
Satuan mil dipergunakan dalam kemiliteran. NATO menggunakan 1 mil = 1/6400
putaran penuh, Rusia menggunakan 1 mil = 1/6000 putaran penuh, dan pada beberapa
alat teleskopik 1 mil = 1/6283 putaran penuh. Bandingkan dengan 1 putaran penuh =
2000 miliradian  6283,185 milirad.
Segitiga siku-siku dan fungsi trig.
•
•
•
•
•
•
Perbandingan trigonometri berkaitan dengan perbandingan (panjang) sisi-sisi
segitiga siku-siku. Perbandingan-perbandingan inilah yang kemudian disebut
dengan perbandingan trigonometri.
Dari sini, istilah fungsi trigonometri sudut pada segitiga siku-siku didefinisikan
sebagai perbandingan-perbandingan tersebut.
Dikenal ada 6 fungsi trigonometri terkait dengan 6 permutasi 2 sisi dari 3 sisi.
Keenam fungsi trigonometri itu adalah sinus, kosinus, tangen, sekan, kosekan, dan
kotangen. Berturut-turut disingkat: sin, cos, tan, sec, csc atau cosec, dan cot.
Funsgi-fungsi yang berkebalikan adalah sin & cosec, cos & sec, serta tan & cot.
(dengan sifat resiprokal ini, sec, cosec, & cot dapat pula didefinisikan)
sin 
cos 
Dari definisi juga jelas bahwa
tan  
cot  
cos 
sin 
Dengan menggunakan rumus Pythagoras, diperoleh identitas:
sin2 + cos2 = 1
tan2 + 1 = sec2
1 + cot2 = cosec2
Fungsi trigonometri sudut istimewa
•
•
•
•
•
Biasanya yang dimaksud sudut-sudut istimewa adalah 0o, 30o, 45o, 60o, dan 90o.
Untuk sementara kita tidak dapat berbicara mengenai fungsi trigonometri sudut 0o
dan 90o. Mengapa? Karena untuk sudut-sudut itu, tidak ada segitiga siku-siku yang
memenuhi. Dengan lain kata, kita berhadapan dengan segitiga siku-siku asimtotik.
Kita perlu memperluas definisi fungsi trigonometri!
Untuk sudut 30o dan 60o, kita dapat melihat pada segitiga samasisi.
Untuk sudut 45o kita dapat menggunakan segitiga siku-siku samakaki.
Apa itu sesungguhnya sudut istimewa? Tidak jelas.
Jika yang dimaksud sudut dari bangun datar istimewa di mana nilai fungsi
trigonometri dapat mudah dinyatakan sebagai perbandingan, maka 0o dan 90o tidak
termasuk sudut istimewa. Lagi pula, dari segilima beraturan kita dapat menurunkan
sudut “istimewa” yang lain: 18o dan 72o.
Jika yang dimaksud sudut di mana nilai fungsi trigonometrinya dapat dinyatakan
dengan tepat dengan menggunakan tanda akar, maka 15o seharusnya merupakan
sudut istimewa. Lebih detil, semua sudut kelipatan 3o juga sudut istimewa. (tahun
2001, penulis telah menyusun daftar fungsi trig. sudut kelipatan 3o . Sebagai
contoh, Sin 3o  1 8  3  15  10  2 5 )
4
Koordinat dan fungsi trigonometri
•
•
•
•
Definisi fungsi trigonometri dari perbandingan pada segitiga siku-siku mengandung
beberapa kelemahan: (1) tidak dapat atau sulit mendefinisikan fungsi trig. pada
sudut 0o dan 90o, (2) untuk sudut yang lebih besar dari 90o tidak dapat didefinisikan
nilai fungsi trig.nya.
Ada beberapa cara memperluas definisi fungsi trig., salah satunya menggunakan
koordinat kartesian dengan pusat di titik sumbu koordinat. Pada cara ini, sebuah
sudut ditentukan oleh sumbu-x positif dan ruas garis dari titik sumbu ke sebuah titik
pada bidang koordinat.
Tentu absis dan ordinat dapat bernilai negatif, tetapi panjang garis dari titik pusat ke
sebuah titik pada bidang koordinat tetaplah positif. Selanjutnya fungsi-fungsi
trigonometri didefinisikan menggunakan perbandingan dengan mengganti sisi di
depan sudut dan sisi penyiku berturut-turut dengan ordinat dan absis.
Berbagai variasi tanda fungsi-fungsi trgonometri dapat dibedakan ke dalam 4
kuadran bidang koordinat.
Fungsi trig. di berbagai kuadran
•
Titik pada kuadran I (0o    90o)
(mirip pada segitiga siku-siku)
Titik pada kuadran II

