teori bilangan - WordPress.com

[email protected]
TEORI BILANGAN
Setelah mempelajari modul ini diharapakan kamu bisa :
1
Menggunakan algoritma Euclid untuk menyelesaikan masalah.
2
Menggunakan notasi kekongruenan.
3
Menggunakan teorema Fermat dan teorema Wilson.
4
Menggunakan teorema factor.
5
Menggunakan teorema sisa cina
Masalah :
1
Tentukan factor persekutuan terbesar dari 247 dan 229.
2
Tentukan sisa pembagian 22005 ketika dibagi dengan 13.
3
Tentukan dua digit terakhir dari 31999
4
Tentukan bilangan x dimana ketika dibagi 5 menyisakan 2, ketika dibagi
dengan 3 menyisakan 2 dan ketika dibagi dengan 11 menyisakan 3.
1.
KETERBAGIAN
Dedinisi 1 : bilangan bulat b membagi habis bilangan bulat a ditulis b I a, jika dan
hanya jika ada bilangan bulat q sehingga a = b . q, jika b tidak membagi habis
bilangan bulat a maka ditulis ∤ .
Catatan 1 : perlu dipahami bahwa arti membagi habis jika sisanya adalah 0.atau
dikatakan tidak memiliki sisa kecuali nol.
Contoh 1 : 4 I 36 karena 36 = 4 . 9.
-3I 18 karena 18 = -3 . 6
3∤ 10 karena tidak ada q sedemikian sehingga 3 q = 10.
Definisi 2 : semua bilangan bulat b habis dibagi oleh 0 atau bisa ditulis 0
membagi semua sembarang bilangan bulat b ditulis 0 I b, b sembarang bilangan
bulat. Hal ini karena 0 = b. 0.
Istilah lain yang memiliki arti sama dengan b I a adalah
1
b adalah factor dari a
2
b adalah pembagi a
3
a adalah kelipatan dari b
teorema 1
teorema 2
teorema 3
Teorema 4
: jika a I b dan b I c maka a I c.
: jika a I b dan a I c maka a I (b + c)
: jika a I b maka a I bq untuk q sembarang bilangan bulat.
: jika a I b dan a I c maka a I (bm +cm), sembarang bilangan bulat m
[email protected]
Teorema 5
Teorema 6
Teorema 7
Teorema 8
Contoh 2
: jika m> 0 maka a I b ⇔ ma I mb.
: jika a I b dan b I a maka a = b atau a = -b.
: jika a I b dengan a dan b positif, maka a ≤ b.
: jika a I b dan b ≠ 0 maka | | ≤ | |
: 3x +81y +6z +36 = w, dengan x, y, z dan w bilangan bulat, maka 3 I
w karena 3 membagi semua suku diruas kiri. (teorema 4)
Tes keterbagian / cirri bilangan yang habis dibagi n digit.
Habis dibagi
Ciri-ciri
2
Digit terakhirnya genap
3
Jumlah digitnya habis dibagi
dengan 3
4
Dua digit terakhirnya habis
dibagi dengan 4
5
Digit terkhirnya 0 atau 5
6
Jumlah dari semua digit habis
dibagi 3 dan digit satuannya
genap
7
M habis dibagi 7, dimana M
adalah bilangan yang lebih kecil
yang berasal dari bilangan N
yang ditambahkan dua kali pada
digit terakhir dari bilangan yang
dibentuk dari sisa digit.
8
Tiga digit terakhir habis dibagi
dengan 8
9
Jumlah digitnya habis dibagi
dengan 9
11
Selisih digit-digit pada tempat
ganjil dan tempat genap adalah
0.
12
Bilangan yang dibentuk dua digit
terkhir habis dibagi 4 dan jumlah
digitnya habis dibagi 3
25
Bilangan yang dibentuk dengan
2 digit terkahir habis dibagi 25
125
Bilangan yang dibentuk dengan
[email protected]
3 digit terakhir habis dibagi 125.
