Himpunan Bilangan

1
BAB I
BILANGAN
1. Bilangan Bulat
Bilangan bulat adalah bilangan bukan pecahan yang terdiri dari bilangan :
•
•
•
Bulat positif (1, 2, 3, 4, 5, …)
Nol
:0
Bulat Negatif ( …,-5,-4,-3,-2,-1)
Himpunan Bilangan bulat
A=
{
…, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, …
}
Garis bilangan bulat :
•
-4
•
-3
•
-2
•
-1
•
0
•
1
•
2
●
3
●
4
bilangan bulat negatif
bilangan bulat positif
Bilangan nol
Di dalam bilangan bulat terdapat bilangan genap dan ganjil :
•
Bilangan bulat genap { …, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, …
Bilangan yang habis dibagi dengan 2
•
Bilangan bulat ganjil { …, -5, -3, -1, 1, 3, 5, …
Bilangan yang apabila dibagi 2 tersisa -1 atau 1
}
}
Di dalam setiap bilangan bulat mempunyai masing-masing satu lawan bilangan bulat.
Kedua bilangan bulat dikatakan berlawanan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan
hasilnya adalah 0 (Nol) (contoh: 10+ (-10) = 0)
10 lawan dari -10 atau -10 lawan dari 10
5 lawan dari -5 atau -5 lawan dari 5
1 lawan dari -1 atau -1 lawan dari 1
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
2
2. Bilangan Cacah
Bilangan cacah adalah bilangan bulat yang dimulai dari nol
Himpunan bilangan cacah :
{
A=
0, 1, 2, 3, 4, …
}
3. Bilangan Asli
Bilangan asli adalah bilangan bulat yang dimulai dari satu
Himpunan bilangan asli :
{
A=
4
1, 2, 3, 4, 5, …
}
Bilangan Prima
Bilangan yang mempunyai 2 faktor yaitu 1 dan bilangan tersebut saja
Himpunan bilangan prima :
A= { 2, 3, 5, 7,11,13, …
5
}
Bilangan komposit
Himpunan bilangan selain bilangan prima , 0 dan 1
Himpunan bilangan komposit :
{
A=
6
4, 6, 8, 9,10,12, …
}
Bilangan kuadrat (pangkat dua)
Bilangan yang merupakan hasil pangkat dua (bilangan tersebut dikalikan dengan bilangan
tersebut juga) dari suatu bilangan.
Contoh :
02
12
22
32
=0x0=0
=1x1=1
=2x2=4
=3x3=9
Himpunan bilangan kuadrat :
A=
{
0 2 , 12 , 2 2 , 3 2 , 4 2 , …
} atau {
0, 1, 4, 9, 16,…
}
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
3
7
Bilangan kubik (pangkat tiga)
Bilangan yang merupakan hasil pangkat tiga (perkalian berulang dari tiga bilangan
tesebut)
.
contoh :
03
13
23
33
=0x0x0
=1x1x1
=2x2x2
=3x3 x3
=0
=1
= 8
= 27
Himpunan bilangan kubik :
A=
8
{
0 3 , 13 , 2 3 , 33 , 4 3 , …
} atau {
0, 1, 8, 27, 64,…
}
Bilangan Pecahan
Bilangan pecahan terdiri dari pembilang dan penyebut.
Ditulis sebagai berikut :
a
b
; b≠ 0
Æ
a = pembilang
b = penyebut
Macam-macam pecahan
•
Pecahan biasa
Pecahan yang pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya
a
b
•
contoh :
3 4 2
, ,
5 8 6
Pecahan campuran
Pecahan yang pembilangnya lebih besar dari penyebutnya
a
b
•
;a<b
;a>b
contoh :
5
2
=1
3
5
;
7
3
= 1
4
4
;
11
1
= 5
2
2
Pecahan desimal
pecahan desimal adalah bentuk lain dari pecahan dengan menggunakan tanda koma
sebagai pemisah..