sinus positif, yang lain negatif.
•
Titik pada kuadran I (180o    270o)
tangen positif, yang lain negatif.
•
c
180o)
Titik pada kuadran I

kosinus positif, yang lain negatif.
(270o
P(a,b)
c
•
(90o
P(a,b)


c
360o)
P(a,b)
•
Mnemonik tanda positif fungsi trigonometri:
“se-sin-ta-kos” atau cukup “semua sintaks”
•
Bagaimana dengan sudut 0o, 90o, 180o, 270o dan 360o ?


c
P(a,b)
Kuadran dan relasi I
•
•
•
Berdasarkan perluasan definisi fungsi trigonometri di atas, maka mudah diperoleh
beberapa hubungan sudut-sudut pada berbagai kuadran dengan sudut di kuadran I.
Bila 90o    180o (Pada kuadran II)
Misal  = 180o –  maka  adalah sudut lancip.
Perhatikan:  +  = 180o , 2 sudut jumlahnya 180o disebut saling bersuplemen.
Jadi, diperoleh dari gambar:
sin  = sin (180o – ) = sin 
cos  = –cos (180o – ) = –cos 
tan  = –tan (180o – ) = –tan 
Bila 180o    270o (Pada kuadran III)
Misal  =  – 180o maka  adalah sudut lancip.
Jadi, diperoleh dari gambar:
sin  = –sin ( – 180o) = –sin 
cos  = –cos ( – 180o) = –cos 
tan  = tan ( – 180o) = tan 
Kuadran dan relasi I
•
Bila 270o    360o (Pada kuadran IV)
Misal  = 360o –  maka  adalah sudut lancip.
Jadi, diperoleh dari gambar:
sin  = –sin (360o – ) = –sin 
cos  = cos (360o – ) = cos 
tan  = –tan (360o – ) = –tan 
Komplemen dan relasi II
•
•
•
•
•
Terdapat relasi khusus yang disebut komplemen.
Dua sudut berkomplemen bila jumlahnya 90o.
Perhatikan gambar. Pada dua sudut berkomplemen, status sisi x dan y saling
bertukar tempat. Dengan sifat ini mudah diperoleh bahwa:
Untuk  pada kuadran I:
sin  = cos (90o – ) , cos  = sin (90o – )
tan  = cot (90o – ) , cot  = tan (90o – )
sec  = cosec (90o – ) , cosec  = sec (90o – )
catatan: di sinilah arti penamaan “co” yang berarti complement.
Sifat komplemen ini dapat diperluas pada sudut di kuadran II, III, dan IV.
Bila 90o    180o (Pada kuadran II) maka
sin  = cos ( – 90o) , cos  = –sin ( – 90o)
tan  = –cot ( – 90o) , cot  = –tan ( – 90o)
sec  = –cosec ( – 90o) , cosec  = sec ( – 90o)
Komplemen dan relasi II
•
•
Bila 180o    270o (Pada kuadran III) maka
sin  = –cos (270o – ) , cos  = –sin (270o – )
tan  = cot (270o – ) , cot  = tan (270o – )
sec  = –cosec (270o – ) , cosec  = –sec (270o – )
Bila 270o    360o (Pada kuadran IV) maka
sin  = –cos ( – 270o) , cos  = sin ( – 270o)
tan  = –cot ( – 270o) , cot  = –tan ( – 270o)
sec  = cosec ( – 270o) , cosec  = –sec ( – 270o)
Sudut negatif dan relasi III
•
•
•
Kita mendefinisikan sudut negatif adalah
sudut dalam arah yang searah dengan jarum jam.
Perhatikan gambar!
360o - 
–
Jika 0o    360o maka diperoleh bahwa posisi titik P(a,b) sama baik ditentukan
oleh (–) maupun (360o – ). Jadi, dapat disimpulkan bahwa nilai fungsi
trigonometri sudut negatif sama dengan jumlah sudut itu dan 360o .
Oleh karena itu, mudah ditunjukkan bahwa:
sin (–) = –sin 
cos (–) = cos 
tan (–) = –tan 
cot (–) = –cot 
sec (–) = sec 
cosec (–) = –cosec 
perhatikan bahwa sudut  besarnya sebarang (tidak dibatasi yang lancip)
Sudut putaran dan relasi IV
•
•
•
Kita sudah memperkenalkan sudut positif sebagai putaran berlawanan jarum jam
dan sudut negatif sebagai sudut putaran dengan arah jarum jam. Bagaimana bila
terus diputar melebihi satu putaran penuh? Misalnya sudut 500o?
Perhatikan seberapapun diputar maka posisi titik P(a,b) akan dapat ditentukan
dalam besar sudut kurang dari 360o. Perhatikan gambar!
Mudah ditunjukkan bahwa:
sin ( + n.360o) = sin 
perhatikan bahwa n adalah sebarang bilangan bulat, dan fungsi sinus dapat diganti
dengan fungsi trgonometri yang mana saja.
Lingkaran dan fungsi trigonometri
•
•
•
•
Pada penggunaan koordinat untuk mendefinisikan fungsi trigonometri, oleh karena
perbandingan tetap di mana pun titik pada koordinat selama sudut yang terbentuk
