Pertemuan 2 VOLUME BENDA PUTAR Misalkan fungsi kontinu

Pertemuan 2
VOLUME BENDA PUTAR
Misalkan
fungsi kontinu sedemikian rupa sehingga
Perhatikan daerah
Jika
untuk
di bawah grafik , di atas sumbu , dan antara
putar mengelilingi sumbu
dan
.
, benda pejal yang dihasilkan adalah benda pejal
hasil putaran. Pembentukan daerah
untuk beberapa benda pejal yang lazim
diperlihatkan dalam Gambar 1.
Rumus Cakram.
Volume
dari benda pejal hasil putaran yang diperoleh dengan memutar bidang
Gambar -1 mengelilingi sumbu
dari
diberikan oleh persamaan
Lihat soal 9 untuk mensketsa bukti dari rumus tersebut.
Demikian pula, bila sumbu rotasi adalah sumbu
antara sumbu
maka volume
dan kurva
dan antara
dan bidang yang diputar terletak
dan
(lihat Gambar -3),
benda pejal hasil putaran diberikan oleh rumus berikut:
(a) Kerucut
Gambar -1
(b) Tabung
(c) Bola
Gambar -2
5
Contoh 1:
Hitung volume benda pejal yang dibatasi parabola
sumbu
dan garis
mengelili
(Lihat Gambar -3). Menurut rumus cakram, volumenya adalah
Contoh 2:
Hitung volume benda pejal yang dibatasi oleh parabola
dan
mengelilingi sumbu
dan garis-garis
(Lihat Gambar -4).
Gambar -3
Gambar -4
Metode Cincin
Asumsikan
bahwa
untuk
Perhatikan daerah antara
dan
dan terletak antara
dan
(Lihat
Gambar 30-6). Maka volume
dari benda pejal hasil
putaran yang diperoleh dengan memutar daerah
tersebut mengelilingi sumbu diberikan oleh rumus
Gambar -5
6
Justifikasinya jelas. Volume yang dikehendaki adalah selisih dari dua volume,
volume
dari benda pejal hasil putaran yang dibentuk dengan memutar
daerah di bawah
mengelilingi sumbu
dan volume
dari benda
pejal hasil putaran yang dibentuk dengan memutar daerah di bawah
mengelilingi sebuah sumbu
Rumus serupa
Berlaku bila daerah terletak antara dua kurva
dan
dan diputar mengelilingi sumbu
dan
dan antara
(Diasumsikan bahwa
untuk
Contoh 3:
Perhatikan benda pejal hasil putaran yang diperoleh dengan memutar daerah yang
dibatasi oleh kurva-kurva
dan
mengelilingi sumbu
(Daerah
yang sama seperti dalam Gambar -4). Di sini kurva sebelah atas adalah
kurva sebelah bawah adalah
dan
Maka, menurut rumus cincin,
Metode Kulit Tabung
Perhatikan benda pejal hasil putaran yang
diperoleh dengan memutar daerah
dalam
kuadran pertama antara sumbu
dan terletak antara
mengelilingi sumbu
dan kurva
dan
(Lihat Gambar 30-7).
Gambar -6
7
Maka volume benda pejal diberikan oleh persamaan:
Lihat soal 10 untuk pembuktian rumus ini.
Rumus serupa berlaku bila peran
perama antara sumbu
dan
dan kurva
ditukar, yaitu daerah
dan terletak antara
dalam kuadran
dan
,
diputar mengelilingi sumbu
Contoh 4:
Putar daerah di atas sumbu
mengelilingi sumbu
dan di bawah
dan antara
dan
Menurut rumus kulit tabung, benda pejal yang dihasilkan
mempunyai volume
Catat bahwa volume dapat juga dihitung dengan rumus cincin, tetapi perhitungan akan
lebih rumit.