Catatan : digit bisa diartikan banyak angka dasar dalam matematika yaitu 0, 1, 2,
3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
2.
FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR 1
Kita tahu dengan menggunakan pemfaktoran atau mendata factor dari 30
dan 105 kita bisa menemukan bahwa factor persekutuan terbesar dari 30 dan 105
adalah 15. Dalam modul ini kita buat kesepakatan factor persekutuan terbesar
disebut juga dengan Greats Common Divisor (Pembagi Bersama Terbesar) dan
selanjutnya disingkat gcd. Jadi fpb dari 30 dan 105 bisa kita tulis dengan gcd (30,
105 ) = 15. Dalam menentukan gcd bilangan 30 dan 105 sangatlah mudah, akan
tetapi bagaimana menentukan gcd dari masalah 1? Akan kita pelajari bersama.
Definisi 2 : diberikan a, b ∈ yang keduanya tidak nol, maka gcd dari (a,b)
adalah bilangan asli unik d sedemikian sehingga :
1)
d I a dan d I b
2)
jika ada c I a dan c I b , maka c I d.
Catatan 2: syarat 1) adalah syarat d sebagai factor persekutuan dari a dan b,
sedangkan syarat 2) adalah syarat d sebagai factor persekutuan terbesar dari a
dan b.
Pemahaman 2 : factor-faktor dari 30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 dan 30. Sedangkan
factor-faktor dari 105 adalah = 1, 3, 5, 7, 15, 21, 35 dan 105. Kita bisa liahat sarat
pertama dipenuhi oleh 1, 3, 5, dan 15. Yang masing-masing membagi habis 30 dan
105. Maka syarat kedua mengsyaratkan pembagi bersama yang dipilih adalah 15
yang habis dibagi oleh c (1,3,5) yang tentu saja mudah dilihat kurang dari 15.
Teorema 1 : jika gcd(a,b) = d maka gcd (a : d, b :d) =1
Teorema 2 : jika a = qa +r maka gcd (a,b) = gcd(b,r)
3.
PEMBAGIAN BERSISA
Teorem 3 : untuk setiap pasangan bilangan bulat a dan b dimana b> 0, selalu
terdapat dengan tunggal pasangan bilangan bulat q dan r sehingga :
=
+ ,0 ≤ <
[email protected]
Catatan 3 :
Catatan 1.1. Bilangan bulat a adalah bilangan yang dibagi, b adalah pembagi, q
disebut hasil bagi (quotient) dan r disebut sisa (remainder). Teorema ini dapat
diungkapkan dalam bahasa sehari-hari: bilangan bulat a dibagi oleh bilangan bulat
b > 0 maka ada bilangan bulat q sebagai hasil baginya dengan sisa r.
Contoh 1. ketika 13 = 2. 6 +1. Maka 13 adalah bilangan yang dibagi (a), 2 adalah
bilangan pembagi (b), 6 adalah hasil bagi / quotient (q) dan 1 adalah sisa /
remainder.
4.
ALGORITMA PEMBAGIAN (ALGORITMA EUCLID)
Diberikan 0 <
≤ dengan algoritma Euclid, kita dapatkan :
a = q b + r ,0 ≤ r <
jika r = 0 maka b I a jadi gcd (a,b) = b; if r ≠ 0 ambil b and r1 dalam
pembagian algoritma kita dapatkan :
b = q r + r ,0 ≤ r < r
jika r2 =0, stop ; kita dapatkan gcd (a,b) = r1 ; jika tidak , lanjutka proses ini
sampai mendapatkan sisa nol. Misalkan sisa nol diperoleh setelah n + 1 langkah,
maka :
a = q b + r ,0 < r <
b = q r + r ,0 < r < r
r = q r + r ,0 < r < r
........
r
=q r
r
…
………….
+r ,0< r
= q
<r
+ r + 0.