tetap, maka kita dapat mengasumsikan titik-titik pada bidang koordinat terletak
pada sebuah lingkaran.
Lebih khusus lagi, bila kita memilih lingkaran dengan jari-jari 1 satuan.
Dengan sifat-sifat penggunaan lingkaran itu, fungsi-fungsi trigonometri dikenal
pula dengan istilah fungsi sirkular.
Berikut diagram hubungan keenam fungsi trigonometri pada lingkaran satuan.
Grafik fungsi trigonometri
•
•
•
Sekarang kita dapat menggambar grafik fungsi trigonometri pada sumbu koordinat.
Cara yang dapat dilakukan dengan mencacah titik demi titik. Tetapi ada cara yang
lebih mudah: menggunakan representasi fungsi trigonometri pada lingkaran satuan.
Contoh.
Grafik fungsi trigonometri
•
Berikut grafik sinus dan komplemennya (kosekan):
Grafik y = sin x
Grafik y = cosec x
Grafik fungsi trigonometri
•
Berikut grafik kosinus dan komplemennya (sekan):
Grafik y = cos x
Grafik y = sec x
Grafik fungsi trigonometri
•
Berikut grafik tangen dan komplemennya (kotangen):
Grafik y = tan x
Grafik y = cot x
Grafik fungsi trigonometri
•
•
•
Terlihat pada grafik bahwa masing-masing fungsi trigonometri memiliki bagian
kurva yang berulang secara periodik.
Selanjutnya panjang interval sudut di mana bagian kurva berulang ulang disebut
periode. Untuk grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut 180o (tan, cot)
atau 360o (sin, cosec, cos, sec)
Jarak terjauh titik pada kurva trigonometri terhadap sumbu x disebut dengan
amplitudo. Untuk grafik keenam fungsi trigonometri dasar tersebut 1 (sin, cos)
atau tak-hingga (tan, cot, sec, cosec)
Tabel fungsi trigonometri & kalkulator
•
•
•
•
Sejak pertama konsep trigonometri (primitif) dikenal, orang telah menulis
nilai-nilainya dalam bentuk tabel.
Tabel tali busur yang pertama dari Hipparchus (k.180-k.125 SM) sekitar
140 SM. al-Battani (k.858-929) memberikan fungsi kotangens dan
daftarnya untuk setiap derajat sudut. Abu al-Wafa` yang pertama kali
menggunakan tangens dan menyusun tabel tangens & sinus dengan
interval 15 menit. yang akurat hingga 8 tempat desimal. Ulugh Beg (13941449), bersama al-Kasyi dan Qadi Zada al-Rumi menyusun tabel berisi
daftar sinus dan tangens untuk setiap 1` (satu menit) dan teliti hingga 17
angka desimal. Rheticus (1514-1574) menerbitkan tabel sinus dan kosinus
tahun 1596 dengan interval 10 detik.
Dengan memperhatikan hasil-hasil pada sudut-sudut berelasi, maka tabel
semua fungsi trigonometri sesungguhnya cukup dibuat dari 0o hingga 45o.
Mengapa?
Selain tabel, kini orang telah banyak berpindah pada penggunaan
kalkulator (dan komputer). Pada kalkulator ilmiah (scientific cal.) minimal
telah disediakan tombol untuk sin, cos, & tan, dan sudut derajat dan
radian.
Ulugh Beg
Koordinat kartesian & koordinat kutub
•
•
•
•
Kedudukan titik (atau umumnya gambar geometri) pada bidang dapat ditentukan
dengan menggunakan beberapa cara: kordinat kartesian, atau koordinat kutub
(polar coordinate).
Fungsi trigonometri berguna dalam melakukan konversi dari koordinat kartesian ke
koordinat kutub, dan sebaliknya.
Perhatikan gambar di bawah. Titip P dapat ditetapkan kedudukannya dengan
koordinat (a,b) atau (r,). Koordinat (a,b) disebut koordinat kartesian, dan
koordinat (r, ) disebut koordinat kutub.
Dari gambar, jelas dapat diturunkan hubungan sebagai berikut:
a
atau a = r cos 
r
b
sin  =
atau b = r sin 
r
cos  =
dengan
a2 + b2 = r2 (rumus Pythagoras)
Aturan sinus dan aturan kosinus
•
•
•
Pada sebarang segitiga dikenal banyak rumus atau aturan yang berlaku, dua di
antaranya yang penting adalah Aturan Sinus, Aturan Kosinus.
Aturan Sinus berbunyi: Pada sebarang segitiga ABC dengan panjang sisi yang
bersesuaian (di hadapan) sudut A dan B berturut-turut a dan b maka berlaku:
a
b

