ASAS KETIDAKPASTIAN HEISENBERG DAN PERSAMAAN

ASAS KETIDAKPASTIAN HEISENBERG DAN PERSAMAAN SCHRODINGER
a. Ketidakpastian Heisenberg
a) Rumusan Umum Ketidakpastian Heisenberg
Kenyataan bahwa sebuah partikel bergerak harus dipandang sebagai group
gelombang de Broglie dalam kedaan tertentu alih – alih sebagai suatu kuantitas yang
terlokalisasi menimbulakan batas dasar pada ketetapan pengukuran sifat partikel yang dapat
diukur misalnya kedudukan momentum.
Untuk menjelaskan faktor apa yang terlibat, marilah kita meninjau group
gelombang dalam gambar 2.3 berikut
Gambar 2.3. Group Gelombang
Partikel yang bersesuaian dengan grup gelombang ini dapat diperoleh dalam selang
grup tersebut pada waktu tertentu. Tentu saja kerapatan peluang |  | 2 maksimum pada
tengah – tengah grup, sehingga patikel tersebut mempunyai peluang terbesar untuk
didapatkan di daerah tersebut. Namun, kita tetap mempunyai kemungkinan untuk
mendapatkan partikel pada suatu tempat jika |  | 2 tidak nol.
Lebih sempit grup gelombang itu, lebih teliti kedudukan partikel itu dapat
ditentukan (Gambar 2.4a).
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
x
=?
(a)
7
(b)
Gambar 2.4. (a) Group gelombang de Broglie terbatas. Posisi partikel dapat
ditentukan secara tepat tetapi panjang gelombangnya (karena momentum partikel)
tidak dapat ditetapkan. (b) lebar group gelombang. Kini panjang dapat ditentukan
secara tepat tetapi bukan posisi partikel. partikel) tidak dapat ditetapkan.
Namun, panjang gelombang pada paket yang sempit tidak terdefinisikan dengan baik ; tidak
cukup banyak gelombang untuk menetapkan  dengan tepat. Ini
berarti bahwa karena  
h
, maka momentum mv bukan merupakan kuantitas yang dapat
mv
diukur secara tepat. Jika melakukan sederetan pengukuran momentum, akan diperoleh
momentum dengan kisaran yang cukup lebar.
Sebaliknya, grup gelombang yang lebar seperti pada gambar 2.4b memiliki panjang
gelombang yang terdefinisikan dengan baik. Momentum yang bersesuaian dengan panjang
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
gelombang ini menjadi kuantitas yang dapat ditentukan dengan teliti, dan sederetan
pengukuran momentum akan menghasil-kan kisaran yang sempit. Akan tetapi di manakah
kedudukan partikel tersebut? Lebar grup gelombang tersebut menjadi terlalu besar untuk
menentukan kedudukan pada suatu waktu.
Jadi kita sampai pada prinsip ketidakpastian : Tidak mungkin kita mengetahui
keduanya yaitu kedudukan dan momentum suatu benda secara seksama pada saat yang
bersamaan. Prinsip ini dikemukakan oleh Werner Heisenberg pada tahun 1927, dan
merupakan salah satu hukum fisis yang memegang peranan penting.
Persoalan berikutnya adalah mencari suatu besaran yang mampu menampung dan
mempresentasikan sifat – sifat partikel sekaligus sifat – sifat gelombang. Dengan demikian
kuantitas tersebut harus bersifat sebagai gelombang tetapi tidak menyebar melainkan
terkurung di dalam ruang. Hal ini dipenuhi oleh paket gelombang yang merupakan kumpulan
gelombang dan terkurung dalam ruang tertentu. Analisis yang formal mendukung kesimpulan
tersebut dan membuat kita mampu untuk menyatakannya secara kuantitatif. Contoh yang
paling sederhana dari pembentukan grup gelombang, perhatikan kombinasi dari dua
gelombang bidang berikut :
1  x, t   A cos 1 t  k1 x 
(2.3)
2  x, t   A cos  2 t  k 2 x 
Pinsip superposisi memberikan
  x, t   1  x, t   2  x, t 
    2 
 k  k2  
 AR cos  1
t  1
 x
2

 2  

(2.4)
Dengan amplitudo AR
Dengan amplitudo AR
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
    2 
 k  k2  
AR  2 A cos  1
t  1
 x
2

