BAB II KAJIAN PUSTAKA 2.1 Hakikat Kemampuan

BAB II
KAJIAN PUSTAKA
2.1 Hakikat Kemampuan Mengurang Bilangan Bulat
2.1.1 Pengertian Kemampuan
Kemampuan adalah kapasitas seorang individu untuk melakukan beragam
tugas dalam suatu pekerjaan. Kemampuan juga dapat diartikan sebuah penilaian
terkini atas apa yang dapat dilakukan seseorang. Menurut Zain (dalam Yusdi
2010:10), mengartikan bahwa kemampuan adalah kesanggupan, kecakapan,
kakuatan kita berusaha dengan diri sendiri. Sedangkan Sinaga dan Hadiati
(2001:34) mendefenisikan kemampuan sebagai suatu dasar seseorang yang
dengan sendirinya berkaitan dengan pelaksanaan pekerjaan secara efektif atau
sangat berhasil.
Sementara itu, Robbin (2007:57) kemampuan berarti kapasitas seseorang
individu unutk melakukan beragam tugas dalam suatu pekerjaan. lebih lanjut
Robbin menyatakan bahwa kemampuan (ability) adalah sebuah penilaian terkini
atas apa yang dapat dilakukan seseorang. Pada dasarnya kemampuan terdiri atas
dua kelompok faktor yaitu :
1) Kemampuan intelektual (intelectual ability) yaitu kemampuan yang
dibutuhkan untuk melakukan berbagai aktifitas mental-berfikir, menalar
dan memecahkan masalah.
2) Kemampuan fisik (physical ability) yaitu kemampuan melakukan tugastugas yang menuntut stamina, keterampilan, kekuatan, dan karakteristik
serupa.
5
Berdasarkan uraian tersebut dapat disimpulkan bahwa kemampuan adalah
kecakapan atau potensi seseorang individu untuk menguasai keahlian dalam
melakukan atau mengerrjakan beragam tugas dalam suatu pekerjaan atau suatu
penilaian atas tindakan seseorang.
2.1.2 Kemampuan Mengurang Bilangan Bulat
Mengurang bilangan bulat merupakan salah satu bagian materi ajar pada
pembelajaran matematika di sekolah dasar. Menurut Gagne (dalam Aisyah,
2007:3-2) mengemukakan ada dua macam objek yang dipelajari dalam
matematika. Kedua obyek yaitu pertama obyek langsung, yakni fakta,
keterampilan, konsep dan prinsip. Sedang objek tak langsung adalah tranfer
belajar, kemampuan menyelidiki dan kemampuan memecahkan masalah.
Berdasarkan pandangan di atas, maka yang dimaksud dengan kemampuan
mengurang bilangan bulat dalam penelitian ini meliputi :
a. Kemampuan
langsung
dalam
hal
menguasai
fakta,
memiliki
keterampilan, memahami konsep serta menggunakan prinsip-prinsip
yang ada dalam melakukan pengurangan bilangan bulat
b. Kemampuan
tidak
langsung
diperoleh
siswa
dalam
proses
pembelajaran yang berupa transfer belajar, kemampuan menyelidiki
dan kemampuan memecahkan masalah yang berhubungan dengan
materi pengurangan bilangan bulat.
6
2.1.3 Hakikat Pengurangan Bilangan Bulat
a. Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah penggabungan dari bilangan-bilangan cacah yaitu 0,
1, 2, 3, … dan seterusnya dengan bilangan-bilangan asli yang negatif yaitu -1, -2,3, … dan seterusnya. Jadi bilangan-bilangan bulat yaitu …, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2,
3, dan bilangan nol ( 0 ) yaitu bilangan netral yaitu bukan bilangan positif dan
negatif. Karso, (2007:6.4)
Muhsetyo, (2009:3.4) menyatakan bahwa pembahasan bilangan bulat
(integers) tidak bisa dipisahkan dari uraian tentang bilangan asli (natural/counting
numbers). Jadi sebelum membahas kajian bilangan bulatnya , akan disinggung
terlebih dahulu tentang pembentuk bilangan bulat dari proses operasi hitung pada
bilangan asli. Seperti kita ketahui bahwa bilangan asli seolah-olah terjadi dengan
sendirinya atau secara alamiah. Proses pembentukan bilangan bilangan bulat
dengan memperluas himpunan bilangan asli. Pada himpunan bilangan asli, kita
dapat melakukan proses perhitungan yang menghasilkan bilangan asli pula, misal
2+5=7. Kita ketahui 2 dan 5 adalah bilangan asli, sedangkan hasil penjumlahan
tersebut yaitu 7 juga merupakan bilangan asli.
