Logika Matematika – diktat 4

BAHAN KULIAH
LOGIKA MATEMATIKA
O
L
E
H
A. Rahman H., S.Si, MT
&
Muhammad Khaidir
STTIKOM Insan unggul
Jl. S.A. tirtayasa no. 146 Komp.
Istana Cilegon blok B 25-28
Cilegon Banten 42414
http://didir.co.cc
Pertemuan
Jumat ...
Materi
:1
: perkenalan
1. Logika (3 sks) : mata kuliah wajib II
Penilaian
Absen :
10%
Quis
:
10%
Tugas :
20%
UTS
:
30%
UAS
:
30%
100%
Grade : A >= 85
B = 70 – 84
C = 55 – 69
D = 40 – 54
E = < 40
F = tidak ikut ujian
2. Referensi
• Purcell, edwin , 1993. Kalkulus & Geometri analitis penerbit erlangga jakarta.
• Yahya , yusuf dkk. 1999 matematika dasar.
• Rinaldy M, 2005. Mat. Diskrit penerbit informatika, bandung
Pertemuan
: 2 dan 3
Jumat ...
Materi : LOGIKA
1. Pengantar
Logika merupakan studi penalaran (reasoning) yaitu cara berfikir dengan mengembangkan
sesuatu berdasarkan akal budi, bukan dengan perasaan atau bukan dengan pengalaman.
Logika pertama kali dikenalkan oleh filusuf Yunani Aristoteles, sekitar 2300 tahun yang lalu.
Saat ini, logika mempunyai aplikasi yang luas didalam ilmu komputer, misalnya dalam bidang
pemrograman, analisis kebenaran algoritma, perancangan komputer dan sebagainya.
2. Proposisi
Proposisi adalah kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak
dapat sekaligus keduanya.
Contoh 1.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
3 adalah bilanngan ganjil.
4>=-9
Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil.
Serahkan uangmu sekarang!
Jam berapa anda sampai di STTIKOM IU?
X+2=8
Ibu kota provinsi Sulawesi Selatan adalah Makassar
X>5
Catatan :
secara simbolik, proposisi biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti p, q, r,... misalnya,
P : 3 adalah bilangan ganjil
q : 4>= -9
r : semua bilangan prima adalah bilangan ganjil
dst...
3. Operator Logika
Operator logika dasar yang digunakan adalah dan (and), atau (or) yang disebut operator
biner karena operator tersebut mengoperasikan dua buah proposisi. Sedangkan operator ketiga
adalah tidak (not) yang disebut operator uner karena hanya membutuhkan satu buah proposisi.
Misalkan p dan q adalah proposisi.
1. konjungsi (conjunction) p dan q dinyatakan oleh notasi p 8 q
2. Disjungsi (disjunction) p dan q dinyatakan oleh notasi p 7 q
3. Ingkaran (negasi) dari p dinyatakan oleh notasi ~p
Contoh 2.
Diketahui proposisi – proposisi berikut :
P : Hari ini ujian
q : Mahasiswa diharuskan belajar
1.
Nyatakanlah proposisi di atas ke dalam ekspresi logika
a. Hari ini tidak ujian
b. Hari ini ujian dan mahasiswa diharuskan belajar
c. Mahasiswa diharuskan belajar atau hari ini ujian
d. Tidak benar hari ini ujian atau mahasiswa tidak diharuskan belajar.
e. Tidak benar hari ini tidak ujian dan mahasiswa tidak diharuskan belajar.
2. Nyatakan ke proposisi
a. ~q
b. ~(~p)
c. q 8~ p
d. ~p 8~q
4.
Tabel Kebenaran
Misalkan p dan q adalah poroposisi, maka :
1) konjungsi p 8 q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah.
2) disjungsi p 7 q bernilai salah jika p q keduanya salah, selain itu nilainya benar.
3) Negasi p, yaitu p bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar.
