Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real - FMIPA Personal Blogs

Fungsi Variabel Banyak Bernilai Real
Pengantar Fungsi dan Grafik
Wono Setya Budhi
KK Analisis dan Geometri, FMIPA ITB
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
1 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P ),
volume (V ) dan temperatur (T ).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P ),
volume (V ) dan temperatur (T ).
Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P ),
volume (V ) dan temperatur (T ).
Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .
Dengan menuliskan
T
P = (nR )
V
maka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T dan
V.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P ),
volume (V ) dan temperatur (T ).
Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .
Dengan menuliskan
T
P = (nR )
V
maka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T dan
V.
Dalam hal ini T dan V merupakan variabel bebas dan P variabel
yang bergantung pada T dan V .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P ),
volume (V ) dan temperatur (T ).
Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .
Dengan menuliskan
T
P = (nR )
V
maka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T dan
V.
Dalam hal ini T dan V merupakan variabel bebas dan P variabel
yang bergantung pada T dan V .
Di matematika, khususnya di kuliah ini, variabel bebas biasanya
ditulis sebagai x dan y .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Pada termodinamika, terdapat tiga besaran yaitu tekanan (P ),
volume (V ) dan temperatur (T ).
Berdasarkan hukum termodinamika terdapat hubungan PV = nRT .
Dengan menuliskan
T
P = (nR )
V
maka kita dapat melihat bahwa P sebagai fungsi dua variabel T dan
V.
Dalam hal ini T dan V merupakan variabel bebas dan P variabel
yang bergantung pada T dan V .
Di matematika, khususnya di kuliah ini, variabel bebas biasanya
ditulis sebagai x dan y .
Jika z bergantung pada x, y , ditulis
z = f (x, y )
dengan f suatu fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
2 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Jika z bergantung pada x, y , ditulis
z = f (x, y )
dengan f suatu fungsi, artinya
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
3 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Jika z bergantung pada x, y , ditulis
z = f (x, y )
dengan f suatu fungsi, artinya
setiap (x, y ) yang berada di daerah definisi menentukan satu dan
hanya satu nilai z.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
3 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Jika z bergantung pada x, y , ditulis
z = f (x, y )
dengan f suatu fungsi, artinya
setiap (x, y ) yang berada di daerah definisi menentukan satu dan
hanya satu nilai z.
Daerah definisi fungsi f , biasanya, adalah himpunan terbesar sehingga
formula f mempunyai arti.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
3 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Jika z bergantung pada x, y , ditulis
z = f (x, y )
dengan f suatu fungsi, artinya
setiap (x, y ) yang berada di daerah definisi menentukan satu dan
hanya satu nilai z.
Daerah definisi fungsi f , biasanya, adalah himpunan terbesar sehingga
formula f mempunyai arti.
Sudah tentu kita dapat memperkecil daerah definisi fungsi.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
3 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Misalkan diketahui fungsi
z=
x2 − y2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Misalkan diketahui fungsi
z=
x2 − y2
Daerah definisi fungsi adalah semua (x, y ) sehingga x 2 − y 2 ≥ 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Misalkan diketahui fungsi
z=
x2 − y2
Daerah definisi fungsi adalah semua (x, y ) sehingga x 2 − y 2 ≥ 0
Dalam bahasa himpunan
D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Misalkan diketahui fungsi
z=
x2 − y2
Daerah definisi fungsi adalah semua (x, y ) sehingga x 2 − y 2 ≥ 0
Dalam bahasa himpunan
D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
Untuk menggambar, pertama kita menentukan jawab persamaan
x2 − y2 = 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Misalkan diketahui fungsi
z=
x2 − y2
Daerah definisi fungsi adalah semua (x, y ) sehingga x 2 − y 2 ≥ 0
Dalam bahasa himpunan
D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
Untuk menggambar, pertama kita menentukan jawab persamaan
x2 − y2 = 0
yaitu
y = x dan y = −x
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
4 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Grafik dari D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Grafik dari D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
4
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Grafik dari D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
4
y =x
3
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Grafik dari D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
4
y =x
3
y=-x
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Grafik dari D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
4
y =x
3
y=-x
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5 / 19
Fungsi Dua Variabel
Fungsi Dua Variabel
Grafik dari D = (x, y ) : x 2 − y 2 ≥ 0
4
y =x
3
y=-x
2
1
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
−1
−2
−3
−4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5 / 19
Fungsi Dua Variabel
Grafik Fungsi Dua Variabel
Grafik fungsi z = f (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6 / 19
Fungsi Dua Variabel
Grafik Fungsi Dua Variabel
Grafik fungsi z = f (x, y )
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6 / 19
Fungsi Dua Variabel
Grafik Fungsi Dua Variabel
Grafik fungsi z = f (x, y )
(x, y , 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6 / 19
Fungsi Dua Variabel
Grafik Fungsi Dua Variabel
Grafik fungsi z = f (x, y )
(x,y,f(x,y))
(x, y , 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6 / 19
Fungsi Dua Variabel
Grafik Fungsi Dua Variabel
Grafik fungsi z = f (x, y )
(x,y,f(x,y))
(x, y , 0)
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
6 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x 2 + y 2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
7 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x 2 + y 2
Kita dapat menyelidikinya melalui fungsi dengan variabel lebih sedikit,
yaitu dengan mengambil satu variabel bergerak dan lainnya konstan.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
7 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x 2 + y 2
Kita dapat menyelidikinya melalui fungsi dengan variabel lebih sedikit,
yaitu dengan mengambil satu variabel bergerak dan lainnya konstan.