 2  

(2.5)
Dalam bentuk grafik,
+
=
Gambar 2.5. Superposisi dua gelombang tunggal
Bila gelombang tunggalnya diperbanyak,
1, k1
+
2, k2
+
3, k3
k
+
+
4, k4
=
Gambar 2.6. Superposisi dari n gelombang
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Tampak dari gambar 2.6 bahwa paket gelombang terlokalisasi di daerah yang sebesar x dan
lokalisasi ini yang diharapkan sebagai posisi partikel klasik.
x
Gambar 2.7. Kemungkinan posisi partikel di daerah x
Setelah mendapatkan barang yang dapat menyatakan partikel sekaligus gelombang
berikutnya harus dicari perumusan matematisnya. Formalisme matematis untuk paket
gelombang yang terlokalisasi tersebut tidak lain adalah transformasi Fourier.
(2.6)
Sebagai contoh, jika distribusi gelombang dengan vektor gelombang k, g(k), diberikan
seperti gambar.
g (k)
1/
-a/2
+a/2
k
Gambar 2.8. Distribusi g (k)
Maka distribusi gelombang di dalam ruang koordinat f(x),
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Grafiknya,
f(k)
6/a
2/a
2/a
4/a
6/a
4/a
x
Gambar 2.9. Transformasi Fourier dari g(k)
Dari uraian contoh dan gambar transformasi Fourier di atas, diperoleh hubungan antara x
dan k (atau p). Hubungan antara x dan k bergantung pada bentuk paket gelombang dan
bergantung pada k, x didefinisikan. Perkalian (x) (k) akan minimum jika paket gelombang
berbentuk fungsi Gaussian, dalam hal ini ternyata transformasi Fouriernya juga merupakan fungsi
Gaussian juga. Jika x dan k diambil deviasi standar dari fungsi (x) dan g(k), maka harga
minimum x k = ½. Karena pada umumnya paket gelombang tidak memiliki bentuk Gaussian
(bentuk lonceng), maka lebih realistis jika hubungan antara x dan k dinyatakan sebagai berikut :
x k ≥ ½
(2.7)
Panjang gelombang de Broglie untuk sebuah partikel bermomentum p adalah :
Bilangan gelombang yang bersesuaian dengannya adalah :
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Oleh karena itu, suatu ketidakpastian k dalam jumlah gelombang pada gelombang de Broglie
berhubugan dengan hasil – hasil partikel dalam suatu ketidakpastian p dalam momentum partikel
menurut Persamaan
Karena
Dan
x p 
h
4
(prinsip ketidakpastian)
(2.8)
Persamaan ini menyatakan bahwa hasil kali ketidakpastian kedudukan benda x pada suatu saat dan
ketidakpastian komponen momentum dalam arah x yaitu p pada saat yang sama lebih besar atau
sama dengan h / 4π. Kita tidak mungkin menentukan secara serentak kedudukan dan momentum suatu
benda. Jika diatur supaya x kecil yang bersesuaian dengan paket gelombang yang sempit, maka p
akan menjadi besar. Sebaliknya, p direduksi dengan suatu cara tertentu, maka paket gelombangnya
akan melebar dan x menjadi besar.
Ketidakpastian ini bukan ditimbulkan oleh alat yang kurang baik tetapi ditimbulkan oleh
sifat ketidakpastian alamiah dari kuantitas yang terkait. Setiap ketidakpastian instrumental atau
statistik hanya akan menambah besar hasil kali x p. Karena kita tidak mengetahui secara tepat apa
partikel itu atau bagaimana momentumnya, kita tidak dapat menyatakan apapun dengan pasti –
bagaimana kedudukan partikel itu kelak dan seberapa cepat partikel tadi bergerak. Jadi, “ kita tidak
dapat mengetahui masa depan karena kita tidak mengetahui masa kin. ”
Kuantitas h/2π sering muncul dalam fisika modern, karena ternyata kuantitas itu merupakan
satuan dasar dari momentum sudut. Kuantitas ini sering disingkat dengan “ ħ (baca ; h bar)” :
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Selanjutnya, dalam buku ini kita akan memakai ħ sebagai pengganti h/2π. Dinyatakan
dalam ħ, prinsip ketidakpastian menjadi :
x p 

2
(2.9)
b) Perhitungan x p Untuk Berbagai Keadaan
Tetapan Planck berharga sangat kecil – hanya
6,63 x 10-34 J s – sehingga pembatasan
yang ditimbulkan oleh prinsip ketidakpastian hanya penting dalam dunia atomik. Dalam skala ini,
prinsip ini sangat menolong untuk mengerti banyak gejala. Perlu diingat bahwa batas bawah ħ /2
untuk
x p sangat jarang dicapai : biasanya x p  ħ.
Bentuk lain dari prinsip ketidakpastian kadang – kadang berguna. Mungkin kita ingin
mengukur energi E yang dipancarkan pada suatu waktu selama selang waktu t dalam suatu proses
atomik. Jika energi berbentuk gelombang elektromagnetik, batas waktu yang tersedia membatasi
ketepatan kita menentukan frekuensi  dari gelombang itu. Marilah kita anggap paket gelombang itu
sebagai satu gelombang. Karena frekuensi gelombang yang sedang dipelajari sama dengan bilangan
yang kita hitung dibagi dengan selang waktu, ketidakpastian frekuensi   dalam pengukuran kita
adalah :
Ketidakpastian energi yang bersesuaian ialah :
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Sehingga
Perhitungan yang lebih teliti berdasarkan sifat paket gelombang mengubah hasil tersebut
menjadi :
E t 

