Penerapan Barisan dan Deret
advertisement
MODAL AWAL ATAU PINJAMAN Jumlah uang yang dipinjamkan atau diinvestasikan di bank disebut modal awal atau pinjaman pokok(principal) BUNGA merupakan suatu balas jasa yang dibayarkan bilamana kita menggunakan uang Bunga dilihat dari satu pihak merupakan pendapatan tetapi di lain pihak merupakan biaya. Di pihak yang meminjamkan merupakan pendapatan, sedang di pihak yang meminjam merupakan biaya Misalkan investasi = P rupiah suku bunga tahunan = i pendapatan bunga pada akhir tahun pertama adalah = Pi Sehingga nilai akumulasi tahun pertama adalah P + Pi Pada akhir tahun kedua : P+P(2i) Pada akhir tahun ketiga : P + P(3i) Demikian seterusnya sampai pada akhir tahun ke n nilai akumulasinya : P+P(ni) Jadi pendapatan hanya didapatkan dari modal awal saja setiap akhir tahun Nilai dari pendapatan bunga ini tetap setiap tahunnya. Maka Bunga Sederhana: I = Pin Dengan I = Jumlah pendapatan bunga P = Pinjaman pokok atau jumlah investasi i = tingkat bunga tahunan n = jumlah tahun Nilai dari modal awal pada akhir periode ke n (Fn )adalah jumlah dari modal awal P ditambah pendapatan bunga selama periode waktu ke –n Fn = P + Pin Hitunglah pendapatan bunga sederhana dan berapa nilai yang terakumulasi di masa datang dari jumlah uang sebesar Rp. 12.000.000 yang diinvestasikan di Bank selama 4 tahun dengan bunga 15% per tahun Jawab Diketahui : P = Rp. 12.000.000; n = 4; I = 0.15 I = Pin I = Rp. 12.000.000 (4)(0.15) = Rp. 7.200.000 Nilai yang terakumulasi di masa datang pada tahun ke-4 adalah Fn = P + Pin = Rp. 12.000.000 + 7.200.000 = Rp. 19.200.000 Misalkan suatu investasi dari P rupiah pada tingkat bunga I per tahun, maka pendapatan bunga pada tahun pertama adalah Pi, Selanjutnya nila investasi ini pada akhir tahun pertama akan menjadi P + Pi = P (1 + i) Hasil dari P(1+i) dianggap sebagai modal awal pada permulaan tahun kedua dan pendapatan bunga yang diperoleh adalah P(1+i)I Sehingga hasil nilai investasi pada akhir tahun kedua adalah P(1+i) + P(1+i)I = P+Pi+Pi+Pii = P(1+2+i2) = P(1+i)2 Selanjutnya hasil dari P(1+i)2 dianggap sebagai modal awal pada permulaan tahun ketiga dan pendapatan bunga yang diperoleh P(1+i)2i, Sehingga total investasi tahun ketiga adalah P(1+i)2 + P(1+i)2i = P(1+i)2(1+i) =P(1+i)3 Demikian seterusnya sampai n sehingga rumusnya adalah Fn = P(1+i)n dimana Fn = Nilai masa datang P = Nilai sekarang i = bunga per tahun n = jumlah tahun Jika Bapak James mendepositokan uangnya di Bank sebesar rp. 5.000.000 dengan tingkat bunga yang belaku 12 presen per tahun dimajemukkan, berapa nilai total deposito Bapak James pada akhir tahun ketiga? Berapa banyak pula pendapatan bunganya Penyelesaian : Diketahui P = Rp. 5.000.000; i=0.12 per tahun n=3 Fn = P(1+i)n F3 = Rp. 5.000.000 (1+0.12)3 = Rp 5.000.000(1,12)3 =Rp. 7.024.640 Jika pembayaran bunga lebih dari satu kali dalam setahun melainkan m kali, maka nilai masa datangnya adalah 𝑖 𝑛 .