Kemudian, kita menggunakan pengetahuan tentang fungsi satu
variabel.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
7 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x 2 + y 2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x 2 + y 2
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x 2 + y 2
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel Lain
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x 2 + y 2
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel Lain
Menggambar Grafik Fungsi Macam2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan, kita akan menggambar grafik z = x 2 + y 2
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel Lain
Menggambar Grafik Fungsi Macam2
Masalah Panas
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
8 / 19
Fungsi Dua Variabel
Cara Lain Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan kita akan menggambar f (x, y ) = cos x + cos y
12
10
8
6
4
2
0
0
2
4
6
8
10
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12
9 / 19
Fungsi Dua Variabel
Cara Lain Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Misalkan kita akan menggambar f (x, y ) = cos x + cos y
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
10 / 19
Fungsi Dua Variabel
Cara Lain Menggambar Grafik Fungsi Dua Variabel
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
11 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Permukaan Ketinggian Fungsi 3 Variabel
Misalkan, kita akan mempunyai fungsi
f (x, y , z ) = z 2 − x 2 − y 2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 19
Fungsi Dua Variabel
Menggambar Permukaan Ketinggian Fungsi 3 Variabel
Misalkan, kita akan mempunyai fungsi
f (x, y , z ) = z 2 − x 2 − y 2
Menggambar Permukaan Ketinggian Tiga Variabel
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
12 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Misalkan a ∈ R, dan > 0, maka semua bilangan di
{x : |x − a | < }
dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Misalkan a ∈ R, dan > 0, maka semua bilangan di
{x : |x − a | < }
dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar .
Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari > 0 dengan
pusat a.
c
a 1
2
3
4
5
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Misalkan a ∈ R, dan > 0, maka semua bilangan di
{x : |x − a | < }
dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar .
Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari > 0 dengan
pusat a.
c
a 1
2
3
4
5
Himpunan di atas dapat ditulis sebagai interval
a− < x < a+
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Misalkan a ∈ R, dan > 0, maka semua bilangan di
{x : |x − a | < }
dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar .
Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari > 0 dengan
pusat a.
c
a 1
2
3
4
5
Himpunan di atas dapat ditulis sebagai interval
a− < x < a+
Di R2 , himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Misalkan a ∈ R, dan > 0, maka semua bilangan di
{x : |x − a | < }
dapat dihampiri oleh a dengan kesalahan sebesar .
Himpunan ini disebut sebagai lingkungan berjari-jari > 0 dengan
pusat a.
c
a 1
2
3
4
5
Himpunan di atas dapat ditulis sebagai interval
a− < x < a+
Di R2 , himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.
Misalkan (a, b ) ∈ R2 , lingkungan dengan jari-jari > 0 dan pusat
(a, b ) adalah
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri,
FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
13 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Misalkan a ∈ R, dan > 0, maka semua bilangan di
{x : |x − a| < } atau −a − < x < a + dapat dihampiri oleh a
dengan kesalahan sebesar .
Di R2 , himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
14 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Misalkan a ∈ R, dan > 0, maka semua bilangan di
{x : |x − a| < } atau −a − < x < a + dapat dihampiri oleh a
dengan kesalahan sebesar .
Di R2 , himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.
