File

BARIS DAN DERET
Pola dan Barisan
Bilangan
Barisan Arimatika dan
Barisan Geometri
Deret Aritmetika dan
Deret Geometri
Sifat-sifat Deret
P
R
O
F
I
L
POLA DAN BARISAN
BILANGAN
Pola Bilangan
Pola bilangan yaitu susunan angka-angka yang mempunyai pola-pola
tertentu. Misalnya pada kalender terdapat susunan angka" baik
mendatar, menurun, diagonal (miring).
Barisan Bilangan
1. Pola Garis Lurus dan Persegi Panjang
Garis Lurus
Persegi Panjang
Pola bilangan persegi
panjang :: 2, 6, 12, ...
Un = n(n+1)
2. Pola persegi
Pola bilangan persegi :: 1 , 4 , 9 , ... merupakan bilangan kuadrat dari bilangan
asli . Un= n2
3. Pola Segi tiga
(segitiga sama sisi)
Cara 1
Mengikuti pola berikut
Urutan1
Urutan2
CARA 2
Pola bilangan segitiga :: 1,
3, 6, 10, ... Un = n/2 (n+1)
Urutan3
4. Pola Kubus
• Pola kubus terbentuk dari bilangan kubik Un = n3
5. Pola bilangan ganjil dan genap
Bilangan kedua dan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua.
a. Pola bilangan ganjil
•
•
Tetapkan angka 1 sebagai bilangan awal
Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
1
3
5
+2
+2
7
9
+2
+2
b. Pola bilangan genap
•
•
Tetapkan angka 2 sebagai bilangan awal
Bilangan selanjutnya diperoleh dari bilangan sebelumnya ditambah dua
2
4
+2
6
+2
8
+2
10
+2
6. Pola Bilangan Segitiga Pascal
1
1
2
1
1
1
1
3
4
1
3
6
1
4
Jumlah bilangan pada baris ke-n adalah Sn = 2 n-1
1
9. Pola Bilangan Fibonaci
1
1
+
2
+
3
+
8
5
+
+
...
+
Barisan Bilangan
• Barisan bilangan adalah sekumpulan bilangan yang telah
diurutkan menurut suatu aturan tertentu.
Un
U1
Barisan bilangan biasanya ditulis :
Suku Pertama
U1, U2,`U3, . . . . , Un
Dengan
U2
Suku ke-2
Un adalah suku ke – n
dan n = 1,2,3, . . .
Contoh : Barisan 0,2,4 berarti
U1 = 0, U2 = 2 , U3 = 4
Un
Suku ke - n
(menambahkan 2 pada suku
sebelumnya)
1. Menentukan Suku Berikutnya Suatu Barisan Bilangan
• Contoh:
• Tentukan tiga suku berikutnya dari barisan
bilangan 2, 5, 8, 11, . . .
Barisan 2, 5, 8, 11,. . .
3
3
3
U1 = 2
U2= 5 = 2 + 3
U3 = 8 = 5 +3
U4 = 11 = 8 +3
Maka barisan selanjutnya adalah (2, 5, 8 ,11, 14, 17, 20, . . .n +3)
2. Menentukan Suku Ke-n Suatu Barisan Bilangan
Un = f (n)
Pola tingkat satu satu barisan
bilangan berselisih tetap
Pola tingkat satu satu barisan
bilangan berasio tetap
Pola tingkat dua satu barisan
bilangan berselisih tetap
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berselisih tetap (b)
U1
U2
U3
+b
U4
+b
+b
Un =?
Un = bn + (U1 - b)
Contoh :
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan bilangan ganjil.
Barisan bilangan ganjil
1
3
+2
5
+2
Maka rumus suku ke-nnya adalah
7
+2
Un = bn + (U1 - b)
Un = ?
b=2
= Un =2n+(1-2) = 2n -1
Pola tingkat satu satu barisan bilangan berasio tetap
U1
U2
xr
U3
xr
U4
Un
Un = rn x U1/r
xr
Contoh :
Tentukan suku ke-n dari barisan bilangan (1, 10, 100, 1000, . . . Un )
1
10
x10
1000
100
x10
x10
Rumus suku ke-n : Un = 10n x 1/10 = 10n -1
Un
=?
Tahapan pertama
dengan r=10
=?