(𝑚) 𝐹𝑛 = 𝑃 1 + 𝑚 Di mana Fn = Nilai masa datang P = Nilai sekarang i = tingkat suku bunga m = periode pembayaran n = jumlah tahun Nona Arfina ingin menabung uangnya Rp. 1.500.000 di bank dengan tingkat suku bunga yang berlaku 15% per tahun . Berapakah nilai uangnya dimasa datang setelah 10 tahun kemudian, jika dibunga-majemukkan secara : a. Semesteran c. Bulanan b. Kuartalan d. Harian Penyelesaian Diketahui: P= Rp. 1.500.000; I =0,15 pertahun; n=10 a. Pembayaran bunga majemuk semesteran (m=2) 0,15 (10)(2) + 2 𝐹10 = 1.500.000 1 =Rp. 6.371776,65 = 1.500.000 1,075 20 b. Pembayaran bunga majemuk kuartalan (m=4) 𝐹10 = 1.500.000 1 + 0,15 (10)(4) 4 = 1.500.000 1,0375 40 = Rp. 6.540.568,14 c. Pembayaran bunga majemuk bulanan (m=12) 0,15 (10)(12) + 12 𝐹10 = 1.500.000 1 = 1.500.000 1,0125 =Rp. 6.660319,85 d. Pembayaran bunga majemuk harian (m=365) 𝐹10 = 1.500.000 1 + 0,15 (10)(365) 365 = Rp. 6.720.458,94 120 = 1.500.000 1,0004 365 Nilai sekarang dengan bunga majemuk dari suatu nilai masa datang adalah 𝐹𝑛 1 𝑃= 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃 = 𝐹𝑛 1+𝑖 𝑛 1+𝑖 𝑛 Di mana P = Nilai sekarang Fn = Nilai masa datang i = bunga per tahun n = jumlah tahun Jika frekuensi pembayaran bunga dalam setahun adalah m kali, maka rumus untuk menghitung nilai sekarang adalah 𝐹𝑛 1 𝑃= 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝑃 = 𝐹𝑛 (𝑛)(𝑚) 𝑖 𝑖 (𝑛)(𝑚) 1+ 1+ 𝑚 𝑚 Bapak Vecky seorang pengusaha berharap lima tahun kemudian akan mendapatkan laba dari usahanya sebanyak Rp. 25.000.000. Jika tingkat bunga yang berlaku saat ini 12 persen per tahun dan dibayarkan secara kuartal, berapakah jumlah laba Bapak vecky saat ini? Penyelesaian Diketahui F5 = Rp. 25.000.000; i=0,12 pertahun; m=4; n=5 𝐹𝑛 𝑃= 𝑖 (𝑛)(𝑚) 1+ 𝑚 𝑃= 25.000.000 0,12 5 (4) 1+ 4 = 25.000.000 =Rp. 1,03 20 13.841.903,32 Nona Elly merencanakan uang tabungannya di Bank pada tahun ketiga akan berjumlah Rp. 30.000.000. Tingkat bunga yang berlaku 15% per tahun. Berapakah jumlah uang tabungan Nona Elly saat ini Penyelesaian Diketahui: F3 = 30.000.000; i=0,15;n=3 𝐹𝑛 30.000.000 30.000 𝑃= = = 𝑛 3 1+𝑖 1 + 0,15 1,153 = Rp. 19.725.486,97 Pada ulang tahun ke 20 , Trinita memperoleh hadiah uang sebesar Rp 10.000.000,- sebagai hasil dari tabungan ayahnya semenjak Trinita dilahirkan. Berapa besarnya uang yang ditabungkan ayahnya pada saat dia lahir jika tingkat bunga tabungan 6% ( bunga majemuk)? Seorang sales investasi dari bank A ingin menawarkan program investasi dengan tingkat suku bunga majemuk 10 %. Diketahui dana pension Y memiliki dana Rp 300.000.000,- yang dapat diinvestasikan selama 5 tahun. Tentukan jumlah pengembalian investasi dana pensiun Y dari program investasi bank A, jika suku bunga tersebut dimajemukkan secara : bulan semester Jika nilai nominalnya sama, uang yang dimiliki saat ini lebih berharga daripada uang yang akan diterima di masa yang akan datang Lebih baik menerima Rp 1 juta sekarang daripada menerima uang yang sama 1 tahun lagi Lebih baik membayar Rp 1 juta 1 tahun lagi daripada membayar uang yang sama sekarang Nilai yang akan datang (future value) Nilai sekarang (present value) Nilai yang akan datang dari anuitas (future value of an annuity) Nilai sekarang dari anuitas (present value of an annuity) Uang Rp 1.000, ditabung dengan tingkat bunga 10% per tahun Setelah 1 tahun, uang tsb akan menjadi: Rp 1.000 + (10% x Rp 1.000) = Rp 1.100 Setelah 2 tahun, uang tsb akan menjadi: Rp 1.100 + (10% x Rp 1.100) = Rp 1.210 Catatan: bunga tahun pertama ditambahkan ke pokok tabungan (bunga majemuk) Setelah 3 tahun, uang tsb akan menjadi: Rp 1.210 + (10% Rp 1.210) = Rp 1.331 Dan seterusnya… Jika… ◦ ◦ ◦ ◦ P = uang tabungan/investasi awal i = tingkat bunga n = periode menabung/investasi F = uang yg akan diterima di akhir periode Maka… F P 1 i n Future value factor Nilai yang akan datang (F) = jumlah yang akan