FUNGSI GELOMBANG

FUNGSI GELOMBANG
Persamaan Schrödinger
Kuantitas yang diperlukan dalam mekanika kuantum adalah fungsi gelombang
partikel Ψ. Jika Ψ diketahui maka informasi mengenai kedudukan, momentum,
momentum sudut, dan energi dari partikel dapat diperoleh. Hal ini ditegaskan oleh
postulat pertama mekanika kuantum, yang berbunyi:
“Setiap keadaan suatu sistem yang dapat diamati secara fisika di dalam mekanika
kuantum dapat dijelaskan oleh suatu fungsi keadaan
yang berisi sejumlah
informasi yang dapat diperoleh secara fisika mengenai keadaan sistem tersebut”
Fungsi gelombang Ψ, diperoleh dengan memecahkan persamaan Schrödinger.
Persamaan Schrödinger merupakan persamaan pokok dalam mekanika kuantum.
Untuk mendapatkan persamaan Schrödinger, kita mulai dari persamaan
gelombang paket yang telah diperoleh sebelumnya.
Ψ ,
=
Dari postulat de Broglie,
kuantum Einstein bahwa
=
=&
, maka diperoleh
= ℏ . Dari teori
= ℎ! dan " = 2$!, diperoleh " =
(1) menjadi
Ψ ,
dan =
' (
% /ℏ
(
%
ℏ
1
maka persamaan
2
dengan & adalah konstanta normalisasi. Persamaan ini memberikan deskripsi
matematis yang ekivalen dari partikel bebas yang berenergi total E dan
momentum p.
Mendiferensialkan persamaan (2) terhadap t diperoleh
*Ψ ,
*
,
=− &
ℏ
' (
(
Oleh karena partikel bebas berenergi
*Ψ ,
*
=−
,
&
20ℏ
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
' ( (
(
% /ℏ
=
.
/
3
maka
% /ℏ
(
4
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Mendiferensialkan persamaan (2) dua kali terhadap x , diperoleh
*Ψ ,
*
* Ψ ,
*
=
,
&
ℏ
=−
1
&
ℏ
' ( (
% /ℏ
' ( (
(
5
% /ℏ
(
6
Dari persamaan (4) dan (6), kemudian diperoleh
,ℏ
*Ψ x, t
ℏ * Ψ x, t
=−
*
20 *
7
Ini adalah persamaan Schrödinger satu dimensi untuk partikel bebas, bentuk tiga
dimensinya adalah
,ℏ
,ℏ
,ℏ
*Ψ x, y, x, t
ℏ * Ψ x, y, z, t
* Ψ x, y, z, t
* Ψ x, y, z, t
=−
8
+
+
=
*
20
*
*;
*<
*Ψ x, y, x, t
ℏ
*
=−
8
20 *
*
+
*
*
+
= Ψ x, y, z, t
*;
*<
*Ψ x, y, x, t
ℏ
=−
∇ Ψ x, y, z, t
*
20
@.
dengan ∇ adalah operator laplasian, ∇ =
@
.
@.
@.
+ @A . + @B .
8
Perhatikan kembali persamaan (3) !
*Ψ ,
*
,ℏ
*Ψ ,
*
,
=− &
ℏ
=&
' (
' (
(
(
(
% /ℏ
% /ℏ
3
(
Tampak bahwa untuk memperoleh energi partikel yaitu dengan mengoperasikan
@
,ℏ @ terhadap Ψ ,
.
Lalu perhatikan persamaan (5) !
*Ψ ,
*
=
,
&
ℏ
' ( (
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
% /ℏ
(
5
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
−,ℏ
*Ψ ,
*
=&
' ( (
% /ℏ
(
Tampak pula bahwa untuk memperoleh momentum partikel adalah dengan
mengoperasikan
−,ℏ
@
@
Ψ ,
terhadap
.
Dengan
demikian,
terdapat
korespondensi antara energi E, momentum p, dan operator diferensial, yaitu
→ ,ℏ
*
*
( → −,ℏ
*
*
Jika partikel bergerak dalam potensial D
=
(
+D
20
maka energinya
dan persamaan Schrödinger dalam satu dimensinya menjadi
,ℏ
*Ψ x, t
ℏ * Ψ x, t
=−
+D
20 *
*
Ψ x, t
9
dan dalam tiga dimensinya menjadi
,ℏ
*Ψ x, y, z, t
ℏ
=−
∇ Ψ x, y, z, t + D
20
*
, ;, <,
Ψ x, y, z, t
10
Persamaan (9) dapat dituliskan sebagai
,ℏ
*Ψ x, t
= GΨ x, t
*
11
dengan H adalah Hamiltonian
G=−
ℏ
∇ +V x
20
12
Energi Potensial D atau disebut Potensial saja, dapat berupa fungsi dalam ruang
dan waktu, D , ;, <, . Begitu fungsi dari D diketahui maka persamaan
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Schrödinger dapat dipecahkan untuk memperoleh fungsi gelombang partikel Ψ.