Perbedaan Rumus Kulit
Asumsikan bahwa
pada interval
dengan
adalah daerah dalam kuadran pertama antara kurva
dan
memutar
dan
Misalkan
dan antara
. Maka volume benda pejal hasil putaran yang diperoleh dengan
mengelilingi sumbu
diberikan oleh persamaan:
Hal ini secara jelas diperoleh dari rumus kulit tabung karena volume yang dikehendaki
adalah selisih dua volume yang diperoleh dengan rumus kulit tabung. Catat bahwa
rumus serupa berlaku bila peran dan ditukar.
Contoh 5:
8
Perhatikan daerah dalam kuadran pertama yang dibatasi di atas oleh
oleh
dan terletak antara
dan
di bawah
. Bila diputar mengelilingi sumbu
,
daerah ini menghasilkan benda pejal hasil putaran yang volumenya, menurut selisih
rumus kulit, adalah
Rumus Potongan Melintang (Rumus Mengiris)
Asumsikan bahwa suatu benda
pejal terletak seluruhnya antara
bidang tegak lurus dengan sumbu
di
dan bidang tegak lurus
dengan sumbu
tiap
di
. Untuk
sedemikian rupa sehingga
asumsikan
bahwa
Gambar -7
bidang tegak lurus terhadap sumbu
di mana nilai memotong benda pejal itu dalam daerah
. Lihat Gambar -7. Maka
volume
benda pejal itu diberikan oleh persamaan
Untuk pembuktian, lihat soal 11.
Contoh 6:
Asumsikan setengah potong sosis dengan
panjang
sedemikian rupa sehingga potongan
melintang yang tegak lurus pada sumbu sosis
berjarak dari ujung
adalah lingkaran dengan
jari-jari
(Lihat Gambar 30-9). Maka, luas
dari potongan melintang adalah
Gambar -8
Jadi, rumus potong melintang
menghasilkan
9
Soal-Soal Latihan
1. Tentukan volume kerucut yang mempunyai tinggi
dan alasnya berjari-jari
.
Dan tentukan volume kerucut dengan rumus integral benda putar dengan tinggi 10
dan jari-jari 3.
2. Tentukan volume silinder dengan tinggi
dan jari-jari
3. Tentukan volume bola berjari-jari
4. Misalkan
adalah daerah sumbu
dan garis
(Lihat Gambar -9).
kurva
a. Tentukan volume benda pejal yang diperoleh
dengan memutar mengelilingi sumbu
b. Tentukan volume benda pejal yang diperoleh
dengan memutar mengelilingi sumbu
Gambar -9
5. Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan
memutar daerah di kuadran pertama di dalam lingkaran
, dan antara
dan
(di mana
) mengelilingi sumbu . Lihat Gambar -10. (Benda
pejal tersebut adalah “polar cap” dari bola berjari-jari .)
Gambar -10
6. Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan memutar daerah dalam
kuadran pertama yang dibatasi di atas oleh parabola
dan di bawah oleh
parabola
mengelilingi sumbu . (Lihat Gambar -11).
10
7. Perhatikan daerah
yang dibatasi oleh parabola
dan garis
dan
(Lihat Gambar -4). Tentukan volume benda pejal yang diperoleh dengan
memutar
mengelilingi garis
8. Seperti dalam Soal 7, perhatikan daerah
garis
dan
yang dibatasi oleh parabola
dan
. (Lihat Gambar -4.) Tentukan volume benda pejal yang
diperoleh dengan memutar
mengelilingi garis
9. Sebuah benda pejal mempunyai alas lingkaran berjari-jari 4 satuan. Tentukan
volume benda pejal jika tiap potongan bidang yang tegak lurus pada diameter tetap
tertentu adalah segitiga sama sisi.
10. Sebuah benda pejal mempunyai alas berbentuk elips dengan sumbu mayor 10 dan
sumbu minor 8. Tentukan volumenya jika tiap potongan yang tegak lurus pada
sumbu mayor adalah segitiga sama kaki dengan tinggi 6.
11