Sekarang gcd (a,b) =r
[email protected]
Contoh 4 : tentukan gcd dari (178, 312)
Step 1 : 312 = 1 . 178 +134
Step 2 : 178 = 1 . 134 +44
Step 3 : 134 = 3. 44 + 2
Step 4 : 44 = 22. 2 + 0
Kita dapatkan gcd(178, 312) = 2.
Catatan 4: karena jika x I y maka –x I y. jadi gcd (178, 312) = gcd (-178, 312) = gcd
(178, - 312) = gcd ( - 178 , -312 ).
Sekarang masalah pertama bisa anda kerjakan.
5.
KPK
Definisi 5 : jika a,b adalah anggota bilangan bulat maka kpk (a, b) =
( , )
Dari bahasan 4 kita dapat dengan mudah dapatkan kpk dari (178, 312) yaitu
.
= 27768.
6.
KEKONGRUENAN
Definisi 6.a : misalkan a, b dan m adalah bilangan bulat dengan m> 0 maka
dikatakan bahwa a kongruen dengan b modulo m jika m membagi habis (a – b)
dan ditulis a ≡ b (mod m).
Contoh 6 : 25 ≡ 1 (mod 4 ) karena (25 -1) habis dibagi 4, sedangkan 31 ≢ 5
(mod 6) karana (31 -5) tidak habis terbagi oleh 6.
Catatan 6 : dari definisi a ≡ b (mod m) jika a –b habis terbagi oleh m atau kita
bisa tulis m I (a-b) dibaca m membagi habis (a- b). berarti ada sembarang bilangan
bulat c sehingga (a – b) = m.c atau ekuivalen dengan a = b + m.c dengan c
sembarang bilangan bulat.
[email protected]
Pemahaman 6
: n ≡ 7 (mod 8) ini bisa kita artikan 8 membagi habis n – 7 kita
tulis 8 I n – 7. Dapat diartikan bahwa n – 7 = 8.c dimana c sembarang bilangan
bulat atau dapat kita tulis n = 7 +8c. dengan c sembarang bilangan bulat.
Teorema 1 : Jika a ≡ b (mod m) maka untuk sembarang bilangan x ∈
1
2
3
4
berlaku
(a + x) ≡ (b + x)(mod m)
(a − x) ≡ (b − x)(mod m)
(ax) ≡ (bx)(mod m)
(a ) ≡ (b )(mod m), ∀n ∈ N.
Teorema 2 : jika a ≡ b (mod m)and c ≡ d(mod m). maka
a + c ≡ (b + c)(mod m)
2
a − c ≡ (b − d)(mod m)
3
ac ≡ bd (mod m)
contoh 6
:Tentukanlah sisa , jika 20 dibagi 7?
Pembahasan
20 ≡ −1 (
7)
20 ≡ (−1) (
7)
20 ≡ 1 (
7)
Jadi 20 ∶ 7 bersisa 1.
Catatan
: usahakanlah untuk sisa adalah 1 atau – 1 karena akan mudah untuk
di cari hasil perpangkatanya.
1
Masalah 3 : hitung dua digit terakhir dari 32002. Kita tentu tak cukup kertas dan
juga umur kita terbatas jika menghitung dengan mengenumerasi. Kita gunakan
notasi kekongruenan. Kita gunakan modulo 100.
3 ≡ 81 (mod 100)dan 3 ≡ 9(mod 100)
3 ≡ 729 (mod 100)
≡ 29 (mod 100)
Dan 3 ≡ 261 (mod 100)atau 3 ≡ 61 (mod 100), kita lanjutkan perhitungan,
3 ≡ 61 x 9 (mod 100)
≡ 49 (mod 100)
Dan
3 ≡ 49 (mod 100)
[email protected]
≡ 2401 (mod 100)
≡ 1 (mod 100)
Akhirnya diperoleh 3
= (3 ) . 3 ≡ 1. 3 (mod 100) ≡ 9 (mod 100)
Jadi dua digit terakhir adalah 9.