Karim, dkk (1997:83) mengemukakan bahwa hanya dengan memiliki
pengetahuan tentang bilangan cacah saja kita belum mampu menjawab masalah
matematika dalam kehidupan sehari-hari. Dengan kata lain, himpunan bilangan
cacah memiliki kekurangan. Sebagai contoh, tak ada bilangan cacah yang
membuat kalimat “ 7 + y = 5 “ atau “ 8 + x = 0” menjadi pernyataan yang bernilai
benar. Contoh lain, “ 4 – 9 = x “ tidak mempunyai jawaban bilangan cacah, maka
7
para ahli menciptakan bilangan bulat. Bilangan bulat diciptakan dengan cara tiap
bilangan cacah , misalnya 4, kita ciptakan dua simbol baru + 4 dan -4. Simbol
bilangan yang diawali tanda plus kecil agak ke atas mewakili bilangan positif.
Biasanya tanda plus ini dihilangkan untuk menyatakan positif, sehingga + 4 juga
berarti 4. Selanjutnya simbol yang diawali dengan tanda minus kecil agak ke atas
mewakili bilangan negatif. Misalnya -3 mewakili bilangan “negatif 3“. Untuk
bilangan 0 bukan bilangan positif dan bukan negatif maka tidak perlu membubuhi
tanda apapun.
Untuk bilangan cacah 1 ada -1, 2 ada -2, 3 ada -3 dan seterusnya. Dengan
demikian, untuk masing-masing bilangan cacah positif yaitu 1,2,3,4,5,6,7,…. ada
pasangannya -1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,…. Bilangan terakhir ini disebut bilangan bulat
negatif. Gabungan himpunan semua bilangan cacah dan himpunan semua
bilangan bulat negatif disebut bilangan bulat. Jadi himpunan semua bilangan
bulat terdiri atas :
1) bilangan bulat positif atau bilangan asli, yaitu : 1,2,3,4,5,….
2) bilangan bulat nol, yaitu 0 dan
3) bilangan bulat negatif , yaitu: { -1, -2, -3, -4, -5, -6, …}
Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa bilangan bulat terdiri dari
bilangan bulat positif, bilangan bulat negatif dan bilangan bulat 0 (nol).
c. Sifat-sifat Operasi Hitung Bilangan Bulat
Pada operasi pengurangan bilangan bulat terdapat sifat tertutup, sifat
komutatif, sifat asosiatif, sifat distributif, sifat bilangan nol, dan sifat invers.
8
1. Sifat tertutup
Sifat tertutup yaitu hasil atau jumlah dua bilangan bulat adalah bilangan
bulat juga. Untuk setiap bilangan bulat a dan b, berlaku a + b = c dengan c juga
bilangan bulat.Sifat tertutup berlaku pada penjumlahan dan pengurangan.
Misalnya :
6 + (-2) = 4, (6 dan -2 adalah dua bilangan bulat). 4 hasil dari penjumlahan
adalah bilangan bulat juga.
8 – 10 = -2. (8 dan 10 adalah dua bilangan bulat ). -2 adalah bilangan
bulat.
Bilangan 4 dan -2 merupakan bilangan bulat.
Jadi, baik penjumlahan maupun pengurangan dalam bilangan bulat
memenuhi sifat tertutup.
2. Sifat Komutatif ( Pertukaran )
Sifat komutatif disebut juga sifat pertukaran. Sifat ini hanya berlaku pada
operasi penjumlahan dan perkalian. Bentuk umum dari sifat komutatif pada
penjumlahan yaitu : a + b = b + a.