Misalkan (a, b ) ∈ R2 , lingkungan dengan jari-jari > 0 dan pusat
(a, b ) adalah
2
2
(x, y ) | (x − a) + (y − b ) < merupakan cakram berjari-jari dan pusat (a, b ).
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
14 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Misalkan a ∈ R, dan > 0, maka semua bilangan di
{x : |x − a| < } atau −a − < x < a + dapat dihampiri oleh a
dengan kesalahan sebesar .
Di R2 , himpunan sejenis di atas mempunyai bentuk sebagai berikut.
Misalkan (a, b ) ∈ R2 , lingkungan dengan jari-jari > 0 dan pusat
(a, b ) adalah
2
2
(x, y ) | (x − a) + (y − b ) < merupakan cakram berjari-jari dan pusat (a, b ).
c
v
1
2
u
(
a,
b
)
3
4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
5
14 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
15 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
C
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
15 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
C
A
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
15 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
D
C
A
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
15 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
D
C
A
Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap , disk
D (x0 , ) ∩A = φ dan D (x0 , ) ∩Ac = φ
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
15 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
D
C
A
Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap , disk
D (x0 , ) ∩A = φ dan D (x0 , ) ∩Ac = φ
Titik x0 disebut titik dalam dari himpunan A, jika ada > 0,
sehingga D (x0 , ) ⊂ A.
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
15 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
D
C
A
Titik x0 disebut titik batas dari himpunan A, jika untuk setiap , disk
D (x0 , ) ∩A = φ dan D (x0 , ) ∩Ac = φ
Titik x0 disebut titik dalam dari himpunan A, jika ada > 0,
sehingga D (x0 , ) ⊂ A.
Titik x0 disebut titik luar dari himpunan A, jika ada > 0, sehingga
D (x0 , ) ⊂ Ac .
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
15 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
Example
Misalkan D = {(x, y ) : 0 ≤ x < 1}
Carilah semua titik dalam himpunan D.
Solution
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
16 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
Example
Misalkan D = {(x, y ) : 0 ≤ x < 1}
Carilah semua titik dalam himpunan D.
Carilah semua titik batas himpunan D.
Solution
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
16 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Titik Dalam, Titik Batas dan Titik Luar
Example
Misalkan D = {(x, y ) : 0 ≤ x < 1}
Carilah semua titik dalam himpunan D.
Carilah semua titik batas himpunan D.
Solution
6
4
2
F
E
2
4
0.2 0.4 0.6 0.8 1.0
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
16 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Definition
Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalah
titik dalam.
Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
17 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Definition
Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalah
titik dalam.
Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn
Bola di R berpusat di x0 dengan jari-jari > 0 adalah
{ x : | x − x0 | < }
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
17 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Definition
Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalah
titik dalam.
Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn
Bola di R berpusat di x0 dengan jari-jari > 0 adalah
{ x : | x − x0 | < }
Bola di R2 berpusat di (x0 , y0 ) dengan jari-jari > 0 adalah
2
2
(x, y ) : |x − x0 | + |y − y0 | < Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
17 / 19
Fungsi Dua Variabel
Himpunan Buka
Definition
Himpunan D ⊂ R2 disebut himpunan buka jika setiap titik di D adalah
titik dalam.
Konsep ini dengan mudah dapat diperluas di Rn
Bola di R berpusat di x0 dengan jari-jari > 0 adalah
{ x : | x − x0 | < }
Bola di R2 berpusat di (x0 , y0 ) dengan jari-jari > 0 adalah
2
2
(x, y ) : |x − x0 | + |y − y0 | < Bola di R3 berpusat di (x0 , y0 , z0 ) dengan jari-jari > 0 adalah
2
2
2
(x, y ) : |x − x0 | + |y − y0 | + |z − z0 | < Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
17 / 19
Fungsi Dua Variabel
Titik Limit
Definition
Titik x0 disebut titik limit dari himpunan K jika untuk setiap > 0,
cakram
D ( x0 , ) ∩ K = φ
0.4
0.2
−0.4−0.2
−0.2
0.2 0.4
−0.4
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
18 / 19
Fungsi Dua Variabel
Titik Limit
Definition
Titik x0 disebut titik limit dari himpunan K jika untuk setiap > 0,
cakram
D ( x0 , ) ∩ K = φ
0.2
−0.2
0.2
−0.2
Wono Setya Budhi (KK Analisis dan Geometri, FMIPA
FungsiITB)
Variabel Banyak Bernilai Real
19 / 19