Pola tingkat dua satu barisan bilangan berselisih tetap
Suku ke-n dari barisan bilangan berselisih tetap pada pola tingkat dua
diberikan formula berikut :
Un = b/2 . n (n-1) + c
Dengan c = Suku ke-n barisan bilangan pola
b = Selisih tetap
Tuliskan suku ke-n dari barisan bilangan (3,6, 10, 15, 21, . . . )
Jawab:
3
6
10
15
21 U1 = 3=1/2 x 1 0 +3
U2 = 6 = ½ x 2x 1 +5
U3 = 10 = ½ x 3x2 + 7
U4 = 15= ½ x 4 x 3 +9
+3
+4
+5
+6
U5 = 21 = ½ x 5 x 4 +11
:
+1
+1
+1
:
Un = ½. n(n-1) +c
pola tingkat2, dengan b=1
LANJUTAN
Menentukan c yang berupa barisan bilangan yang
berpola tingkat satu
Barisan:
3
5
7
9 11
Pola tingkat 1, b= 2
+2
+2
+2
+2
C= 2n + (U1 - b) = 2n+(3-2)= 2n +1
Jadi, suku ke-n adalah:
Un = ½. n(n-1) +c
Un = ½. n(n-1) + 2n + 1
Un = ½ n2 – ½ n + 2n +1
Un = ½ n2 – 3/2 n +1
BARISAN ARIMATIKA DAN
BARISAN GEOMETRI
Barisan Arimatika atau Barisan
Hitung
Barisan Aretmatika
barisan bilangan yang tiap sukunya
diperoleh dari suku sebelumnya dengan cara
menambah atau mengurangi dengan suatu
bilangan tetap
Perhatikan baarisan U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un. Dari definisi di atas, diperoleh
hubungan sebagai berikut :
U1 = a
U2 = U1 + b = a + b
U3 = U2 + b = a + b + b = a + 2b
Un = a + (n – 1 )b
U4 = U3 + b = a + 2b + b = a + 3b
Dengan n = 1, 2, 3,..
.
.
.
Un = Un-1 + b = a + (n - 2)b + b = a + (n - 1)b
Bilangan b adalah suatu bilangan tetap yang sering disebut dengan beda. Penentuan
rumus beda dapat di uraikan sebagai berikut :
U2 = U1 + b => b = U2 - U1
U3 = U2 + b => b = U3 - U2
U4 = U3 + b => b = U4 - U3
.
.
.
Un = Un-1 + b => b = Un - Un-1
Dengan melihat nili b, kita dapat menentukan barisan aritmetika itu naik atau turun.
Bila b ˃ 0 maka barisan aritmetika itu naik
Bila b ˂ 0 maka barisan aritmetika itu turun
Contoh:
Tentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari barisan aritmetika berikut ini dan tulis jenis
barisan aritmetika tersebut.
a. 1, 3, 5, 7,. . . .
b. 4, 2, 0, -2,. . .
Jawab :
Gunakan rumus beda untuk menentukan suku ke sepuluh ( U10 ) dari masing-masing
barisan aritmetika.
a. Barisan 1, 3, 5, 7 . . .
berdasarkan rumus Un = U1 + (n – 1) . b diperoleh ..
U1 = 1
U2 = 3
U3 = 5
b = U2 - U1 = 2 b = U3 - U2 = 2
b = U4 - U3 = 2
karena b = 2 > 0 barisan aritmetika merupakan barisan naik.
U10 = U1 (10 - 1) . b
U10 = 1 + 9 . 2 = 19
b. Barisan 4, 2, 0, -2, . .
U1 = 4
; U2 = 2 ; U3 = 0 ; U4 = -2
b = U2 - U1 = - 2 ; b = U3 - U2 = -2 ; b = U4 - U3 = - 2
karena b = - 2 < 0 barisan aritmetika merupakan barisan turun, berdasarkan rumus
Un = U1 (n - 1) . b
U10 = 4 + (9 . (- 2) ) = - 14
Jadi, suku ke sepuluh barisan tersebut adalah -14
Barisan Geometri atau Barisan
Ukur
barisan bilangan yang tiap sukunya
diperoleh dari suku sebelumnya dengan
mengalikan atau membagi dengan suatu
bilangan tetap
Barisan Geometri
Misalkan, barisannya U1, U2, U3, . . . . . .,Un-1, Un, maka :
1. Un = r × Un-1 atau 𝑟 =
𝑈𝑛
𝑈𝑛−1
2. Un = a × rn-1
Dengan: r = rasio atau pembanding
n = bilangan asli
a = suku pertama
U1 = a
U2 = U1 . r = ar
U3 = U2 . r = ar2
U4 = U3 . r = ar3
Un = Un-1 . r = arn-1
Berdasarkan nilai rasio (r) kita dapat menentukan suatu barisan geometri naik atau
turun.