Kasus 1 :
1. Buatlah tabel kebenaran dari pernyataan 1, 2 dan 3 di atas.
2. Tuliskan tabel kebenaran dari
i. (p 8 q ) 7~ p
ii. ~(p 7 q) 8 (~q 7 p)
OPERASI LOGIKA DIDALAM KOMPUTER
Ekspresi logika di sebut juga dengan operasi boolean sering di butuhkan dalam
pemrograman baik bahasa pascal maupun bahasa foltran. Operator boolean yang digunakan
adalah AND, OR, XOR dan NOT dimana hanya menghasilkan salah satu dari dua nilai, true
(T) atau false (F). Misalkan x1, x2, dan x3. Adalah perubahan boolean dalam bahasa pascal,
maka ekspresi boolean dibawah ini adalah valid :
x1 and x2
x1 or x2 (not (x2 and x3))
5. Proposisi bersyarat
Proposisi bersyarat termasuk proposisi majemuk yang disebut juga dengan implikasi
atau kondisional dan dilambangkan dengan p → q
(dibaca jika p, maka q).
Contoh 3.
1) Jika anda membayar uang uts, maka anda boleh ikut ujian.
2) Jika abang menyerahkan uang Rp. 3juta, maka saya mencintai abang.
3) Jika saudara datang ke pesta saya, maka saya wajib menjamu anda.
Tabel kebenaran implikasi
p
q
p→q
T
T
T
T
F
F
F
T
T
F
F
T
Contoh 4
Tunjukkan bahwa p → q ekivalen secara logika dengan ~p 7 q
Catatan:
Ada 3 variasi proposisi bersyarat, yaitu :
Convers (kebalikan)
Invers
Kontraposisi
: q→p
: ~p → ~q
: ~q → ~p
Implikasi dalam Bahasa Pemrograman
Contoh 5.
Misalkan didalam sebuah program dituliskan dalam bahasa pascal terdapat pernyataan berikut :
If x > y then y := x + 8;
Berapa nilai y setelah pelaksanaan pernyataan if-then diatas jika nilai x dan y sebelum
pernyataan adalah:
i. x = 2 dan y = 1
ii. x = 3 dan y = 4
6. bikondisional ( Bi-implikasi )
Defenisi : misalkan p dan q adalah proposisi. Proposisi majemuk p jika dan hanya jika q disebut
bikondisional yang dilambangkan dengan p → q
Tabel kebenaran bikondisional
p
q
p↔q
T
T
T
T
F
F
F
T
F
F
F
T
Terdapat sejumlah cara dalam menyatakan bikondisional dalam kata – kata yaitu :
a. p jika dan hanya jika q ( p if and only if q )
b. p adalah syarat perlu dan cukup untuk q ( p is necessary and sufficient for q )
c. jika p maka q, dan sebaliknya ( if p then q, and converselly )
KASUS 2 :
Tentukan tabel kebenaran dari ~ ( p 8 q ) ↔ ~p 7~q
Pertemuan : 4
Jumat ....
Materi : Penarikan kesimpulan
A. INFERENSI
Inferesi (inference ) adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi
(proposition). Di dalam kalkulus proposisi, terdapat sejumlah kaidah inferensi,
Beberapa diantaranya seperti :
1.
2.
3.
4.
5.
6.
modus ponen (law of detachment)
modus tollen
silogisme hipotetis
silogisme disjungtif
simplifiasi
dll
1. modus ponen atau law of detachment
kaidah ini didasarkan pada tautology ( p 8 ( p → q )) →q, yang dalam hal ini, p dan p →
q adalah hipotesis, sedangkan q kongklusi. Kaidah ini dapat dituliskan :
p→q
p
_____
...q
contoh :
misalkan implikasi
1. jika 40 habis dibagi 10, maka 40 adalah bilangan genap.
2. jika ( x + y )3 , maka koefisien dari x3 adalah 1
tentukan modus ponen.
2. modus tollen
kaidah modus tollen dituliskan dengan cara :
p→q
~q
_____
...~p
contoh :
1. jika n bilangan ganjil, maka n2 adalah bilangan ganjil.
2. jka kamu mencintai dia, maka dia tidak saying kamu.
Pertanyaan : tentukan modus tollen.
Jawaban :
3. silogisme hipotetis
kaidah silogisme dituliskan dengan cara :
p→q
q→r
_____
...p → r
contoh :
1. jika saya belajar dengan giat, maka saya lulus ujian.