Persamaan Shcrödinger yang diperoleh ini, didasarkan pada dua asumsi, yaitu:
1.
2.
Gejala-gejala kreasi atau pembentukan serta destruksi bagi partikel-partikel
materi diabaikan, artinya jumlah partikelnya tetap.
Kecepatan gerak partikelnya dianggap cukup kecil sehingga tidak
memerlukan teori relativitas (non relativistik).
Arti Fisis dari Fungsi Gelombang
Pada gelombang mekanik, misalnya gelombang pada tali, persamaan gelombang
dinyatakan dengan y (x,t) dengan y menyatakan pergeseran suatu titik pada tali
terhadap sumbu x sedangkan x menyatakan posisinya terhadap sumbu y. t
menyatakan waktu. Dalam mekanika kuantum, fungsi gelombang suatu partikel
dinyakan dengan:
Ψ=Ψ ,
Fungsi gelombang Ψ bersesuaian dengan y untuk persamaan gelombang pada tali.
Namun, Ψ bukanlah kuantitas yang dapat diukur seperti y. Fungsi gelombang
Ψ ,
dapat berupa fungsi kompleks. Pertanyaannya, apa arti fisis fungsi
gelombang tersebut? Jawaban dari pertanyaan ini diberikan oleh Max Born yang
menginterpretasikan bahwa Ψ ,
sendiri tidak memiliki arti fisis. Namun,
kuadrat dari harga mutlaknya, |Ψ , | berharga real, dan memiliki interpretasi
probabilitas. Secara lengkap, interpretasi Max Born dinyatakan sebagai Postulat
kedua mekanika kuantum, yang berbunyi:
“Jika suatu sistem kuantum direpresentasikan oleh fungsi gelombang
maka
J K = |Ψ| K merupakan probabilitas bahwa pengukuran kedudukan suatu
partikel pada saat t, akan ditemukan pada elemen volume K”
|Ψ ,
|Ψ ,
| = Ψ∗
,
Ψ ,
≡J
,
| → rapat probabilitas menemukan partikel pada titik , pada waktu t
Dengan demikian, jika di dalam ruang terdapat partikel maka rapat probabilitas
menemukannya dalam seluruh ruang adalah satu.
J ,
=1
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
13
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Fungsi gelombang yang memenuhi persamaan (13) dikatakan ternormalisasi.
|Ψ ,
Ψ∗
|
,
=1
Ψ ,
=1
14
Contoh 1
Partikel bergerak sepanjang sumbu x pada suatu waktu tertentu dinyatakan dengan
fungsi gelombang
Ψ
=N
| |
sin R
Tentukan fungsi gelombang ternormalisasinya !
Solusi
Fungsi gelombang partikel diberikan oleh
Ψ
=S
N
N
sin R , untuk
sin R , untuk
< 0X
>0
Maka kuadrat dari fungsi gelombangnya
Ψ∗
= |Ψ
Ψ
Tampak bahwa |Ψ
| =S
N
N
+
N
sin R , untuk
sin R , untuk
< 0X
>0
| adalah fungsi genap, karena |Ψ − | = |Ψ
|
Syarat normalisasi
Y
2N
2N
|Ψ
N
Y
Y
|
=1
sin R
sin R
8
Z
−
2,
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Y
=1
Z
=
sin R
=1
=1
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
−
−
−
−
N
2
N
2
Y
Y
[
[
Z
+
Z
+
Z
− 2\
Z
=1
−2
\
Z
Z
N
2
]
+
−
] =1
2 2,R − 2 − 2,R + 2
−2 Y
Z
Z
N
]
−
+
2 2,R − 2
2,R + 2
N
1
1
^
−
+ 1_ = 1
2 2,R − 2 2,R + 2
=1
] =1
Y
4
N
^−
+ 1_ = 1
2
4R + 4
N 8
R
==2
R +1
N=`
2R + 2
R
Fungsi gelombang ternormalisasinya adalah
Ψ
2R + 2
=`
R
| |
sin R
Nilai Ekspektasi
Sekali lagi, jika fungsi gelombang Ψ sudah diperoleh maka semua informasi
tentang partikel itu yang diijinkan oleh prinsip ketidakpastian, dapat diperoleh.