terakumulasi dari investasi sekarang untuk n periode pada tingkat bunga i Jika bunga diperhitungkan setiap 6 bulan (½ tahun), maka: i F P 1 2 n2 Jika bunga diperhitungkan setiap 3 bulan (triwulan), maka: i F P 1 4 n4 Jika bunga diperhitungkan setiap bulan, maka: n12 i F P 1 12 Jika tingkat bunga berubah-ubah (thn ke-1 = 10%, thn ke-2 = 12%, thn ke-3 = 14%), maka nilai dari uang Rp 1.000 yg diterima sekarang pd akhir thn ke-3 adalah… F 1.000 1 10% 1 12% 1 14% 1 1 1 1.404 Jika tingkat bunga thn ke-1 = 10%, thn ke-2 = 12%, thn ke-3 s/d ke-5 = 14%), maka nilai dari uang Rp 1.000 yg diterima sekarang pada akhir thn ke-5 adalah… 1 1 3 F 1.000 1 10% 1 12% 1 14% 1.825 Kebalikan dari nilai yang akan datang Rumus diturunkan dari rumus nilai yang akan datang: F P 1 i n 1 PF n 1 i Present value factor/ discount factor Discount rate Nilai sekarang (P) = nilai sekarang dr suatu jumlah di masa depan yang akan diterima di akhir periode n pada tingkat bunga i Jika diketahui tingkat bunga thn ke-1 = 10%, thn ke2 = 12%, dan thn ke-3 = 14%, maka nilai sekarang dari uang Rp 1.404 yg akan diterima 3 thn dari sekarang adalah… 1 1 1 P 1.404 1 10% 1 1 12% 1 1 14%1 1.000 Jika diketahui tingkat bunga thn ke-1 = 10%, thn ke2 = 12%, dan thn ke-3 s/d ke-5 = 14%, maka nilai sekarang dari uang Rp 1.825 yg akan diterima 5 thn 1 1 1 dari sekarang adalah… P 1.825 1 10%1 1 12%1 1 14%3 1.000 Anuitas = sejumlah uang yang dibayar atau diterima secara periodik dengan jumlah yg sama dalam jangka waktu tertentu Sifat anuitas: ◦ Jumlah pembayaran tetap/sama (equal payments) ◦ Jarak periode antar angsuran sama (equal periods between payments) ◦ Pembayaran pertama dilakukan pada akhir periode pertama (in arrears) Uang Rp 1.000 diterima secara rutin (tiap akhir tahun) selama 4 tahun, semuanya ditabung dengan tingkat bunga 10% per tahun Pada akhir tahun ke-4, uang yang diterima pada akhir tahun ke-1 akan menjadi: 3 Rp 1.000 x (1 + 10%) = Rp 1.331 Pada akhir tahun ke-4, uang yang diterima pada akhir tahun ke-2 akan menjadi: Rp 1.000 x (1 + 10%)2 = Rp 1.210 Pada akhir tahun ke-4, uang yang diterima pada akhir tahun ke-3 akan menjadi: Rp 1.000 x (1 + 10%)1 = Rp 1.100 Pada akhir tahun ke-4, uang yang diterima pada akhir tahun ke-4 akan menjadi: Rp 1.000 x (1 + 10%)0 = Rp 1.000 Catatan: uang tersebut belum sempat dibungakan (karena diterima di akhir tahun) Dengan demikian, pada akhir tahun ke-4, jumlah seluruh uang yang diterima akan menjadi: Rp 1.331 + Rp 1.210 + Rp 1.100 + Rp 1.000 = Rp 4.641 Yang dimaksud dengan nilai yang akan datang dari anuitas adalah jumlah keseluruhan uang tersebut (Rp 4.641) Jika… ◦ Sn = nilai yg akan datang dr anuitas selama n periode ◦ A = anuitas Maka… 1 i A n Sn 1 Future value annuity factor i Nilai yg akan datang dr anuitas (Sn) = akumulasi nilai dari pembayaran periodik selama n periode pada Nilai yang akan datang dari anuitas Rp 1.000 yang diterima tiap akhir tahun selama 4 tahun, semuanya ditabung dengan tingkat bunga 10% per tahun, adalah (dengan rumus)… 4 1 10% 1 S 4 1.000 10% 0,4641 1.000 10% 4.641 Jika jumlah uang dan/atau tingkat bunga berubah-ubah, rumus tersebut tidak dpt digunakan (hrs dihitung satu per satu dgn rumus nilai yang akan datang) Uang Rp 1.000 diterima secara rutin (tiap akhir tahun) selama 4 tahun mendatang, semuanya didiskonto dengan tingkat diskonto 10% per tahun Nilai sekarang uang yang akan diterima pada akhir