2
(2.10)
Contoh 2.2. :
1. Atom hidrogen berjari – jari 5,3 x 10-11 m. Gunakan prinsip ketidakpastian untuk
memperkirakan energi elektron yang dapat dimilikinya dalam atom itu.
Penyelesaian :
Di sini kita dapatkan untuk x = 5,3 x 10-11 m,
Elektron yang momentumnya sebesar itu berperilaku sebagai partikel klasik, dan energi
kinetiknya adalah :
Yang sama dengan 3,4 eV, sebenarnya energi kinetik elektron pada tingkat energi
terendah dalam atom hidrogen adalah 13,6 eV.
2. Sebuah elektron yang tereksitasi mengeluarkan kelebihan energinya dengan
memancarkan sebuah foton yang memiliki frekuensi karakteristik tertentu. Periode rata –
rata yang berlangsung antara eksitasi elektron dan saat memancarkannya adalah 10-8 s.
Cari ketidakpastian energi dan frekuensi foton itu.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Penyelesaian :
Energi foton tertentu dengan besar :
Ketidakpastian frekuensi cahaya diberikan dalam bentuk :
b. Persamaan Schrodinger
a) Fungsi persamaan Schrodinger
Seperti yang diterangkan pada pembahasan materi sebelumnya, kuantitas yang
diperlukan dalam mekanika kuantum ialah fungsi gelombang  dari benda itu, maka pada
bagian ini akan ditunjukkan bahwa Persamaan gelombangnya harus memenuhi persyaratan
dan memiliki banyak solusi. Walaupun  sendiri tidak mempunyai tafsiran fisis, kuadrat
besaran mutlaknya ||2 (atau sama dengan * jika  kompleks) yang dicari pada suatu
tempat tertentu pada suatu saat berbanding lurus dengan peluang untuk mendapatkan
benda itu di tempat itu pada saat itu. Momentum, momentum sudut dan energi dari benda
dapat diperoleh dari . Persoalan mekanika kuantum adalah untuk menentukan  dari
benda itu bila kebebasan gerak dibatasi oleh aksi gaya eksternal.
Dalam kejadian itu, fungsi gelombang  adalah kompleks, dengan bagian real
maupun imajiner, kerapatan peluang ||2 diberikan oleh hasil kali * dari  dan Konjugate
Kompleks *. Konjugate kompleks dari sembarang fungsi diperoleh dengan mengganti i (=
 1 ) dengan – 1 di manapun konjugate kompleks tadi tampil dalam fungsi. Setiap fungsi
kompleks  dapat ditulis dalam bentuk
 = A + iB
Dengan A dan B adalah fungsi real. Konjugate kompleks * dari  adalah
* = A – iB
Dengan demikian
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
* = A2 – i2B2 = A2 + B2
Karena i2 = -1. Jadi * akan selalu berupa kuantitas real positif.
Bahkan, sebelum kita meninjau perhitungan awal dari , kita dapat membangun
persyaratan yang harus dipenuhinya. Karena ||2 berbanding lurus dengan kerapatan
peluang P untuk mendapatkan benda yang diperikan (digambarkan) oleh , integral ||2 ke
seluruh ruang harus berhingga – benda harus didapatkan pada suatu tempat. Jika


2
dV  0

Partikel itu tidak ada, dan integralnya jelas tidak bisa  dan tetap berarti sesuatu; ||2 tidak
bisa negatif atau kompleks karena cara didefinisikannya, sehingga satu-satunya
kemungkinan yang tertinggal ialah suatu kuantitas yang berhingga supaya  memang
memberikan benda real.
Biasanya untuk memudahkan, kita ambil ||2 sama dengan kerapatan (densitas)
peluang P untuk mendapatkan partikel yang digambarkan oleh , ketimbang hanya
berbanding lurus dengan P. jika ||2 sama dengan P, maka benar bahwa


2
dV  1
(3.1)

Karena

 P dV 1

Ialah suati pernyataan matematis bahwa partikel itu ada di suatu tempat untuk setiap saat.
Jumlah semua peluang yang mungkin harus tertentu.
Fungsi gelombang yang memenuhi Persamaan (3.1) dinamakan ternormalisasi.
Setiap fungsi gelombang yang bisa dipakai dapat dinormalisasikan dengan mengalikannya
dengan tetapan yang sesuai; kita akan melihat hal ini dengan segera bagaimana hal ini
dilakukan.
Di samping bisa dinormalisasi,  harus berharga tunggal, karena P hanya berharga
tunggal pada tempat dan waktu tertentu, dan kontinu. Peninjauan momentum memberi
syarat bahwa turunan parsial
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
  
,
,
x y z
Harus berhingga, kontinu dan berharga tunggal. Hanya fungsi gelombang dengan sifat-sifat
tersebut dapat memberikan hasil yang berarti fisis jika dipakai dalam perhitungan, jadi hanya
fungsi gelombang yang ”berperilaku baik” yang diizinkan sebagai representasi matematis
dari benda nyata.
Jika kita sudah mempunyai fungsi gelombang  yang ternormalisasi dan dapat
diterima, peluang (kemungkinan) partikel dapat ditemukan pada suatu daerah tertentu ialah
integral kerapatan peluang ||2 dalam daerah itu terhadap volume. Untuk partikel yang
geraknya terbatas pada arah – x, maka peluang untuk mendapatkan partikel antara x1 dan
x2 ialah
x2
Peluang   |  |2 dx
(3.2)
x1
Persamaan SchrÖdinger yang merupakan Persamaan pokok dalam mekanika
kuantum serupa dengan hukum gerak kedua yang merupakan Persamaan pokok dalam
mekanika Newton, adalah Persamaan gelombang dalam variabel . Sebelum kita
menangani Persamaan SchrÖdinger, terlebih dahulu kita tinjau ulang Persamaan
gelombang.
2 y 1 2 y

