BAB 2 LANDASAN TEORI 2.1 Kaitan Matematika

BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1 Kaitan Matematika Dengan Musik
Musik dan matematika berkaitan satu sama lain secara kompleks. Matematika
memiliki beberapa persamaan dengan musik, Sedikit orang yang berbakat untuk
membuat musik, tapi banyak yang dapat memahami, menyanyikan atau semata
menikmatinya
Matematika dan musik memang sudah “bersaudara” sejak zaman Yunani
kuno. Sebagaimana dikemukan oleh Aristoteles (384-322 SM), Pythagoras dan para
muridnya mempercayai bahwa alam semesta ini dipenuhi oleh interval musik dan
sehubungan dengan itu mereka juga mempercayai bahwa semua adalah angka. Bagi
mereka, perbandingan dasar dalam musik yang terdiri atas bilangan 1, 2, 3, 4, yang
berjumlah 10 (basis sistem bilangan yang dipakai sekarang) adalah murni dan musik
serta teorinya merupakan salah satu dari empat kategori dalam sains adalah aritmatika,
geometri, musik, dan astronomi. Pada masa Plato (guru Aristoteles), matematika dan
musik tidak hanya menjadi kriteria bagi orang cerdas tetapi juga bagi orang terdidik.
(Clough. 1998).
Universitas Sumatera Utara
2.2 Transposisi dan Inversi
Beberapa dari bagian matematis yang pertama dipelajari musik adalah transposisi dan
inversi. Dalam bagian ini mempelajari tentang perlunya konsep-konsep matematis
untuk merumuskan bagian-bagian musik . Konsep ini termasuk himpunan, fungsi dan
aritmatika modulo. Musisi selalu bersentuhan dengan transposisi dan inversi dalam
konteks nada. (Rahn. 1980) untuk menghubungkan celah antara bunyi dan angka,
kemudian selanjutnya menyusun
model bilangan bulat dari nada seperti yang
biasanya dilakukan oleh musisi.
2.3 Himpunan
Himpunan adalah kumpulan objek-objek yang terdefinisi dengan jelas. Objek-objek
yang termasuk dalam suatu himpunan disebut unsur atau anggota himpunan. Beberapa
himpunan yang sering ditemui adalah sebagai berikut:
1. Bilangan Asli, N
(Abdussakir. 2006: 2) himpunan bilangan asli atau bilangan bulat positif
dinotasikan dengan N. Berikut adalah himpunan bilangan asli:
{1, 2, 3,......}
2. Bilangan Bulat, Z
(Anton, Howard. 1981) bilangan bulat termasuk bilangan real
…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,…
Universitas Sumatera Utara
Bilangan bulat dinotasikan dengan Z, dapat dituliskan sebagai berikut:
Z = {….,-2, -1, 0, 1, 2,….}.
Himpunan dinotasikan dengan huruf-huruf besar seperti A, B, C. Obyek dalam
himpunan disebut elemen atau anggota himpunan, yang disimbolkan dengan huruf
kecil seperti a, b, x, y.
(Abdussakir. 2007) secara lebih umum, himpunan dapat didefinisikan sebagai
kumpulan semua x yang memenuhi syarat-syarat yang ditentukan yang dinotasikan
sebagai berikut:
A = {x | P(x)}
Notasi tersebut dibaca ” A adalah himpunan semua x sedemikian hingga P(x) ”.
2.4 Fungsi
Fungsi f dari himpunan A ke himpunan B didefinisikan sebagai aturan yang
memasangkan masing-masing anggota A dengan tepat 1 anggota B. Jika a∈ A oleh f
dipasangkan dengan b∈ B , maka ditulis:
f (a) = b
Misalkan A dan B himpunan. Fungsi f dari A ke B adalah subset dari AxB yang
memenuhi sifat berikut:
1. Untuk masing-masing a∈ A ada b∈ B sehingga (a,b)∈ f
2. Jika (a, b), (a, c)∈ f , maka b = c
Universitas Sumatera Utara
Himpunan A disebut domain dari f, dan ditulis dengan Df. Range dari f, ditulis Rf,
didefinisikan dengan:
Rf = {b∈ B | a,b)∈ f, untuk suatu a∈ A}
fungsi
f
dari A ke B tidak sekedar subset AxB. Masing-masing a∈ A menjadi
komponen pertama dari tepat 1 pasangan berurutan (a,b)∈ f . Jika f fungsi dari A ke
B dan (a,b)∈ f . Maka b disebut nilai dari fungsi f di a dan akan ditulis b = f (a).