sin A sin B
Perhatikan bahwa kita dapat menulis lengkap aturan di atas dengan menggunakan
ketiga pasang sudut dan sisi yang bersesuaian yang mungkin, lalu menggabungkan
hasil-hasilnya.
Aturan Sinus dapat pula digabungkan dengan sifat lingkaran luar segitiga, dan
diperoleh hubungan:
a
sin A
 2R
dengan a mewakili sebarang sisi segitiga dan A sudut yang bersesuaian.
Aturan sinus dan aturan kosinus
•
Aturan Kosinus berbunyi: Pada sebarang segitiga ABC dengan panjang sisi yang
bersesuaian (di hadapan) sudut A, B, dan C berturut-turut a, b, dan c maka berlaku:
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A atau
b2  c 2  a 2
cos A 
2bc
Perhatikan bahwa kita cukup menulis satu bentuk di atas, karena permutasi apapun
dari a, b,dan c rumus serupa tetap berlaku. (mengapa?)
Rumus luas segitiga
•
•
•
•
•
Kita sebelumnya telah mengenal rumus segitiga yang ditentukan oleh sebarang sisi
(sebagai alas) dan tinggi yang bersesuaian.
Bagaimana bila luas segitiga ditentukan oleh besar sudut segitiga? Dalam hal ini
fungsi trigonometri dapat membantu.
Untuk sebarang segitiga ABC dengan a dan b panjang sisi di hadapan berturut-turut
sudut A dan B, maka berlaku:
Luas segitiga ABC = ½ absin C
Perhatikan bahwa pemilihan sisi a dan b dapat diganti sebarang pasangan sisi lain
segitiga (sudut C menyesuaikan).
Rumus di atas berguna bila diketahui sebarang 2 sisi dan sudut yang diapit.
Nah, bila diketahui 2 sudut dan sisi yang bersekutu, kita memperoleh rumus sebagai
berikut:
1 sin B.sin C
Luas segitiga ABC = a 2
2 sin( B  C )
Bagaimana bila yang diketahui panjang ketiga sisi segitiga?
Jumlah & hasilkali trigonometri
•
Rumus jumlah & selisih sudut:
•
Rumus hasil kali fungsi trig.
•
Rumus jumlah & selisih fungsi trig.
Identitas trigonometri
•
•
•
Istilah identitas dalam matematika memiliki makna yang beragam. Dalam aljabar,
identitas adalah elemen yang tidak mempengaruhi elemen lain terhadap suatu
operasi. Secara umum, identitas matematika adalah kalimat terbuka (memuat
variabel) yang selalu bernilai benar dalam domain tertentu.
Identitas trigonometri adalah identitas yang memuat fungsi trigonometri.
Beberapa identitas penting yang dapat diturunkan sebagai berikut:
Identitas dari rumus Pythagoras:
Identitas aturan sinus:
Identitas aturan kosinus:
Identitas aturan tangen:
atau
Identitas trigonometri
Identitas jumlah dan selisih sudut.
Identitas jumlah dan selisih fungsi trig.
Identitas hasil kali fungsi trig.
Identitas trigonometri
•
Identitas sudut rangkap.
•
Identitas setengah sudut
Identitas trigonometri
•
Identitas pangkat fungsi trig.
Identitas trigonometri
•
Identitas rekursif tangen & kotangen sudut rangkap.
•
Identitas tangen untuk rerata sudut.
•
Dan lain-lain.
Persamaan trigonometri sederhana
•
•
•
•
•
Persamaan trigonometri bisa berbagai bentuk dari yang sederhana hingga yang
kompleks.
Persamaan trigonometri sederhana, berbentuk:
Bentuk sin x = c , 0  c  1
Tentukan  sudut lancip sedemikian hingga sin  = c.
Maka penyelesaiannya: x =  + k. 360o atau x = (180 – ) + k. 360o .
Bentuk cos x = c , 0  c  1
Tentukan  sudut lancip sedemikian hingga cos  = c.
Maka penyelesaiannya: x =  + k. 360o atau x = (360 – ) + k. 360o .
Bentuk tan x = c , 0  c  1
Tentukan  sudut lancip sedemikian hingga tan  = c.
Maka penyelesaiannya: x =  + k. 180o.
BUKTI 1 ATURAN SINUS
KEMBALI
A
•
Untuk sudut C (dan B) lancip.
AD
Pada gambar 1,
sin B 
c
Diperoleh c.sin B = b.sin C atau
•
sin C 
b
c