 x2 v2  t 2
(3.3)
Yang menentukan gelombang dengan kuantitas variabel y yang menjalar dalam arah x
dengan kelajuan v. Dalam kasus gelombang pada tali terbentang, y menyatakan pergeseran
tali dari sumbu x ; dalam kasus gelombang bunyi, y menyatakan perbedaan tekanan, dalam
kasus gelombang cahaya, y menyatakan besarnya medan listrik atau
elektronon.
Persamaan gelombang seperti di atas diturunkan dalam buku mekanika untuk gelombang
mekanis dan dalam buku kelistrikan dan kemagnetan gelombang elektromagnetik.
Contoh 3.1.
Fungsi gelombang suatu partikel yang bergerak sepanjang sumbu x adalah :
 (x) = Ce - | x | sin  x
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
a. Tentukan konstanta C jika fungsi gelombang ternormalisasi.
b. Jika  = , hitung kemungkinan untuk mendapatkan partikel berada di sebelah kanan x =
1.
Penyelesaian :
a. Secara eksplisit  (x) diberikan oleh
Ce x sin  x,
Untuk x < 0
Ce - x sin  x,
Untuk x > 0
C2 e 2x sin2  x,
Untuk x < 0
C2 e -2x sin2  x,
Untuk x > 0
 (x) =
Sehingga
| (x)|2 =
Tampak bahwa fungsi terakhir adalah fungsi genap, karena itu

 | |

2
dx  1  C

2
e
2 x
0
sin  x dx  C
2
2
e
2x
sin 2  x dx

0

 2 C 2  e  2 x sin 2  x dx
0
Untuk menghitung integral terakhir ini, tuliskan fungsi sinus dalam bentuk
eksponensial dan diperoleh

1  2C 2
  4 e
1
( 2i  2)

 e  ( 2 i   2 )  2 e  2 x dx
0


C 2 e ( 2i  2) x e  ( 2i  ) x


 e 2x 

2  2i  2
2i  2
0
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas


C2  1
1

 1

2 2i  2 2i  2 


C 2  4

1


2 4  2  4 
Diperoleh konstanta normalisasi C :




2 1  2
2
C
Sehingga
2 1   2  | x|
e sin  x
2
 ( x) 
b. Besar kemungkinan partikel berada di x  1
P x  t  

 | ( x) |
2
dx
1


2 (1   2 )
2

e
2x
sin 2  x dx
1

e2
1   2  sin 2   cos 2 
2 2

Untuk  = ,
P x  t  
1
 0,068
2e 2
3.1.1. Persamaan SchrÖdinger : Bergantung – Waktu
Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang  bersesuaian dengan variabel
gelombang y dalam gerak gelombang umumnya. Namun,  tidak seperti y, bukanlah suatu
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
kuantitas yang dapat terukur, sehingga dapat berupa kuantitas kompleks. Karena itulah kita
akan menganggap  dalam arah x dinyatakan oleh
  A e  i ( t  x / v )
(3.4)
Jika kita ganti  dalam rumus di atas dengan 2 dan v dengan   , diperoleh
  A e  2i (t  x /  )
(3.5)
Yang bentuknya menguntungkan, karena kita telah mengetahui hubungan  dan 
dinyatakan dalam energi total E dan momentum p dari partikel yang diperikan oleh .
Karena
E  h  2   
dan

h 2 

p
p
Diperoleh
  A e  ( i /  ) ( E t  p x)
(3.6)
Persamaan (3.6) merupakan penggambaran matematis gelombang ekivalen dari
partikel bebas yang berenergi total E dan bermomentum p yang bergerak dalam arah +x.
Pernyataan fungsi gelombang  yang diberikan dalam Persamaan (3.6) hanya
berlaku untuk partikel yang bergerak bebas, sedangkan kita lebih tertarik pada situasi
dengan gerak partikel yang dipengaruhi berbagai pembatasan. Yang harus kita lakukan
sekarang adalah mendapatkan Persamaan diferensial pokok untuk , kemudian
memecahkan  untuk situasi yang khusus. Persamaan ini, yang disebut Persamaan
SchrÖdinger dapat diperoleh dengan berbagai cara, tetapi semuanya mengandung
kelemahan yang sama : Persamaan itu tidak dapat diturunkan secara ketat dari prinsip fisis
yang ada karena Persamaan itu menyatakan sesuatu yang baru. Apa yang akan dilakukan
di sini adalah menunjukkan suatu cara untuk memperoleh Persamaan gelombang ,
kemudian membahas pentingnya hasil tersebut.
Kita mulai dengan mendiferensiasi Persamaan (3.6) dua kali terhadap x yang
menghasilkan
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
 2
p2



 x2
2
(3.7)
dan sekali terhadap t, diperoleh

iE


t

(3.8)
Untuk kelajuan yang kecil terhadap kelajuan cahaya, energi total partikel E ialah jumlah dari
energi elektrono p2/2m dan energi potensial V, dengan V pada umumnya merupakan
fungsi kedudukan x dan waktu t :
E
p2
V
2m
(3.9)
Fungsi V menyatakan pengaruh dari sisa semesta pada partikel. Tentu saja, hanya
sebagian dari semesta yang berinteraksi dengan partikel ; misalnya dalam kasus elektron
dalam atom hidrogen, hanya medan listrik inti yang diperhitung-kan.
Dengan mengalikan kedua suku Persamaan (3.9) dengan fungsi gelombang , akan
menghasilkan :
p2 
E 
V
2m
(3.10)
Dari Persamaan (3.7) dan (3.8), dapat dilihat bahwa
E  
 
i t
(3.11)
Dan
 2
p   
 x2
2
Ributhermanto201043118
2
(3.12)
fisika kuantum
untuk Universitas
dengan mensubstitusikan pernyataan untuk E  dan p
diperoleh
i