Catatan : untuk menghitung n digit terakhir gunakan 10n.
7.
TEOREMA FERMAT
Teorema 7 : jika a adalah bilangan prima dan n adalah relative prima dengan a
atau gcd (n,p) = 1. Maka n
≡ 1 (mod p) dan juga n ≡ n (mod p)
Catatan 7
: ini artinya n
− 1 dan juga np-n adalah kelipatan dari p.
Contoh 7 : missal kita ingin menghitung berapa sisa 542 ketika dibagai dengan
41 menrut teorema fermat karena 5 dan 41 saling prima atau gcd (5, 41 ) =1 maka
kita dapatkan 5
≡ 1 (mod 41) sehingga 5 ≡ 1 (mod 41) selanjutnya 540.
52≡ 1. 52(mod 41 ) sehingga didapat sisanya adalah 25.
8.
TEOREMA WILSON
Teorema 8 : jika p adalah bilangan prima, maka (p -1)! +1 ≡ 0 (mod p).
Catatan 8 : ini berarti bahwa (p-1)! + 1 adalah sebuah kelipatan dari p.
9.
TEOREMA FAKTOR
Teorema
: sembarang bilangan asli N dapat ditulis dalam suatu bentuk
=
….
dimana
adalah bilangan prima dan
, ,…..,
<
< ⋯ … . < . Dan , , …….., adalah suatu bilangan bulat positif.
Contoh
: N adalah bilangan asli sehingga N/5 adalah sebuah bilangan kuadrad
dan N/2 adalah bilangan pangakat tiga, nilai terkecil dari N yang memenuhi N/ 33
adalah
Solusi
: misalkan N =
10. TEOREMA SISA CINA.
Masalah
: Pada abad pertama, seorang matematikawan China yang bernama
Sun Tse mengajukan pertanyaan sebagai berikut: Tentukan sebuah bilangan bulat
[email protected]
yang bila dibagi dengan 5 menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila
dibagi 11 menyisakan 7.
Pertanyaan Sun Tse dapat dirumuskan kedalam system perkongruenan linier :
x  3 (mod 5)
kongruen linier
x  5 (mod 7)
x  7 (mod 11)
teorema 9 : misalkan Misalkan m1, m2, …, mn adalah bilangan bulat
positif sedemikian sehingga gcd(mi, mj) = 1 untuk i  j. Maka sistem
x  ak (mod mk)
mempunyai sebuah solusi unik modulo m = m1  m2  …  mn.
Contoh 9.
:Tentukan solusi dari pertanyaan Sun Tse di atas.
Penyelesaian 9.1 :
Menurut persamaan (5.6), kongruen pertama, x  3 (mod 5), memberikan x = 3 +
5k1 untuk beberapa nilai k. Subtitusikan ini ke dalam kongruen kedua menjadi 3 +
5k1  5 (mod 7), dari sini kita peroleh k1  6 (mod 7), atau k1 = 6 + 7k2 untuk
beberapa nilai k2. Jadi kita mendapatkan x = 3 + 5k1 = 3 + 5(6 + 7k2) = 33 + 35k2
yang mana memenuhi dua kongruen pertama. Jika x memenuhi kongruen yang
ketiga, kita harus mempunyai 33 + 35k2  7 (mod 11), yang mengakibatkan k2  9
(mod 11) atau k2 = 9 + 11k3. Subtitusikan k2 ini ke dalam kongruen yang ketiga
menghasilkan x = 33 + 35(9 + 11k3)  348 + 385k3 (mod 11). Dengan demikian, x 
348 (mod 385) yang memenuhi ketiga konruen tersebut. Dengan kata lain, 348
adalah solusi unik modulo 385. Catatlah bahwa 385 = 5  7  11.