2. jika saya lulus, maka saya cepat menikah.
Jawaban :
4. silogisme dijungtif
silogisme disjungtif ditulis dengan cara :
p8q
~p
____
.. . q
contoh :
interferensi:
saya belajar dengan atau saya menikah tahun depan.
Saya tidak belajar dengan giat. Karena itu saya menikah tahun depan.
Jawaban :
5. simflikasi
kaidah simflikasi ditulis dengan cara :
p8q
____
...p
contoh :
khaidir adalah mahasiswa sttikom iu dan mahasiswa stak. Karena itu khaidir adalah
mahasiswa sttikom.
Jawaban :
6. konjungsi
kongjungsi dituliskan dengan cara:
p8q
____
...p
heri mengambil kuliah logika. heri mengulang kuliah logika. karena itu, Heri mengambil
kuliah logic dn mengulang kuliah logika.
heri mengambil kuliah logika
heri mengulang kuliah logika
________________________
heri mengambil kuliah logika dan mengulang kuliah logika
Pertemuan : 5 dan 6
Jumat ....
Materi : RELASI DAN FUNGSI
1. Pengantar
Hubungan ( relationship ) antara elemen himpunan dengan elemen himpunan lainnya sering
dijumpai pada banyak masalah.misalnya hubungan antara mahasiswa dengan mata kuliah
yang di ambil , hubungan antara orang dengan kerabatnya. Di dalam ilmu komputer, contoh
hubungan itu misalnya hubungan antara program komputer dengan peubah yang digunakan,
hubungan antara bahasa pemrograman dengan pernyataan ( statement ) yang sah dan
sebagainya. Jadi relasi adalah hubungan antara elemen himpunan lain dinyatakan dengan
struktur. Fungsi adalah jenis khusus dari relasi.
Relasi dapat direpresentasikan dengan :
a. Tabel
b. Matriks
c. Graf berarah
2. Perkalian kartesian ( cartesian product )
Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya semua terurut
(ordered pairs) yang mungkin terbentuk dengan komponen pertama dari himpunan A dan
komponen kedua dari himpunan B. Dapat dituliskan dengan notasi :
A x B = { ( a, b) } | a € A dan B
( 6.1 )
Himpunan A disebut daerah asal ( domain )
Himpunan B disebut daerah hasil ( range atau codomain )
3. Relasi Inversi
Defenisi : Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B. Inversi dari relasi R,
dilambangkan dengan R-1 , adalah relasi dari B ke A yang di defenisikan oleh :
R-1 = { (a,b) | (a,b) € R}
Contoh :
Misalkan P = {2,3,4} dan Q = {2,4,8,9,15} tentukan :
a. ( p,q ) € R jika habis membagi q
b. R-1
Jawaban :
(6.2)
4. Mengkombinasikan Relasi
Kombinasi relasi terdiri atas :
a.
b.
c.
d.
Irisan, R1 ∩ R2
Gabungan R1 ∪ R2
Selisih, R1 – R2
Beda setangkup, R1 ∅ R2
Contoh :
Misalkan R1 = {(a,a), (b,b), (c,c)} dan R2 = {(a,a), (a,b),),(a,c), (a,d)} adalah relasi dari
himpunan A = {a,b,c} dan B{a,b,c,d} tentukanlah :
a. R1 ∩ R2
5. Fungsi
Fungsi adalah relasi yang khusus. Kekhususan ini tercakup pada dua hal penting :
1. Tiap elemen di dalam himpunan A, yang merupakan daerah asal f, harus digunakan oleh
prosedur atau kaidah yang mendefenisikan f
2. Frasa “ dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B” berarti bahwa jika ( a,b)
elemen f dan ( a,c ) elemen f, maka b=c.
Contoh :
Misalkan M adalah himpunan mahasiswa di STTIKOM IU. Manakah dari pemetaan
berikut yang mendefenisikan sebuah fungsi pada himpunan M ?
i.
ii.
iii.
iv.
v.
Setiap mahasiswa memetakan NIM.
Setiap mahasiswa memetakan nomor HP-nya.