2 2 

V
t
2m  x2
2
 dalam Persamaan (3.10) akan
(3.13)
Persamaan terakhir ini adalah Persamaan SchrÖdinger yang Bergantung – Waktu.
Dalam tiga dimensi, Persamaan SchrÖdinger bergantung – waktu diberikan oleh
i

2

t
2m
 2  2  2  

 V 


2
 y2
 z 2 
 x
(3.14)
Di mana energi potensial partikel V merupakan fungsi dari x, y, z, dan t.
Persamaan gerak kuantum partikel di dalam potensial V (x, t) diberikan oleh
i
  ( x, t )
2 2

  ( x, t )  V  ( x, t )
t
2m
(3.15)
Setiap pembatasan yang dapat membatasi gerak partikel dapat mempengaruhi fungsi energi
potensial V. Sekali bentuk V diketahui, Persamaan Schrodinger – nya dapat dipecahkan
untuk mendapatkan fungsi gelombang partikel , sehingga kerapatan peluang ||2 dapat
ditentukan untuk x, y, z, dan t tertentu.
Di sini Persamaan SchrÖdinger diperoleh mulai dari fungsi gelombang partikel yang
bergerak bebas. Perluasan Persamaan SchrÖdinger untuk kasus khusus partikel bebas
(energi potensial V = konstan) ke kasus umum dengan sebuah partikel yang mengalami
gaya sembarang yang berubah terhadap ruang dan waktu [ V = V(x, y, z, t )] merupakan
suatu kemungkinan yang bisa ditempuh, tetapi tidak ada satu cara “a priori” yang
membuktikan perluasan itu benar. Yang bisa kita lakukan hanyalah mengambil postulat
bahwa Persamaan SchrÖdinger berlaku, pecahkan untuk berbagai situasi fisis dan
bandingkan hasilnya dengan hasil eksperimen. Jika hasilnya sesuai, maka postulat yang
terkait dalam Persamaan SchrÖdinger sah ; jika tidak sesuai, postulatnya harus dibuang dan
pendekatan yang lain harus dijejaki. Dengan kata lain, Persamaan SchrÖdinger tidak bisa
diturunkan dari ”prinsip pertama”, tetapi Persamaan itu merupakan prinsip pertama.
Dalam kenyataannya, Persamaan SchrÖdinger telah menghasilkan ramalan yang
sangat tepat mengenai hasil eksperimen yang diperoleh. Tentu saja, harus kita ingat bahwa
Persamaan (3.14) hanya bisa dipakai untuk persoalan non – relativistik dan rumusan yang
lebih memakan pikiran diperlukan jika kelajuan partikel yang mendekati kecepatan cahaya
tertkait. Karena Persamaan itu bersesuaian dengan eksperimen dalam batas-batas
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
berlakunya, kita harus mengakui bahwa Persamaan SchrÖdinger menyatakan suatu
postulat yang berhasil mengenai aspek tertentu dari dunia fisis.
3.1.2. Persamaan SchrÖdinger : Keadaan Stasioner (Tunak)
Dalam banyak situasi, energi potensial sebuah partikel tidak bergantung dari waktu
secara eksplisit ; gaya yang beraksi padanya ; jadi V, hanya berubah terhadap kedudukan
partikel. Jika hal itu benar, Persamaan SchrÖdinger dapat disederhanakan dengan
meniadakan kebergantungan terhadap waktu t.
Mula-mula kita perhatikan bahwa fungsi gelombang  satu dimensi partikel bebas
dapat ditulis
  A e  (i /  ) ( E t  p x )  A e  (iE /  ) t e (ip /  ) x
  e  (iE /  ) t
(3.16)
Ini berarti,  merupakan hasil kali fungsi bergantung – waktu
e–(iE/ħ)t dan fungsi yang
bergantung kedudukan . Kenyataannya, perubahan terhadap waktu dari semua fungsi
partikel yang mengalami aksi dari gaya tunak mempunyai bentuk yang sama seperti partikel
bebas. Dengan mensubstitusikan  dari Persamaan (3.16) ke Persamaan SchrÖdinger
yang bergantung – waktu, diperoleh
E e
 ( iE /  ) t
 2  ( i E /  ) t  2

e
 V e
2m
 x2
 (i E /  ) t
(3.17)
Sehingga, jika dibagi dengan faktor eksponensial itu,
 2 2 m
 2 ( E V )  0
 x2

(3.18)
Persamaan (3.18) merupakan bentuk keadaan – tunak Persamaan SchrÖdinger. Dalam tiga
dimensi menjadi
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
 2  2  2 2 m