Solusi unik ini mudah dibuktikan sebagai berikut. Solusi tersebut modulo m = m1 
m2  m3 = 5  7  11 = 5  77 = 11  35. Karena 77 3  1 (mod 5), 55  6  1 (mod 7),
dan 35  6  1 (mod 11), solusi unik dari sistem kongruen tersebut adalah
x  3  77  3 + 5  55  6 + 7  35  6 (mod 385)
 3813 (mod 385)  348 (mod 385)
Penyelesaian 9.2
Sebenarnya kita bisa pikirkan bahwa sebenarnya ini juga bisa kita tulis dengan
[email protected]
3, 8, 13, 18,….., 3 + 5p
5, 12, 19,…., 5 +7q
7, 18, 29,…., 7 +11r
Dengan menyelesaiakan persamaan kita bisa peroleh kelipatan persekutuan
terkecil yaitu 348. Tetapi penyelesaian ini kurang praktis dan hanya digunakan
untuk bilangan yang kecil dan persamaan yang sedikit. Maka kita butuh
persamaan yang lebih umum, selain denngan 2 cara diatas.
Penyelesaian 9.3
Teorema
: misalkan kita ingin menemukan sebuah angka x yang menghasilkan :
Sisa ketika dibagi dengan d1
Sisa r2 ketika dibagi dengan d2
………..
…………… ……….
Dan bersisa rn ketika dibagi dengan dn
Dimana tidak ada dua pembagi d1, d2,……,dn memiliki sembarang factor bersama.
Misalkan D = d1 d2…dn dan y1 = . sekarang jika kita ingin menemukan bilangan
sedemikian sehingga :
), 1 ≤ <
≡1(
Maka solusinya adalah
=
+
+ …+
=
= 5.7.11 = 385 , dan dari y1 =
Dari soal diatas kita peroleh D =
, kita
peroleh
385
385
385
= 77, =
= 55, =
= 35
5
7
11
Ini menyisakan mencari ai sehingga 77a1 -1 habis dibagi 5 kemudian a2 sehingga
55a2-1 habis dibagi dengan 7, kemudian a3 sehingga 35a3 -1 habis dibagi dengan
11. Sehingga mudah diperoleh bahwa
= 3, = 6, =
=
=
=
+
+
= (3)(77)(3) + (6)(55)(5)+(6)(35)(7)
= 693 + 1650 +1470
=3813.
Sekarang sembarang bilangan dengan bentuk 3813 ± 385k adalah sebuah
penyelesaian, tetapi untuk mendapatkan penyelesaian terkecil yang mungkin kita
[email protected]
atur k = 9 sehingga diperoleh 3813 – 385(9) = 348. Atau bisa ditulis 3813 dibagi
dengan 385 sehingga diperoleh x = 3813 (mod 385) artinya 385 I 3813- x sehingga
x kongruen dengan 348. Sama dengan solusi pertama. Nah tentunya sekarang
kamu bisa menyelesaiakan masalah pembuka. Sekarang terserah kamu
menggunakan penyelesaian yang mana yang kamu anggap paling memahami.
1.
FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR 2
Teorema 1 : jika gcd(a,b) = d maka ada bilangan bulat x dan y sehingga ax +by = d
Contoh 1 : gcd dari 247 dan 299 adalah 13. Ini tentu kamu bisa gunakan
algoritma Euclid yang kamu pelajari pada diktat di atas.
299 = 1 . 247 + 52
247 = 4. 52 + 39
52 = 1. 39 + 13
39 = 3. 13 + 0
Dari pembagian di atas diperoleh gcd(247, 229) = 13. Menurut teorema 1 maka
ada bilangan-bilangan bulat x dan y sedemikian sehingga 13 = 247x +299y. untuk
menentukan nilai x dan y maka kita lihat kembali algoritma pembagian diatas.
13 = 52 – 39 . 1
= 52 – (247 – 52.4)
= 52 . 5 – 247
= (299 – 247)5 – 247
13 = 299 . 5 – 247 .6
Jadi nilai x = - 6 dan y = 5 agar 13 = 247 x +299 y.
2.
PERKONGRUENAN LINIER/LANJAR
Setelah kita mempelajari pengertian notasi kekongruenan dan kegunaanya.
