Bilangan Bulat

Bilangan Bulat
Matematika Diskrit
 Pembagian
 Bilangan prima
 Greatest Common Divisor
dan Least Common
Multiple
Materi
Viny Christanti M.
 Modulo
Bilangan Bulat
 Bilangan bulat adalah bilangan yang tidak mempunyai
pecahan desimal, misalnya 8, 21, 8765, -34, 0
 Berlawanan dengan bilangan bulat adalah bilangan riil yang
mempunyai titik desimal, seperti 8.0, 34.25, 0.02.
Sifat Pembagian pada Bilangan Bulat
 Misalkan a dan b adalah dua buah bilangan bulat dengan
syarat a  0. Kita menyatakan bahwa a habis membagi b (a
divides b) jika terdapat bilangan bulat c sedemikian sehingga
b = ac.
 Notasi:
 a | b jika b = ac,
 c  Z dan a  0.
 (Z = himpunan bilangan bulat)
 Kadang-kadang pernyataan “a habis membagi b“ ditulis juga
“b kelipatan a”.
Contoh 1:
 4 | 12
 karena 12:4 = 3 (bilangan bulat) atau 12 = 4  3.
 Tetapi 4 | 13
 karena 13:4 = 3,25 (bukan bilangan bulat).
Algoritma Pembagian
 Definisi 1:
 Jika a dan b adalah bilangan bulat dimana a≠0 maka dinyatakan
membagi b.
 Jika terdapat bilangan bulat c sehingga b = a.c
 Jika a membagi b maka a adalah faktor b dan b disebut pengali
dari a.
 Notasi:
 a | b menyatakan a membagi b.
 a | b menyatakan a tidak membagi b
Algoritma Pembagian…
 Teorema 1
Misalkan a, b dan c adalah bilangan bulat maka:
 Jika a | b dan a | c maka a | (b+c)
 Jika a | b maka a | b.c untuk semua bilangan bulat c
 Jika a | b dan b | c maka a | c
 Contoh:
 3 | 9 dan 3 | 27 , maka 3 | (9+27). Benar karena 3 | 36
 3 | 6 maka 3 | 6.4 (sesuai teorema 1)
 3 | 6 dan 6 | 18 maka3 | 18 (sesuai teorema 1)
Bilangan Bulat
Bilangan Bulat Prima
 Definisi 2 :
 Bilangan bulat positif p > 1 disebut bilangan prima jika faktor
positif dari p hanya 1 dan p. Bilangan bulat positif yang >1 tetapi
bukan bilangan prima disebut bilangan komposit
 Teorema 2:
 Setiap bilangan bulat positif dapat dituliskan secara unik
sebagai produk dari bilangan bulat, dimana faktor prima
tersebut ditulis dengan urutan menaik.
 Contoh:
 Bilangan prima dari 28 = 2.2.7
 Bilangan prima dari 37 = 37
Bilangan Bulat Prima…
 Teorema 3:
 Jika n adalah bilangan bulat komposit maka n memiliki pembagi
(faktor) prima ≤√n
 Contoh:
 Apakah 123 merupakan bilangan prima atau komposit?
 Bilangan prima ≤√123 adalah 2, 3, 5 dan 7
 3 | 123 maka 123 adalah bilangan komposit
Memeriksa apakah prima atau bukan
 Is 97 a prime?
 The floor of 97 = 9
 The primes less than 9 are 2, 3, 5, and 7
 We need to see if 97 is divisible by any of these numbers
 It is not, so 97 is a prime.
 Is 301 a prime?
 The floor of 301 = 17
 We need to check 2, 3, 5, 7, 11, 13, and 17
 The numbers 2, 3, and 5 do not divide 301, but 7 does
 Therefore 301 is not a prime.
Bilangan Bulat Prima…
 Teorema 4:
 Misalkan a bilangan bulat dan d bilangan bulat positif maka ada
bilangan bulat unik yaitu q dan r dengan r ≤ d sehingga
 a=d.q + r
 Contoh:
 237 = 35.6 + 27
 a=237
 d=35
 q=6
 r=27
A prime is divisible only by itself and 1.
There is an infinite number of primes.
Number of Primes
GCD dan LCM
 Definisi 1 :
 Jika a dan b adalah bilangan bulat bukan nol maka bilangan bulat
terbesar d sedemikian sehingga d | a dan d | b disebutGCD dari a dan b
dan dinyatakan sebagai GCD(a,b).
 Definisi 2 :
 Bilangan bulat a dan b disebut relatif prima jika GCD(a,b)=1
 Definisi 3 :
 Bilangan bulat a1, a2, …, an adalah pasangan relatif prima jika
GCD(ai,aj) = 1 selama 1 ≤i ≤j ≤n
 Definisi 4 :
 LCM dari bilangan bulat a dan b adalah bilangan bulat positif terkecil
yang habis dibagi oleh a dan b dan dinyatakan sebagai LCM(a,b).