 2 ( E V )  0
 x2  y2  z 2

(3.19)
Pada umumnya, Persamaan keadaan – tunak SchrÖdinger dapat dipecahkan hanya untuk
harga E tertentu. Dalam pernyataan itu tidak ditimbulkan oleh kesukaran matematis yang
mungkin ada, tetapi oleh sesuatu yang lebih mendasar (fundamental). ”Memecahkan”
Persamaan SchrÖdinger untuk suatu sistem berarti memperoleh suatu fungsi gelombang 
yang tidak saja memenuhi Persamaan dan syarat batas yang ada, tetapi juga harus
memenuhi syarat bisa diterimanya fungsi gelombang – yaitu turunannya harus kontinu,
berhingga, dan berharga tunggal. Bila tidak terdapat fungsi gelombang seperti itu, system
itu tidak mungkin berada dalam keadaan tunak.
Jadi kuantisasi energi muncul dalam mekanika gelombang sebagai unsur wajar dari
teori tadi, dan kuantisasi energi dalam dunia fisis dinyatakan sebagai gejala universal yang
merupakan ciri dari semua sistem yang mantap.
Suatu analogi yang sangat dekat dan sudah dikenal bagaimana kuantisasi energi
timbul dalam memecahkan Persamaan SchrÖdinger ialah dalam tali terpentang yang
panjangnya L yang keduanya ujungnya terikat. Dalam hal ini, sebagai ganti gelombang
tunggal yang menjalar terus-menerus dalam satu arah, gelombang akan menjalar dalam
arah +x dan –x secara serentak dengan syarat bahwa pergeseran y selalu nol pada kedua
ujung tali. Suatu fungsi y (x, t) yang dapat diterima untuk menyatakan pergeseran
(simpangan) dengan turunannya, harus seperti  yang berperilaku baik dengan turunannya,
dan lagi harus real karena y menyatakan suatu kuantitas yang dapat diukur langsung. Satusatunya pemecahan Persamaan gelombang
2 y 1 2 y

 x2 v2  t 2
Yang sesuai dengan berbagai pembatasan itu ialah pemecahan yang panjang
gelombangnya memenuhi
n
2L
n 1
;
n = 0, 1, 2, 3, …..
Seperti yang ditunjukkan dalam Gambar 4.1.
 = 2L
=L
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
 = 2/3
L
 = 1/2
L
untuk Universitas
Kombinasi Persamaan gelombang dan pembatasan yang merupakan syarat
pemecahannyalah yang mendorong kita untuk menyimpulkan bahwa y (x, t) hanya dapat
ada untuk panjang gelombang tertentu n.
Contoh 3.2. :
Sebuah partikel bergerak yang memenuhi Persamaan :
  x, t   5,0 e i 30 x  50 t 
Hitunglah energi dan momentum partikel tersebut.
Penyelesaian :
p op   x, t   i 

5,0 e i 30 x  50 t 
x


  30  5,0  e i 30 x  50 t 
  30    x, t   1,055  10 34  30   x, t 
 31,65  10  34   x, t 
Jadi besarnya energi yang dimiliki partikel tersebut adalah : 31,65 x 10 – 34 J.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
E op   x, t    i 

A e i k x   t 
t


  50    x, t   52,75  10  34   x, t 
Jadi momentum dari partikel tersebut adalah : 52,75 x 10 – 34 kg m/s.
3.1.3. Harga Ekspektasi, Operator, Fungsi dan Harga Eigen
Sekali lagi, seandainya fungsi gelombang  sudah diperoleh, kita dapat mengajukan
beberapa pertanyaan lagi. Misalnya, di manakah partikel sering berada atau berapa
momentum rata-rata partikel? Jawaban atas pertanyaan ini diberikan oleh teorema
Ehrenfest.
Karena kita tidak dapat lagi berbicara dengan suatu kepastian tentang kedudukan
partikel, maka kita tidak dapat pula menjamin kepastian hasil satu kali pengukuran suatu
besaran fisika yang bergantung pada kedudukannya. Namun demikian, jika kita dapat
menghitung probabilitas yang berkaitan dengan setiap koordinat, maka kita dapat
menemukan hasil yang mungkin dari suatu pengukuran satu kali atau rata-rata hasil dari
sejumlah besar pengukuran berkali-kali. Sebagai contoh, andaikanlah kita ingin mencari
rata-rata kedudukan sebuah partikel dengan mengukur koordinat x – nya. Dengan
melakukan sejumlah besar pengukuran berkali-kali, kita dapati bahwa dengan mengukur
nilai x1 sebanyak n1 kali, x2 sebanyak n2, dan seterusnya, maka dengan cara yang lazim, kita
dapat memperoleh nilai rata-ratanya, yaitu
x
 ni x i
n1 x1  n2 x 2  .........

n1  n2  ..........
 ni
Jika kita mempersoalkan sebuah partikel, kita harus mengganti bilangan ni dari
partikel xi dengan peluang Pi bahwa partikel itu bisa didapatkan dalam selang dx di xi.
Besar peluang ini adalah
Pi = | i |2 dx
Dengan i
merupakan fungsi gelombang partikel yang diambil pada x = xi. Dengan
substitusi ini dan mengubah jumlah dengan integral, kita lihat bahwa harga rata-rata
kedudukan partikel tunggal ialah
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas

x 
 x|  |
2
dx

(3.20)


|  | dx
2

Jika  merupakan fungsi gelombang yang ternormalisasi, penyebut dalam Persamaan
(3.20) sama dengan peluang bahwa partikel itu terdapat di suatu tempat antara x = -  dan
x = , sehingga harganya = 1. Dalam kasus ini

x 
 x|  |
2
dx
(3.21)

Persamaan (3.21) ini menyatakan harga bahwa x terletak pada pusat massa ( elektronon
begitu) dari ||2 ; jika ||2 diplot terhadap x pada suatu grafik dan bidang yang dibatasi kurva
dan sumbu x digunting, titik setimbangnya ialah x.
Nilai rata-rata yang dihitung menurut Persamaan (3.21) dikenal sebagai harga ekspektasi
(expectation values).
Prosedur yang sama dengan yang telah dilakukan di atas dapat dipakai untuk
memperoleh harga ekspektasi G(x) dari suatu kuantitas [misalnya, energi potensial V(x)]
yang merupakan fungsi dari kedudukan partikel x yang digambarkan oleh fungsi gelombang
. Hasilnya adalah
G x  