Contoh :
8 + 2 = 10
2 + 8 = 10
Jadi, 8 + 2 = 2 + 8
Perkalian :
5 × 7 = 35
7 × 5 = 35
9
Jadi, 5 × 7 = 7 × 5
3. Sifat asosiatif ( Pengelompokan )
Sifat ini juga hanya berlaku pada penjumlahan dan perkalian. Bentuk
umum dari sifat Asosiatif pada operasi penjumlahan (a + b ) + c = a + ( b + c )
dan operasi perkalian ( a x b ) x c = a x ( b x c ) .
Contoh :
Penjumlahan
Ruas kiri (5 + 3) + 4 = 8 + 4 = 12
Ruas kanan 5 + (3 + 4) = 5 + 7 = 12
Jadi, (5 + 3) + 4 = 5 + (3 + 4).
Perkalian
(5 × 3) × 4 = 15 × 4 = 60
5 × (3 × 4) = 5 × 12 = 60
Jadi, (5 × 3) × 4 = 5 × (3 × 4).
4. Sifat distribusi ( penyebaran)
Sifat distributif ada dua yaitu :
1) Sifat distributif perkalian pada terhadap penjumlahan dengan bentuk
umum :
a x ( b + c ) = ( a x b ) + ( a x c ).
Contoh :
6 × ( 4 + 5 ) = 6 × 9 = 54
( 6 × 4 ) + ( 6 × 5 ) = 24 + 30 = 54
Jadi, 6 × ( 4 + 5 ) = ( 6 × 4 ) + ( 6 × 5 )
10
2) Sifat distributif perkalian pada terhadap pengurangan dengan bentuk
umum :
ax(b–c)=(axb)–(axc)
Contoh :
7 × ( 9 − 6 ) = 7 × 3 = 21
( 7 × 9 ) − ( 7 × 6 ) = 63 − 42 = 21
Jadi, 7 × ( 9 − 6 ) = ( 7 × 9 ) − ( 7 × 6 )
5. Sifat bilangan nol
Untuk menjelaskan konsep dari sifat bilangan 0 ( nol ), dapat dilakukan
dengan penjumlahan sembarang bilangan 0. Misalnya 5 + 0 = 5, -2 + 0 = -2.
Sehingga dapat disimpulkan bahwa setiap bilangan bulat ditambah dengan nol
sama dengan dirinya sendiri.
6. Sifat Invers
Sifat invers atau disebut juga lawan suatu bilangan. Misalnya lawan dari
+1 adalah -1 atau -3 lawannya adalah +3, lawan dari +2 adalah -2 atau -2
lawannya adalah +2, dst. Jika bilangan-bilangan yang berlainan tanda tersebut
dijumlahkan perpasangannya akan menghasilkan nilai yang sama yaitu 0.
Secara matematis dapatlah dinyatakan bahwa setiap bilangan bulat a
mempunyai invers –a, dapat juga dikatakan –a adalah lawan a, sehingga berlaku a
+ (-a) = 0 = (-a) + a.
Misal :
1 + (-1) = 0
2 + (-2) = 0
11
3 + (-3) = 0
Dapatlah disimpulkan, setiap bilangan bulat (kecuali 0) dapat dipasangkan
dengan bilangan bulat yang lain yang merupakan lawan dari bilangan bulat itu
sendiri sehingga jumlah pasangan itu adalah 0.
c. Pengertian Pengurangan
Pengurangan adalah mengurangkan sebuah bilangan dari bilangan lainnya.
Pengurangan adalah konsep matematika utama yang seharusnya dipelajari oleh
anak-anak setelah penambahan. Biasanya pengurangan diajarkan hampir
bersamaan dengan pengajaran penambahan, tepatnya adalah penambahan
diajarkan terlebih dahulu baru kemudian pengurangan kemudian keduanya akan
diajarkan secara pararel. Ada beberapa tahap untuk mengenali konsep
pengurangan ini. Tahap-tahap ini bergantung pada kemampuan (bukan pada
umur) anak tersebut secara unik sehingga tidak dapat dipaksakan dalam proses
pengajarannya.