Berikut ini kita akan pelajari perkongruenan linier. Kalimat terbuka yang
menggunakan relasi kekongruenan disebut perkongruenan. Kalimat terbuka
adalah kalimat yang belum bisa ditentukan benar atau salahnya, biasanya
memuat variable. Bentuk umum perkongruenan linier adalah
ax ≡ b (mod m), dengan a ≠ 0
definisi 1
: perkongruenan linier ax ≡ b (mod m) akan memiliki
penyelesaian/solusi jika dan hanya jika ada bilangan bulat x dan k yang memenuhi
persamaan ax ≡ b + km.
[email protected]
pemahaman 1
: perhatikan bentuk 3x ≡ 4 (mod 5). Jika x kita ganti dengan 3
akan memberikan 3.3 ≡ 4 (mod 5). Yaitu merupakan pernyataan yang benar.
Begitu pula jika diganti dengan ….- 7, - 2, 8, 13, …..periksalah!.
catatan
: kita tahu bahwa ax ≡ b (mod m) berarti ax – b habis dibagi m
atau ditulis m I ax-b. sehingga ax – b = m. k, dengan k bilangan bulat sehingga
ekuivalen dengan ax = b +km. solusi dari penyelesaian tersebut tidak lain adalah
residu terkecil dari m.
teorema 1
: jika gcd (a, m) ∤ b maka perkongruenan linier ax ≡ b (mod m)
tidak memiliki solusi.
Contoh 1
: 6x ≡ 7 (mod 8), karena gcd (6,8) = 2 dan 2 ∤ 7 maka
perkongruenan ini tidak memiliki solusi.
Teorema 2
: jika gcd(a, m) =1 , maka perkongruenan linier ax ≡ b (mod m)
mempunyai tepat satu solusi
Contoh 2
: kita cari solusi dari 4x ≡ 1 (mod 15), karena gcd(4,15) adalah
1 maka tepat memilki satu solusi, maka memunginkan kita melakukan konselasi
(penghapusan) pada 4 sehingga diperoleh x ≡ 4 (mod 15). Sehingga solusi dari
perkongruenan adalah x = 4.
Latihan 2
: selesaiakanlah 14x ≡ 1 (mod 27).
Teorema 3
tepat d solusi.
: jika gcd (a,m) = d dan d I b maka ax ≡ b (mod m) mempunyai
Contoh 3
: selesaiakanlah 6x ≡ 15 (mod 33) karena gcd (6, 33) =3 berarti
6x ≡ 15 (mod 33) memiliki 3 solusi.
6x ≡ 15 (mod 33) step 1
2x ≡ 5(mod 11)step 2
2x ≡ 16 (mod 11)step 3
x ≡ 8 (mod 11) step 4
maka bilangan-bilangan bulat yang memenuhi adalah residu terkecil modulo 33
yaitu 8, 19, 30.
[email protected]
Catatan 3
: gcd(6 dan 33) adalah 3 yang juga membagi habis 15 maka
memungkinkan kita sederhanakan dengan membagi persamaan dengan 3. Pada
langkah 3 kita lihat gcd(2,11) =1 karena saling prima. Maka memungkinkan kita
menkonselasi 2, untuk mendapatkan nilai x.
3.
PERSAMAAN DIOPHANTIN.
Setelah mempelajari materi ini diharapakan kamu bisa :
1. Mendifinisikan arti dari persamaan Diophantine
2. Memecahkan persamaan Diophantine dari bentuk ax +by = gcd(a,b)
3. Memecahkan persamaan diophantine dari bentuk ax +by = c
4. Memecahkan persamaan Diophantine non linier.
Masalah
1. Nenek ika memberinya uang Rp 10.000 dan memintanya membeli mangga
dan jeruk sebanyak mungin dengan uang tersebut. Harga mangga Rp
700,00 sedangkan harga jeruk 1300,00 perbuah. Berapa buah yang dapat
dia beli?