Bila r > 1 maka barisan geometri naik.
Bila 0 < r < 1 maka barisan geometri turun.
Contoh :
a. Tentukan suku ke delapan dari barisan geometri :
b. Tulliskan rumus suku ke – n dari barisan geometri :
Jawab:
a.
Jadi, suku kedelapan dari barisan geometri diatas adalah 729
b.
Jadi, suku ke-n dari barisan geometri di atas adalah
DERET ARITMETIKA DAN
DERET GEOMETRI
Deret Aritmetika atau Deret
Hitung
Deret bilangan
jumlah yang ditunjuk untuk sukusuku dari suatu barisan bilangan
Bentuk umum:
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛
Menyatakan deret ke-n
Contoh:
1. Deret dari barisan 3, 5, 7, …, (2n+1) adalah 𝑆𝑛 = 3 + 5 + 7 + ⋯ + (2𝑛 + 1)
Maka,
𝑆1 = 3
𝑆2 = 3 + 5 = 8
𝑆4 = 3 + 5 + 7 = 15
2. Deret dari barisan 1, 2, 4, …, 2𝑛−1 adalah 𝑆𝑛 = 1 + 2 + 4 + ⋯ + 2𝑛−1
Maka,
𝑆1 = 1
𝑆2 = 1 + 2 = 3
𝑆4 = 1 + 2 + 4 = 7
jumlah suku yang ditunjukkan oleh
barisan aritmetika
Deret aritmetika
Deret aritmetika
𝑆𝑛 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛
Dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
Rumus n suku pertama
deret aritmetika:
𝑛
2𝑎 + 𝑛 − 1 𝑏
2
Dengan: 𝑈𝑛 = suku ke-n
n = bilangan asli
b = beda
𝑆𝑛 =
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑆𝑛 =
𝑛
(𝑎 + 𝑈𝑛 )
2
Contoh:
1. Tentukan jmlah sepuluh suku pertama dari deret
−2 + 0 + 2 + ⋯
Jawab:
𝑈1 = −2; 𝑈2 = 0
𝑏 = 𝑈2 − 𝑈1 = 0 − −2 = 2
𝑛 = 10
10
𝑆10 =
2(−2) + 10 − 1 2 = 5 −4 + 18 = 70
2
2.
Tentukan jumlah 5 suku pertama, jika suku kelima adalah 240 dan suku pertama
adalah 20
Jawab:
𝑈1 = 20; 𝑈5 = 240; 𝑛 = 5, maka:
5
𝑆5 = 20 + 240 = 650
2
Deret Geometri atau Deret Ukur
Deret geometri
Barisan geometri:
𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 , … , 𝑈𝑛
Deret geometri:
𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛
dengan 𝑈1 = 𝑎 dan 𝑈𝑛 = 𝑎𝑟 𝑛−1
jumlah suku-suku yang ditunjuk
oleh barisan geometri
Rumus n suku pertama
deret geometri:
𝑎(1 − 𝑟 𝑛 )
𝑆𝑛 =
;𝑟 > 1
(1 − 𝑟)
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑎 𝑟𝑛 − 1
𝑆𝑛 =
;𝑟 < 1
𝑟−1
Contoh:
1.
Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret 3 + 6 + 12 + ⋯
Jawab:
6
𝑈1 = 3; 𝑈2 = 6; 𝑟 = = 2; 𝑛 = 8
3
8
3 2 −1
3(256 − 1)
𝑆8 =
=
= 765
2−1
1
2. Diberikan deret geometri dengan suku-suku positif, 𝑈2 = 10 dan 𝑈4 = 40.
𝑈𝑛 = 160, tentukanlah jumlah n suku pertama deret geometri itu.
Jawab:
𝑈2 = 10 → 𝑎𝑟 = 10
𝑈4 = 40 → 𝑎𝑟 3 = 40
𝑎𝑟 𝑟 2 = 40
10𝑟 2 = 40
𝑟2 = 4
∴ 𝑟 = ±2
Bila
Karena suku-suku positif maka 𝑟 = 2
𝑎𝑟 = 10
2𝑎 = 10
𝑎=5
maka:
𝑈𝑛 = 160
𝑎𝑟 𝑛−1 = 160
5 ∙ 2𝑛−1 = 160
2𝑛−1 = 32
2𝑛−1 = 25
𝑛−1=5
∴𝑛=6
SIFAT-SIFAT DERET
Dalam deret aritmatika maupun deret geometri dapat menemukan sifat umum berikut
ini.