Untuk memudahkan, cara pengajaran operasi pengurangan dibagi menjadi
tiga tahap, yaitu :
1. Tahap Pengenalan Pengurangan
Dalam tahap ini, diperkenalkan konsep selisih dalam kehidupan seharihari. Agar perpindahan dari konsep penambahan ke pengurangan berjalan dengan
mulus, digunakan pendekatan menghitung ke atas (counting up), yaitu dengan
dengan mencari berapa kumpulan benda yang dibutuhkan agar jumlahnya sama
dengan kumpulan benda lain yang lebih banyak. Misalnya selama bermain dengan
kelereng, jika ada tiga kelereng di lantai, si anak dapat ditanyakan berapa kelereng
12
yang harus ditambahkan agar jumlahnya menjadi sepuluh kelereng (contoh 3 + ?
= 10). Di sini objek kelereng tentu saja dapat diganti dengan objek-objek yang
lain, misalnya teman bermain mereka, barang belanjaan dan sebagainya.
Setelah
anak
telah
memahami
pengurangan
dengan
pendekatan
menghitung ke atas (counting up), berarti mereka telah siap untuk mengenalkan
pendekatan menghitung ke bawah (counting down) yang bersifat lebih langsung
ke persoalannya. Pendekatan ini dapat diajarkan dengan cara mengambil satu
kelereng dari sepuluh kelereng, kemudian ditanyakan hasilnya kepada si anak
(contoh 10 – 1 = ?). Pendekatan ini harus diiringi dengan penggunaan kata-kata
untuk menjelaskan konsep pengurangan tersebut misalnya „sepuluh dikurangi satu
sama dengan sembilan”. Dengan mengajarkan fakta-fakta ini terus menerus
kepada anak-anak, mereka akan dapat menarik kesimpulan tentang operasi
matematika (dalam hal ini tentang pengurangan) dengan tepat walaupun hal ini
belum disampaikan dalam bentuk angka tertulis.
2. Tahap Pengurangan Tradisional
Tahap ini tentunya dimulai dengan penulisan angka dan simbol operator
pengurangan (-). Pada tahap ini, anak-anak sudah harus dapat mengabstraksi
konsep bilangan ke dalam sebuah notasi desimal tertulis. Urutan pengajarannya,
berdasarkan tingkat kesulitan yang harus dikerjakan oleh anak yaitu berdasarkan
banyaknya digit bilangan yang terlibat, misalnya satuan, puluhan, ratusan dan
seterusnya. Pada setiap digit bilangan ini dilakukan latihan yang berulang-ulang
agar siswa dapat menguasai dengan mahir. Baru kemudian berpindah ke digit
13
bilangan yang lebih banyak.
Contoh cara mengajarkan pengurangan satuan
(sebagai contoh 4 - 2)
Pada level ini merupakan masa transisi, dari bentuk pengajaran verbal
pada tahap pengenalan ke bentuk pengajaran tertulis. Jadi pada waktu membantu
mengajarkannya tetap perlu diilustrasikan prosesnya dengan menggunakan jari
tangan kita. Cara ini diulang-ulang untuk berbagai variasi soal yang ada.
Fokuskan pengulangannya untuk bilangan 10, misalnya 10-1=9, 10-2=8 dan
seterusnya (dalam metode sempoa ini disebut bilangan saling komplementer).
3. Tahap Pengurangan Mental
Perhitungan mental adalah cara menghitung dengan hanya menggunakan
otak manusia, tanpa dengan bantuan peralatan yang lain. Dalam penelitian
didapatkan kesimpulan bahwa perhitungan mental ini dapat meningkatkan
kepercayaan diri, kecepatan merespon, ingatan dan daya konsentrasi pada para
praktisinya.
Kunci utama dalam pengurangan secara mental adalah ingatan (memori)
dalam mengurangkan dari 0 (nol) s.d 9 (sembilan) yang sudah diluar kepala. Serta
visualisasi (visualization) dari proses manipulasi operasi pengurangan. Disini
artinya adalah kita langsung bermain dengan konsep abstrak dari angka tanpa
menggunakan peralatan bantuan.
d. Operasi Pengurangan Bilangan Bulat
Dalam operasi pengurangan bilangan bulat mencakup pengurangan
bilangan bulat positif dengan positif, pengurangan bilangan bulat positif dengan
negatif, pengurangan bilangan bulat negatif dengan positif dan pengurangan
14
bilangan bulat negatif dengan negatif. Berikut ini dijabarkan bagaimana kita dapat
melakukan operasi hitung pengurangan bilangan bulat, Nugraha, (2010:69).
a. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif
Ada 3 kemungkinan jika bilangan bulat positif dikurangi bilangan bulat
positif.