Dalam hal ini juga digunakan notasi f : A → B untuk menyatakan bahwa f
fungsi dari A ke B. Notasi f : A → B dapat diartikan dengan f memetakan A ke B atau f
pemetaan dari A ke B. Jika f : A → R, maka f disebut fungsi bernilai real pada A.
Contoh:
1. Misalkan A = {1, 2, 3, 4} dan B = {-2, -1, 0, 1, 2}. Misalkan f subset AxB dengan:
f = {(1,2), (2,-1), (3,0), (4,2)}
Maka f adalah fungsi dari A ke B dan Rf = {-1, 0, 2}. Masing-masing a∈ A berada
pada tepat 1 pasangan berurutan (a,b)∈ f . Meskipun 2∈ B berada pada 2 pasangan
berurutan berbeda (1,2) dan (4,2), hal ini tidak bertentangan dengan definisi fungsi.
2. Misalkan A dan B sama seperti pada nomor 1, dan g didefinisikan dengan:
g ={(1,2), (2,1), (3,3), (4,0)},
Maka g bukan fungsi dari A ke B karena g bukan subset AxB. Ada (3,3 ) ∈ g tetapi
(3,3) ∉ AxB. (Abdussakir. 2006: 7-10).
Universitas Sumatera Utara
2.5 Kongruensi (Aritmetika Modulo)
Definisi: Jika m suatu bilangan bulat positif, maka a kongruen dengan b modulo m
(ditulis a ≡ b (mod m)) bila dan hanya bila m membagi (a - b).
Jika m tidak membagi (a - b) maka dikatakan bahwa a tidak kongruen dengan b
modulo m (ditulis a ≠ b (mod m)).
Definisi tersebut dapat ditulis bahwa hanya jika m > 0 maka m| (a - b) bila dan
hanya bila a ≡ b (mod m).
Teorema: a ≡ b (mod m) bila dan hanya bila ada bilangan bulat k sehingga a =mk+b.
(Sukirman. 2005: 20 ).
Bukti: Jika a dan m bilangan-bilangan bulat positif dan m > 0, menurut algoritma
pembagian, maka a dapat dinyatakan sebagai berikut: a = mq + r dengan 0 ≤ r < m.
Ini berarti bahwa a - r = mq , yaitu a ≡ r (mod m). Karena 0 ≤ r < m, maka ada m buah
pilihan untuk r, yaitu 0, 1, 2, 3,..., (m-1). Jadi setiap bilangan bulat akan kongruen
modulo m dengan tepat 1 di antara 0, 1, 2, 3,...,(m-1).
Contoh:
26 ≡ 4(mod 11) sama artinya dengan 26 = 11⋅ 2 + 4
38 ≡ 3(mod 5) sama artinya dengan 38 = 5⋅ 7 + 3
Universitas Sumatera Utara
Kekongruenan modulo suatu bilangan bulat positif adalah suatu relasi antara
bilangan-bilangan bulat. Dapat ditunjukkan bahwa relasi kekongruenan itu merupakan
relasi ekuivalensi. Dapat diingat bahwa suatu relasi disebut relasi equivalensi jika
relasi itu memiliki sifat refleksi, sifat simetris dan sifat transitif.
Sukirman (2005: 21) mengungkapkan bahwa jika m, a, b dan c adalah
bilangan-bilangan bulat dengan m positif, maka:
1. a ≡ a (mod m), sifat refleksi.
2. Jika a ≡ b (mod m) maka b ≡ a (mod m), sifat simetris.
3. Jika a ≡ b (mod m) dan b ≡ c (mod m) maka a ≡ c (mod m) sifat transitif.
4. Karena a - a = 0 = 0m,maka a ≡ a (mod m).
5. Karena a ≡ b (mod m) maka b - a = km untuk suatu bilangan bulat k, sehingga
a - b = - km yang berarti bahwa b ≡ a (mod m).
6. a ≡ b (mod m) berarti a - b = km untuk suatu bilangan bulat k.
b ≡ c (mod m) berarti b - c = hm untuk suatu bilangan bulat h. Ruas-ruas pada
ke-2 persamaan dijumlahkan, sehingga diperoleh a - c = (k - h) m yang berarti bahwa
a ≡ c (mod m). Karena relasi ” ≡ ” (kekongruenan) pada himpunan bilangan bulat
memenuhi tiga sifat tersebut, maka relasi kekongruenan pada himpunan tersebut
merupakan relasi ekuivalen.
Universitas Sumatera Utara