𝑆1 = 𝑈1
𝑆2 = 𝑈1 + 𝑈2 → 𝑆2 = 𝑆1 + 𝑈2 → 𝑈2 = 𝑆2 − 𝑆1
𝑆3 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 → 𝑆3 = 𝑆2 + 𝑈3 → 𝑈3 = 𝑆3 − 𝑆2
𝑆4 = 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 → 𝑆4 = 𝑆3 + 𝑈4 → 𝑈4 = 𝑆4 − 𝑆3
.
.
.
𝑆𝑛 = 𝑈 1 + 𝑈2 + 𝑈3 + 𝑈4 + ⋯ + 𝑈𝑛−1 + 𝑈𝑛
𝑆𝑛−1
𝑆𝑛 = 𝑆𝑛−1 + 𝑈𝑛 → 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
Dari uraian diatas dapat dituliskan hubungan antara suku ke-n dan jumlah n suku pertama
dari deret aritmatika maupun deret geometri, sebagai berikut.
𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
Contoh:
Dalam deret aritmatika ditemukan 𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 , hitunglah :
a. 𝑈𝑛
b. 𝑈5
c. Beda
Jawab :
a. 𝑈𝑛 = 𝑆𝑛 − 𝑆𝑛−1
𝑆𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛
𝑆𝑛−1 = 2 𝑛 − 1 2 + 𝑛 − 1
𝑆𝑛−1 = 2 𝑛2 − 2𝑛 + 1 + 𝑛 − 1
𝑆𝑛−1 = 2𝑛2 − 4𝑛 + 2 + 𝑛 − 1 = 2𝑛2 − 3𝑛 + 1
𝑈𝑛 = 2𝑛2 + 𝑛 − 2𝑛2 + 3𝑛 − 1
𝑈𝑛 = 4𝑛 − 1
b. 𝑈5 = 4 ∙ 5 − 1 = 20 − 1 = 19
c.
𝑏 = 𝑈5 − 𝑈4
𝑈4 = 4 ∙ 4 − 1 = 16 − 1 = 15
∴ 𝑏 = 19 − 15 = 4
Sifat Dasar Deret Aritmetika
1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 merupakan deret aritmatika, maka :
𝑈2 − 𝑈1 = 𝑈3 − 𝑈2 = 𝑈4 − 𝑈3 = 𝑈5 − 𝑈4 = ⋯ = 𝑈𝑛 − 𝑈𝑛−1
2. Bila𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret aritmatika, maka:
2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3
Contoh:
Tentukan nilai dari 𝑥 agar barisan 𝑥 + 1, 3𝑥 − 5, 4 merupakan suku-suku dari deret
aritmatika.
Jawab:
Kita gunakan sifat dasar kedua, yaitu 2𝑈2 = 𝑈1 + 𝑈3
2(3x - 5) = x + 1 + 4
6x –10= x + 5
6x –x= 5 + 10
5x = 15
x=3
Selain kedua sifat di atas dapat pula kita turunkan beberapa sifat dari deret aritmatika
yang lain.
Perhatikan kembali formula suku ke-n berikut ini :
𝑈𝑛 = 𝑎 + 𝑛 − 1
Dengan formula di atas dapat disusun kembali formula baru yang menyatakan
hubungan antara suatu suku dengan suku yang lainnya.
𝑈7 = 𝑎 + 6𝑏
Memo
𝑈7 = 𝑎 + 3𝑏 + 3𝑏 = 𝑈4 + 3𝑏
𝑈7 = 𝑎 + 4𝑏 + 2𝑏 = 𝑈5 + 2𝑏
7= 1+6
𝑈7 = 𝑎 + 2𝑏 + 4𝑏 = 𝑈3 + 4𝑏
7=4+3
7=5+2
7=3+4
Secara umum dapat dituliskan:
𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 + 𝑝 − 𝑘 𝑏
𝑈𝑝 − 𝑈𝑘
𝑏=
𝑝−𝑘
Contoh:
Bila 𝑈6 = 65 dan 𝑈10 = 97 dari deret aritmatika, tentukanlah :
a. b
b. 𝑈12
Jawab:
a.
b.