sin B sin C
Untuk sudut C (atau B) tumpul
AD
Pada gambar 2, sin (180  C ) 
b
padahal, sin (180o – C) = sin C
Selanjutnya,mudah ditunjukkan
AD
b
C
B
D
A
sin B 
AD
c
b
c

sin B sin C
D
C
B
BUKTI 2 ATURAN SINUS
KEMBALI
B
 A =  A (karena menghadap busur BC)
2R =
a
R
c
C
sin A =
O
b
a
2R
 2R =
a
sin A
Dengan cara yang serupa, kita dapat sampai pada
R
A
A
2R =
maka:
b
sin B
dan 2R =
c
sin C
b
c

 2R
sin B sin C
(Aturan Sinus)
BUKTI ATURAN KOSINUS
KEMBALI
Pada gambar 1 maupun 2,
lalu,
sin C 
c2 = AD2 + BD2
A
AD
atau AD = b. sin C
b
selanjutnya,
untuk sudut C (dan B) lancip, maka
BD = BC – CD = a – b.cos C
C
D
B
A
untuk sudut C (atau B) tumpul, maka
BD = BC + CD = a + b.cos (180o – C) = a – b.cos C
(jadi, sama saja untuk BD).
Dengan demikian, c2 = (b.sin C)2 + (a – b.cos C)2
= b2. sin2C + a2 – 2ab.cos C + b2.cos2C
= a2 + b2 – 2ab.cos C
(menggunakan sifat sin2C + cos2C = 1)
D
C
B
RUMUS HERON
KEMBALI
Jika segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c maka rumus luas segitiga sebagai berikut:
1
bc 1  cos 2 A
2
1
bc (1  cos A)(1  cos A)
=
2
L = ½ bc sin A =
Subtitusi cos A menggunakan aturan kosinus, yaitu:
hingga diperoleh:
L=
=
b2  c 2  a 2
cos A 
2bc
1
(2bc  b 2  c 2  a 2 )(2bc  b 2  c 2  a 2 )
bc
4
4b2c 2
1
[(b  c) 2  a 2 ][a 2  (b  c) 2 ]
4
Dengan sedikit manipulasi aljabar dan menulis ½ (a + b + c) = s maka diperoleh:
L=
s(s  a)(s  b)(s  c)
BUKTI RUMUS JUMLAH &
SELISIH SUDUT
KEMBALI
Perhatikan gambar.
y
P (cos(+), sin (+))
y
P (cos , sin )
1
1