tahun ke-1 adalah: 1 P 1.000 909 1 1 10% Nilai sekarang uang yang akan diterima pada akhir tahun ke-2 adalah: P 1.000 1 826 2 1 10% Nilai sekarang uang yang akan diterima pada akhir tahun ke-3 adalah: 1 P 1.000 751 3 1 10% Nilai sekarang uang yang akan diterima pada akhir tahun ke-4 adalah: 1 683 4 1 10% Dengan demikian, jumlah nilai P 1.000 sekarang dari seluruh uang yang diterima (anuitas) adalah: Rp 909 + Rp 826 + Rp 751 + Rp 683 = Rp 3.170 Jika… Maka… ◦ P = nilai sekarang dr anuitas yg diterima selama n periode 1 i 1 P A n 1 i i n Present value annuity factor Nilai sekarang dr anuitas (P) = nilai sekarang dari sejumlah pembayaran dengan jumlah tetap yang akan diterima tiap akhir periode selama n periode pada tingkat bunga i per periode Nilai sekarang dari anuitas Rp 1.000 yang akan diterima tiap akhir tahun selama 4 tahun mendatang, semuanya didiskonto dengan tingkat bunga 10% per tahun, adalah (dengan rumus)… 4 1 10% 1 P 1.000 1 10% 4 10% 0,4641 1.000 0,1464 3.170 Jika jumlah uang dan/atau tingkat bunga berubah-ubah, rumus tersebut tidak dpt digunakan (hrs dihitung satu per satu dgn rumus nilai sekarang) Anuitas – angsuran hutang (A) = pembayaran yang diperlukan selama n periode pada tingkat bunga i per periode untuk mengangsur sejumlah uang atau hutang yang diperoleh sekarang Rumus: 1 i i A P n 1 i 1 Digunakan dlm perhitungan KPR – utk n Mortgage constant (MC) menghitung jumlah angsuran + bunga per periode Anuitas – cadangan penggantian (A) = jumlah yang harus diinvestasikan tiap periode pada tingkat bunga i untuk mencapai jumlah yang diinginkan pada akhir periode n Rumus: i A Sn n 1 i 1 Sinking fund factor (SFF) Digunakan dlm penilaian dengan pendekatan pendapatan – untuk menghitung cadangan penggantian Berapa jumlah nilai kini atas pendapatan yang diperoleh diakhir tahun pertama sebesar Rp 300 juta , akhir tahun ke dua Rp 400 juta dan akhir tahun ke tiga Rp 500 juta , bila suku bunga deposito diasumsikan akan tetap selama 3 tahun yaitu sebesar 12 % . Berapa jumlah nilai kini atas pendapatan yang diperoleh diakhir tahun pertama sebesar Rp 300 juta , akhir tahun ke dua Rp 400 juta dan akhir tahun ke tiga Rp 500 juta , bila suku bunga deposito diasumsikan tahun pertama dan kedua adalah sebesar 12 % , sedangkan tahun ke 3 adalah sebesar 15 % . Bila setiap tahun uang yang pasti akan kita diterima adalah Rp 10.000.000,00 , selama kita hidup , berapa nilai uang tersebut kalau kita terima saat kita berusia 45 tahun . Bila bunga atas obligasi pemerintah adalah 10 % . Bila setiap tahun uang yang mungkin akan kita diterima adalah Rp 10.000.000,00 , selama kita hidup , berapa nilai uang tersebut kalau kita terima saat kita berusia 45 tahun . Bila bunga atas obligasi pemerintah adalah 10 % sedang resiko atas tidak tercapainya jumlah tersebut diperkirakan sebesar 4 % Seseorang akan membeli tanah dengan 4 ( empat ) pilihan pembayaran sebagai berikut : * Dibayar tunai saat ini sebesar Rp 1,5 Milyar * Dibayar 3 tahun mendatang sebesar Rp 2,4 Milyar . * Dibayar cicilan dengan cicilan tahun pertama Rp 500 juta , tahun kedua Rp 750 juta , tahun ketiga Rp 1 milyar ( dibayar diakhir tahun ). * Dibayar cicilan dengan cicilan tetap diawal tahun selama 3 tahun , sebesar Rp 600 juta Bila bunga deposito diasumsikan 18 % per tahun , mana diantara cara pembayaran diatas yang dipilih. ( catatan : sifat investasi tanah diabaikan ) .