1) Menghasilkan bilangan bulat positif, jika angka bilangan yang
dikurangi lebih kecil daripada angka pengurang.
Contoh :
8–3=5
8–2=6
2) Menghasilkan bilangan bulat negatif, jika angka bilangan
pengurang lebih kecil daripada angka bilangan yang dikurangi.
Contoh :
8 – 9 = -1
8 – 10 = -2
3) Menghasilkan bilangan nol, jika angka bilangan yang dikurangi
sama dengan angka bilangan pengurang.
Contoh :
8-8=0
b. Pengurangan bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negatif
menghasilkan bilangan bulat positif
Contoh :
6 - (-1) = 6 + 1 = 7
15
4
- (-6) = 4 + 6 = 10
c. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat positif
menghasilkan bilangan bulat negatif
Contoh :
-4 – 6 = -10
-2 - 8 = -10
d. Pengurangan bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negatif
Ada 2 kemungkinan jika bilangan bulat negatif dikurangi bilangan
bulat negatif.
1. Menghasilkan bilangan bulat positif, jika angka bilangan yang
dikurangi lebih besar daripada angka pengurang
Contoh : -4 - (-6) = -4 + 6 = 2
2. Menghasilkan bilangan bulat negatif, jika angka bilangan
pengurang lebih besar daripada angka bilangan yang dikurangi
Contoh :
-8 - (-4) = -8 + 4 = -4
3. Semua bilangan bulat jika dikurangi dengan 0 (nol), menghasilkan
bilangan bulat itu sendiri
Contoh :
8-0=8
9-0=9
16
2.2 Upaya Guru Meningkatkan Kemampuan Mengurang Bilangan Bulat
Upaya yang dapat dilakukan dalam meningkatkan kemampuan siswa
dalam mengurang bilangan bulat yaitu sebagai berikut :
1. Menerapkan Model Pembelajaran yang Efektif
Model pembelajaran yang efektif dalam
pembelajaran antara lain
memiliki nilai relevansi dengan pencapaian daya matematika dan memberi
peluang untuk bangkitnya kreativitas guru. Kemudian berpotensi mengembangkan
suasana belajar mandiri selain dapat menarik perhatian siswa dan sejauh mungkin
memanfaatkan
momentum
kemajuan
teknologi
khususnya
dengan
mengoptimalkan fungsi teknologi informasi. Agar tujuan pembelajaran dapat
tercapai maksimal, maka harus diupayakan agar semua siswa lebih mengerti dan
memahami materi yang diajarkan daripada harus mengejar target kurikulum tanpa
dibarengi pemahaman materi. Dalam prakteknya, pembelajaran berorientasi pada
siswa ini dapat dilaksanakan dengan cara pendampingan siswa satu persatu atau
per kelompok. Penjelasan materi dan contoh pengerjaan soal diberikan secara
klasikal di depan kelas. Kemudian ketika siswa mengerjakan latihan soal guru
(beserta asistennya) keliling untuk memperhatikan siswa secara personal. Tugas
guru adalah membantu siswa agar dapat menyelesaikan tugasnya sampai benar.
Siswa yang pandai akan mendapat perhatian yang kurang sementara siswa yang
lemah
akan
mendapat
perhatian
yang
lebih
intensif.
Hal yang paling esensial ketika mendampingi (terutama bagi yang berkemampuan
rendah) adalah menumbuhkan keyakinan dalam diri siswa bahwa saya (baca:
siswa) bisa dan mampu mengerjakan soal. Guru harus berusaha menghilangkan
17
persepsi dalam diri siswa bahwa matematika itu sulit dan mengusahakan agar
siswa memiliki pengalaman bahwa belajar itu mudah dan menyenangkan.