O

Q (1,0)
1

x
O
x

1
PQ2 = [cos(+) – 1]2 + [sin (+) – 0]2
Dapat disederhanakan menjadi PQ2 = 2 – 2cos (+) …(i)
Juga, PQ2 = [cos  – cos ]2 + [sin  – sin ]2
Dapat disederhanakan menjadi PQ2 = 2 – 2cos  cos  + 2sin  sin  …(ii)
Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin 
Q (cos , –sin )
Bagaimana untuk salah satu sudut adalah sudut tumpul, atau kedua-duanya tumpul?
BUKTI RUMUS JUMLAH &
SELISIH SUDUT
KEMBALI
Perhatikan gambar.
y
y


1
O

Q (1,0)
x
O
x

1
1
Q (cos , –sin )
P (cos , sin )
P (cos(+), sin (+))
Jika salah satu sudut adalah sudut tumpul ataupun kedua-duanya tumpul, maka koordinat titik P , P
dan Q tidak akan berubah. (titik Q dibuat tetap pada titik (1,0))
BUKTI RUMUS JUMLAH &
SELISIH SUDUT
KEMBALI
Dari sifat cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin  … (1) dengan mengganti  dengan – diperoleh
cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin  …(2)
Dengan sifat sin ( + ) = cos (90o – ( + )) = cos ((90o – ) – )) dan sifat (2) diperoleh
sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  …(3)
Dari sifat (3) dengan mengganti  dengan – diperoleh
sin ( – ) = sin  cos  – cos  sin  …(4)
Dari sifat tan ( + ) = sin ( + ) /cos ( + ), sifat (3), sifat (1) lalu membagi pembilang &
penyebut dengan cos .cos , diperoleh
tan ( + ) = (tan  + tan )/(1 – tan  tan ) … (5)
Dari sifat (5) dengan mengganti  dengan – diperoleh
tan ( – ) = (tan  – tan )/(1 + tan  tan ) … (6)
BUKTI RUMUS HASIL KALI
FUNGSI TRIG
Diketahui cos ( + ) = cos  cos  – sin  sin  … (1)
cos ( – ) = cos  cos  + sin  sin  …(2)
sin ( + ) = sin  cos  + cos  sin  …(3)
sin ( – ) = sin  cos  – cos  sin  …(4)
Jumlahkan (2) & (3) lalu bagi 2, maka diperoleh:
sin  cos  = ½ [sin ( + ) + sin ( – )] … (7)
Jumlahkan (1) & (2) lalu bagi 2, maka diperoleh:
cos  cos  = ½ [cos ( + ) + cos ( – )] … (8)
Ambil selisih (1) & (2) lalu dibagi 2, maka diperoleh:
sin  sin  = ½ [cos ( + ) – cos ( – )] … (9)
KEMBALI
BUKTI RUMUS JUMLAH &
SELISIH FUNGSI TRIG
KEMBALI
Diketahui sin  cos  = ½ [sin ( + ) + sin ( – )] … (7)
cos  cos  = ½ [cos ( + ) + cos ( – )] … (8)
sin  sin  = ½ [cos ( + ) – cos ( – )] … (9)
Dari (7) dengan memisal A =  +  dan B =  –  diperoleh:
sin A + sin B = 2 sin ½ (A + B) cos ½ (A – B) … (10)
Dari (8) dengan memisal A =  +  dan B =  –  diperoleh:
cos A + cos B = 2 cos ½ (A + B) cos ½ (A – B) … (11)
Dari (9) dengan memisal A =  +  dan B =  –  diperoleh:
cos A – cos B = – 2 sin ½ (A + B) sin ½ (A – B) … (10)
Sumardyono, M.Pd.
TERIMA KASIH