𝑏=
𝑈10 −𝑈6
10−6
=
97−65
4
𝑈12 = 𝑈10 + 2𝑏
𝑈12 = 97 + 2 ∙ 8
𝑈12 = 97 + 16
𝑈12 = 113
atau
𝑈6
𝑈6
𝑈6
𝑈6
= 𝑈6 + 2𝑏
= 65 + 6 ∙ 8
= 65 + 48
= 113
=8
Sift Dasar Deret Geometri
1. Bila 𝑈1 + 𝑈2 + 𝑈3 + ⋯ + 𝑈𝑛 merupakan deret geometri, maka :
𝑈2 𝑈3
𝑈𝑛
=
=⋯=
=𝑟
𝑈1 𝑈2
𝑈𝑛−1
2. Bila 𝑈1 , 𝑈2 , 𝑈3 merupakan suku-suku pada deret geometri, maka:
𝑈2 2 = 𝑈1 × 𝑈3
Contoh:
Tentukan nilai 𝑥 agar barisan 𝑥 + 2, 2, 𝑥 − 1 merupakan barisan geometri.
Jawab:
Berdasarkan sifat (2) barisan geometri, yaitu 𝑈2 2 = 𝑈1 × 𝑈3 ,
diperoleh:
22
= 𝑥+2 𝑥−1
4= 𝑥+2 𝑥−1
↔ 4 = 2+2 ∙ 2−1 ,𝑥 = 2
↔ 4 = −3 + 2 ∙ −3 − 1 , 𝑥 = −3
Jadi, nilai 𝑥 adalah −3 atau 2
Memo
4 = 4 ∙ 1 atau
4 = (−1)(−4)
Selain kedua sifat di atas dapat juga kita menemukan sifat-sifat yang lain dari deret
geometri.
Perhatikan Un = arn-1
Memo
Dengan formula itu didapat:
Lihat Indeks
U10 = ar9
U10 = (ar2) . r7= U3 . r7
10 = 1 + 9
U10 = (ar4 ). r7 = U5 . r5
10 = 3 + 7
10 = 5 + 5
Secara umum di tuliskan:
𝑈𝑝 = 𝑈𝑘 ∙ 𝑟 𝑝−𝑘
𝑟 𝑝−𝑘 =
𝑈𝑝
𝑈𝑘
Contoh:
Diketahui deret geometri dengan U3 = 24 dan U6 = 192. Tentukanlah :
a. r
b. U2
Jawab :
𝑈
a. 𝑟 3 = 𝑈6
3
192
𝑟 3 = 24
𝑟3 = 8
𝑟 3 = 23
𝑟=2
b. 𝑈2 =
𝑈2 =
𝑈3
𝑟
24
2
𝑈2 = 12
𝑎𝑡𝑎𝑢
𝑈2 =
𝑈6
𝑟4
192
24
192
𝑈2 =
= 12
16
𝑈2 =
PROFIL KELOMPOK
Nama : Putri Kinanti Aprilianti
(pemateri pertama)
Kelas : 2 – J
Alamat : Kapetakan, Cirbon
NPM : 112070184
E – mail:
[email protected]
Tempat/tgl lahir:Ciamis,06 April
1994
Dalam tugas ini saya membuat
powerpoint , skenario sekaligus
menjelaskannya pada slide 1 -16
FKIP Pendidikan Matematika.
UNSWAGATI Cirebon
Nama
: Alang Ganda Sutisna
NPM
: 112070247
Kelas
: 2j
Alamat : ds. Cikadu, dusun
manis rt/rw 01/01 kec.
Nusaherang, kab. kuningan.
E-mail :
[email protected]
Dalam tugas ini saya membuat
powerpoint , skenario sekaligus
menjelaskannya pada slide 17 24
Nama:
Leti Septiani
NPM:
Dalam tugas ini saya
membuat
powerpoint, skenario
sekaligus
menjelaskannya
pada slide 17 -24
112070128
Kelas
2-j
Alamat:
Desa Nusaherang,
Dusun Manis,
RT.01/05, Kec.
Nusaherang, Kab.
Kuningan
Email:
[email protected]
Nama
Tempat, Tanggal Lahir
Kelas
Npm
Menjelaskan
Alamat
: Ivon Griani
: Cirebon,
19 Oktober 1993
: 2-I
: 112070021
: 33-43
: Jl. Sunan gunung jati,
Gg. Mandiri 2, RT/RW
02/01, Blok Akad,
Ds. Suranenggala kidul,
Kec.
Suranenggala,
Kab. Cibon, Prov. Jawa
Barat
Dalam tugas ini saya membuat powerpoint , skenario
sekaligus menjelaskannya pada slide 33 -43
DAFTAR PUSTAKA
 Wilson Simangunsong. Matematika untuk SMP Kelas IX.
Erlangga