2. Menyediakan fasilitas, sumber belajar, dan lingkungan
yang
mendukung
Apabila di dalam kegiatan pembelajaran telah tersedia fasilitas dan sumber
belajar yang menarik dan cukup untuk mendukung, hal itu akan menumbuhkan
semangat belajar siswa. Demikian pula faktor kondisi dan situasi lingkungan yang
juga penting untuk diperhatikan. Jangan sampai faktor itu memperlunak semangat
dan keaktifan peserta didik dalam kegiatan belajar.
3. Melaksanakan kegiatan pembelajaran yang menarik, menyenangkan,
dan menantang.
Agar siswa dapat tetap aktif dalam mengikuti kegiatan atau melaksanakan
tugas pembelajaran, perlu dipilih jenis kegiatan atau tugas yang sifatnya menarik
atau menyenangkan bagi siswa di samping juga bersifat menantang. Pelaksanaan
kegiatan hendaknya bervariatif, tidak selalu harus di dalam kelas, misalnya siswa
diberikan tugas yang dikerjakan diluar kelas seperti diperpustakaan, dan lain-lain.
Penerapan model” belajar sambil bekerja” (learning by doing) sangat dianjurkan.
Bahkan dijenjang sekolah dasar. Pembelajaran matematika dapat saja dilakukan
sambil bernyanyi atau belajar sambil bermain. Untuk lebih mengaktifkan siswa
secara merata dapat diterapkan pemberian tugas secara individu atau kelompok
belajar (group learning) yang didukung oleh adanya fasilitas/sumber belajar yang
cukup. Sekiranya tersedia, dianjurkan penggunaan media pembelajaran sehingga
pelaksanaan pembelajaran matematika dapat lebih efektif.
18
4. Membantu kesulitan belajar peserta didik, baik secara individual
maupun kelompok.
Kondisi pembelajaran dimana siswa belajar secara pasif, jelas tidak
menguntungkan terhadap hasil belajarnya. Untuk itu perlu usaha guru agar siswa
belajar secara aktif. Sejalan dengan pendapat tersebut Sumarmo (2000)
mengatakan agar pembelajaran dapat memaksimalkan proses dan hasil belajar,
guru perlu mendorong siswa untuk terlibat secara aktif dalam diskusi, bertanya
serta menjawab pertanyaan, berpikir secara kritis, menjelaskan setiap jawaban
yang diberikan, serta mengajukan alasan untuk setiap jawaban yang diajukan.
Pembelajaran yang diberikan pada kondisi ini ditekankan pada penggunaan
diskusi, baik diskusi dalam kelompok kecil maupun diskusi dalam kelas secara
keseluruhan.
Membantu kesulitan peserta didik dengan cara memperhatikan proses dan
hasil belajarnya. Dalam proses belajar terdapat beberap unsur antara lain yaitu
penggunaan metode untuk mennyampaikan materi kepada para siswa. Metode
yang menarik yaitu dengan gambar dan tulisan warna-warni akan menarik siswa
untuk mencatat dan mempelajari materi yang telah disampaikan.
5. Menggunakan Media Pembelajaran
Menggunakan media pembelajaran yang baik, serta harus sesuai dengan
tujuan pembelajaran.
6. Menggunakan metode yang bervariasi
19
Metode yang bervariasi akan sangat membantu dalam proses belajar dan
mengajar. Dengan adanya metode yang baru akan mempermudah guru untuk
menyampaikan materi pada siswa.
7. Menerapkan Penilaian Kelas
Pada umumnya guru di dalam menilai siswa didasarkan kepada nilai tes
formatif baik itu nilai ulangan harian, nilai ulangan tengah semester maupun nilai
ulangan akhir semester. Yang terjadi adalah siswa yang berkemampuan kognitif
rendah maka selamanya akan dinilai rendah. Begitu sebaliknya, siswa yang
berkemampuan kognitif tinggi maka selamanya akan dinilai tinggi. Sebab nilai tes
formatif yang selama ini dilaksanakan berbanding lurus dengan kemampuan
kognitif. Keaktifan siswa yang berkaitan dengan kemampuan afektif dan
psikomotorik dalam hal ini lepas dari penilaian. Jika ini yang terjadi, maka siswa
selain dirugikan juga kurang termotivasi dalam belajar. Penilaian kelas seharusnya
dapat mengukur semua kemampuan siswa.
20