3.1 PERSAMAAN DIOPHANTINE DENGAN BENTUK ax +by =gcd (a,b)
Tentu kita sudah tidak asing lagi dengan bentuk pertama ini yang telah kita bahas
pada factor persekutuan terbesar 2. Tetapi coba kita lihat kembali dengan soal
yang berbeda. Ingat kembali teorema 1 bab FPB 2 :
Teorema 1 : jika gcd(a,b) = d maka ada bilangan bulat x dan y sehingga ax +by = d
Penjelasan : teorema diatas sama dengan bentuk persamaan Diophantine ax +by
=gcd(a,b).
Soal 3.1
: tentukan solusi dari 178 x + 312 y. dengan algoritma Euclid kita bisa
tentuka gcd(178,312) = 2. Kemudian kita balik
2 = 134 – 3 . 44
2 = 134 – 3 . (178 – 1 .134)
2 = 4 . 134 – 3 . 178
2 = 4 . (312 – 178) – 3 . 178
2 = 4 . 312 – 7. 178
Kita lihat bahwa x = - 7 dan y = 4. Adalah solusi dari persamaan diatas. Tetapi ini
bukanlah satu-satunya solusi dari persamaan Diophantine ini. Dengan mudah
dilihat dengan mengambil sembarang t. maka x = - 7 + 312t dan y = 4 – 178t juga
adalah solusi dari persamaan tersebut. Untuk sembarang t kita lihat 178(- 7
+312t) + 312(4 – 178t) =2. Jadi persamaan ax + by = gcd (a,b) memiliki banyak
solusi.
[email protected]
3.2
BENTUK AX + BY = C
Teorema 3.2
: diberikan persamaan linier diophantin secara umum dalam
dua variable x, y ∈ . : ax + by = c, dengan a, b , c adalah bilangan bulat misalkan d
= gcd(a,b) maka ax + by = c memiliki sebuah solusi jika dan hanya jika c habis
dibagi oleh d.
Pemahaman
: dengan kata lain gcd (a,b)= d / pembagi terbesar ruas kiri
harus membagi habis ruas kanan yaitu c. kita tulis d I c.
Contoh
: 3x + 4y = 9. Dengan menerapkan algoritma pembagian kita
dapat gcd (3,4) = 1. Dan 1 I 9 maka jelas persamaan ini memiliki solusi. Sekarang
kita cari solusi dari persamaan Diophantine 3x +4y = 9. Kita lihat kembali cara
memperoleh gcd dari 3 dan 4
4=1.3+1
3 = 3. 1 + 0
Jelas kita lihat gcd(3,4) = 1. Kita ubah bentuk ax + by = gcd (a,b) jadi kita bisa tulis
ax +by = 1. Dengan membalik algoritma pembagian kita dapatkan nilai x dan y.
1 = 4 – 3.1
1 = 1(4) – 1(3)
Jadi kita bisa lihat x = - 1 dan y = 1. Solusi lain jika kita ambil sembarang bilangan
bulat t x = -1 + 4t, dan y = 1 – 3t, juga merupkan solusi dari 3x +4y =1 . sekarang
kita lanjutkan karena gcd (3,4) = 1 juga membagi 9 maka dengan jumlah
persamaan dengan 9. Jadi dengan mudah kita ambil -1 x 9 = 9 jadi x = - 9 dan 1 x 9
= 9 maka y = 9, jadi (-9,9) adalah penyelesaian dari persamaan diatas.
Contoh
: tentukan penyelesaian dari 2x + 4y = 9. Dengan mudah kita
lihat gcd (2,4) = 2 memiliki penyelesaian dalam bentuk 2x +4y = 2 akan tetapi 9
tidak habis dibagi 2, atau 9 bukan kelipatan dari 2, atau 2 ∤ 9 sesuai dengan
teorema maka 2 x +4y = 9 tidak memiliki solusi.
4.