Setiap mahasiswa memetakan orang tuanya.
Setiap mahasiswa memetakan pacarnya.
Setiap mahasiswa memetakan dompetnya.
6. Fungsi Inversi
Jika f adalah fungsi berkoresponden satu – satu dari A ke B, maka kita dapat menemukan
balikan atau inversi ( invers ) dari f. Fungsi invers dari f dilambangkan dengan f1.
Contoh :
Tentukan inversi fungsi f(x) = x-1
Jawaban :
7. Komposisi Fungsi
Karena fungsi merupakan bentuk khusus dari relasi, kita juga dapat melakukan komposisi
dari dua buah fungsi. Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, dan f
adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi f dan g, dinotasikan dengan f O
g, adalah fungsi dari A dan C yang didefenisikan oleh :
(f O g ) ( a ) = f ( g ( a )).
(6.3)
Latihan :
1. Tuliskan pasangan terurut pada relasi R dari A = { 0,1,2,3,4} ke B = {0,1,2,3} yang
dalam hal ini pasangan terurut ( a, b ) C R jika dan hanya jika a>b.
2. Misalkan R = {(1,2), (2,3), (3,4) dan S = { (1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,1), (3,2), (3,4)
adalah relasi dari { 1,2,3} ke{1,2,3,4}. Tentukan :
a. R ∪ R
b. R ∩ R
c. R – S
d. S – R
e. R ∅ S
3. Tentukan apakah setiap fungsi berikut satu ke satu?
a. Setiap orang di bumi memetakan jumlah usianya.
b. Setiap negara di dunia memetakan letak garis lintang dan garis bujur ibukotanya.
c. Setiap buku yang di tulis oleh pengarangnya memetakan nama pengarangnya.
d. Setiap negara di dunia yang mempunyai presiden memetakan nama presidennya.
e. Setiap mahasiswa STTIKOM IU memetakan komputernya.
4. Misalkan g = {( 1,b), (2,c),(3,a),(4,b)} adalah fungsi dari A = {1,2,3,4} ke B ={a,b,c,d}
dan f = {(a,x), (b,y), (c,w), (d,z)} adalah fungsi dari B ke C = {w,x,y,z}.
a. Tuliskan f O g sebagai himpunan pasangan berurutan.
b. Tuliskan g O f sebagai himpunan pasangan berurutan.
5. Tentukan fungsi invers dari :
a. f ( x ) = x2 + 1
b. f ( x ) =
௫ାଵ
௫ିଶ
Pertemuan : 7
Jumat ....
Materi : MATRIKS
1. Pengantar
Matriks adalah susunan skalar elemen – elemen dalam bentuk baris dan kolom.
Matriks A yang berukuran dari m baris dan n kolom ( m x n ) adalah :
ܽଵଵ
ܽଶଵ
A൦ ⋮
ܽ ௠ଵ
ܽଵଶ … ܽଵ௡
ܽଶଶ … ܽଶ௡
⋮
⋮ ൪
…
ܽ௠ଶ
ܽ௠௡
Matriks diatas dituliskan dengan notasi ringkas A = ൣܽ௜௙ ൧
2. Beberapa Matriks Khusus
a. Matriks diagonal
Matrik diagonal adalah matriks bujur sangkar dengan ܽ௜௙ = 0 untuk i ≠ j.
Dengan kata lain, seluruh elemen yang tidak terdapat pada posisi i ≠ j bernilai 0
Contoh :
Dibawah ini adalah contoh matriks diagonal yang berukuran 3 x 3 :
1 0 0
൥ 0 2 0൩
0 0 3
b. Matriks Identitas
2 0
൥0 0
0 0
0
0൩
−1
Matriks identitas di lambangkan dengan I, adalah matriks diagonal dengan semua elemen
diagonal = 1.
c. Matriks segitiga atas / bawah
Matriks segitiga atas / bawah adalah matriks jika elemen – elemen diatas / di bawah
diagonal 0, yaitu ܽ௜௙ = 0 jika
1
5
൦
6
2
0 0
7 0
0 3
4 −2
0
0
൪
0
6
2
0
൦
0
0
6
3
0
0
6 −4
7 3
൪
0 2
0 8
d. Matriks 0/1 (zero – one )
Matriks 0/1 adalah matriks yang setiap elementnya hanya bernilai 0 dan 1.
