Buku 2: RKPM FISIKA KUANTUM

UNIVERSITAS GADJAH MADA
FAKULTAS MIPA/JURUSAN FISIKA/PRODI FISIKA
Sekip Utara, Yogyakarta.
Buku 2: RKPM
(Rencana Kegiatan Pembelajaran Mingguan)
Modul Pembelajaran Pertemuan ke 11
FISIKA KUANTUM
Semester 3/3 sks/MFF2032
oleh
1. Kusminarto
2. Pekik Nurwantoro
Didanai dengan dana BOPTN P3-UGM
Tahun Anggaran 2013
Nopember 2013
Interpretasi Bilangan-bilangan Kuantum
Nilai harap radial r dari suatu elektron melukiskan karakteristik jejari edar elektron yang
dihitung dengan
r   u * (r , ,  ) r u(r , ,  ) dV
dV adalah elemen volume, dalam kordinat bola sama dengan r 2 sin  d d d
  2
r     u * (r , ,  ) r u (r , ,  ) r 2 sin  d d d
0 0 0
Fungsi gelombang u(r , ,  ) telah diperoleh di muka berbentuk R(r ) ( ) ( ) .
Penyelesaian integral di atas memberikan hasil
 1  l (l  1)  
rnl  n 2 a 0 1  1 

n 2 
 2 
Ketergantungan rnl terhadap l dalam persamaan tersebut sangat kecil karena faktor
1
1
dan 2 , sehingga peranan n sangat dominan. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa
2
n
bilangan kuantum n mencirikan besar jejari edar elektron dan sekaligus besar energi dalam
lintasan tersebut (rumus (4-51)).
Momentum sudut elektron terhadap inti diberikan oleh
L=r x p
r adalah vektor posisi elektron terhadap inti sebagai titik acuan dan p adalah momentum
elektron.
Komponen L dalam koordinat Cartesian adalah
Lx  yp z  yp y
L y  zp x  xp z
Lz  xp y  yp x
(4-53)
Jika komponen-komponen momentum px, py dan pz diganti dengan bentuk operator
mekanika kuantum  i



diperoleh komponen-komponen momentum
,i , dan  i
x
y
z
sudut dalam bentuk operator
 
 
L xop  i y  z 
y 
 z

 
Lyop  i z  x 
z 
 x
(4-54)
 

Lzop  i x  y 
x 
 y
Dengan alih ragam koordinat ke bentuk koordinat bola diperoleh


 
Lxop  i sin 
 cot  cos 


 



 
Lyop  i  cos 
 cot  sin


 

Lzop  i
(4-55)


Operator momentum sudut totalnya adalah
L2op  L2xop  L2yop  L2zop
 1  
 
1 2 
L2op   2 
sin




  sin 2   2 
 sin   
(4-56)
Jika operator L2op ini dikenakan pada fungsi gelombang unlm=Rnllmm diperoleh
  
 
  2 
L2op unlm  Rnl ( 2 )  m
 sin 
 2
  sin   2 
 sin   
Dari persamaan (4-35) bahwa
d 2
 m 2  , maka
d 2
 1  

 
m2
L2op unlm  Rnl m ( 2 ) 
 sin 
  2 
  sin  
 sin   
Dari persamaan (4-6) dengan   l (l  1) maka persamaan (4-57) menjadi
L2op unlm  l (l  1)  2 Rnlθlm m
 l (l  1)  2 unlm
Dengan demikian nilai L2 dapat dihitung dengan mudah sebagai berikut
*
L2   unlm
L2op unlm dV
(4-57)
*
 l (l  1) 2  unlm
unlm dV
L 2  l (l  1) 2
(4-58)
Interpretasi bilangan kuantum orbital l dapat juga dilakukan secara lebih sederhana
sebagai berikut. Kita tinjau persamaan diferensial bagian radial persamaan (4-37).
1 d 2 dR  l (l  1) 2 
e 2 

 R  0
(
r
)



E


dr
4 0 r 
r 2 dr
r2
 2 

Persamaan tersebut berkenaan dengan arah radial dari gerak elektron dalam atom, sehingga
seharusnya tidak ada hubungannya dengan gerak orbitalnya. Energi total E tentunya terdiri
dari energi kinetik radial, energi kinetik orbital dan energi potensial.
E  Ekin. radial  Ekin. orbital  V
dengan V  
e2
4 0 r
. Persamaan diferensial radialnya menjadi
1 d 2 dR 2 
 2 l (l  1) 
(r
)  2  Ekin. radial  Ekin. orbital 
R0
r 2 dr
dr
 
2r 2 
Jika dua suku terakhir dalam persamaan tersebut saling menghapus maka persamaan
diferensial radial tersebut hanya berisi variabel r saja sesuai dengan apa yang diharapkan.
Untuk itu, harus dipenuhi
Ekin. orbital 
 2 l (l  1)
2r 2
Ekin. orbital 
1
2
 vorbital
2
1
 2 l (l  1)
2
 vorbital

2
2r 2
2
 2 vorbital
r 2   2l (l  1)
L2   2l (l  1)
Jika Lz adalah komponen L pada sumbu Z, karena nilai m terkuantisasi maka nilai Lz
juga terkuantisasi. Ini berarti bahwa arah orientasi vektor momentum sudut L tidak boleh
sembarang. Dikatakan bahwa momentum sudut L terkuantisasi ruang. Gambar. 4.10
melukiskan sifat kuantisasi ruang momentum sudut L.
Gambar. 4.10. Kuantisasi ruang momentum sudut L
Jadi bilangan kuantum magnetik m berhubungan dengan besar proyeksi L ke suatu
sumbu, dengan demikian juga menentukan arah orientasinya. Untuk membedakan dengan
bilangan kuantum magnetik spin elektron ms yang akan dibahas kemudian, bilangan kuantum
magnetik orbital ini diberi simbol ml.