PERSAMAAN DIOPHANTINE 2
Ini adalah versi lain dalam persamaan Diophantine dalam bentuk modulo yang
sesungguhnya sama, tetapi kita coba buat suatu perbandingan karena kita juga
telah mempelajari tentang modulo.persamaan linier Diophantine ax +by = c bisa
kita nyatakan dalam bentuk ax ≡ c (mod b) atau by ≡ c (mod a).
[email protected]
Pemahaman 4
: tidak usah bingung asala dari bentuk ini missal ax ≡ c (mod b)
kita bisa tuliskan sesuai definisi ax – c = b.y dengan y sembarang bilangan bulat.
Atau kita tulis ax = by + c, jika y = suatu bilangan bulat negative maka kita bisa
tulis ax = - by + c atau ax + by = c adalah bentuk laian dari ax ≡ c (mod b). atau
mudah dipahami ax = by + c adalah b .y I ax – c. dengan y ditentukan kemudian
yaitu sembarang bilangan bulat.
Catatan 4
: untuk menyelesaiakan persamaan ini cukup kita selesaiakan
salah satu perkongruenan kemudian subtitusikan pada perkongruenan yang lain.
Contoh 4
: missal kita harus menyelesaiakan 9x + 16 y = 35. Kita lihat
gcd(9, 16) = 1 sehingga 1 I 35 sehingga persamaan ini memiliki solusi.
Penyelesaian 1
: kita gunakan algoritma
16 = 1.9 +7
9 =1 . 7 +2
7=3.2+1
2 = 2. 1 + 0.
Gcd(9.16) = 1 kita kembalikan
1 = 7 – 3. 2
1 = 7 – 3 (9 – 1.7)
1 = 7 -3(9) + 3(7)
1= 4(7) – 3(9)
1 = 4 ( 16 – 1.9) – 3 (9)
1= 4(16) -4(9) -3(9)
1 = 4 (16) -7 (9).
Karena 1 I 35 maka penyelesaian x =- 7 y= 4 dapat kita kalikan 35 yaitu x = - 245
dan y = 140.
Penyelesaian 2 : 9x + 16 y =35 kita ubah menjadi 16y ≡ 35 (mod 9) kita telah
mempelajari ini sebelumnya pada bab perkongruenan linier. Karena gcd (9, 16) =
1 maka kita bisa konselasi 16 menjadi y ≡ 5 (mod 9) dimana 5 adala modulo
terkecil dari 9. Jadi y =5. Ketika y = 5 kita subtitusikan maka menghasilkan x = -5
jadi pasangan penyelesaianya (-5,5) tentu saja ini bukan satu-satunya
penyelesaian. Bentuk y ≡ 5 (mod 9) berarti 9 I y-5 sehingga ada sembatang
bilangan bulat t sehingga y- 5 = 9t atau ekivalen dengan y = 5 + 9t. jika nilai y ini
disubtitusikan ke persamaan maka menghasilkan x = -5 – 16 t.
[email protected]
Dengan demikian bisa dikatakan bahwa jika (x0, y0) adalah suatu penyelesaian
dari persamaan diophantin makan solusi-solusi lainya adalah ( x0 +bt, y0 – at)
sekarang kamu sudah paham kan soal pada 3.1 pada bentuk persamaan
diophantin ax +by =c.
Filename:
tenan
Directory:
C:\Documents and Settings\axioo\My Documents
Template:
C:\Documents and Settings\axioo\Application
Data\Microsoft\Templates\Normal.dotm
Title:
Subject:
Author:
user
Keywords:
Comments:
Creation Date:
9/27/2010 7:01:00 PM
Change Number:
19
Last Saved On:
10/2/2010 4:32:00 PM
Last Saved By:
user
Total Editing Time:
526 Minutes
Last Printed On:
10/4/2010 9:27:00 PM
As of Last Complete Printing
Number of Pages: 15
Number of Words: 3,245 (approx.)
Number of Characters:
18,503 (approx.)