contoh : 0,5 ; 1,5 ; 3,25
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
4
Perubahan bentuk dari pecahan biasa ke pecahan desimal
4
Æ 4 dibagi 5
5
5 4
karena 4 < 5 ; 4 menjadi 40 dan ditambahkan 0,
Menjadi sbb
Æ
0,
5 40
; 40:5 hasilnya 8
0,8
5 40
40
0
-
Maka hasilnya adalah = 0,8
0,
1
Æ 1 dibagi 4
4
4 1
0,2
Æ 4 10 Æ 4 10
8 - (8 dibagi 4 = 2 sisa 2)
2
0,2
0,25
Æ 4 10
Æ 4 10
8 8
20 ditambahkan 0
20
(20 dibagi 4 =5)
Perubahan bentuk dari pecahan desimal ke pecahan biasa
0,5 Æ
1 angka di belakang koma maka dikalikan dengan
5x
1
5
=
10
10
0,25 Æ 2 angka di belakang koma maka dikalikan dengan
25 x
1
10
1
100
1
25
1
=
=
100
100
4
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
5
•
Pecahan persen (%)
Pecahan yang penyebutnya adalah 100 (lambangya adalah %)
Contoh : 25 % artinya
25
100
; 100 % artinya
100
100
Merubah bentuk persen menjadi pecahan biasa :
25 % Æ 25 x
1
25
=
100 100
Merubah bentuk pecahan menjadi persen :
1
1
25
25
x
=
= 25 % Æ jadikan penyebutnya menjadi 100
Æ
4
4
25
100
1
1
50
50
3
3
2
6
x
=
= 50 % ;
x
=
=6%
Æ
Æ
2
2
50
100
50
50
2
100
150
150 50
3
;
=
= 3 % Æ 5000 agar menjadi 100 dibagi dengan 50
Æ
5000
5000 50 100
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
6
9. Bilangan Romawi
Bilangan Romawi adalah lambang bilangan yang menggunakan bilangan Romawi
Dalam penulisannya
* Tabel bilangan Romawi
Lambang
Bilangan
Romawi
Nilai
Bilangan
Lambang
Bilangan
Romawi
I
1
CXL
140
II
2
CL
150
III
3
CXC
190
IV
4
CC
200
V
5
CD
400
VI
6
D
500
VII
7
CM
900
VIII
8
M
1000
IX
9
V
5000
X
10
X
10.000
XX
29
L
50.000
XXX
30
C
100.000
XL
40
D
500.000
L
50
M
1000.000
LX
60
V
5000.000
LXX
70
X
10.000.000
LXXX
80
L
50.000.000
XC
90
C
100.000.000
C
100
D
500.000.000
CX
110
M
1000.000.000
CXX
120
Nilai
Bilangan
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
7
Keterangan :
1 strip diatas Æ bilangan tsb dikalikan 1000
V = 5 x 1000 = 5000
;
M = 1000 x 1000 = 1000.000
2 strip diatas Æ bilangan tsb dikalikan 1000.000
L = 50 x 1000.000 = 50.000.000
;
C = 100 x 1000.000 = 100.000.000
Cara penulisan Bilangan Romawi :
1. Sistem pengulangan:
Pengulangan dilakukan pling banyak 3 kali.
Lambang bilangan Romawi yang dapat diulang adalah : I, X, C dan M.
Lambang bilangan Romawi V, L dan D tidak boleh diulang.
Contoh pengulangan:
I =1
II = 2
III = 3
X = 10
XX = 20
XXX= 30
C
CC
CCC
M
MM
MMM
= 100
= 200
= 300
= 1000
= 2000
= 3000
2. Sistem Pengurangan :
Apabila bilangan Romawi yang di sebelah kiri lebih kecil daripada yagn sebelah
kanannya, maka bilangan yang disebelah kanan dikurangi dengan bilangan
yang di sebelah kirinya . Pengurangan ini hanya dapat dilakukan 1 kali.
Contoh :
IV = 5 – 1
IX = 10 – 1
XL = 50 – 10
XC = 100 – 10
CD = 500 – 100
CM= 1000 – 100
=4
=9
= 40
= 90
= 400
= 900
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
8
3. Sistem Penjumlahan
Apabila bilangan Romawi diikuti dengan bilangan Romawi yang sama atau lebih kecil,
maka bilangan Romawi tersebut harus ditambahkan.. Penjumlahan ini hanya dapat
dilakukan paling banyak 3 angka.
Contoh :
VI
VII
VIII
XI
XII
XIII
XV
XVI
LX
=5+1=6
=5+2=7
=5+3=8
= 10 + 1 = 11
= 10 + 2 = 12
= 10 + 3 = 13
= 10 + 5 = 15
= 10 + 6 = 16
= 60 + 10 = 60
CL
DC
MD
= 10 + 50 = 60
= 500 + 100 = 600
= 1000 + 500 = 1500
4. Sistem Gabungan :
Gabungan antara sistem pengurangan dan penjumlahan :
Contoh :
XIV
= 10 + (5-1) = 14
CXLIV = 100 + (50-10) + (5-1) = 144
CMXCVII = (1000 – 100) + (100 -10) + 7 = 997
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya
9
WWW.BELAJAR-MATEMATIKA.COM
Diperbolehkan memperbanyak dengan mencantumkan sumbernya