 G x  |  |
2
dx
(3.22)

Harga ekspektasi momentum p tidak dapat dihitung dengan cara biasa yang
demikian sederhana, karena sesuai dengan prinsip ketidakpastian, tidak ada fungsi seperti
p(x) yang dapat berlaku. Jika kita menentukan x, sehingga dengan demikian x = 0, kita
tidak dapat menentukan p yang bersesuaian karena x p  h/2. Masalah yang sama terjadi
untuk harga ekspektasi energi E.
Pada bagian sebelumnya kita lihat bagaimana harga ekspektasi dapat diperoleh dari
kuantitas yang merupakan fungsi posisi x dari partikel yang dinyatakan oleh fungsi
gelombang . Jadi kita dapat memperoleh harga ekspektasi pada setiap saat t dari harga x,
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
dan energi potensial partikel V(x), keduanya merupakan bagian dari pemerian yang lengkap
dari keadaan partikel. Kuantitas dinamis yang lain, seperti momentum p dan energi E, tidak
dapat diperlakukan dengan cara yang sama. Harga Ekspektasi dari p dan E harus dihitung
dari :
Persamaan ini sangat langsung, sampai kita menyadari bahwa karena  =  (x, t),
harus menyatakan p dan E sebagai fungsi dari x dan t supaya kita dapat melakukan
integrasi, tetapi prinsip ketidakpastian mengakibatkan tidak terdapatnya fungsi seperti p(x, t)
dan E(x, t) ; sekali x, dan t ditentukan, hubungan
berarti bahwa kita tidak dapat, pada prinsipnya, menentukan
p dan E secara eksak.
Dalam fisika klasik tidak terdapat pembatasan seperti itu, karena dalam dunia
makroskopik prinsip ketidakpastian dapat diabaikan. Jika kita terapkan hukum gerak kedua
pada gerak benda yang mengalami berbagai gaya, kita mengharapkan untuk mendapatkan
p(x, t) dan E(x, t) dari solusinya seperti juga x(t) ; untuk memecahkan persoalan tersebut
dalam mekanika klasik pada pokoknya berarti menentukan tempuhan masa depan gerak
benda tersebut. Dalam fisika kuantum, di pihak lain, semua yang kita dapatkan secara
langsung dari Persamaan SchrÖdinger dari gerak partikel itu ialah fungsi gelombang , dan
tempuhan masa depan gerak partikel itu – seperti juga keadaan awalnya – hanya diketahui
peluangnya, alih-alih sesuatu yang sudah tertentu.
Saran untuk mendapatkan
dan
dengan cara yang benar ialah dengan
mendiferensiasi fungsi gelombang partikel – bebas  = A e – (i/ħ)(Et – px) terhadap x dan t.
Diperoleh
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
yang dapat ditulis dengan cara
p
 

i x
(3.23)


t
(3.24)
E   i
Jelaslah kuantitas dinamis p dalam cara tertentu bersesuaian dengan operator diferensial
 / i   / x dan kuantitas dinamis E bersesuaian dengan operator diferensial i   /  t
(Operator memberikan informasi kepada kita operasi apa yang harus dilakukan pada
kuantitas yang ditulis setelahnya. i   /  t menginstruksikan kepada kita untuk mengambil
turunan yang terdapat setelahnya terhadap t dan hasilnya dikalikan dengan i  ).
Kita biasa melambangkan operator dengan huruf tebal tegak, sehingga p merupakan
operator yang bersesuaian dengan momentum p dan E ialah operator yang bersesuaian
dengan energi E. Dari Persamaan (3.23) dan Persamaan (3.24) operator ini ialah
p
 
i x
E  i

t
(Operator momentum)
(3.25)
(Operator energi)
(3.26)
Walaupun kita hanya menunjukkan persesuaian yang dinyatakan dalam Persamaan (3.25)
dan Persamaan (3.26) berlaku untuk partikel bebas, hubungan itu ternyata berlaku umum
yang kesahannya dengan kesahan Persamaan SchrÖdinger. Untuk mendukung pernyataan
ini, kita dapat mengganti Persamaan E = T + V untuk energi total partikel dengan
Persamaan operator
E=T+V
(3.27)
karena energi kinetik T dinyatakan dengan momentum p menurut hubungan
p2
T 
2m
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
diperoleh
p2
1
T 

2m 2m
2
  
2 2

  
2 m  x2
 i x
(3.28)
yang kita sebut “operator energi – kinetik”.
Persamaan (3.27) dapat ditulis sebagai berikut.
i

2 2

V
t
2 m  x2
(3.29)
Sekarang kita kalikan identitas  =  dengan Persamaan (3.29), diperoleh
i

2 2 

 V
t
2 m  x2
(3.30)
yang merupakan Persamaan SchrÖdinger. Mempostulatkan Persamaan (3.23) dan
Persamaan (3.24) setara dengan mempostulatkan Persamaan SchrÖdinger.
Karena p dan E dapat diganti dengan operator yang bersesuaian dalam Persamaan,
kita dapat memakai operator ini untuk mendapatkan harga ekspektasi dari p dan E. Jadi
harga ekspektasi p ialah
p 