Greatest Common Divisor
 Let a and b be integers, not both zero.
 The largest integer d such that d | a and d | b is called the
greatest common divisor of a and b.
 Example :
 gcd(48, 72) =
 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 dan 72
 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24 dan 48
 Maka gcd(48, 72) = 24
Greatest Common Divisor
 GCD menggunakan faktor prima:
 a = p1a1p2a2…pnan
 b = p1b1p2b2…pnbn
 Dimana p1< p2< …< pn dan ai, bi ∈ N for 1≤i≤n
 maka
 gcd(a, b) = p1 min(a1, b1). p2 min(a2, b2)…pn min(an, bn)
 Contoh:
 Berapa gcd(60,54)?
 60 = 22 31 51
 54 = 21 33 50
 gcd(60,54) = 21.31.50 = 6
Least Common Multiple
 LCM menggunakan faktor prima:
 a = p1a1p2a2…pnan
 b = p1b1p2b2…pnbn
 Dimana p1< p2< …< pn dan ai, bi ∈ N for 1≤i≤n
 maka
 lcm(a, b) = p1 max(a1, b1). p2 max (a2, b2)…pn max (an, bn)
GCD dan LCM
 Teorema 1 :
 Jika a dan b adalah bilangan bulat positif maka
 a.b = GCD(a,b).LCM(a,b)
Relatif Prima
 Dua buah bilangan bulat a dan b dikatakan relatif prima jika
GCD(a, b) = 1.
 Contoh:
 20 dan 3 relatif prima sebab GCD(20, 3) = 1.
 7 dan 11 relatif prima karena GCD(7, 11) = 1.
 Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima sebab GCD(20, 5) = 5  1.
 Jika a dan b relatif prima, maka terdapat bilangan bulat m
dan n sedemikian sehingga
ma + nb = 1
Relatif Prima
 Contoh :
 Bilangan 20 dan 3 adalah relatif prima karena
 GCD(20, 3) =1,
 atau dapat ditulis 2 . 20 + (–13) . 3 = 1
 dengan m = 2 dan n = –13.
 Tetapi 20 dan 5 tidak relatif prima karena
 GCD(20, 5) = 5  1
 sehingga 20 dan 5 tidak dapat dinyatakan dalam
 m . 20 + n . 5 = 1.
Contoh
 GCD(24,36) = ?
 Maka GCD(24,36)=12
 GCD(7,19)=1
 Maka 7 dan 19 adalah relatif prima
 Apakah 10, 17 dan 21 adalah pasangan relatif prima ?
 GCD(10,17)=1
 GCD(10,21)=1
 GCD(17,21)=1
 Maka 10,17,21 adalah relatif prima
Aritmetika Modulo
 Misalkan a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat
> 0.
 Operasi a mod m (dibaca “a modulo m”) memberikan sisa jika
a dibagi dengan m.
 Notasi:
 a mod m = r sedemikian sehingga a = mq + r, dengan 0  r < m.
 Bilangan m disebut modulus atau modulo, dan hasil
aritmetika modulo m terletak di dalam himpunan {0, 1, 2, …,
m – 1} (mengapa?).
Modulo
 Definisi 1
 Jika a adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat positif
maka dapat dinyatakan a mod m adalah sisa hasil bagi dari a dibagi
m
 Definisi 2
 Jika a dan b adalah bilangan bulat dan m adalah bilangan bulat
positif maka kongruen dengan b mod m jika m dapat membagi a –
b
 a≅b mod m jika m|(a-b)
 a≅b mod m jika dan hanya jika a mod m = b mod m
 Definisi 3
 Zm adalah himpunan bilangan bulat hasil modulo m
Contoh
 23 mod 5 = 3
(23 = 5  4 + 3)
 27 mod 3 = 0
(27 = 3  9 + 0)
 6 mod 8 = 6
(6 = 8  0 + 6)
 0 mod 12 = 0
(0 = 12  0 + 0)
 – 41 mod 9 = 4*
(–41 = 9 (–5) + 4)
 – 39 mod 13 = 0
(–39 = 13(–3) + 0)

* Karena a
negatif, bagi |a| dengan m mendapatkan sisa r’.
 Maka a mod m = m – r’ bila r’  0.
 Jadi |– 41| mod 9 = 5, sehingga –41 mod 9 = 9 – 5 = 4.
Algoritma ganjil genap
JIKA A mod 2 = 0
MAKA A adalah bilangan genap
SEBALIKNYA A adalah bilangan ganjil
 Bagaimana dengan algoritma untuk bilangan prima
Latihan
 Tunjukkan benar atau salah
 19 | 89
 19 | 561
 19 | 209
 19 | 8721
Latihan …
 Hitunglah
 -173 mod 21
 0 mod 34
 -340 mod 9
 1987 mod 97
Latihan…
 Berapa GCD dan LCM dari pasangan berikut?
 220, 1400
 315, 825
 2475, 32670
 -456, 688
Selamat Belajar