Kongruensi Linear Oleh

POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Oleh : Dr. Kusnandi, M.Si.
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Mahasiswa dapat menyelesaikan kongruensi linear satu
atau lebih variabel.
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
Persamaan linear satu variabel yang paling sederhana :
ax = b
Kongruensi linear satu variabel yang paling sederhana :
ax ≡ b (mod n)
Solusi dari kongruensi linear adalah bilangan bulat xo yang
memenuhi
ax0 ≡ b (mod n)
Apakah setiap kongruensi linear memiliki solusi ?
LATIHAN
Carilah solusi dari kongruensi linear :
3x ≡ 5 (mod 9) dan 5x ≡ 3 (mod 9)
SELESAI
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
3
ILLUSTRASI
Syarat agar kongruensi linear ax ≡ b (mod n) memiliki solusi
adalah
fpb(a, n) | b
Perhatikan kongruensi linear : 3x ≡ 9 (mod 12)
Bilangan bulat x = 3 dan x = -9 memenuhi kongruensi linear itu.
Apakah kedua bilangan itu menyatakan dua solusi yang berbeda ?
Metode menyelesaikan kongruensi linear
LATIHAN
SELESAI
A. Metode Kenselisasi
Contoh 1: Carilah solusi dari kongruensi linear :
9x ≡ 12 (mod 15)
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
3
ILLUSTRASI
Pembahasan
9x ≡ 12 (mod 15)
3.3x ≡ 3.4 (mod 15)
3x ≡ 4 (mod 5)
3x ≡ 9 (mod 5)
x ≡ 3 (mod 5)
Di dalam modulo 15, solusi yang tidak saling kongruen dari
x ≡ 3 (mod 5)
LATIHAN
SELESAI
adalah 3, 8, dan 13
Jadi, solusi dari kongruensi linear 9x ≡ 12 (mod 15) adalah
x ≡ 3 (mod 15) , x ≡ 8 (mod 15) dan x ≡ 13 (mod 15)
POKOK
BAHASAN
B. Metode Invers
TUJUAN
Kita mengetahui bahwa invers (perkalian) dari bilangan a
adalah bilangan b sehingga ab = 1
MATERI
Definisi: Di dalam kongruensi, invers dari bilangan a modulo n
dengan fpb(a, n) = 1 adalah solusi dari kongruensi
3
ILLUSTRASI
ax ≡ 1 (mod n)
Contoh : Carilah semua invers dari bilangan 7 modulo 31.
Jawab:
LATIHAN
SELESAI
Perhatikan kongruensi 7x ≡ 1 (mod 31)
 7x ≡ 63 (mod 31)

x ≡ 9 (mod 31)
Jadi, invers dari 7 modulo 31 adalah {. . . , -53, -22, 9, 40, 71, . . .}
POKOK
BAHASAN
B. Metode Invers
Contoh 2 : Carilah solusi dari kongruensi linear
TUJUAN
MATERI
7x ≡ 22 (mod 31)
Jawab:
Kalikan kedua ruas dengan invers dari 7 modulo 31, yaitu 9
3
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
9 . 7x ≡ 9 . 22 (mod 31)

x ≡ 198 (mod 31)

x ≡ 12 (mod 31)
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
Illustrasi 1: Tentukan semua solusi dari kongruensi linear
Pembahasan:
2x – 5y ≡ 4 (mod 6)
Gunakan metode penyelesaian kongruensi linear satu variabel
2x ≡ 5y + 4 (mod 6)
MATERI
Tetapkan nilai y = 0, 1, 2, 3, 4, 5
(i) Untuk y = 0 diperoleh : 2x ≡ 4 (mod 6)
ILLUSTRASI
Solusinya adalah (x, y)  (2, 0) (mod 6), (5, 0) mod 6).
(ii) Untuk y = 1, 3, 5 kongruensi itu tidak memiliki solusi.
LATIHAN
(iii) Untuk y = 2 diperoleh : 2x ≡ 14 (mod 6)
Solusinya adalah (1, 2) (mod 6), (4, 2) mod 6).
SELESAI
(iv) Untuk y = 4 diperoleh : 2x ≡ 24 (mod 6)
Solusinya adalah (x, y)  (0, 4) (mod 6), (3, 4) mod 6).
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
Illustrasi 1: Tentukan semua solusi dari kongruensi linear
Pembahasan:
2x – 5y ≡ 4 (mod 6)
Gunakan metode penyelesaian kongruensi linear satu variabel
2x ≡ 5y + 4 (mod 6)
MATERI
Tetapkan nilai y = 0, 1, 2, 3, 4, 5
(i) Untuk y = 0 diperoleh : 2x ≡ 4 (mod 6)
ILLUSTRASI
Solusinya adalah (2, 0) (mod 6), (5, 0) mod 6).
(ii) Untuk y = 1, 3, 5 kongruensi itu tidak memiliki solusi.
LATIHAN
(iii) Untuk y = 2 diperoleh : 2x ≡ 14 (mod 6)
Solusinya adalah (1, 2) (mod 6), (4, 2) mod 6).
SELESAI
(iv) Untuk y = 4 diperoleh : 2x ≡ 24 (mod 6)
Solusinya adalah (0, 4) (mod 6), (3, 4) mod 6).
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
1. Carilah semua solusi yang tidak saling kongruen dari kongruensi linear di bawah
ini dengan menggunakan metode kanselisasi
a. 9x ≡ 21 (mod 30)
c. 12x ≡ 16 (mod 32)
b. 34x ≡ 60 (mod 98)
d. 140x ≡ 133 (mod 301)
2. Carilah invers modulo 13 dari masing-masing bilangan bulat di bawah ini
MATERI
ILLUSTRASI
a. 2
b. 3
c. 5
d. 11
3. Carilah solusi dari kongruensi linear di bawah ini dengan menggunakan metode
invers
a. 25x ≡ 15 (mod 29)
c. 17x ≡ 14 (mod 21)
b. 5x ≡ 2 (mod 26)
d.
9x ≡ 5 (mod 25)
4. Misalkan p adalah invers dari a modulo n, dan q adalah invers dari b
modulo n. Tunjukkan bahwa pq adalah invers dari ab modulo n.
LATIHAN
SELESAI
5. Carilah semua solusi dari kongruensi linear dalam dua variable di bawah ini
a.
b.
c.
d.
2x + 3y ≡ 4 (mod 7)
4x + 2y ≡ 6 (mod 8)
3x + 6y ≡ 2 (mod 9)
8x + 2y ≡ 4 (mod 10)
POKOK
BAHASAN
TUJUAN
MATERI
ILLUSTRASI
LATIHAN
SELESAI
Terima kasih