Chinese remainder theorem

Chinese remainder
theorem
Chinese Remainder Theorem
 Sistem ini merupakan bentuk word puzzles yang dirumuskan
dalam persoalan matematika Cina dan Hindu kuno oleh Sun
Tsu (ahli matematika Cina).
 Teorema ini adalah suatu sistem kongruen yang menjadi
dasar metode perhitungan aritmetika dengan bilangan bulat
yang besar.
Pertanyaan:
 Tentukan sebuah bilangan bulat yang bila dibagi dengan 5
menyisakan 3, bila dibagi 7 menyisakan 5, dan bila dibagi 11
menyisakan 7.
Teorema
 Jika terdapat m1,m2,…,mn yang merupakan pasangan
kongruensi bilangan bulat positif, sistem
 X  a1(mod m1)
 X  a2(mod m2)

…
 X  an(mod mn)
memiliki solusi unik terhadap modulo m=m1.m2…mn dimana hasil x
akan berada pada 0 ≤ x ≤ m, dan solusi lainnya kongruen dengan
modulo m terhadap solusi ini.
Algoritma CRT :
 Menghitung nilai m
 Mencari invers
 Mencari solusi
Contoh :
 Carilah solusi dari :
 x  2 mod 3
 x  3 mod 5
 x  2 mod 7
 a1= 2, a2 = 3 dan a3 = 2
 m1 = 3, m2 = 5 dan m3 = 7
1. Hitung nilai m
 m=m1.m2.m3
 m =3.5.7=105
 M1=m/3=35
 M2=m/5=21
 M3=m/7=15
2. Mencari invers
Carilah invers masing-masing dari M1,M2 dan M3:
35  y1 mod 3


3 | 35 - y1, y1 =2
21  y2 mod 5


5 | 21 - y2, y2 =1
15  y3 mod 7


7 | 15 - y3, y3 =1
3. Mencari solusi
Hitung solusi x sebagai berikut:

x  (a1.M1.y1 + a2.M2.y2 + a3.M3.y3)(mod 105)

x  (2.35. 2 + 3. 21.1 + 2.15.1) (mod 105)

x  233 (mod 105)


105 | (x-233)
diperoleh : x = 23
Latihan

x  3 (mod 5)

x  5 (mod 7)

x  7 (mod 11)
Contoh
 X ≡ 2 mod 3
 X ≡ 4 mod 5
 X ≡ 3 mod 7
Langkah 1,2














M = 3 * 5 * 7 = 105
M1 = 105 : 3 = 35
M2 = 105 : 5 = 21
M3 = 105 : 7 = 15
3 | (35 – y1)
Y1 = 2
5 | (21 – y2)
Y2 = 1
7 | (15 - y3)
Y3 = 1
Langkah 3, Solusi
 X = ( a1 * M1 * y1 + a2 * M2 * y2 + a3 * M3 * y3 ) (mod 105)
 X = ( 2 * 35 * 2 + 4 * 21 * 1 + 6 * 15 * 1 ) (mod 105)
 X = (140 + 84 + 45) (mod 105)
 X = 269 mod 105

 105 | (X – 269)
 105 | (59 – 269)
 X = 59

 Angka tersebut adalah 59
Contoh
 x ≡ 2(mod 3)
 x ≡ 4(mod 5)
 x ≡ 6(mod7)
 x ≡ r1(mod m1); x ≡ r2(mod m2); x ≡ r3(mod m3)
Langkah pertama :
 Menghitung M, dimana M = m1.m2.m3.
 Jadi, M = 3 x 5 x 7 = 105.
Langkah kedua :
 Mencari M1 M2 M3
 M1 = M/ m1 , M2 = M/ m2, M3 = M/ m3

M1= 105 / 3 = 35

M2= 105 / 5 = 21

M3 = 105/ 7 = 15
Langkah ketiga :
 mencari zn. Untuk z < m. Kita mencoba memasukkan nilai zn
mulai dari 1 dimasukan ke dalam rumus di bawah ini.
 x≡ (Mn.zn)mod mn, di mana n= 1,2,3
 Jika hasil dari perhitungan di atas sama dengan 1, maka nilai
zn tersebut yang akan kita pakai.
 x≡(M1.z1) mod m1=1
Langkah ketiga… :














z1=1  (35.1) mod 3 = 35 mod 3
= 2 (2 ≠ 1)
z1=2(35.2) mod 3 = 70 mod 3
=1
z1=2
(M2.z2) mod m2=1
z2=1  (21.1) mod 5 = 21 mod 5
=1
z2=1
(M3.z3) mod m3=1
z3=1  (15.1) mod 7 = 15 mod 7
=1
z3=1
Jadi, z1=2 ; z2=1; z3=1
Langkah keempat :
 Mencari x0 = r1.M1.z1+r2.M2.z2+…+rn.Mn.zn.
 x0= 2.35.2+4.21.1+6.15.1= 314
 x0=314 dan M=105, maka akan diperoleh hasil :
 x= 314 mod 105=104
 314≡104(mod 105)
Pembuktian
 Untuk membuktikan jawaban tersebut, kita memasukan x
kedalam soal kongruensi di atas menjadi seperti berikut
 x ≡ 2(mod 3)
 x ≡ 4(mod 5)
 x ≡ 6(mod7).
 104 ≡ 2(mod 3), 104 ≡ 4(mod 5), 104 ≡ 6(mod7)
 104 dibagi 3 menyisakan 2 (104 mod 3 =2)
 104 dibagi 5 menyisakan 4 (104 mod 5 =4)
 104 dibagi 7 menyisakan 6 (104 mod 7=6)
 Dengan demikian, diketahui nilai x yang dicari adalah 104
Selamat Belajar