 * p  dx 



  

  dx 
 * 
i
 i x



*

dx
x
(3.31)
dan harga ekspektasi untuk E adalah
E 



 * E  dx 




 
  dx  i 
 *  i 
 t 
Ributhermanto201043118



*

dx
t
fisika kuantum
(4.32)
untuk Universitas
keduanya Persamaan (3.31) dan Persamaan (3.32) dapat dihitung untuk fungsi gelombang
yang dapat diterima  (x, t).
Jelaslah bahwa kita perlu menyatakan harga ekspektasi yang bersangkutan dengan
operator dalam bentuk
p 



 * p  dx
Alternatif lain ialah



p  *  dx 

i




 *   dx    *     0
x
i
karena * dan  harus 0 di x =   dan




i
 *  p dx 



* 

dx
x
tidak mempunyai arti. Dalam kasus kuantitas aljabar seperti x dan V(x) urutan faktor dalam
integran tidak penting, tetapi jika operator diferensial terlibat, urutan yang benar dari faktor
itu harus diteliti.
Setiap kuantitas yang teramati G yang merupakan karakteristik suatu elektron fisis
dapat dinyatakan dengan operator mekanika – kuantum yang cocok G. Untuk memperoleh
operator ini, kita perlu menyatakan G dalam x dan p dan mengganti p dengan  / i   /  x .
Fungsi gelombang  dari sistem diketahui, maka harga ekspektasi G(x, p) ialah
G  x, p  



 * G  dx
(3.33)
(Harga Ekspektasi Operator)
Hasil ini memperkuat pernyataan yang dibuat sebelumnya bahwa dari  dapat
diperoleh semua informasi mengenai
elektron yang diperbolehkan oleh prinsip
ketidakpastian.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Persyaratan bahwa variabel dinamis tertentu G terbatas pada harga diskrit Gn –
dengan kata lain G terkuantisasi – ialah fungsi gelombang n dari elektron sedemikian
sehingga
G n = Gn n (Persamaan Harga – Eigen)
(3.34)
dengan G menyatakan operator yang bersesuaian dengan G dan masing-masing Gn
merupakan bilangan real. Bila Persamaan (3.34) berlaku untuk fungsi gelombang sebuah
elektron, postulat pokok (kenyataannya, satu-satunya postulat pokok) dari mekanika
kuantum bahwa pengukuran G hanya dapat menghasilkan satu harga Gn. Jika pengukuran
G dilakukan pada sejumlah elektron identik semua berada dalam keadaan yang diperikan
oleh fungsi – eigen k, masing-masing pengukuran menghasilkan harga tunggal Gk.
Operator energi total E dari Persamaan (3.27) biasanya ditulis sebagai,
2 2
H 
V
2 m  x2
(3.35)
dan disebut operator Hamiltonian; kuantitas itu merupakan energi total
elektron
dinyatakan dalam koordinat dan momentum. Jelaslah Persamaan SchrÖdinger keadaan –
tunak dapat ditulis sebagai berikut.
Enn = Hn
(3.36)
Harga energi En supaya Persamaan keadaan – tunak Schrodinger dapat dipecahkan
disebut harga – eigen dan fungsi gelombang yang bersesuaian n disebut fungsi eigen.
(Istilah ini berasal dari bahasa Jerman Eigenwert, yang berarti ”harga karakteristik yang
sesungguhnya”, dan Eigenfunktion, atau ”fungsi karakteristik sesungguhnya”).
Tingkat energi diskrit atom hydrogen
En  
m e4
 1 
2 2 2  2 
32  0   n 
n = 1, 2, 3, ……..
Merupakan contoh sekelompok harga – eigen. Kita akan lihat pada Bab berikutnya
mengapa harga tertentu E yang menghasilkan fungsi gelombang dapat diterima untuk
elektron dalam atom elektronon.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas
Contoh penting variabel dinamis selain energi total yang didapatkan terkuantisasikan
dalam keadaan mantap ialah momentum sudut. Dalam kasus atom elektron, kita akan
dapatkan bahwa harga–eigen besar momentum sudut di-tentukan oleh
Li  l (l  1) 
l = 0, 1, 2, ……(n – 1)
Tentu saja, suatu variabel dinamis G boleh tidak terkuantisasi. Dalam hal ini pengukuran G
pada sejumlah elektron identik tidak menghasilkan hasil yang unik melainkan harga yang
tersebar yang rata-ratanya merupakan harga ekspektasi

G 
 G | |
2
dx

Dalam atom elektron, kedudukan elektronon tidak terkuantisasi, sehingga kita
lec membayangkan elektronon berada di sekitar inti dengan peluang tertentu ||2 per
satuan volume tetapi tanpa ada kedudukan tertentu yang dapat diramalkan atau orbit
tertentu menurut pengertian klasik. Pernyataan peluang ini tidak bertentangan dengan
kenyataan bahwa eksperimen yang dilakukan pada atom elektronon selalu menunjukkan
bahwa atom itu selalu mengandung satu elektron, bukan 27 persen elektron dalam satu
daerah dan 73 persen di daerah lainnya; peluang itu menunjukkan peluang untuk
mendapatkan elektron, dan walaupun peluang ini menyebar dalam ruang, elektronnya
sendiri tidak.
Ributhermanto201043118
fisika kuantum
untuk Universitas