3. Matriks transpose
Matriks transpose adalah matriks yang di peroleh dengan mempertukarkan baris - baris dan
kolom – kolom. Misalkan A= ൣܽ௜௙ ൧ berukuran m x n , maka transpose dari matriks A, dituliskan
AT
4. Operasi Aritmetika Matriks
a. Penjumlahan matriks
Dua buah matriks dapat di jumlahkan jika ukuran keeduanya sama.
Misalkan A = ൣܽ௜௙ ൧ dan B = ൣܾ௜௙ ൧ yang masing – masing berukuran m x n. Jumlah A dan B,
dilambangkan dengan A + B, menghasilkan matriks C = ൣܿ௜௙ ൧ yang berukuran m x n, yang
dalam hal ini ܿ௜௙ = ܽ௜௙ + ܾ௜௙ untuk setiap i dan j
Contoh :
Catatan :
1 2 3
1+5
5 6 8
൥0 5 −2൩ + ൥7 −3 9൩ = ൥0 + 7
4 7 8
4+6
6 2 1
2+6
5−3
7+2
3+8
6 8
−2 + 9൩ = ൥ 7 2
8+1
10 9
11
7൩
9
Operasi pengurangan sama dengan operasi penjumlahan, tetapi dengan mengganti operator +
dengan –
b. Perkalian dua buah matriks
Dua buah matriks dapat di kalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah
baris matriks kedua. Misalkan A=ൣܽ௜௙ ൧ adalah matriks m x n dan B= ൣܾ௜௙ ൧ adalah matriks n x p
. Maka, perkalian A dan B , di lambangkan dengan AB, menghasilkan matriks C=ൣܿ௜௙ ൧
Contoh :
Sifat – sifat operasi perkalian matriks :
1. Perkalian matriks tidak komunitatif, yaitu AB ≠BA
2. Hukum asosiatif berlaku pada operasi matriks (AB)C=A(BC)
3. Hukum distributif berlaku pada operasi matriks.
i.
A ( B + C) = AB +AC ( hukum distributive kiri )
ii.
(B + C) A = BA + CA (hukum distributive kanan)
4. Perkalian matriks dengan matriks identitas I tidak mengubah matriks, yaitu AI = IA = A
5. Perpangkatan matriks di defenisikan sebagai berikut : A0 = I, Ak = AA..A
6. A adalah matriks orthogonal jika AAT = AT A =I
5. Perkalian Matriks Dengan Skalar
Misalkan k adalah sebuah skalar. Perkalian matriks A dengan skalar k adalah
mengalikan setiap elemen matriks dengan k
ܽଵଵ
ܽଶଵ
A=൦ ⋮
ܽ ௠ଵ
Contoh :
݇ܽଵଵ
݇ܽ
KA=൦ ଶଵ
⋮
݇ܽ ௠ଵ
ܽଵଶ … ܽଵ௡
ܽଶଶ … ܽଶ௡
⋮
⋮ ൪
…
ܽ௠ଶ
ܽ ௠௡
݇ܽଵଶ …
݇ܽଶଶ …
⋮
…
݇ܽ௠ଶ
݇ܽଵ௡
݇ܽଶ௡
൪
⋮
݇ܽ௠௡
Kasus :
1. Diketahui matriks A yaitu ( 2, 5 ) , ( 3 , 2 ) dan matriks B ( 3 , 1 ) , ( 6 , 4 )
Tentukan :
a. AT
b. BT
c. A + B
d. A2
e. B2
f. AB
g. BA
2. Dari matriks A diatas, buktikan sifat no 6
3. Dapatkah anda mengalikan { ( 1 , 3 ) , ( 2 , -1 ) } dengan { ( 2, 0 , - 4), (3, 2, 6 )}.
4. Tentukan hasil perkalian dari :
{(2,3,4) , (1,2,6),(5,0,-1)} dan {(2,1,0), (4,-2,3), (4,6,1)}