Lalu informasi yang seperti apa? dan bagaimana cara memperolehnya? Informasi
yang diperoleh adalah berupa nilai ekspektasi dari suatu kuantitas yang hendak
diukur, misalnya dimana partikel itu “sering” berada atau berapa “momentum
rata-ratanya”.
Nilai rata-rata dari suatu variabel dinamis
ekspektasi, yaitu:
⟨ ⟩=c
Ψ∗
,
d
Ψ ,
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
,
didefinisikan sebagai nilai
15
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
dengan d adalah operator yang merepresentasikan variabel dinamis
,
dalam mekanika kuantum. Tampak bahwa untuk memperoleh informasi tentang
partikel mengenai suatu variabel dinamis, kita harus mengetahui operator yang
merepresentasikan variabel tersebut. Jika fungsi gelombang Ψ ,
tidak
ternormalisasi maka persamaan (15) menjadi:
⟨ ⟩=
c
c
Ψ∗
Ψ∗
,
,
d
Ψ ,
Ketidakpastian hasil pengukuran
didefinisikan sebagai berikut.
=⟨
∆
16
Ψ ,
dinyatakan dengan standar deviasi ∆ , yang
⟩−⟨ ⟩
dengan
⟨
⟩=
Ψ∗
,
d
Ψ ,
Sebagai contoh, misalnya kita ingin mengetahui posisi partikel pada suatu waktu
tertentu maka nilai ekspektasi posisinya adalah:
⟨ ⟩=c
⟨ ⟩=c
d
Ψ∗
Ψ∗
,
d
,
Ψ ,
Ψ ,
adalah operator yang merepresentasikan
Ketidakpastian posisi ∆ , adalah:
∆
=⟨
⟩−⟨ ⟩
posisi
dimana
d
= .
dengan
⟨
⟩=
Ψ∗
,
Ψ ,
Berikut ini adalah operator dari beberapa variabel dinamis dalam mekanika
kuantum:
Operator posisi:
d
=
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
Operator momentum: (d = −,ℏ
Operator Energi Kinetik: fd =
Operator Hamiltonian: Gd = −
@
@
.
/
=−
ℏ. @ .
/@ .
ℏ. @ .
/@ .
+D
Contoh 2
Fungsi gelombang ternormalisasi suatu partikel dengan potensial harmonik
sederhana diberikan oleh
Ψ ,
R i/j
=g h
$
Z ./
% /ℏ
Tentukan nilai ekspektasi ⟨ ⟩, dan ⟨
⟩, serta ketidakpastian posisi ∆ !
Solusi
Nilai ekspektasi ⟨ ⟩ partikelnya adalah
⟨ ⟩=
⟨ ⟩=
Ψ∗
,
R i/j
g h
$
R i/
⟨ ⟩=g h
$
R i/
⟨ ⟩=g h
$
Ψ ,
Z ./
% /ℏ
Z .
R i/j
g h
$
Z ./
% /ℏ
Z .
⟨ ⟩=0
Nilai ekspektasi ⟨
⟨
⟩=
Ψ∗
,
⟩ partikelnya adalah
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
Ψ ,
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
⟨
R i/j
g h
$
⟩=
Z ./
R i/
⟩=g h
$
⟨
R i/
⟩=g h
$
⟨
R i/
⟩=2 g h
$
⟨
% /ℏ
Z .
Z ./
% /ℏ
→ fungsi genap
Z .
Y
R i/j
g h
$
Z .
R i/ 1 $ i/
⟩=2 g h q g h r
$
4R R
⟨
⟨
⟩=
1
2R
Ketidakpastian posisi ∆ , yaitu
∆
=⟨
∆ = s⟨
∆ =`
1
2R
⟩−⟨ ⟩
⟩−⟨ ⟩
Syarat Fungsi Gelombang t
Fungsi Gelombang Ψ yang memenuhi persamaan Schrödinger adalah fungsi
gelombang yang memenuhi kriteria-kriteria berikut ini.
1.
Kuadrat dari fungsi gelombang |Ψ| harus dapat diintegralkan dan bernilai
berhingga.
|Ψ|
< ∞
Oleh karena integral dilakukan untuk seluruh ruang, konsekuensinya:
Ψ ,
2.
→ 0 untuk x → ∞
Fungsi gelombang Ψ ,
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
dan turunannya
vw
vx
,
, harus bernilai berhingga
Pendidikan Fisika Universitas Lampung
3.
4.
Fungsi gelombang Ψ ,
Ψ ,
dan turunannya
dan turunan pertamanya
Oleh: Wayan Suana, M.Si.
@w
@
,
vw
vx
,
, harus bernilai tunggal
kontinue di semua x
Pendidikan Fisika Universitas Lampung